专题02 实数与估算【九大考点+知识串讲】-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（北师大版）

专题02 实数与估算 考点类型 知识一遍过 （一）实数的分类 （1）实数概念：有理数和无理数统称为实数 （2）实数的分类： ①按概念分类： ②按符号分类 （二）数轴上的点与实数的关系 （1）实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数． （2）应用勾股定理表示无理数：例如：的画法：画边长为1的正方形的对角线 在数轴上表示无理数通常有两种情况： ①尺规可作的无理数，如 ②尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001…… （三）实数的大小比较与估算 （1）实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法 （2）实数的估算：找到与被开方数临近的完全平方数，便可确定无理数的范围。例如：≤≤，即3≤≤4。 （四）实数的运算 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用。 实数的运算顺序： ①先算乘方和开方; ②再算乘除，最后算加; ③如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 考点一遍过 考点1：实数的分类 典例1：下列四个实数，是无理数的为（    ） A．0 B． C． D． 【变式1】在实数，，，，中，有理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】把下列各数填入相应的横线内： ，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），． 无理数：{ ___________…}； 整数：{ ___________…}； 分数：{ ___________…}； 实数：{ ___________…}． 【变式3】把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，（相邻两个之间的逐次加），，，，． （1）整数集合：{ }； （2）正分数集合：{ }； （3）负有理数集合：{ }； （4）无理数集合：{ }； （5）非负整数集合：{ }． 考点2：实数的性质 典例2：下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．-3与 B．和 C．与 D．3和 【变式1】下列说法中，不正确的是（　　） A．﹣的绝对值是﹣ B．﹣的相反数是﹣ C．的立方根是2 D．﹣3的倒数是﹣ 【变式2】已知与互为相反数，则的值是 ． 【变式3】对于任意两个实数a，b，定义一种新运算“”，规定．如，那么 ，的最小值为 ． 考点3：实数与数轴 典例3：如图：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ）    A．1 B． C．2 D． 【变式1】如图，数轴上点A表示一个无理数，这个无理数可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ． 【变式3】如图，实数，，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为 ． 考点4：实数的大小比较 典例4：比较3，，的大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若实数满足，则，，和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在0、、、这四个数中，最小的无理数是 ． 【变式3】比大小： ， ， 考点5：实数的运算 典例5：计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】一个数值转换器如图所示：    (1)当输入的值为16时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为______； (3)若输出的值是，请直接写出两个满足要求的的值． 【变式2】对于任意有理数、、、，我们规定符号，例如：． (1)求的值为______； (2)求的值，其中． 【变式3】计算： (1) (2) (3) (4) 考点6：实数运算的运用 典例6：为庆祝元旦，某校甲、乙两个校区准备举行联合文艺汇演，甲、乙两校区共112位学生参与演出，其中甲校区参演人数多于乙校区参演人数，且甲校区参演人数不足110人，现准备统一购买服装（一人购买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至55套 56套至110套 110套及以上 每套服装的价格 70元 60元 50元 如果两个校区分别单独购买服装，一共应付7240元． (1)若甲、乙两校区联合起来购买服装，比两校区分别单独购买服装共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两校区各有多少学生参加本次演出？ (3)若甲校区单独购买时，服装厂每套服装获利50%，丙学校购买的服装比甲校区少12套，那么服装厂卖给丙学校服装时共获利多少元． 【变式1】阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i 叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算： ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ___，___； (2)计算： (3)试一试：请利用以前学习的有关知识将，化简成的形式 【变式2】“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 【变式3】【知识重现】我们知道，在axN中，已知底数a，指数x，求幂N的运算叫做乘方运算．例如23=8：已知幂N，指数x，求底数a的运算叫做开方运算，例如=2． 【学习新知】 现定义：如果ax=N（a0且a1），即a的x次方等于N（a0且a1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=logaN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做以a为底N的对数，例如log28=3，零没有对数；在实数范围内，负数没有对数． 【应用新知】 （1）选择题：在式子log5125中，真数是_______． （2）①计算以下各对数的值：log39=_______；log327=_______． ②根据①中计算结果，请你直接写出logaM，logaN，loga（MN）之间的关系，（其中a0且a1，M0，N0）． 考点7：估计算术平方根的范围 典例7：估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【变式1】观察表格中的数据： 由表格中的数据可知在哪两个数之间（    ） A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间 【变式2】用计算器计算了一部分数的平方，结果如下表： x 16 17 2 根据表中的信息判断下列结论中，正确的有 ．（填序号） ①的平方根是 ；②； ③265的算术平方根比大；④只有4个正整数满足 【变式3】已知，则与的最接近的两个整数的和为 ． 考点8：无理数的估算 典例8：若是的算术平方根，是的小数部分，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【变式2】把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ． 【变式3】任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如 现对 72进行如下操作：，这样对72 只需进行3 次操作后变为1，类似地，(1)对85只需进行 次操作后变为1；(2)只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 考点9：无理数——整数、小数部分问题 典例9：先阅读下面的文字，然后解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，因为的整数部分是1，差就是小数部分． 由此我们还可以得到一个真命题：如果，其中x是整数，那么， 请解答下列问题： (1)如果，其中是整数， 且，那么 ， ； (2)已知，其中是整数， 且，求的值． 【变式1】请回答下列问题： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么__________，____________． (2)是的小数部分，是的整数部分，求____________，____________． (3)求的立方根． 【变式2】下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记． 无理数的估算： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分 例如： ∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分是 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为______． (2)任务二：a为 的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：其中x是整数，且求的相反数． 【变式3】阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来来表示的小数部分，小明的表示方法是有道理的，因为，将这个数减去其整数部分，差就是，又例如∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，则的值． (3)已知x是的整数部分，y是其小数部分，直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 实数与估算 考点类型 知识一遍过 （一）实数的分类 （1）实数概念：有理数和无理数统称为实数 （2）实数的分类： ①按概念分类： ②按符号分类 （二）数轴上的点与实数的关系 （1）实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数． （2）应用勾股定理表示无理数：例如：的画法：画边长为1的正方形的对角线 在数轴上表示无理数通常有两种情况： ①尺规可作的无理数，如 ②尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001…… （三）实数的大小比较与估算 （1）实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法 （2）实数的估算：找到与被开方数临近的完全平方数，便可确定无理数的范围。例如：≤≤，即3≤≤4。 （四）实数的运算 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用。 实数的运算顺序： ①先算乘方和开方; ②再算乘除，最后算加; ③如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 考点一遍过 考点1：实数的分类 典例1：下列四个实数，是无理数的为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数的定义逐一进行判断即可． 本题主要考查了无理数的定义，实数分为有理数和无理数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，无限不循环小数为无理数，本题中带根号且开不尽的是无理数． 【详解】A. 0是有理数，故A选项不符合题意； B. 是无理数，故B选项符合题意； C. 是有理数，故C选项不符合题意； D. 是有理数，故D选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】在实数，，，，中，有理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据有理数的意义，即可解答． 【详解】解：在实数，，，，中， 有理数有，，共有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了实数的分类，熟练掌握有理数的意义（有限小数或无限循环小数）是解题的关键． 【变式2】把下列各数填入相应的横线内： ，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），． 无理数：{ ___________…}； 整数：{ ___________…}； 分数：{ ___________…}； 实数：{ ___________…}． 【答案】见解析 【分析】利用无理数，整数，分数以及实数的定义判断即可得到结果． 本题考查了实数的分类，熟练掌握相关的概念是解题的关键 【详解】无理数：{，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”）}； 整数：{0，，，}； 分数：{，，，80%}； 实数：{，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），}． 故答案为：，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”）；0，，，；，，，80%；，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），． 【变式3】把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，（相邻两个之间的逐次加），，，，． （1）整数集合：{ }； （2）正分数集合：{ }； （3）负有理数集合：{ }； （4）无理数集合：{ }； （5）非负整数集合：{ }． 【答案】 ，，，， ， ，， ，，，（相邻两个之间的逐次加） ，， 【分析】本题考查实数的分类， （1）根据整数的定义选出即可； （2）根据正数和分数的定义选出即可； （3）根据负数和有理数的定义选出即可； （4）根据无理数的定义选出即可； （5）根据非负整数的定义（即正整数和零）选出即可； 解题的关键是明确实数包括无理数和有理数，无理数包括正无理数和负无理数，有理数包括正有理数，，负有理数． 【详解】解：，，， （1）整数集合：{，，，，，}， 故答案为：，，，，； （2）正分数集合：{，，}， 故答案为：，； （3）负有理数集合：{，，，}， 故答案为：，，； （4）无理数集合：{，，，（相邻两个之间的逐次加），}， 故答案为：，，，（相邻两个之间的逐次加）； （5）非负整数集合：{，，，}， 故答案为：，，． 考点2：实数的性质 典例2：下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．-3与 B．和 C．与 D．3和 【答案】C 【分析】先依据相反数和绝对值的定义化简各数，然后再依据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、-3的相反数是3，故A不符合题意 B、|-3|=3，3的相反数是-3，故B不符合题意； C、=，的相反数是，故C符合题意； D、=3，3的相反数是-3，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查相反数定义，即相加为0的两个数互为相反数，要注意细心运算每个选项． 【变式1】下列说法中，不正确的是（　　） A．﹣的绝对值是﹣ B．﹣的相反数是﹣ C．的立方根是2 D．﹣3的倒数是﹣ 【答案】A 【分析】分别根据实数绝对值的意义、相反数的定义、立方根的定义和倒数的定义逐项解答即可． 【详解】解：A、﹣的绝对值不是﹣，故A选项不正确，所以本选项符合题意； B、﹣的相反数是﹣，正确，所以本选项不符合题意； C、＝8，所以的立方根是2，正确，所以本选项不符合题意； D、﹣3的倒数是﹣，正确，所以本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的绝对值、相反数、立方根和倒数的定义，属于基础知识题型，熟练掌握实数的基本知识是解题关键． 【变式2】已知与互为相反数，则的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查实数的性质，立方根的性质，先根据两个立方根互为相反数，得到被开方数互为相反数，求出的值，整体代入代数式进行求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴和互为相反数， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5． 【变式3】对于任意两个实数a，b，定义一种新运算“”，规定．如，那么 ，的最小值为 ． 【答案】 4 8 【分析】本题考查了实数的混合运算、去绝对值，以及一种新的运算，将所求的式子转化是解题的关键．根据运算法则，把要求的式子转化成我们学过的内容，再计算即可． 【详解】， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 所以的最小值为8， 故答案为：4，8 考点3：实数与数轴 典例3：如图：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ）    A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理．熟练掌握勾股定理解直角三角形，数轴上两点之间的距离，实数的运算，是解题的关键． 先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，得到数轴上表示圆弧的半径，再根据两点间的距离公式即可求出A点表示的数． 【详解】∵图中的直角三角形的两直角边为1和2， ∴斜边长为：， ∴点A所表示的数为：． 故选：B． 【变式1】如图，数轴上点A表示一个无理数，这个无理数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，分别估算出无理数的取值范围，根据点在数轴上的位置，进行判断即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∴，，， ∵， ∴，， 由数轴可知，点表示的数可能是； 故选A． 【变式2】实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数和数轴，化简绝对值，求算术平方根和立方根，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简计算即可． 【详解】解：由图可知： ． 故答案为： 【变式3】如图，实数，，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为 ． 【答案】-3 【分析】本题考查了数轴上点的特征，涉及到相反数的性质、对无理数进行估值、确定不等式组的整数解等问题．先求出D点表示的数，再得到m的取值范围，最后在范围内找整数解即可． 【详解】解：∵点B关于原点O的对称点为D，点B表示的数为， ∴点D表示的数为， ∵A点表示，C点位于A、D两点之间， ∴， ∵m为整数， ∴； 故答案为：． 考点4：实数的大小比较 典例4：比较3，，的大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，能熟练化简二次根式和三次根式是解题的关键，当二次根式和三次根式无法再化简时，可把整数化成二次根式或者三次根式的形式再做比较.先把3化成二次根式和三次根式的形式，再把3和做比较即可得到答案. 【详解】解：∵ ∴， ， 故， 故答案为：D. 【变式1】若实数满足，则，，和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据题意得出，，再结合，即可得出，从而得解． 【详解】解：， ，， ，， ， ， 故选：A． 【变式2】在0、、、这四个数中，最小的无理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数大小的比较，解题的关键是掌握实数大小比较的基本方法． 从四个数中先找出无理数，再根据实数大小比较的法则进行比较即可得出答案． 【详解】解： 0，是整数，属于有理数；，是无理数． ，， ， 最小的无理数是， 故答案为：． 【变式3】比大小： ， ， 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据算术平方根与立方根进行计算，无理数的大小比较，即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：，，． 考点5：实数的运算 典例5：计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)或； (4)． 【分析】（）直接合并即可； （）先计算算术平方根、立方根，再进行加减计算即可； （）利用平方根的定义解方程即可； （）利用立方根的定义解方程即可； 本题考查了平方根，立方根的定义，掌握理解平方根，立方根的定义及运算是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解： 或； （4）解： ． 【变式1】一个数值转换器如图所示：    (1)当输入的值为16时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为______； (3)若输出的值是，请直接写出两个满足要求的的值． 【答案】(1) (2)0，1 (3)， 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根得，是无理数，所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）解：25的算术平方根为5，5的算术平方根是， ∴，都满足要求． 【点睛】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． 【变式2】对于任意有理数、、、，我们规定符号，例如：． (1)求的值为______； (2)求的值，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据定义的运算规律，进行计算即可求解； （2）先根据根据定义的运算规律，计算，再将代入计算即可求解． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解： ， ∵， ∴， 故原式． 【点睛】本题考查了定义新运算，有理数的混合运算，多项式乘多项式，整式的加减混合运算，代数式求值等．熟练掌握多项式乘多项式以及整式的加减混合运算法则是解题的关键． 【变式3】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查实数的运算，整式的运算， （1）根据算术平方根和立方根将原式化简，再进行加减运算即可； （2）根据有理数的乘方、算术平方根和立方根将原式化简，再进行乘法运算，最后进行加减运算； （3）根据单项式乘单项式进行计算即可； （4）根据算术平方根和立方根将原式化简，再进行加减运算即可； 掌握相应的定义、运算法则和性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 考点6：实数运算的运用 典例6：为庆祝元旦，某校甲、乙两个校区准备举行联合文艺汇演，甲、乙两校区共112位学生参与演出，其中甲校区参演人数多于乙校区参演人数，且甲校区参演人数不足110人，现准备统一购买服装（一人购买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至55套 56套至110套 110套及以上 每套服装的价格 70元 60元 50元 如果两个校区分别单独购买服装，一共应付7240元． (1)若甲、乙两校区联合起来购买服装，比两校区分别单独购买服装共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两校区各有多少学生参加本次演出？ (3)若甲校区单独购买时，服装厂每套服装获利50%，丙学校购买的服装比甲校区少12套，那么服装厂卖给丙学校服装时共获利多少元． 【答案】(1)1640元 (2)甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人 (3)元 【分析】本题考查实数计算，一元一次方程实际应用， （1）根据题意列出合起来购买服装的算式，再减去分开购买即为本题答案； （2）根据题意设甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人，可知甲校参演人数大于人小于人，乙校区参演人数小于人，再列出一元一次方程即可； （3）根据题意先求出服装厂一件成本，再求出丙校区购买套数，继而求出本题答案． 【详解】（1）解：根据题意：（元）， ∵两个校区分别单独购买服装，一共应付7240元， ∴（元）， 答：甲、乙两校区联合起来购买服装，比两校区分别单独购买服装共可以节省1640元； （2）解：设甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人， ∵甲校区参演人数多于乙校区参演人数，且甲校区参演人数不足110人， ∴，解得：， 乙校区参演人数为：（人）， 答：甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人； （3）解：∵甲校区参演人数为60人， 又∵甲校区单独购买时，服装厂每套服装获利50%， ∴设服装厂每套服装成本元， ，即：， ∵丙学校购买的服装比甲校区少12套， ∴丙校区购买了：（套）， ∴（元）， 答：服装厂卖给丙学校服装时共获利1440元． 【变式1】阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i 叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算： ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ___，___； (2)计算： (3)试一试：请利用以前学习的有关知识将，化简成的形式 【答案】(1)，1 (2) (3) 【分析】（1）根据题目中给出的进行计算即可； （2）根据题意得到规律的结果是4个一循环，且每4个的结果和为：，据此求解即可； （3）仿照分母有理化的方法对分子分母同时乘以进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴；； 故答案为：；1； （2）解：∵，，，，…， ∴的结果是4个一循环，且每4个的结果和为：， ∵， ∴ ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了新定义下的运算，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． 【变式2】“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 【答案】(1)，，，； (2)见解析 【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可； （2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可． 【详解】（1）由面积公式，可得 ∵值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即． 故答案为：，，，； （2）小敏同学的做法，如图： 排列形式如图（3），如图： 画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键． 【变式3】【知识重现】我们知道，在axN中，已知底数a，指数x，求幂N的运算叫做乘方运算．例如23=8：已知幂N，指数x，求底数a的运算叫做开方运算，例如=2． 【学习新知】 现定义：如果ax=N（a0且a1），即a的x次方等于N（a0且a1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=logaN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做以a为底N的对数，例如log28=3，零没有对数；在实数范围内，负数没有对数． 【应用新知】 （1）选择题：在式子log5125中，真数是_______． （2）①计算以下各对数的值：log39=_______；log327=_______． ②根据①中计算结果，请你直接写出logaM，logaN，loga（MN）之间的关系，（其中a0且a1，M0，N0）． 【答案】（1）125；（2）①2，3；②logaMlogaNlogaMN 【分析】（1）根据材料，由真数的定义，即可得到答案； （2）①根据阅读材料中的方法将各式计算，即可得到答案； ②根据①的计算方法，找出关系即可． 【详解】解：（1）∵在中，其中叫做对数的底数，N叫做真数， ∴的真数是125； 故答案为：125； （2）①； ； 故答案为：2；3. ②由①可知，，， ∴， ∴，（其中a0且a1，M0，N0）． 【点睛】此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 考点7：估计算术平方根的范围 典例7：估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算． 先确定，再利用算术平方根的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即： 故选：C． 【变式1】观察表格中的数据： 由表格中的数据可知在哪两个数之间（    ） A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间 【答案】C 【分析】此题考查了估算无理数的大小，由可得，结合表格数据即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故选：． 【变式2】用计算器计算了一部分数的平方，结果如下表： x 16 17 2 根据表中的信息判断下列结论中，正确的有 ．（填序号） ①的平方根是 ；②； ③265的算术平方根比大；④只有4个正整数满足 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，无理数的估算，求一个数的平方根等等，根据一个正数的两个平方根互为相反数，结合即可判断①；根据被开方数小数点向右（向左）每移到两位，则开方的结果的小数点向右（向左）移动一位，据此可判断②；根据，即可判断③；根据即可判断④． 【详解】解：∵， ∴的平方根是，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴265的算术平方根比小，故③错误； ∵， ∴满足的正整数有共4个，故④正确； 故答案为：①②④． 【变式3】已知，则与的最接近的两个整数的和为 ． 【答案】7 【分析】本题考查无理数的估算，根据与10最接近，与6最接近，且，得到与a的最接近的两个整数是3和4，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， 与的最接近的两个整数是3和4， ∴． 故答案为：． 考点8：无理数的估算 典例8：若是的算术平方根，是的小数部分，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的概念和无理数的估算，根据算术平方根的概念和无理数的估算求出，即可，熟练掌握算术平方根的概念和无理数的估算是解题的关键． 【详解】解：∵是的算术平方根， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，勾股定理的应用，无理数的估算等知识．熟练掌握数轴上两点之间的距离，勾股定理的应用，无理数的估算是解题的关键． 由的坐标为，可求，则点的横坐标为，由，可求． 【详解】解：∵的坐标为， ∴， ∴点的横坐标为， ∵， ∴，即， 故选：B． 【变式2】把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，估算无理数的大小即可得出答案，估算无理数的大小是解题的关键． 【详解】解：∵，∴不符合题意， ∵，∴符合题意， ∵，∴不符合题意， ∵，∴不符合题意， 故答案为：． 【变式3】任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如 现对 72进行如下操作：，这样对72 只需进行3 次操作后变为1，类似地，(1)对85只需进行 次操作后变为1；(2)只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】 3 255 【分析】本题考查了估算无理数的大小，根据新运算依次求出即可，能求出每次的值是解此题的关键． 【详解】解：，，， 故对85只需进行3次操作后变为1， ， ， 故只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是， 故答案为：3；255． 考点9：无理数——整数、小数部分问题 典例9：先阅读下面的文字，然后解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，因为的整数部分是1，差就是小数部分． 由此我们还可以得到一个真命题：如果，其中x是整数，那么， 请解答下列问题： (1)如果，其中是整数， 且，那么 ， ； (2)已知，其中是整数， 且，求的值． 【答案】(1)3， (2) 【分析】此题考查了估算无理数的大小， 解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题 ． （1） 估算出，可得，依此即可确定出，的值； （2） 根据题意确定出与的值， 代入求出即可 ． 【详解】（1）解：，其中是整数， 且， ， ， ，， 则； （2）解：，其中是整数， 且， ，， 则． 【变式1】请回答下列问题： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么__________，____________． (2)是的小数部分，是的整数部分，求____________，____________． (3)求的立方根． 【答案】(1)2；3 (2)；3 (3)2 【分析】本题考查无理数的估算及立方根的定义，结合已知条件求得对应字母的值是解题的关键． （1）估算出在哪两个连续整数之间即可； （2）结合（1）中所求，估算出，分别在哪两个连续整数之间即可求得，的值； （3）将，的值代入中计算后，根据立方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）， ， 介于连续的两个整数和之间，且， ，， 故答案为：2；3； （2）， ，， 则，， 故答案为：；3； （3）结合（2）可得， 故的立方根为：2． 【变式2】下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记． 无理数的估算： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分 例如： ∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分是 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为______． (2)任务二：a为 的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：其中x是整数，且求的相反数． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，相反数，掌握“逐步逼近”的方法是解题的关键． （1）根据“逐步逼近”的方法，结合算术平方根的意义可得答案； （2）根据，可求得a值，根据，可求得b值，代入即可求解； （3）根据，其中x是整数，且可求得，，代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的小数部分为． （2）解：∵，即， ∴的小数部分为，即； ∵，即， ∴的整数部分为3，即； ∴． （3）解：∵ ∴ ∵其中x是整数，且 ∴，， ∴的相反数． 【变式3】阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来来表示的小数部分，小明的表示方法是有道理的，因为，将这个数减去其整数部分，差就是，又例如∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，则的值． (3)已知x是的整数部分，y是其小数部分，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值，能估算出无理数的大小是解此题的关键． （1）先估算出的范围，再求出即可； （2）先估算出和的范围，再求出、的值，最后求出代数式的值即可； （3）先求出的范围，再求出、的值，最后代入求出即可． 【详解】（1）解： ， ， 的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解： ，， ，， ，， ； （3）解：， ， ， ，， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$