专题02 全等三角形的判定（1）【八大考点+知识串讲】-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

专题02 全等三角形的判定（1） 考点类型 知识串讲 （一）全等三角形的判定——SSS （1）SSS:如果两个三角形由三边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边边边”或简记为（SSS） （2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如: 图12-2-5 在△ABC和△A′B′C′中, AB=A′B′ BC=B′C′ AC=A′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). （二）全等三角形的判定——SAS （1）SAS:如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边角边”或简记为（SAS） （2）书写格式:如图12-2-6所示,在列举两个三角形全等的条件时,一般把夹角写在中间,以突出两边及其夹角对应相等,如: 图12-2-6 在△ABC和△ABC′中, AB=A′B′ ∠A=∠A AC=A′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). （3）特别提醒:①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满 足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的 顺序. ②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等 （三）尺规作图 （1）作一条线段等于已知线段 已知：线段，作一条线段，？ 作法：①用直尺画射线 ②用圆规在射线上截取 ∴线段AB即为所求 （2）作一个角等于已知角 已知： 求作： 作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA与点D，交OB于点E； ②作射线 ③以为圆心,OD长为半径画弧,交于点 ④以为圆心,ED长为半径画弧，交上一步所画的弧与 ⑤过作射线,为所求 考点训练 考点1：用SSS证明三角形全等 典例1：如图，，，，求证：． 【变式1】如图，点A，F，C，D在同一条直线上，，，，和全等吗？请说明理由． 【变式2】已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．    (1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【变式3】如图，在和中，，且点在同一条直线上．求证：．    考点2：全等的性质与SSS综合 典例2：如图，已知，，． 求证： (1)； (2)，． 【变式1】如图所示，，，，是上两点，且． (1)试说明； (2)请你判断与的位置关系，并说明理由． 【变式2】如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式3】如图，点，在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 考点3：用SAS证明三角形全等 典例3：如图，，交于点，且，．求证：． 【变式1】如图，，，，，直线与交于点F，交于点G，连接．求证：． 【变式2】如图，，请添加一个条件，使． (1)你添加的条件是______（只需添加一个条件）； (2)利用（1）中添加的条件，求证：． 【变式3】如图，F、C是上两点，且，点E、F、G在同一直线上，且，．求证：    考点4：全等性质与SAS综合 典例4：已知：如图，在中，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)试猜想有何特殊位置关系，并证明． 【变式1】如图，和中，，，边与边交于点不与点，重合，点，在异侧． (1)若，，求的度数； (2)当，，，时，设，请用含的式子表示，并写出的最大值． 【变式2】如图，在中，、分别是的高，在上取一点，使，在的延长线上取一点，使，连接与． (1)求证：； (2)判断与的位置关系并证明你的结论． 【变式3】如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 考点5：尺规作图——作边 典例5：如图，直线上有A、B、C三点，用圆规以A为圆心，线段长为半径画弧，再以B为圆心，同样长度为半径画弧，两条弧相交于点D．请按要求完成如下步骤． 步骤1：在直线上，能用现有字母表示出来的射线共有______条； 步骤2：分别在图中画出直线、射线和线段； 步骤3：画图后，图中一定相等的线段是______（只写一组即可）； 步骤4：请比较，______（填“”，“”或“”），你这样判断的依据是______． 【变式1】尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） 如图，已知，点在射线上， (1)在上取一点，使； (2)作． 【变式2】尺规作图题：如图，已知线段、，按以下要求画线段（不写作法，保留作图痕迹） (1)作． (2)作． 【变式3】如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图，填空： (1)画直线； (2)连接； (3)延长至D，使得； (4)在直线l上确定点E，使得最小，请写出你作图的依据 ． 考点6：尺规作图——作角 典例6：如图，蝶湖的湖心有一个小岛C，小明同学想知道湖边一点A与小岛C的距离．设计方案如下：①画线段；②画射线，使；③画射线，使，射线与射线交于点D；④测量出线段的长m； 由此就可以知道景点A与小岛C的距离． (1)请你完成设计方案③：画射线，使，射线与射线交于点D；（保留作图痕迹，不需要写作法） (2)这个方法是否可行？请说明理由． 【变式1】如图，在中，，，过点C作，连接． (1)基本尺规作图：作，交线段于点F（保留作图疯迹）； (2)求证：． 解：∵， ∴________ ∵ ∴ 在和中 ∴， ∴（_______） 【变式2】如图，已知三角形，点E是上一点． (1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数． 【变式3】已知，，点为边上一点． (1)求作：线段，使得交于点；（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明，必须作答） (2)在（1）的条件下，连接，若平分，且，求的度数． 考点7：尺规作图——作三角形 典例7：如题图，已知． (1)请根据“”作，使，其中点D在右侧，且（要求：尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）： (2)若，比的2倍小，求的度数． 【变式1】已知，线段m，n． (1)求作：，使得，，．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明，必须作答）； (2)若的度数是的2倍，求的度数． 【变式2】如图，已知凸五边形中，，为其对角线，， (1)如图，若，在五边形的外部，作，（不写作法，只保留作图痕迹），并说明点，，三点在同一直线上； (2)如图，若，，且，求证：平分． 【变式3】如图，已知△ABC，用无刻度的直尺和圆规按以下要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图①中作△BCD，使其面积与△ABC的面积相等（作出一个满足条件的即可）； (2)在图②中作△BCE，使其面积是△ABC面积的2倍（作出一个满足条件的即可）． 考点8：尺规作图与全等综合 典例8：已知：如图1，在中，．求作：射线，使得． 下面是小明设计的尺规作图过程． 作法：如图2， ①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于，两点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点； ④作射线．所以射线就是所求作的射线． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接，． ，，． __________， __________， （__________）（填推理的依据）． 【变式1】综合与实践：在综合实践课上，老师让同学们在已知三角形的基础上，经过画图，探究三角形边之间存在的关系．如图，已知点在的边的延长线上，过点作且，在上截取，再作交线段于点．    实践操作 （1）尺规作图：作出符合上述条件的图形； 探究发现 （2）勤奋小组在作出图形后，发现，，请说明理由； 探究应用 （3）缜密小组在勤奋小组探究的基础上，测得，，求线段的长． 【变式2】如图，已知点D是射线上一点且 (1)过点E作的平行线； (2)若，求的度数． 【变式3】求证：全等三角形对应中线相等. 要求：①根据给出的及线段，已知，以线段为一边，在给出的图形上用尺规作出，不写作法，保留作图痕迹； ②若点分别是两个三角形的边上的中点连接，据此写出已知、求证和证明过程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形的判定（1） 考点类型 知识串讲 （一）全等三角形的判定——SSS （1）SSS:如果两个三角形由三边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边边边”或简记为（SSS） （2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如: 图12-2-5 在△ABC和△A′B′C′中, AB=A′B′ BC=B′C′ AC=A′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). （二）全等三角形的判定——SAS （1）SAS:如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边角边”或简记为（SAS） （2）书写格式:如图12-2-6所示,在列举两个三角形全等的条件时,一般把夹角写在中间,以突出两边及其夹角对应相等,如: 图12-2-6 在△ABC和△ABC′中, AB=A′B′ ∠A=∠A AC=A′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). （3）特别提醒:①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满 足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的 顺序. ②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等 （三）尺规作图 （1）作一条线段等于已知线段 已知：线段，作一条线段，？ 作法：①用直尺画射线 ②用圆规在射线上截取 ∴线段AB即为所求 （2）作一个角等于已知角 已知： 求作： 作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA与点D，交OB于点E； ②作射线 ③以为圆心,OD长为半径画弧,交于点 ④以为圆心,ED长为半径画弧，交上一步所画的弧与 ⑤过作射线,为所求 考点训练 考点1：用SSS证明三角形全等 典例1：如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角的判定，由，可证，再利用“”证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【变式1】如图，点A，F，C，D在同一条直线上，，，，和全等吗？请说明理由． 【答案】全等，理由见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定．先证明，然后利用证明即可． 【详解】解：全等． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴． 【变式2】已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．    (1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)①②③或①③④（写出一种情况即可） (2)见解析 【分析】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③； 或者选择的条件为：①③④； （2）证明：当选择的条件为①②③时， ， ， 即， 在和中， ， ； 当选择的条件为①③④时， ， ， 即， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 【变式3】如图，在和中，，且点在同一条直线上．求证：．    【答案】见解析 【分析】由可得，然后利用证明即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 考点2：全等的性质与SSS综合 典例2：如图，已知，，． 求证： (1)； (2)，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． （1）根据证明即可； （2）根据，得出，，根据平行线的判定方法即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 在和中，， ∴． （2）证明：由（1）可得， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【变式1】如图所示，，，，是上两点，且． (1)试说明； (2)请你判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）先证明，然后结合已知条件即可证明； （2）根据，得出，根据内错角相等，两直线平行即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴； （2）证明：，理由如下， ∵， ∴， ∴． 【变式2】如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键. （1）先证明，再结合已知条件可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论. 【详解】（1）证明：∵ ∴，即 ∵， ∴ （2）∵，， ∴， ∵， ∴ 【变式3】如图，点，在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形的内角和定理的应用； （1）首先根据可得，再根据，可得出，即可判定； （2）首先根据（1）中两三角形全等，可得，在中根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， ， 即， 在和中， ， ∴． （2） ，，，， ， ． 考点3：用SAS证明三角形全等 典例3：如图，，交于点，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，先由两直线平行，内错角相等得到，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 【变式1】如图，，，，，直线与交于点F，交于点G，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据垂直的定义得到，由角的和差得到，即可得到结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 【变式2】如图，，请添加一个条件，使． (1)你添加的条件是______（只需添加一个条件）； (2)利用（1）中添加的条件，求证：． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理，垂直的定义．解题的关键是正确寻找判定三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题． （1）由题意得到，推出，，再根据判定定理得添加一个条件为，即可使； （2）根据三角形全等的判定定理证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 由得添加一个条件为， 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：， ， ， 即， 在和中， ， ． 【变式3】如图，F、C是上两点，且，点E、F、G在同一直线上，且，．求证：    【答案】见解析 【分析】根据，得出，根据，得出，即可根据证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，全等三角形的判定方法有：，熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键． 考点4：全等性质与SAS综合 典例4：已知：如图，在中，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)试猜想有何特殊位置关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，推出，即可； 【详解】（1）证明：∵ ∴ 即， 又∵， ∴． （2）． 证明如下：由（1）知， ∴． ∵， ∴． ∴． 即． ∴． 【变式1】如图，和中，，，边与边交于点不与点，重合，点，在异侧． (1)若，，求的度数； (2)当，，，时，设，请用含的式子表示，并写出的最大值． 【答案】(1) (2)，1.6 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． （1）根据证明与全等，进而解答即可； （2）根据当时，最小，最大，进而利用三角形面积公式解答即可． 【详解】（1）在与中， ， ， ， ， ， ，， ； （2）， ， ，，， 当时，最小，最大，， ， 可得：， 当最小时， 【变式2】如图，在中，、分别是的高，在上取一点，使，在的延长线上取一点，使，连接与． (1)求证：； (2)判断与的位置关系并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）由同角的余角相等得到一对角相等，再由已知两对边相等，利用即可得证； （2）与垂直，理由为：根据（1）的结论得到，，利用等角的余角相等即可得证． 【详解】（1）证明：， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：，理由为： 由（1）得，， ， 则． 【变式3】如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形判定与性质，能证明出是解题的关键． （1）先用证明，从而得到，继而得证； （2）由全等三角形的性质得出，从而得到，再由已知解得，从而得解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 考点5：尺规作图——作边 典例5：如图，直线上有A、B、C三点，用圆规以A为圆心，线段长为半径画弧，再以B为圆心，同样长度为半径画弧，两条弧相交于点D．请按要求完成如下步骤． 步骤1：在直线上，能用现有字母表示出来的射线共有______条； 步骤2：分别在图中画出直线、射线和线段； 步骤3：画图后，图中一定相等的线段是______（只写一组即可）； 步骤4：请比较，______（填“”，“”或“”），你这样判断的依据是______． 【答案】4；见解析；；；三角形两边和大于第三边 【分析】本题主要考查基本作图，射线，线段和直线的画法以及线段的大小比较，运用相关知识进行解答即可 【详解】解：在直线上，能用现有字母表示出来的射线共有4条；射线，射线，射线，射线； ； 如图，直线、射线、线段即为所求； 画图后，图中一定相等的线段是； ，判断的依据是两点之间，线段最短； 故答案为：4；见解析；；；两点之间，线段最短 【变式1】尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） 如图，已知，点在射线上， (1)在上取一点，使； (2)作． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了尺规作图—基本作图，熟练掌握基本作图方法是解此题的关键． （1）以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则线段即为所作； （2）根据作一个角等于已知角的作法画图即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所作， ； （2）解：如图，即为所作， ． 【变式2】尺规作图题：如图，已知线段、，按以下要求画线段（不写作法，保留作图痕迹） (1)作． (2)作． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作线段，线段的和差； （1）作线段，则； （2）作线段，作线段，则 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求 （2）解：线段即为所求 【变式3】如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图，填空： (1)画直线； (2)连接； (3)延长至D，使得； (4)在直线l上确定点E，使得最小，请写出你作图的依据 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析，两点之间，线段最短 【分析】本题主要考查了画直线，射线和线段，两点之间，线段最短： （1）根据直线的画图方法画图即可； （2）根据线段的画图方法画图即可； （3）根据线段的尺规作图方法作图即可； （4）根据两点之间，线段最短可知直线与直线l的交点E即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求； （3）解：如图所示，点D即为所求； （4）解：如图所示，直线与直线l的交点E即为所求，依据是：两点之间，线段最短． 考点6：尺规作图——作角 典例6：如图，蝶湖的湖心有一个小岛C，小明同学想知道湖边一点A与小岛C的距离．设计方案如下：①画线段；②画射线，使；③画射线，使，射线与射线交于点D；④测量出线段的长m； 由此就可以知道景点A与小岛C的距离． (1)请你完成设计方案③：画射线，使，射线与射线交于点D；（保留作图痕迹，不需要写作法） (2)这个方法是否可行？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)方案可行，见解析 【分析】（1）根据尺规作图，作一个角等于已知角画图即可． （2）根据三角形全等的判定定理判定，说明这个方法可行即可． 本题考查了尺规作图和三角形全等的判定应用，熟练掌握作图，三角形全等的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，作图如下： 则点D即为所求． （2）方法可行．理由如下： ∵， ∴ ∴． 故方法可行． 【变式1】如图，在中，，，过点C作，连接． (1)基本尺规作图：作，交线段于点F（保留作图疯迹）； (2)求证：． 解：∵， ∴________ ∵ ∴ 在和中 ∴， ∴（_______） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据运用作相等角的作图方法画图即可； （2）根据平行线的性质可推出①及②，再根据全等三角形的判定定理和性质可得③④． 【详解】（1）解：如图：即为所求； （2）解：∵ ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴（全等三角形的对应边相等）． 【变式2】如图，已知三角形，点E是上一点． (1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数． 【答案】(1)作图见解析过程 (2) 【分析】本题主要考查了作图-基本作图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义以及相等角的尺规作图是解答本题的关键． （1）如图所示，作交于，根据同位角相等，两直线平行，即可说明平行，则点即为所求； （2）根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1所示，作，交于，点即为所求； （2）如图2，连接， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式3】已知，，点为边上一点． (1)求作：线段，使得交于点；（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明，必须作答） (2)在（1）的条件下，连接，若平分，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—复杂作图、平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）结合平行线的判定，作，交于点，则线段即为所求． （2）由角平分线的定义可得．由平行线的性质可得，进而可得．再结合三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：如图，作，交于点， 则， 则线段即为所求． （2）解：平分， ． ， ， ， ． ， ． 考点7：尺规作图——作三角形 典例7：如题图，已知． (1)请根据“”作，使，其中点D在右侧，且（要求：尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）： (2)若，比的2倍小，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以点B为圆心，任意长度为半径作弧，分别交、于点E、F，再以点C为圆心，相同的半径作弧，交于点G，以点G为圆心，为半径作弧，交另一条弧于点O，连接并延长，再以点C为圆心，为半径作弧，交射线于点D，即可得，，连接，再利用“” ，即可求解； （2）由题意得，根据三角形内角和定理可得，求得，从而可得，由（1）可得，，即可求解． 【详解】（1）解：以点C为顶点，为的一条边，作，， 在和中， ， ∴． （2）解：∵比的2倍小， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴． 【点睛】本题考查作图−三角形、全等三角形的判定、三角形内角和定理及解一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定和作三角形方法是解题的关键． 【变式1】已知，线段m，n． (1)求作：，使得，，．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明，必须作答）； (2)若的度数是的2倍，求的度数． 【答案】(1)作图见解析； (2)． 【分析】（1）先作于A，再在上截取，然后以点为圆心，为半径画弧交于，则满足条件； （2）根据三角形内角和定理得到，则，然后解方程即可． 【详解】（1）解；如图，为所作； （2）解：， 而，， ． ． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图、三角形内角和定理，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【变式2】如图，已知凸五边形中，，为其对角线，， (1)如图，若，在五边形的外部，作，（不写作法，只保留作图痕迹），并说明点，，三点在同一直线上； (2)如图，若，，且，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作出图形，由，及，可得出，即可证得，点在同一直线上； （2）延长到，使得，连接.证明，可得结论． 【详解】（1）解：如图作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，点在同一直线上， （2）延长到，使得，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即平分. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型. 【变式3】如图，已知△ABC，用无刻度的直尺和圆规按以下要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图①中作△BCD，使其面积与△ABC的面积相等（作出一个满足条件的即可）； (2)在图②中作△BCE，使其面积是△ABC面积的2倍（作出一个满足条件的即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）延长BA，过点A作的等角，得到BC平行线l，D为l上任意一点，连接BD，CD即可 （2）在BA延长线上取，连接CE即可 【详解】（1）如图①，△BCD即为所求 （2）如图②，△BCE即为所求 【点睛】本题考查三角形面积问题；小问1是等底等高时面积相等，小问2是等底或等高时面积比等于高之比或底之比 考点8：尺规作图与全等综合 典例8：已知：如图1，在中，．求作：射线，使得． 下面是小明设计的尺规作图过程． 作法：如图2， ①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于，两点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点； ④作射线．所以射线就是所求作的射线． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接，． ，，． __________， __________， （__________）（填推理的依据）． 【答案】（1）见解析；（2），，同位角相等两直线平行 【分析】（1）根据要求作出图形即可． （2）利用全等三角形的性质证明即可． 【详解】解：（1）如图，射线即为所求作． （2）连接，． ，，． ， ， （同位角相等两直线平行）． 故答案为：，，同位角相等两直线平行． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式1】综合与实践：在综合实践课上，老师让同学们在已知三角形的基础上，经过画图，探究三角形边之间存在的关系．如图，已知点在的边的延长线上，过点作且，在上截取，再作交线段于点．    实践操作 （1）尺规作图：作出符合上述条件的图形； 探究发现 （2）勤奋小组在作出图形后，发现，，请说明理由； 探究应用 （3）缜密小组在勤奋小组探究的基础上，测得，，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）线段的长为9 【分析】（1）以为圆心，任意为半径画弧，交于 ,以为圆心，同等长为半径画弧,交于,以为圆心，为半径，与前弧交于,连接并延长至,以为圆心，长为半径，与交于，以为圆心，任意长为半径画弧交于点 ,以为圆心，同等长为半径，交于，以为圆心，长为半径交前弧于,连接并延长交于; 　 （2）根据平行和（1）中作的图证明，根据全等得出对应边相等、再根据对应角相等得出平行； （3）由（2）的全等得出，再根据线段之间的关系算出． 【详解】（1）以为圆心，任意为半径画弧，交于 ,以为圆心，同等长为半径画弧,交于,以为圆心，为半径，与前弧交于,连接并延长至,以为圆心，长为半径，与交于，以为圆心，任意长为半径画弧交于点 ,以为圆心，同等长为半径，交于，以为圆心，长为半径交前弧于,连接并延长交于，如图为所求图形：    （2）理由如下： 在和中， ∴． ∴，． ∴． （3）由（2）得，． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴线段的长为9． 【点睛】本题考查尺规作图和全等三角形的性质和判定，熟练掌握尺规作图和全等三角形的边角代换是解题关键． 【变式2】如图，已知点D是射线上一点且 (1)过点E作的平行线； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查作平行线，平行线的判定与性质，熟练掌握尺规基本作图-作一个角等于已知角，平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用尺规基本作图-作一个角等于已知角，在一上，作即可； （2）分情况讨论，当点F在上方时，利用平行线的性质求出，再利用求解即可；当点F在下方时，利用邻补角的性质即可求解． 【详解】（1）解：以点O为圆心任意为半径画弧，交、于M、N，半径不变，以点E为圆心画弧，交于点P，再以点P为圆心长为半径画弧形，与前弧相交于F，过作直线即可． 如图所示，直线就是所要求作的直线， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图， 当点F在上方时， ， ， ． ， ； 当点F在下方时，． 【变式3】求证：全等三角形对应中线相等. 要求：①根据给出的及线段，已知，以线段为一边，在给出的图形上用尺规作出，不写作法，保留作图痕迹； ②若点分别是两个三角形的边上的中点连接，据此写出已知、求证和证明过程. 【答案】①如解图所示即为所求作图形；见解析；②见解析. 【分析】①用尺规作图作∠A’=∠A，∠B’=∠B，根据ASA可判断； ②题设即为已知，结论即为求证. 【详解】解:①如解图所示即为所求作图形: 作法：以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；以点为圆心，AE长为半径画弧，交于点，以点为圆心，EF长为半径画弧，交前弧于点，连接，则，同理，作出，两组角在上方交于点，则即为所求作图形. ②如解图. 已知：，分别为的中点，连接. 求证：. 证明：， . 分别为的中点， ，， . 【点睛】本题考查尺规作图、三角形全等的判定和性质，突破此类问题的关键是五种基本尺规作图、全等三角形的性质及判定. 错因分析：1.对尺规作图的方法运用不灵活；2.对三角形的全等的判定和性质理解不透彻，难度属于中等题. 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