专题04 有理数加减法【九大考点+知识串讲】-2024-2025学年七年级数学上册重难考点强化训练（北师大版2024）

专题04 有理数加减法 考点类型 知识一遍过 （一）有理数加法法则 （1）同号两数相加；取相同的符号，并把绝对值相加。 数学表示：若a>0、b>0，则a+b=|a|+|b|； 若a<0、b<0，则a+b=-(|a|+|b|)； （2）异号两数相加，绝对值相等（相反数）时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值。 数学表示：若a>0、b<0，且|a|>|b|则a+b=|a|-|b|； 若a>0、b<0，则a+b=|b|-|a|； （3）任何一个数同0相加，和仍等于本身。 （二）有理数加法运算定律 （1）加法交换律：a + b = b + a（2）加法结合律：（a + b）+ c = a +（b + c） （三）有理数减法法则 （1）法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+（-b），这里a、b表示任意有理数。 （2）步骤：①变减为加，把减数的相反数变成加数；②按照加法运算的步骤去做。 【注意减法运算2个要素发生变化】：减号变成加号；减数变成它的相反数 （四）有理数加减混合运算 有理数加减混合运算：方法一（变减为加、再运用加法法则）；方法二（变成无括号式子，再加减） 考点一遍过 考点1：有理数加法——基础运算 典例1：计算的结果是 ． 【变式1】计算的结果是 ． 【变式2】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 考点2：有理数加法——符号问题 典例2：用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 【变式1】如图所示 （1）|a＋b|＝ （2）|a＋c|＝ ． 【变式2】1．如果，且，则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c均为负数 【变式3】已知有理数a、b、c，且、，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 考点3：有理数加法——实际应用 典例3：纽约与北京的时差为，李伯伯在北京乘坐早晨的航班飞行20h到达纽约，那么李伯伯到达时，纽约时间是 （甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之差，如当北京时间为，东京时间为，巴黎时间为，那么东京与北京的时差为h，巴黎与北京的时差为h）． 【变式1】一辆巡逻车从A地出发，在东西向的笔直的马路上巡视，中午到达B地，若规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下表（单位：千米），则B地在A地的 边（填“东”或“西”）． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 【变式2】我国某次军事演习中，一艘核潜艇的初始位置在海平面下，规定核潜艇上升记为“＋”，下降记为“－”，下面是这艘核潜艇在某段时间内的运动情况：．（单位：） (1)最后这艘核潜艇停留的位置在海平面下多少米？ (2)如果这艘核潜艇每上升或下降，核动力装置所提供的能量相当于汽油燃烧所产生的能量，那么在这艘核潜艇运动的这段时间内，核潜艇动力装置提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？ 【变式3】2023年国庆节、中秋放假八天，高速公路免费通行，各地风景区游人如织，其中闻名于世的黄果树瀑布，在9月29日的游客人数就已经达到了5万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化（单位：万人）如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 人数变化 (1)求这8天到黄果树瀑布游玩的总人数； (2)如果你们一家人打算在下一个国庆节游玩黄果树瀑布，请根据今年表格中的数据对你们的出行日期提一个建议． 考点4：有理数加法——运算定律 典例4：用适当的方法计算： (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 解： ； 【变式2】阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【变式3】用适当方法计算： (1) (2) (3) 考点5：有理数减法——基础运算 典例5：计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】计算： (1) (2) (3) (4)． 【变式3】计算： (1) (2)； (3) (4) 考点6：有理数减法——实际应用 典例6：小颖暑假与妈妈在某平台上直播销售葡萄，7月21日结束时还剩葡萄16箱，后续5天的直播销售，其库存葡萄的进出情况如下表（购进记作“＋”，卖出记作“－”）： 时间 7月22日 7月23日 7月24日 7月25日 7月26日 购进 54 52 40 64 0 卖出 30 a 50 52 22 与前一天相比（增加记作“＋”，减少记作“－”） ＋24 ＋16 －10 ＋12 b (1)直接写出a，b的值： ______， ______． (2)请通过计算，求出哪一天直播销售葡萄结束时库存葡萄的数量最多． 【变式1】周日，小亮与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计枚）．回家后他仔细地看了标签和包装盒上的有关说明，然后把6枚月饼的质量称重后统计列表如下（单位：克）： 第枚 1 2 3 4 5 6 质量 (1)小亮为了简化运算，选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，他把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出下表（不完整）．请把下列表格补充完整： 第枚 1 2 3 4 5 6 质量 ___________ ___________ ___________ (2)小亮看到包装说明上标记的总质量为克，他告诉妈妈买的月饼在总质量上是合格的．你知道为什么吗？请通过计算说明． 【变式2】北京等5个城市的国际标准时间（单位：小时）可在数轴上表示如下： 如果将两地国际标准时间的差简称为时差，那么下面有四名学生是这么计算的： 学生1：汉城与纽约的时差为小时     学生2：汉城与多伦多的时差为小时 学生3：北京与纽约的时差为小时     学生4：北京与多伦多的时差为小时 请同学们帮他们判断一下哪位同学计算的结果是正确的，写出过程． 【变式3】某地今年十一黄金周期间动车站的客流量统计表（每天以6万人次为基准，超出记为正，不足记为负）． 日期 9月29日 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 客流量/万人次 (1)10月5日这一天的实际客流量是 万人次；该动车站客流量最多的一天是 日，这一天的实际客流量是 万人次； (2)若规定该动车站客流量比前一天上升为正，例如9月29日客流量比9月28日上升万人次记为“”．则该动车站的客流量新的统计表如下表： 日期 9月29日 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 客流量/万人次 ①9月28日的实际客流量是 万人次； ②请补全十一黄金周期间动车站的客流量新的统计表． 考点7：有理数加减法——混合运算 典例7：计算下列各式： (1) (2) (3) (4) 【变式1】计算 (1)； (2)； (3)； (4) 【变式2】在求的值时，若调整各加数的顺序再进行计算，便可很容易得到这些加数的和．具体方法如下： 假设① 又有② ①②得 所以 类比计算 (1) (2) 【变式3】对有理数a，b定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ，，，，，，，，…… (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得__________，异号得__________，并把绝对值__________；一个数与0相“乘加”等于__________； (2)根据法则计算：__________；__________； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： ① ② 考点8：有理数加减法——简便运算 典例8：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【变式1】计算下列各题 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． (4)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点9：有理数加减法——实际运用 典例9：阅读下面材料： 小明在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的个数：，，，，，称为数列：，，，，其中为整数且． 定义． 例如，若数列：，，，，，则． 根据以上材料，回答下列问题： (1)已知数列：，，，求； (2)已知数列：，，，，其中，，，，为个互不相等的整数，且，，，直接写出满足条件的数列； (3)已知数列：，，，，中个数均为非负数，且，直接写出的最大值和最小值，并说明理由． 【变式1】有10筐苹果，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正负数来表示 与标准质量的差值（单位：千克） 0 1 筐数 1 2 1 2 1 3 (1)10筐苹果中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，10筐苹果总计超过或不足多少千克？ (3)若苹果每千克售价元，则出售这10筐苹果可卖多少元？（结果保留整数） (4)该果园实行采摘计千克工资制，每采摘1千克苹果元，超额部分每千克奖励元，那么应付采摘10筐苹果工人的工资总额是多少元？ 【变式2】一年一度的“双十一”全球购物节完美收官，来自全国各地的包裹陆续发到本地快递公司，一快递小哥骑三轮摩托车从公司P出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如表（我们约定向东为正，向西为负，单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 －2 ＋7 －9 ＋10 ＋4 －5 －8 (1)快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司P的哪个方向上？距离公司P多少千米？ (2)在第______次记录时快递小哥距公司P地最远； (3)如果每千米耗油0.08升，每升汽油需7.2元，那么快递小哥投递完所有包裹需要用汽油费多少元？（精确到1元） 【变式3】精美的点心是来自爱的滋养．高要区七年级劳动课，开展创意点心制作比赛活动．按比赛要求，点心的规格做了有关说明．小龙制作了一盒精美点心（共计枚）．现在他把枚点心质量称重后统计列表如下：（单位：克） 第枚 质量 (1)为了简化运算，小龙依据比赛的标准质量，他把超出部分记为正，不足部分记为负，列出下表（数据不完整），请你把表格补充完整： 第1枚 质量 (2)按照比赛说明上标记，一盒点心的总质量合格标准为（）克．那么，小龙制作的这盒点心的实际总质量是合格的．你知道为什么吗？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 有理数加减法 考点类型 知识一遍过 （一）有理数加法法则 （1）同号两数相加；取相同的符号，并把绝对值相加。 数学表示：若a>0、b>0，则a+b=|a|+|b|； 若a<0、b<0，则a+b=-(|a|+|b|)； （2）异号两数相加，绝对值相等（相反数）时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值。 数学表示：若a>0、b<0，且|a|>|b|则a+b=|a|-|b|； 若a>0、b<0，则a+b=|b|-|a|； （3）任何一个数同0相加，和仍等于本身。 （二）有理数加法运算定律 （1）加法交换律：a + b = b + a（2）加法结合律：（a + b）+ c = a +（b + c） （三）有理数减法法则 （1）法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+（-b），这里a、b表示任意有理数。 （2）步骤：①变减为加，把减数的相反数变成加数；②按照加法运算的步骤去做。 【注意减法运算2个要素发生变化】：减号变成加号；减数变成它的相反数 （四）有理数加减混合运算 有理数加减混合运算：方法一（变减为加、再运用加法法则）；方法二（变成无括号式子，再加减） 考点一遍过 考点1：有理数加法——基础运算 典例1：计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据减去一个数等于加上这个数的相反数运算即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 【变式1】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查有理数的加法，关键是根据绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值解答．根据有理数的加法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3)1.6 (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查有理数加法及绝对值，掌握其运算法则是解题关键． （1）根据加法法则，同号两数相加，取相同的符号，绝对值相加即可，计算即可； （2）根据加法法则，任何数与0相加仍得这个数，计算即可． （3）根据加法法则，异号两数相加，取绝对值较大数的符号，绝对值较大的数减去绝对值较小的数，计算即可； （4）根据加法法则，异号两数相加，取绝对值较大数的符号，绝对值较大的数减去绝对值较小的数，计算即可． （5）先去绝对值，再相加计算即可； （6）先去绝对值，再相加计算即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式； （3）解：原式， ； （4）解：原式， ； （5）解：原式， ； （6）解：原式 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4)100 (5) (6) 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算： （1）根据有理数的加法法则计算，即可求解； （2）根据有理数的加法法则计算，即可求解； （3）根据有理数的加法法则计算，即可求解； （4）根据有理数的加法运算律计算，即可求解； （5）根据有理数的加法运算律计算，即可求解； （6）根据有理数的加法法则计算，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： ； （4）解： ； （5）解： （6）解： 考点2：有理数加法——符号问题 典例2：用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 【答案】 【分析】（1）根据有理数的加法法则即可解答； （2）根据有理数的加法法则即可解答； （3）根据有理数的加法法则即可解答； （4）根据有理数的加法法则即可解答． 【详解】（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正． 故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负． 故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正． 故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负． 故答案为：； 【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【变式1】如图所示 （1）|a＋b|＝ （2）|a＋c|＝ ． 【答案】 ﹣a﹣b ﹣a﹣c 【分析】观察数轴可得a＜0，b＞0，c＜0，|a|＞|b|，可得到a+b＜0，a+c＜0． （1）再根据绝对值的性质，即可求解； （2）再根据绝对值的性质，即可求解． 【详解】解：由数轴知：a＜0，b＞0，c＜0，|a|＞|b|， 所以a+b＜0，a+c＜0． （1）所以|a+b|＝﹣（a+b）＝﹣a﹣b； （2）|a+c|＝﹣（a+c）＝﹣a﹣c． 故答案为：（1）﹣a﹣b；（2）﹣a﹣c． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，有理数与数轴，观察数轴得到a＜0，b＞0，c＜0，|a|＞|b|是解题的关键． 【变式2】1．如果，且，则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c均为负数 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，根据有理数的加法计算法则确定出a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号，是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故A． 【变式3】已知有理数a、b、c，且、，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法中的符号法则，根据有理数加法的符号法则：“同号相加，取相同的符号，再把绝对值相加，异号相加，取绝对值大的数的符号，再用大的绝对值减去小的绝对值，进行计算”，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴的符号可能同为负，也可能一正一负，且负数的绝对值大于正数的绝对值，或者一个为负，一个为0， ∵， ∴的符号可能同为正，也可能一正一负且正数的绝对值大于负数的绝对值，或者一个为正，一个为0， ∴不能确定a、b、c的大小关系， 故选D． 考点3：有理数加法——实际应用 典例3：纽约与北京的时差为，李伯伯在北京乘坐早晨的航班飞行20h到达纽约，那么李伯伯到达时，纽约时间是 （甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之差，如当北京时间为，东京时间为，巴黎时间为，那么东京与北京的时差为h，巴黎与北京的时差为h）． 【答案】 【分析】本题考查有理数运算的实际应用．根据题意，列出算式计算即可． 【详解】解：； 即：李伯伯到达时，纽约时间是 故答案为：． 【变式1】一辆巡逻车从A地出发，在东西向的笔直的马路上巡视，中午到达B地，若规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下表（单位：千米），则B地在A地的 边（填“东”或“西”）． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 【答案】西 【分析】本题主要考查有理数加法的应用，熟练掌握有理数的加法运算是解题的关键．根据题意算出两地的距离，然后进行比较即可． 【详解】解：， ∴B地在A地的西边， 故答案为：西． 【变式2】我国某次军事演习中，一艘核潜艇的初始位置在海平面下，规定核潜艇上升记为“＋”，下降记为“－”，下面是这艘核潜艇在某段时间内的运动情况：．（单位：） (1)最后这艘核潜艇停留的位置在海平面下多少米？ (2)如果这艘核潜艇每上升或下降，核动力装置所提供的能量相当于汽油燃烧所产生的能量，那么在这艘核潜艇运动的这段时间内，核潜艇动力装置提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？ 【答案】(1)615 (2)5325 【分析】本题考查正负数的意义和有理数加法的实际应用．熟练掌握正负数的意义和有理数加法法则，是解题的关键． （1）将所有数据相加，根据最终结果确定核潜艇处在什么位置； （2）将所有数据的绝对值相加，再即可得解． 【详解】（1）解： ； 答：核潜艇处在海平面下米位置； （2）解： (升)； 答：在这一时段内核动力装置所提供的能量相当于升汽油燃烧所产生的能量． 【变式3】2023年国庆节、中秋放假八天，高速公路免费通行，各地风景区游人如织，其中闻名于世的黄果树瀑布，在9月29日的游客人数就已经达到了5万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化（单位：万人）如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 人数变化 (1)求这8天到黄果树瀑布游玩的总人数； (2)如果你们一家人打算在下一个国庆节游玩黄果树瀑布，请根据今年表格中的数据对你们的出行日期提一个建议． 【答案】(1)万人 (2)见解析 【分析】本题主要考查了有理数加法运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． （1）先求出每天旅游的人数，然后再求出这8天的人数和即可； （2）根据题目中的数据进行解答即可． 【详解】（1）解：9月30日：（万人）； 10月1日：（万人）； 10月2日：（万人）； 10月3日：（万人）； 10月4日：（万人）； 10月5日：（万人）； 10月6日：（万人）； （万人）， 即这8天到黄果树瀑布游玩的总人数为万人； （2）解：由（1）可得在假期的后三天旅游人数开始下降，故可在10月4日到6日之间出行． 考点4：有理数加法——运算定律 典例4：用适当的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是掌握有理数的加法法则． （1）利用结合律简便计算法计算； （2）利用结合律简便计算法计算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则． （1）先算同分母分数，再相加即可求解； （2）先算同分母分数，再相加即可求解； （3）先算同分母分数，再相加即可求解． 【详解】（1） 解： ； （2） ； （3） ． 【变式2】阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1) (2)，过程见详解。 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． （1）根据有理数的加法法则计算； （2）参照（1）的解题思路解题即可． 【详解】（1）解：可以如下计算： 原式， 故答案为： （2）解： 【变式3】用适当方法计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据有理数加法运算法则计算即可； （2）根据有理数加法交换律和结合律计算即可； （3）根据有理数加法交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【点睛】本题考查有理数的加法运算，掌握运算法则是解题的关键，运用交换律和结合律可简化计算． 考点5：有理数减法——基础运算 典例5：计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)2 (3)21 (4) (5) (6)119 【分析】本题考查有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法法则进行计算即可； （2）根据有理数的减法法则进行计算即可； （3）根据有理数的减法法则进行计算即可； （4）根据有理数的减法法则进行计算即可 （5）根据有理数的减法法则进行计算即可； （6）根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的减法法则计算即可； （2）根据有理数的减法法则计算即可； （3）先计算括号内的减法，再计算括号外减法即可； （4）利用减法法则转化为加法，再进行加法计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式 【点睛】此题考查了有理数的加减法，熟练掌握有理数加减法法则是解题的关键． 【变式2】计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3)168 (4) 【分析】（1）根据减法法则，把减法转化为加法，能简算的简算即可完成． （2）根据减法法则，把减法转化为加法，能简算的简算即可完成． （3）根据减法法则，把减法转化为加法，能简算的简算即可完成． （4）根据减法法则，把减法转化为加法，能简算的简算即可完成． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的减法运算，减法法则关键是抓住两变：一是运算变，即减法变为加法；二是减数变为其相反数．易出错的是：部分学生忘记减数变为其相反数而导致出错． 【变式3】计算： (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】根据有理数减法运算法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，计算即可． 【详解】（1）解：原式＝； （2）原式＝； （3）原式＝； （4）原式＝． 【点睛】本题主要考查的是有理数减法运算，根据其法则将减法转化成加法运算，注意运算结果符号． 考点6：有理数减法——实际应用 典例6：小颖暑假与妈妈在某平台上直播销售葡萄，7月21日结束时还剩葡萄16箱，后续5天的直播销售，其库存葡萄的进出情况如下表（购进记作“＋”，卖出记作“－”）： 时间 7月22日 7月23日 7月24日 7月25日 7月26日 购进 54 52 40 64 0 卖出 30 a 50 52 22 与前一天相比（增加记作“＋”，减少记作“－”） ＋24 ＋16 －10 ＋12 b (1)直接写出a，b的值： ______， ______． (2)请通过计算，求出哪一天直播销售葡萄结束时库存葡萄的数量最多． 【答案】(1)36， (2)7月25日结束时库存葡萄数量最多，理由见解析 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）根据题意分别求出每天剩余葡萄的数量，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 故答案为：， （2）因为7月21日结束时还剩葡萄16箱， 所以7月22日结束时还剩葡萄（箱）， 7月23日结束时还剩葡萄（箱）， 7月24日结束时还剩葡萄（箱）， 7月25日结束时还剩葡萄（箱）， 7月26日结束时还剩葡萄（箱）． 所以7月25日结束时库存葡萄数量最多． 【点睛】本题考查了有理数加减运算的应用，正负数的意义，根据题意列出算式是解题的关键． 【变式1】周日，小亮与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计枚）．回家后他仔细地看了标签和包装盒上的有关说明，然后把6枚月饼的质量称重后统计列表如下（单位：克）： 第枚 1 2 3 4 5 6 质量 (1)小亮为了简化运算，选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，他把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出下表（不完整）．请把下列表格补充完整： 第枚 1 2 3 4 5 6 质量 ___________ ___________ ___________ (2)小亮看到包装说明上标记的总质量为克，他告诉妈妈买的月饼在总质量上是合格的．你知道为什么吗？请通过计算说明． 【答案】(1)，， (2)是合格的，见解析 【分析】（1）根据正负数的意义，用表格中的数据减去即可求解． （2）计算6枚月饼的总误差，总误差小于，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得标准质量为70克， ；， 故答案为：；；； （2）∵， ∴这盒月饼在总质量上是合格的． 【点睛】本题考查了正负数的应用，有理数的加减法的应用，掌握正负数的意义是解题的关键． 【变式2】北京等5个城市的国际标准时间（单位：小时）可在数轴上表示如下： 如果将两地国际标准时间的差简称为时差，那么下面有四名学生是这么计算的： 学生1：汉城与纽约的时差为小时     学生2：汉城与多伦多的时差为小时 学生3：北京与纽约的时差为小时     学生4：北京与多伦多的时差为小时 请同学们帮他们判断一下哪位同学计算的结果是正确的，写出过程． 【答案】学生2计算的结果正确，过程见解析 【分析】根据两点间的距离公式求解． 【详解】解：由数轴可知： 汉城与纽约的时差为小时，故学生1计算错误，不符合题意； 汉城与多伦多的时差为小时，故学生2计算正确，符合题意； 北京与纽约的时差为小时，故学生3计算错误，不符合题意； 北京与多伦多的时差为小时，故学生计算4错误，不符合题意． ∴学生2计算的结果正确． 【点睛】本题考查数轴，两点间的距离，有理数的减法．理解和掌握两点间的距离公式是解题的关键． 10月2日实际客流量是万人次， ∴10月2日比10月1日减少万人次， 故答案为：． 【变式3】某地今年十一黄金周期间动车站的客流量统计表（每天以6万人次为基准，超出记为正，不足记为负）． 日期 9月29日 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 客流量/万人次 (1)10月5日这一天的实际客流量是 万人次；该动车站客流量最多的一天是 日，这一天的实际客流量是 万人次； (2)若规定该动车站客流量比前一天上升为正，例如9月29日客流量比9月28日上升万人次记为“”．则该动车站的客流量新的统计表如下表： 日期 9月29日 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 客流量/万人次 ①9月28日的实际客流量是 万人次； ②请补全十一黄金周期间动车站的客流量新的统计表． 【答案】(1)，29， (2)①；② 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加减计算的实际应用： （1）根据正负数的意义分别计算出每一天的客流量即可得到答案； （2）①根据正负数的意义即可求出9月28日的实际客流量；②用10月2日的客流量减去10月1日的客流量即可得到答案． 【详解】（1）解：9月29日实际客流量是万人次， 9月30日实际客流量是万人次， 10月1日实际客流量是万人次， 10月2日实际客流量是万人次， 10月3日实际客流量是万人次， 10月4日实际客流量是万人次， 10月5日实际客流量是万人次， ∴10月5日这一天的实际客流量是万人次； 该动车站客流量最多的一天是29日，这一天的实际客流量是万人次； 故答案为：，29，； （2）解：①∵9月29日实际客流量是万人次， ∴9月28日实际客流量是万人次， 故答案为：； ②∵10月1日实际客流量是万人次， 考点7：有理数加减法——混合运算 典例7：计算下列各式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】计算 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合计算： （1）根据有理数的加法计算法则求解即可； （2）根据有理数的加减混合计算法则求解即可； （3）根据有理数的加减混合计算法则求解即可； （4）根据有理数的加减混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】在求的值时，若调整各加数的顺序再进行计算，便可很容易得到这些加数的和．具体方法如下： 假设① 又有② ①②得 所以 类比计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，本题是阅读型，熟练掌握解题的规律是解题的关键． （1）（2）利用题干中的方法解答即可． 【详解】（1）解：设 ∴ 得 ， ∴； （2）解：设 ∴ ∴ ， ∴． 【变式3】对有理数a，b定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ，，，，，，，，…… (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得__________，异号得__________，并把绝对值__________；一个数与0相“乘加”等于__________； (2)根据法则计算：__________；__________； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： ① ② 【答案】(1)正；负；相加；这个数的绝对值 (2)； (3)①；② 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题中给出的例子归纳法则是解题的关键． （1）根据题中给出的例子归纳出结论即可； （2）根据（1）中的“乘加法”进行计算即可； （3）根据（1）中的“乘加法”进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值． 故答案为：正；负；相加；这个数的绝对值． （2）解：； ． 故答案为：；． （3）解：， 故答案为：①；②． 考点8：有理数加减法——简便运算 典例8：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1）（2）（3）（4）（5） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算等知识点，灵活运用有理数的加减法可以解答本题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）直接根据有理数的加减混合运算运算法则求解即可； （2）直接根据有理数的加减混合运算运算法则求解即可； （3）直接根据有理数的加减混合运算运算法则求解即可； （4）直接根据有理数的加减混合运算运算法则求解即可； （5）直接根据有理数的加减混合运算运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） 【变式1】计算下列各题 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）去掉括号，原式可化为，根据有理数的加减运算，即可求解本题； （2）去掉括号，原式可化为，根据有理数的加减运算，即可求解本题； （3）去掉括号，然后将同分母分数结合，可得，即可求解； （4）去掉括号，将同分母分数结合，原式可化为，结合有理数的加减混合运算，即可求解本题． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键．熟练掌握加法的交换律和结合律是解答本题的关键． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3)6 (4) 【分析】（1）根据加法结合律先把互为相反数的两数相加，再依次计算； （2）首先利用符号法则对式子进行化简，然后进行加减运算即可； （3）首先进行同分母的分式的加减，然后对所得结果进行运算即可； （4）将带分数分为整数和分数分别进行计算，将分数进行变形，简化计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查的是有理数的加减混合运算，在解答此类题目时要注意各种运算律的灵活应用． 考点9：有理数加减法——实际运用 典例9：阅读下面材料： 小明在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的个数：，，，，，称为数列：，，，，其中为整数且． 定义． 例如，若数列：，，，，，则． 根据以上材料，回答下列问题： (1)已知数列：，，，求； (2)已知数列：，，，，其中，，，，为个互不相等的整数，且，，，直接写出满足条件的数列； (3)已知数列：，，，，中个数均为非负数，且，直接写出的最大值和最小值，并说明理由． 【答案】(1) (2)数列为：，，，；，，，；，，，； (3)的最大值为，最小值为． 【分析】本题考查了绝对值，有理数，准确理解题意，熟练掌握新定义是解题的关键． （1）根据定义，代入数据即可求出结论； （2）由题意可得，，在到之间，再根据为个互不相等的整数，求解即可； （3）由数列：，，，，中个数均为非负数，结合绝对值即可得出，即可得解． 【详解】（1）解：数列：，，， ； （2）数列：，，，中，，，， ，可看成条线段的长度和，如图所示： ， ，在到之间， ，，，，为个互不相等的整数， 数列为：，，，；，，，；，，，； （3）数列：，，，，中个数均为非负数， ，，，，， ， 即， 的最大值为，最小值为． 【变式1】有10筐苹果，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正负数来表示 与标准质量的差值（单位：千克） 0 1 筐数 1 2 1 2 1 3 (1)10筐苹果中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，10筐苹果总计超过或不足多少千克？ (3)若苹果每千克售价元，则出售这10筐苹果可卖多少元？（结果保留整数） (4)该果园实行采摘计千克工资制，每采摘1千克苹果元，超额部分每千克奖励元，那么应付采摘10筐苹果工人的工资总额是多少元？ 【答案】(1)千克 (2)不足1千克 (3)623元 (4)元 【分析】(1)用超出的最大重量减去不足的最小重量，计算即可． （2）求标准变化量的和，正，则超出；负，则不足计算即可． （3）用总重量乘以单价计算即可． （4）根据每采摘1千克苹果元，超额部分每千克奖励元，分类计算即可． 本题考查了有理数的加减乘除的混合运算，正确理解题意，明白变化量的意义，掌握正确的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，最重的一筐比最轻的一筐重（千克）． 即10筐苹果中，最重的一筐比最轻的一筐重千克． （2）根据题意，得（千克）． 即10筐苹果中，总重量不足1千克． （3）根据题意，得（千克）． 即10筐苹果中，总重量不足1千克． 故总重量为：（千克）． 故出售这10筐苹果可卖(元), 故出售这10筐苹果可卖元． （4）根据每采摘1千克苹果元，超额部分每千克奖励元， 列式，得 （元）． 应付采摘10筐苹果工人的工资总额是元． 【变式2】一年一度的“双十一”全球购物节完美收官，来自全国各地的包裹陆续发到本地快递公司，一快递小哥骑三轮摩托车从公司P出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如表（我们约定向东为正，向西为负，单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 －2 ＋7 －9 ＋10 ＋4 －5 －8 (1)快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司P的哪个方向上？距离公司P多少千米？ (2)在第______次记录时快递小哥距公司P地最远； (3)如果每千米耗油0.08升，每升汽油需7.2元，那么快递小哥投递完所有包裹需要用汽油费多少元？（精确到1元） 【答案】(1)在公司的西边，距离公司3千米； (2)五； (3)快递小哥工作一天需要用汽油费26元． 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的加减混合运算，关键是熟练掌握有理数相关知识． （1）利用有理数的加减法，求七个数的和，得出的数是正数，表示在公司东，是负数，就在公司西； （2）从第一个数开始，绝对值最大的就是最远距离； （3）首先算出走过的路，即各数的绝对值的和，乘以每千米耗油量，再乘以单价即可． 【详解】（1）（千米）， 答：最后一次投递包裹结束时快递小哥在公司的西边，距离公司3千米； （2）（千米） （千米）， （千米）， （千米）， （千米）， （千米）， （千米）， 第五次快递小哥距公司最远． 故答案为：五； （3） （千米） （升），≈26（元）， 答：快递小哥工作一天需要用汽油费26元． 【变式3】精美的点心是来自爱的滋养．高要区七年级劳动课，开展创意点心制作比赛活动．按比赛要求，点心的规格做了有关说明．小龙制作了一盒精美点心（共计枚）．现在他把枚点心质量称重后统计列表如下：（单位：克） 第枚 质量 (1)为了简化运算，小龙依据比赛的标准质量，他把超出部分记为正，不足部分记为负，列出下表（数据不完整），请你把表格补充完整： 第1枚 质量 (2)按照比赛说明上标记，一盒点心的总质量合格标准为（）克．那么，小龙制作的这盒点心的实际总质量是合格的．你知道为什么吗？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)见解析 【分析】本题考查了正数与负数、有理数的运算；正确列出算式并掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据标准质量为克，进行运算即可求得答案； （2）计算点心的总质量，判断是否在克的范围内，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得标准质量为（克）， 则第枚的质量为； 第枚的质量为； 第枚的质量为 （2）解： ， ∵， ∴这盒点心的实际总质量是合格的． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$