1.1.2 有理数（教学课件）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（华东师大版2024）

华师大版（2024） 七年级数学上册 第一章 有理数 1.1.2 有理数 1.1 有理数的引入 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.掌握有理数的概念；（重点） 2.会对有理数按一定的标准进行分类,培养分类能力.(难点） 情景导入 小明在天气预报上看到今日全国主要城市的天气情况， 全国主要城市天气预报 北京 -3～0℃ 哈尔滨 -13～-7℃ 长春 -13～-7℃ 沈阳 -5～-1℃ 全国主要城市天气预报 南京 5～14℃ 济南 -1～4℃ 合肥 6～11℃ 上海 8～15℃ -3,0,-13,-7,-5,-1,5,4,6,11,8,15 请同学们试一试根据上节课所学的正负数的概念将天气预报中出现的这些数做个分类吧！ 情景导入 正数： 负数： -3, 0， -13， -7， -5， -1, 5, 4, 6, 11, 8, 15, 按照正负数分会把0漏下，那么我们该如何分类才能将0也包含在内呢？ 新知探究 1.有理数的概念 到目前为止，我们所学过的数可以分为以下几类： 正整数，如1，2，3，…； 零，即0； 负整数，如-1，-2，-3，…； 正分数，如； 负分数，如·· 概念归纳 正整数、0 和负整数统称为整数，正分数和负分数统称为分数. 整数和分数统称为有理数. 读一读 “有理数”的英文名rational number中的单词rational应看成ratio（比、比率）的形容词形式. 因此，rational number应该理解为“比率数”，即可以表示为两个整数之商（比率）的数. 在学习了有理数的除法（1.10节）之后我们可以看到，这样的解释准确地描述了有理数的本质. 因此我们可以把已经学过的数作出如下分类： 有理数 ｛ 分数 整数 ｛ 正整数 0 负整数 正分数 负分数 ｛ 除了按照定义将有理数分类你还有哪些方法呢？ 我们还可以按照正负来分： 有理数 正整数 负整数 负分数 正有理数 负有理数 正分数 零 注意：无论按照定义还是正负性来分都要注意0的特殊性. 有理数分类应注意： ①分类的标准不同，结果也不同； ②分类的结果应无遗漏、无重复； ③零是整数，但零既不是正数，也不是负数. 把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集. 所有有理数组成的数集叫做有理数集. 类似地，所有整数组成的数集叫做整数集， 所有负数组成的数集叫做负数集， 所有正整数和0组成的数集叫做非负整数集（即自然数集），如此等等. 概念归纳 课本例题 例 把下列各数填入表示它们所在的数集的圈里： 正数集 负数集 整数集 有理数集 , , , 练 习 1.请说出两个正整数、两个负整数、两个正分数、两个负分数.它们都是有理数吗？ 解：正整数：5和100；负整数：-5和-3；正分数：0.1和； 负分数：-1.5和- ，它们都是有理数 2.有理数集中有没有这样的数，它既不是正数，也不是负数？若有，请说出这样的数. 练 习 答：有，这个数是0,0既不是正数也不是负数. 分层练习-基础 知识点1　分界数 1.在－3，－5，－1，0这四个数中，与其余三个数不同类的 是(　D　) A. －3 B. －5 C. －1 D. 0 D 2.下列关于“0”的叙述中，正确的有(　C　) ①0是正数与负数的分界； ②0比任何负数都大； ③0只表示没有； ④0常用来表示某种量的基准. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 分层练习-基础 C 分层练习-基础 3.[新考向 传统文化]古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音.如图所示是某古筝调音器软件的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦.下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音(指针指在0处为标准音)的是(　D　) A. 10 B. 20 C. －25 D. －5 D 分层练习-基础 4.[真实情境题 航空航天]2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射成功，成功对接空间站.据悉，在超过200摄氏度的大温差、长期低温、强辐射的空间环境中，飞船舱内环境温度会始终控制在22 ℃±4 ℃，为航天员营造舒适的温度环境.可知，载人飞船座舱内的最高温度是 ⁠. 26 分层练习-基础 知识点2　有理数及相关概念 5.[2024·重庆一中期末]下列数中既是分数，又是负数的是 (　D　) A. 5.2 B. 0 C. －2 D. －2.5 D 5.[2023·江西]下列各数中，正整数是(　A　) A. 3 B. 2.1 C. 0 D. －2 A 分层练习-基础 7.在－3.5， ，0.161 161 116…， 中，有理数有(　B　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 知识点3　有理数的分类 8.[新考法 探究数的特征法]若A表示整数，B表示分数，C表 示正整数，D表示零，E表示负整数，F表示正分数，G表 示负分数，用A，B，C，D，E，F，G填空.然后将下列各 数填入相应的大括号内： 13，－ ，0，1.25，－35，－0.33， ，＋5，－600. 分层练习-基础 有理数 分层练习-基础 易错点　对分界数的意义理解不透彻而致错 9.[新考法 变式训练法]某教室内的地板到天花板的距离为3 米，课桌高0.7米，若把课桌面记作0米，则教室的地板和 天花板分别记作 米和 米；若把天花板 记作0米，则课桌面和地面分别记作 米和 米(规定向上为正). －0.7　 ＋2.3　 －2.3　 －3　 分层练习-基础 分层练习-巩固 利用分界数表示实际中的范围 10.[2024·泉州第五中学模拟]某种商品的标准价格是200元， 随着季节的变化，商品的价格可浮动±10％. (1)±10％的含义是什么？ 【解】＋10％表示比标准价格高10％，－10％表示比 标准价格低10％. (2)请你计算出该商品的最高价格和最低价格. 【解】最高价格为220元，最低价格为180元. 分层练习-巩固 (3)若以标准价格为基准，超过标准价格记作“＋”，低于标准价格记作“－”，则该商品的价格浮动范围可以怎样表示？ 【解】(200±20)元. 分层练习-巩固 利用有理数及相关定义求聚会人数 11.[情境题 生活应用]有一次同学聚会，小张的座位号与下列这组数中的负数的个数相等，小李的座位号与下列这组数中的正整数的个数相等. 8， －3 ，0，－100，＋5 ，－3.21，－0.33，36， － ，－25％，＋2 024，－18. 分层练习-巩固 (1)小张、小李的座位号分别是多少？ 【解】在所给的数中，负数有－3 ，－100，－ 3.21，－0.33，－ ，－25％，－18，共7个， 所以小张的座位号是7. 在所给的数中，正整数有8，36，＋2 024，共3个， 所以小李的座位号是3. 分层练习-巩固 (2)若这次同学聚会的总人数是小张的座位号的2倍与小李的座位号的4倍的和，则这次聚会共有多少名同学参加？ 【解】由题意得这次聚会共有2×7＋3×4＝14＋12＝26(名)同学参加. 利用分界数探求实际中的时差问题 12.[新趋势 跨学科]下图中的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，若下表给出的是国外四个城市与北京的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是(　A　) 分层练习-拓展 城市 时差/ h 纽约 －13 悉尼 ＋2 伦敦 －8 罗马 －7 A. 纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京 B. 罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约 C. 伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼 D. 北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约 A 分层练习-拓展 利用数的排列规律探求符合条件的数的位置 13.[新考法 探究循环规律法]如图，将一串数按下列规 律排列. (1)在 A 位置的数是正数还是负数？ 【解】在 A 位置的数是正数. 分层练习-拓展 (2)负数排在 A ， B ， C ， D 中的什么位置？ 【解】负数排在 B 和 D 的位置. (3)第100个数是正数还是负数？排在对应于 A ， B ， C ， D 中的哪个位置上？ 【解】观察可知奇数为负，偶数为正，故第100个数是正数. 每4个数看成一组，100÷4＝25(组)， 故第100个数排在 A 的位置. 分层练习-拓展 课堂反馈 4 2 课堂反馈 课堂反馈 1.在下列各数中选出符合条件的数填入相应的集合内： -6.75, 0, , -5, + 10, -0.1, 1. 正数集 负整数集 整数集 习题1.1A组 - 0， -5， + 10，1 习题1.1A组 2.下列各数中，哪些是整数？哪些是分数？哪些是正数？哪些是负数？ 1, -0.10，，-789, 325, 0, -20, 10.10, 1000.1, -5%. 整数： 1， -789， 325，0， -20. 分数： -0.10， ， 10.10，1000.1, -5%. 正数： 1， ， 325，10.10, 1000.1 负数： -0.10， -789， -20，-5%. 3.下面两个圈分别表示正数集和整数集，请写出9个数填入这两个圈中，使其中每个圈中各有6个数，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合？ 正数集 整数集 习题1.1A组 正整数集 5,0.7， -1,0,3 1，2，4 4.下面的大括号表示一些数的集合，把第1、2两题中的各数填入相应的大括号内： 习题1.1A组 正整数集：{ ···}； 负整数集： { ···}； 整数集： { ···}； + 10, 1, 325 -5, -789, -20 + 10, 1, 325, 0,-5, -789, -20 -6.75, 0, , -5, + 10, -0.1, 1. -0.10，，-789, 325, -20, 10.10, 1000.1, -5%. 有理数集： { ···}； 正有理数集： { ···}； 负有理数集： { ···}； 自然数集： { ···}； 4.下面的大括号表示一些数的集合，把第1、2两题中的各数填入相应的大括号内： -6.75, 0, , -5, + 10, -0.1, 1. -0.10，，-789, 325, -20, 10.10, 1000.1, -5%. 习题1.1A组 1, -0.10，，-789, 325, -20, 10.10, 1000.1, -5%. -6.75, 0, , -5, + 10, -0.1. + 10, 1,325 , 10.10,1000.1 -6.75，-5, -0.1，-0.10， -789, -20， -5% 0,+10，1, 325， 5.分别观察下面各题中依次排列的一些数，猜测它们的排列各有什么规律？请按你猜测的规律，接着写出后面的 3个数.你能分别说出各题排列的数中第 10个数、第 100 个数第200个数、第201个数是什么吗？ 习题1.1B组 (1)1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, , , ,···; (2) 1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, -8 , , , ,···; (3) -1, , , , ,···; 习题1.1B组 答：（1）第10项是-1，第100项是-1，第200项是-1，第201项1； （2）第10项是-10，第100项是-100，第200项是-200，第201项是201； （3）第10项是，第100项是，第200项是，第201项是； 课堂小结 1. 统称为整数， 统称为分数. 2. 统称为有理数. 正整数、0 和负整数 正分数和负分数 整数和分数 3.有理数分类应注意： ①分类的标准不同， ； ②分类的结果应 ； ③零是 ，零既不是 ，也不是 . 结果也不同 无遗漏、无重复 整数 正数 负数 按照定义来分我们可以把有理数分为： 正整数 负整数 零 正分数 负分数 整数 分数 有理数 按照正负来分我们可以把有理数分为： 有理数 正整数 负整数 负分数 正有理数 负有理数 正分数 零 课堂小结 阅读材料 华罗庚的故事 宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学. ——华罗庚 我国著名数学家华罗庚说：“聪明在于学习，天才在于积累.”这句话正是他一生的真实写照. 华罗庚，1910年11月12日出生于江苏省金坛县， 1924年毕业于该县公立初级中学，此后，他又到上海中华职业学校读书，用不到一年半的时间，就读完了两年的课程.15岁的时候，华罗庚迫于家境困难而辍学，返回家乡后，他一面帮助父亲在小杂货店里干活、记账，一面钻研数学. 阅读材料 20 岁时，他的一篇论文《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》发表在上海《科学》杂志上，显示出了这位 20 岁青年的数学才华.然而就在同一年，华罗庚患了严重的伤寒病和关节炎.在与疾病的斗争中，他意志顽强，坚韧不拔，终于战胜了病魔，但他的左腿病了.然而在此期间，他仍然努力钻研数学，接连取得了许多重大的科研成果.一般人从初中到大学毕业要八年时间，而华罗庚完全依靠自学完成相应的课程，只用了六年半的时间。华罗庚正是凭着这种刻苦钻研的精神，终于成为举世公认的大数学家。 阅读材料 知识点一：理解有理数的意义 【例1】在－eq \f(22,7)、π、0、0.3、－9这五个数中，有理数的个数为 ，整数的个数为 ． 【思路分析】　(1)有理数包括整数和分数，其中整数有0、－9，共2个，分数有－eq \f(22,7)、0.3、共2个；(2)π不是有理数；(3)整数包括正整数，0，负整数，因此有0、－9. 【方法归纳】　π是无限不循环小数，是不能化成分数的数，所以不是有理数，而－eq \f(22,7)虽然也是无限小数，但却是循环小数，是典型的分数． 知识点二会进行有理数分类 【例2】把下列各数填入相应的集合中：－20、0.5、4、－eq \f(2,3)、0、eq \f(12,5)、－5.2、25. 整数集合：{　　　　　　　　…}； 负分数集合：{　　　　　　　…}； 正数集合：{　　　　　　　　…}； 有理数集合：{　　　　　　　…}； 【思路分析】　按照有理数分类填写．有理数分为整数和分数，整数分为正整数、零和负整数，分数分为正分数和负分数． 【规范解答】　整数集合：{－20、4、0、25…}； 负分数集合：{－eq \f(2,3)、－5.2…}； 正数集合：{0.5、4、eq \f(12,5)、25…}； 有理数集合：{－20、0.5、4、－eq \f(2,3)、0、eq \f(12,5)、－5.2、25…}． $$