专题02 有理数乘除法【八大考点+知识串讲】-2024-2025学年七年级数学上册重难考点强化训练（人教版2024）

专题02 有理数乘除法 考点类型 知识一遍过 （一）有理数乘法 （1）有理数的乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 ②任何数同0相乘，都得0. ③倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。【注意】0没有倒数。（数的倒数是） （2）确定乘积符号： ①若a＜0,b＞0,则ab < 0 ; ②若a＜0,b＜0,则ab > 0 ; ③若ab＞0,则a、b同号 ④若ab＜0,则a、b异号 ⑤若ab = 0,则a、b中至少有一个数为0. （3）多个有理数相乘的法则及规律： ①几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数； 负因数的个数是偶数时，积是正数。确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。 ②几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0. [注意]在乘法计算时，遇到带分数，应先化为假分数；遇到小数，应先化成分数，再进行计算。 （二）有理数乘法运算定律 有理数的乘法运算律 ①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 即。 ②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 即。 ③乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 即。 （三）有理数除法 （1）有理数除法法则： ①除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。即。 ②两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 【注意】0除以任何不为0的数，都得0。 （2）除法步骤： ①将除号变为乘号。 ②将除数变为它的倒数。 ③按照乘法法则进行计算。 考点一遍过 考点1：有理数乘法——两个有理数 典例1：下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列算式中，积为正数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】在有理数的原有运算法则中我们定义一个新运算“★”如下：时，；时，．则当时，代数式的值为 ． 【变式3】一座两道环路的数字迷宫如图所示，外环两个路口的数字分别为 ，，内环两个路口的数字分别为 ，；要想进入迷宫中心需破解密码：两个路口的数相乘，若乘积最大，沿这两个路口就可到达迷宫中心，则乘积最大的值是 ． 考点2：有理数乘法——多个有理数 典例2：计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式3】计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 考点3：有理数乘法——实际应用 典例3：如图，碳足迹标签是一种让大众了解某一产品或服务所产生的碳排放量的标示方式．碳足迹数据标示决定于距离碳排放量最近的一个偶数，例如：碳排放量为20.2克，碳足迹数据标示为20克；碳排放量为21.0克，碳足迹数据标示为20克或22克．若有一个产品的碳足迹数据标示为38克，当此产品的碳排放量减少为原本的90%时，则此产品碳足迹数据标示是(   ) A．34克 B．34克或35克 C．34克或36克 D．35克或36克 【变式1】已知（取计算结果的末位数字），（取计算结果的末位数字），（取计算结果的末位数的值为（    ） A．2020 B．4040 C．4048 D．4042 【变式2】新学期开始了，班主任安排生活委员小西和小附去采购防疫物资，需要购买的物品有：口罩若干盒，洗手液和消毒液各若干瓶．药店里标注的口罩价格为11元/盒，洗手液价格为17元/瓶，消毒液价格为3元/瓶，小西和小附发现她们买完物资刚好用完100元，并且每样物品都至少买了一个，则本次采购可能有 种不同的买法． 【变式3】通信技术打破了信息传输的空间限制，具有更高速率、更大容量、更低时延的特性．目前，的平均下载速率约是的12倍，用下教电影《长津湖之水门桥》大约需要8分钟，如果用下载这部电影大约需要 秒． 考点4：有理数乘法——运算定律 典例4：用简便方法计算： (1) (2) (3) 【变式1】用简便方法计算： ． 【变式2】计算： ． 【变式3】用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： (1) ； (2) (3)； (4)． (5) (6)． 考点5：有理数除法——倒数概念 典例5：下列各组数中互为倒数的是（    ） A．0和0 B．和7 C．2和10 D．和 【变式1】下列互为倒数的是（   ） A．和2 B．3和 C．和 D．和 【变式2】2的倒数是( )，( )和0.5互为倒数，2与它的倒数的乘积是( ). 【变式3】做一做： ①5的倒数是 ；                    ②的倒数是 ； ③的倒数是 ；                  ④的倒数是 ； ⑤的倒数是 ；                ⑥的倒数是 ． 考点6：有理数除法——基础运算 典例6：计算： (1) (2) (3) (4) 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式3】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 考点7：有理数除法——实际应用 典例7：有筐白菜，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？每筐白菜的平均质量是多少千克？ (3)若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？（结果精确到十分位） 【变式1】2018年至2022年底，中国高铁运营里程超过4.2万公里，位居世界第一位．高铁的票价是按“票价=全程票价×”的方法计算，已知A站至G站全程票价为800元，沿途各站的里程数如图． 根据这些信息，请你解决以下问题． (1)A站至F站的票价是多少元？ (2)王叔叔从D站上车，购买了一张160元的票，他在哪一站下车？请说明理由． 【变式2】“十一”黄金周，蒙商家电部大力促销，收银情况一直看好．下表为当天与前一天的营业额的涨跌情况（单位：万元）．已知9月30日的营业额为万元： 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 4 3 2 0 (1)黄金周内收入最低的是哪一天？为什么？ (2)黄金周内平均每天的营业额是多少？ 【变式3】某市教育局倡导全民阅读行动，琪琪同学坚持阅读，她每天以阅读分钟为标准，超过的时间记作正数，不足的时间记作负数．下表是她最近一周阅读情况的记录（单位：分）. 星期 一 二 三 四 五 六 七 与标准的差（分） (1)星期一琪琪阅读了______分钟； (2)琪琪这周阅读时间最长的一天比阅读时间最短的一天多读多少分钟？ (3)求琪琪这周平均每天的阅读时间． 考点8：有理数乘除法——混合运算 典例8：计算： (1)． (2)． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算 (1) (2) (3) (4) 【变式3】计算： (1)； (2)． (3) (4) 同步一遍过 一、单选题 1．－2020的倒数是（    ） A．2020 B． C．－ D．｜－2020｜ 2．下列算式中，运算结果是负数的是（ ） A．（-2）+7 B．5-（- 2） C．3（-2） D．（-4）（-2） 3．在数轴上表示两数的点如图所示，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列运算有错误的是（　） A．8﹣（﹣2）=10 B．﹣5÷（﹣）=10 C．（﹣5）+（+3）=﹣8 D．﹣1×（﹣）= 5．概念学习：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”， (－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)记作(－3)4，读作“－3的4次商”．一般地，我们把n个a（a≠0）相除记作an，读作“a的n次商”．根据所学概念，则(－4)5的值是（   ） A． B． C． D． 6．与2÷3÷4运算结果相同的是(　　) A．2÷(3÷4) B．2÷(3×4) C．2÷(4÷3) D．3÷2÷4 7．如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为2，则第2020次输出的结果为（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．﹣8 D．﹣2 9．已知两个有理数a、b，如果，且，那么（     ） A． ， B． ， C．a、b异号，且负数的绝对值较小 D．a、b异号，且负数的绝对值较大 10．若a、b都是有理数且都不为零，则式子 值为（　　） A．0或﹣2 B．2或﹣2 C．0或2 D．0或±2 二、填空题 11．计算： ； 12．填空： （1） ；     （2） ； （3） ；   （4） ． 13．当式子有最小值时， ．（直接写答案） 14．已知：都不为0，且的最大值为，最小值为，则的值为 ． 15．计算：= ; ; ，比较大小： 16．已知a＝20192019×999，b＝20182018×1000，则a与b的大小关系：a b． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（1）学校开展课外活动，需要购买一些羽毛球，每个元，甲商城打八五折，乙商城“买八送二”，学校要购买个羽毛球，算一算:到哪家购买较合算？ （2）“十一”黄金周，小明爸爸要自驾旅游，出发前在一幅比例尺是的地图上，量得到达旅游地的高速公路的距离是厘米.汽车以每小时千米的速度开往旅游地，需要几小时？ 19．检修工乘汽车沿东西方向检修电路，规定向东为正，向西为负，某天检修工从地出发，到收工时行程记录为（单位：千米） ，，，，，，，，，； (1)收工时，检修工在地的哪边？距地多远？ (2)若每千米耗油0.3升，从地出发到收工时，共耗油多少升？ 20．计算： （1）-40-（-19）+（-24）      （2）0.125×（-25）×（-4）×8 （3） 21．2020年1月23日以来，因新冠肺炎疫情防控需要，武汉采取封城措施，公共交通收到了限制．疫情期间，为保障医护人员出行，志愿者自发组建志愿车队，志愿司机王师傅在东西走向的街道上接送医护人员，如果规定向东行驶为正．它这天下午的行车里程（单位：千米）如下：+2，，，+2.5，.5，+3，，+1，+2，+3． (1)若把王师傅下午出发地记为0，他将最后一名医护人员送抵目的地时，王师傅如何向队长描述他的位置？ (2)如果汽车耗油量为0.41升/千米，那么这天下午汽车共耗油多少升？ 22．小王和小丁两人在2016年10月15日买了11月15日14:00结伴去北京旅游的火车票2张，每张票价a元，由于另有安排，两人都需取消这次旅游． 2016年铁路部门车票预售期提前到了60天并实行退改签新政．根据梯次退票政策，下表是铁路部门的退票手续费的价目表． 开车前15天（不含）以上退票 不收取退票费 开车前48小时至15天以内退票 收取票价5%的退票费 开车前24小时至48小时以内退票的 收取10%退票费 开车前24小时以内退票的 收取20%退票费 （1）若两人在10月20日一起办理退票手续，则应交退票手续费________元； （2）若小王，小丁分别在11月2日8:00和11月14日15:00办理退票手续，则共需交退票手续费多少元？ （3）在（2）的前提下，若该车票票价每张538元，两人共退回多少元？ 23．为了有效控制酒后驾车，某市城管的汽车在一条东西方向的公路上巡逻，若规定向东为正，向西为负，从出发点开始所走的路程为(单位：千米)： 此时，这辆城管的汽车司机如何向队长描述他所处的位置? 如果队长命令他马上返回出发点，这次巡逻(含返回)共耗油多少升?(已知每千米耗油升) 24．设a、b都表示有理数，规定一种新运算“※”：当时，，当时，．例如：，． (1)_______________； (2)求的值； (3)若有理数x在数轴上对应点的位置如图所示，设：；，比较m、n的大小关系． 25．南丰蜜桔以皮薄核少、汁多少渣、色泽金黄、甜酸适口、营养丰富而享誉古今中外．色、香、味、形俱全，营养丰富，是柑桔中的精品，水果中的佳品，深受广大吃货的喜爱．现有20筐南丰蜜桔，以每筐10千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值(单位:千克) -0.5 -0.4 -0.2 0 0.3 0.6 筐数 1 4 2 5 3 5 （1）20筐南丰蜜桔中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ （2）与标准重量比较，20筐南丰蜜桔总计超过或不足多少千克？ （3）若南丰蜜桔每千克售价6元，则这20筐南丰蜜桔可卖多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数乘除法 考点类型 知识一遍过 （一）有理数乘法 （1）有理数的乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 ②任何数同0相乘，都得0. ③倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。【注意】0没有倒数。（数的倒数是） （2）确定乘积符号： ①若a＜0,b＞0,则ab < 0 ; ②若a＜0,b＜0,则ab > 0 ; ③若ab＞0,则a、b同号 ④若ab＜0,则a、b异号 ⑤若ab = 0,则a、b中至少有一个数为0. （3）多个有理数相乘的法则及规律： ①几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数； 负因数的个数是偶数时，积是正数。确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。 ②几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0. [注意]在乘法计算时，遇到带分数，应先化为假分数；遇到小数，应先化成分数，再进行计算。 （二）有理数乘法运算定律 有理数的乘法运算律 ①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 即。 ②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 即。 ③乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 即。 （三）有理数除法 （1）有理数除法法则： ①除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。即。 ②两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 【注意】0除以任何不为0的数，都得0。 （2）除法步骤： ①将除号变为乘号。 ②将除数变为它的倒数。 ③按照乘法法则进行计算。 考点一遍过 考点1：有理数乘法——两个有理数 典例1：下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据选项所给式子，逐个求解得到结果判定即可得到答案，熟练掌握有理数的乘法运算是解决问题的关键． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，错误，不符合题意； 故选：A． 【变式1】下列算式中，积为正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法计算法则进行求解即可． 【详解】、，积为负数，不符合题意； 、，积为正数，符合题意； 、，不符合题意； 、，积为负数，不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了有理数的乘法计算，熟知相关计算法则是解题的关键，注意两数相乘，同号为正，异号为负，若有乘数是，则结果为． 【变式2】在有理数的原有运算法则中我们定义一个新运算“★”如下：时，；时，．则当时，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据新的定义运算法则计算即可． 【详解】解： 当时，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3】一座两道环路的数字迷宫如图所示，外环两个路口的数字分别为 ，，内环两个路口的数字分别为 ，；要想进入迷宫中心需破解密码：两个路口的数相乘，若乘积最大，沿这两个路口就可到达迷宫中心，则乘积最大的值是 ． 【答案】 【分析】根据有理数的乘法法则计算，然后比较大小即可； 【详解】解：两个有理数相乘同号得正，异号得负； 所以两个路口的数相乘，积为正数的有： 和； 又 故答案为：； 【点睛】本题考查了有理数的乘法；熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 考点2：有理数乘法——多个有理数 典例2：计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】根据有理数乘法运算直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解决问题的关键． 【变式1】用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法，关键是熟记有理数乘法法则与运算定律． （1）根据有理数乘法法则与乘法的结合律进行简便运算； （2）运用乘法的结合律与分配律进行简便运算便可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)700 【分析】本题考查了有理数乘法，解题的关键是掌握有理数乘法的运算法则． （1）将带分数化为假分数，根据有理数乘法的运算法则求解即可； （2）根据有理数乘法的运算法则，先确定符号，再进行乘法计算； （3）根据有理数乘法的运算法则，先确定符号，再进行乘法计算． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 【变式3】计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)6 (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查有理数乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法法则，注意计算时先确定积的符号． （1）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案； （2）先确定符号，再用约分即可得答案； （3）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案； （4）先确定符号，再用约分即可得答案； （5）先确定符号，再用约分即可得答案； （6）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 考点3：有理数乘法——实际应用 典例3：如图，碳足迹标签是一种让大众了解某一产品或服务所产生的碳排放量的标示方式．碳足迹数据标示决定于距离碳排放量最近的一个偶数，例如：碳排放量为20.2克，碳足迹数据标示为20克；碳排放量为21.0克，碳足迹数据标示为20克或22克．若有一个产品的碳足迹数据标示为38克，当此产品的碳排放量减少为原本的90%时，则此产品碳足迹数据标示是(   ) A．34克 B．34克或35克 C．34克或36克 D．35克或36克 【答案】C 【分析】根据题意可得碳足迹数据标示为38克时，碳排放量之最小值与最大值分别为37.0和39.0克．再用最大值和最小值乘以90%就求出此产品碳足迹数据标示的所有可能情形． 【详解】解：由题意得：碳排放量之最小值与最大值分别为37.0克和39.0克． ∵此产品的碳排放量减少为原本的90%， ∴37.0×90%＝33.3（克），39.0×90%＝35.1（克）， ∴此产品碳足迹数据标示为：34克或36克． 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数的乘法，解答的关键是理解清楚题意． 【变式1】已知（取计算结果的末位数字），（取计算结果的末位数字），（取计算结果的末位数的值为（    ） A．2020 B．4040 C．4048 D．4042 【答案】C 【分析】根据题意，可以写出前几项，即可发现末位数字的变化特点，从而可以求出所求式子的值． 【详解】解：∵f（1）=2（取1×2的末位数字）， f（2）=6（取2×3的末位数字）， f（3）=2（取3×4的末位数字）， f（4）=0（取4×5的末位数字）， f（5）=0（取5×6的末位数字）， f（6）=2（取6×7的末位数字）， f（7）=6（取7×8的末位数字）， f（8）=2（取8×9的末位数字）， f（9）=0（取9×10的末位数字）， f（10）=0（取10×11的末位数字）， f（11）=2（取11×12的末位数字）， …， 可知末位数字以2，6，2，0，0依次循环出现， ∵2022=404×5+2， ∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2022）， =（2+6+2+0+0）×404+2+6， =10×404+8， =4048， 故选：C． 【点睛】本题考查数字的变化类，有理数的乘法混合计算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值． 【变式2】新学期开始了，班主任安排生活委员小西和小附去采购防疫物资，需要购买的物品有：口罩若干盒，洗手液和消毒液各若干瓶．药店里标注的口罩价格为11元/盒，洗手液价格为17元/瓶，消毒液价格为3元/瓶，小西和小附发现她们买完物资刚好用完100元，并且每样物品都至少买了一个，则本次采购可能有 种不同的买法． 【答案】6 【分析】根据共用了100元，每样物品都至少买了一个，认真细心分析各种情况，即可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 本次采购可能有6种不同的买法， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了有理数乘法的应用，解题的关键是分析全面，注意认真细心． 【变式3】通信技术打破了信息传输的空间限制，具有更高速率、更大容量、更低时延的特性．目前，的平均下载速率约是的12倍，用下教电影《长津湖之水门桥》大约需要8分钟，如果用下载这部电影大约需要 秒． 【答案】40 【分析】根据的下载时间：的下载时间 的下载速率：的下载速率进行求解即可 【详解】解：由题意得如果用下载这部电影大约需要秒， 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法的应用，正确理解题意是解题的关键． 考点4：有理数乘法——运算定律 典例4：用简便方法计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)； (3)； 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律： （1）（2）（3）根据有理数的乘法分配律的逆运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】用简便方法计算： ． 【答案】99900 【分析】本题考查有理数的简便运算．熟练掌握乘法分配律，是解题的关键．逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为：99900． 【变式2】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘法分配律的逆运算，将原式变形为，再计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3】用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： (1) ； (2) (3)； (4)． (5) (6)． 【答案】(1)7 (2) (3)24 (4) (5) (6)3 【分析】（1）利用乘法的交换律计算； （2）利用乘法的交换律与结合律计算； （3）利用乘法的分配律计算即可； （4）逆用乘法的分配律运算即可． （5）利用乘法的分配律计算即可； （6）逆用乘法的分配律运算即可． 本题主要考查有理数的运算，能够熟练掌握运算律可使运算简便是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 考点5：有理数除法——倒数概念 典例5：下列各组数中互为倒数的是（    ） A．0和0 B．和7 C．2和10 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数的定义，两个数乘积等于1，则那么这两个数互为倒数． 根据倒数的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：因为0没有倒数，所以A不符合题意； 因为的倒数是7，所以B符合题意； 因为2的倒数是，10的倒数是，所以C不符合题意； 因为的倒数是3，的倒数是，所以D不符合题意． 故选：B． 【变式1】下列互为倒数的是（   ） A．和2 B．3和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．要求掌握并熟练运用． 根据倒数的定义判断． 【详解】解：A、，选项错误； B、，选项错误； C、，选项错误； D、，选项正确．     故选：D． 【变式2】2的倒数是( )，( )和0.5互为倒数，2与它的倒数的乘积是( ). 【答案】 2 1 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可． 【详解】解：2的倒数是0.5，2和0.5互为倒数，2与它的倒数的乘积是1； 故答案为：． 【点睛】本题考查倒数的定义，理解倒数定义是解题的关键． 【变式3】做一做： ①5的倒数是 ；                    ②的倒数是 ； ③的倒数是 ；                  ④的倒数是 ； ⑤的倒数是 ；                ⑥的倒数是 ． 【答案】 10 【分析】根据倒数的定义逐一判断即可． 【详解】解：①∵， ∴5的倒数是， 故答案为：； ②∵， ∴的倒数是， 故答案为：； ③∵， ∴的倒数是10， 故答案为：10； ④∵， ∴的倒数是， 故答案为：； ⑤∵， ∴的倒数是， 故答案为：； ⑥∵， ∴的倒数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了倒数的定义，解决本题的关键是掌握倒数的定义：分子和分母相倒并且两个乘积是1的数互为倒数，0没有倒数． 考点6：有理数除法——基础运算 典例6：计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2) (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法运算法则，准确计算． （1）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （4）根据有理数除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （3）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （4）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了有理数乘法及有理数除法，熟练掌握有理数乘法及有理数除法法则进行求解是解决本题的关键．应用有理数除法法则：有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即： （）， （1）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （2）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （3）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式3】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据有理数的除法法则计算即可； （2）根据有理数的乘除混合运算法则计算即可； （3）根据有理数的除法法则计算即可； （4）根据有理数的除法法则计算即可； （5）先计算有理数的乘方，再根据有理数的除法法则计算即可； （6）根据有理数的乘除混合运算法则计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【点睛】本题考查有理数的除法运算，有理数的乘除混合运算，含乘方的有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键． 考点7：有理数除法——实际应用 典例7：有筐白菜，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？每筐白菜的平均质量是多少千克？ (3)若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？（结果精确到十分位） 【答案】(1)千克； (2)千克，千克； (3)元． 【分析】（）用差值最大的数减去最小的数即可求解； （）用差值乘以框数，求出它们的和，进行判断即可，进而可求出每筐白菜的平均质量； （）用总质量乘以每千克的售价，进行求解即可． 本题考查了正负数的意义，有理数混合运算的实际应用，读懂题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由表可得，最重的一筐比最轻的一筐重千克； （2）解：， ∴与标准重量比较，筐白菜总计超过千克， ∴每筐白菜的平均质量千克； （3）解：元， 答：出售这筐白菜可卖元． 【变式1】2018年至2022年底，中国高铁运营里程超过4.2万公里，位居世界第一位．高铁的票价是按“票价=全程票价×”的方法计算，已知A站至G站全程票价为800元，沿途各站的里程数如图． 根据这些信息，请你解决以下问题． (1)A站至F站的票价是多少元？ (2)王叔叔从D站上车，购买了一张160元的票，他在哪一站下车？请说明理由． 【答案】(1)640元 (2)王叔叔可能在B站下车，也可能在E站下车，理由见解析 【分析】（1）根据票价=全程票价×，代入数值进行计算，即可作答． （2）先算出每一公里的钱数，再结合车费160，即可列式代数进行作答． 本题考查了行程问题，正确掌握票价=全程票价×内容是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，∵已知A站至G站全程票价为800元，且A站至G站的里程数为公里 ∴（元）； （2）解：（元）； ∵王叔叔从D站上车，购买了一张160元的票 ∴（公里） 结合图形，与D站相距400公里的有B站和E站 所以王叔叔可能在B站下车，也可能在E站下车． 【变式2】“十一”黄金周，蒙商家电部大力促销，收银情况一直看好．下表为当天与前一天的营业额的涨跌情况（单位：万元）．已知9月30日的营业额为万元： 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 4 3 2 0 (1)黄金周内收入最低的是哪一天？为什么？ (2)黄金周内平均每天的营业额是多少？ 【答案】(1)收入最高的是10月3日和10月4日，收入最低的是10月7日 (2)万元 【分析】此题考查了正数和负数，解题的关键是根据表格算出每天的营业额，再进行比较即可． （1）利用已知条件正数表示比前一天营业额多，负数表示比前一天营业额少，结合9月30日的营业额为万元，可得出10月1日到10月7日每天的营业额，即可求出答案； （2）结合上面（1），把7天的营业额都加起来，再除以7天，即可求出答案． 【详解】（1）解：因为9月30日的营业额为万元， 所以10月1日日的营业额为万元， 2日的营业额为万元， 3日的营业额为万元， 4日的营业额为万元， 5日的营业额为万元， 6日的营业额为万元， 7日的营业额为万元， 所以收入最高的是10月3日和10月4日，收入最低的是10月7日； （2）根据题意得： （万元）， 故黄金周内平均每天的营业额是万元． 【变式3】某市教育局倡导全民阅读行动，琪琪同学坚持阅读，她每天以阅读分钟为标准，超过的时间记作正数，不足的时间记作负数．下表是她最近一周阅读情况的记录（单位：分）. 星期 一 二 三 四 五 六 七 与标准的差（分） (1)星期一琪琪阅读了______分钟； (2)琪琪这周阅读时间最长的一天比阅读时间最短的一天多读多少分钟？ (3)求琪琪这周平均每天的阅读时间． 【答案】(1)34 (2)琪琪这周阅读时间最长的一天比阅读时间最短的一天多读分钟 (3)琪琪这周平均每天阅读的时间为分钟 【分析】本题考查了正数与负数的意义以及有理数的混合运算，正确理解正数与负数的意义是解题的关键． （1）列出算式，再求出即可； （2）用其中最大的正整数减去最小的负整数即可； （3）先求出读书的总时间，再除以即可． 【详解】（1）解：（分钟）， 即星期一琪琪阅读了分钟， 故答案为：； （2）琪琪读得最多的一天是星期六，最少的一天是星期三， （分钟）， 即琪琪读得最多的一天比最少的一天多了分钟； （3）解：（分钟）， （分钟）， 琪琪这周平均每天读书的时间为分钟． 考点8：有理数乘除法——混合运算 典例8：计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． （1）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可； （2）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘除法，熟记有理数乘除法则是解题的关键． 根据有理数的乘除法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式2】计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查分数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）除法转化为乘法，再约分即可； （2）利用乘法分配律展开，再计算即可； （3）乘法分配律的逆运用提取公因数，再进一步计算即可； （4）先计算括号内减法，再进一步计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式3】计算： (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟记有理数的运算顺序是解题的关键． （1）根据有理数的乘除法则计算即可； （2）根据有理数的乘除法则计算即可． （3）先计算乘除法，再计算加法即可． （4）利用有理数的加减乘除混合运算法则计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 同步一遍过 一、单选题 1．－2020的倒数是（    ） A．2020 B． C．－ D．｜－2020｜ 【答案】C 【分析】根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：－2020的倒数为－， 故选：C． 【点睛】本题考查倒数，会求一个数的倒数是解答的关键． 2．下列算式中，运算结果是负数的是（ ） A．（-2）+7 B．5-（- 2） C．3（-2） D．（-4）（-2） 【答案】C 【分析】根据有理数的运算法则逐一计算，即可得出答案. 【详解】A：(-2)+7=5，为正数，故A错误； B：5-(-2)=7，为正数，故B错误； C：3×(-2)=-6，为负数，故C正确； D：(-4)×(-2)=8，为正数，故D错误； 故答案选择：C. 【点睛】本题考查的是有理数的运算，需要熟练掌握有理数的运算法则. 3．在数轴上表示两数的点如图所示，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据数轴上的点判断式子的正负，由数轴可得，，再逐项判断即可得到答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，，故D正确，符合题意； ，故A错误，不符合题意； ，故B错误，不符合题意； ，故C错误， 不符合题意； 故选：D． 4．下列运算有错误的是（　） A．8﹣（﹣2）=10 B．﹣5÷（﹣）=10 C．（﹣5）+（+3）=﹣8 D．﹣1×（﹣）= 【答案】C 【分析】利用有理数的运算法则逐个计算即可. 【详解】A. 8﹣（﹣2）=8+2=10，正确； B. ﹣5÷（﹣）=10，正确； C. （﹣5）+（+3）=-2，故B选项错误； D. ﹣1×（﹣）=，正确； 故选C 【点睛】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键. 5．概念学习：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”， (－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)记作(－3)4，读作“－3的4次商”．一般地，我们把n个a（a≠0）相除记作an，读作“a的n次商”．根据所学概念，则(－4)5的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：根据题意得：（-4）5=（-4）÷（-4）÷（-4）÷（-4）÷（-4） =1÷（-4）÷（-4）÷（-4）， = 1×（-）×（-）×（- ） =， 故选：A． 【点睛】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．与2÷3÷4运算结果相同的是(　　) A．2÷(3÷4) B．2÷(3×4) C．2÷(4÷3) D．3÷2÷4 【答案】B 【分析】根据有理数的乘除法则分别计算，再作比较. 【详解】解：2÷3÷4= A. 2÷(3÷4)=,本选项不符合题意； B. 2÷(3×4)= ，本选项符合题意； C. 2÷(4÷3)=，本选项不符合题意； D. 3÷2÷4=，本选项不.符合题意； 故选B 【点睛】本题考核知识点：有理数的除法.解题关键点：熟记有理数的除法法则. 7．如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围，再对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：由a、b两点在数轴上的位置可知：﹣1＜a＜0，b＞1， ∴a+b＞0，a-b＜0，a+1＞0，b-1＞0，a-1＜0 故A、B错误； ∵﹣1＜a＜0，b＞1， ∴b-1＞0，a-1＜0，b﹣1＞0，a+1＞0， ∴（b-1）（a-1）＜0，．故C错误，D正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了数轴的应用，根据数轴确定a，b的取值范围确定相关代数式的正负是解答本题． 8．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为2，则第2020次输出的结果为（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．﹣8 D．﹣2 【答案】A 【分析】根据题意把x=2代入运算程序中计算，进而找出其中的规律即可得出答案． 【详解】解：把x＝2代入运算程序得：， 把x＝1代入运算程序得：， 把x＝代入运算程序得：， 把x＝代入运算程序得：， 把x＝代入运算程序得：， 把x＝代入运算程序得：， 把x＝代入运算程序得：， 把x＝代入运算程序得：， 依此类推，除去第一项，分别以，，，，，循环， ∵（2020﹣1）÷6＝2019÷6＝336……3， ∴第2020次输出的结果为﹣1． 故选：A． 【点睛】本题考查代数式求值以及有理数的混合运算，弄清题中的运算程序是解答本题的关键． 9．已知两个有理数a、b，如果，且，那么（     ） A． ， B． ， C．a、b异号，且负数的绝对值较小 D．a、b异号，且负数的绝对值较大 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，熟练掌握异号相乘得负，异号两数相加，取绝对值较大加数的符号作符号，并把绝对值相减是解题的关键． 【详解】∵， ∴a、b异号， ∵， ∴负数的绝对值较大， 故选D． 10．若a、b都是有理数且都不为零，则式子 值为（　　） A．0或﹣2 B．2或﹣2 C．0或2 D．0或±2 【答案】D 【详解】试题解析：分情况讨论： ①a＞0，b＞0； 则式子=1﹣1=0， ②a＞0，b＜0或a＜0，b＞0， 则式子=1﹣（﹣1）=2或式子=﹣1﹣1=﹣2 ③a＜0，b＜0， 则式子=﹣1﹣（﹣1）=0． 所以式子的值是2，0或﹣2． 故选D． 二、填空题 11．计算： ； 【答案】 /0.25 【分析】利用有理数的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查有理数的乘法和除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12．填空： （1） ；     （2） ； （3） ；   （4） ． 【答案】 0 【分析】本题考查有理数的除法，熟练掌握有理数除法法则是解题的关键． 根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：0； （4）． 故答案为：． 13．当式子有最小值时， ．（直接写答案） 【答案】2 【分析】根据非负数的性质可得时，式子有最小值． 【详解】解：， 时，有最小值， 当式子有最小值时，， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握偶次方的非负数性质是解题的关键． 14．已知：都不为0，且的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【答案】0 【分析】根据绝对值的性质求出m、n的值，再代入求值即可． 【详解】当时，可得最大值 当时，可得最小值 ∴ 故答案为：0． 【点睛】本题考查了绝对值的计算问题，掌握绝对值的性质是解题的关键． 15．计算：= ; ; ，比较大小： 【答案】 ； -4； 3.6； <; <. 【分析】计算：按照有理数运算及绝对值进行运算即可； 比较大小：需要化简的先进行化简，再比较它们的绝对值，即可判断它们的大小； 【详解】= ; ; 3.6， ∵||=，||= 又∵> ∴< ∵=3 ∴< 故答案为 ；-4；3.6；<;<. 【点睛】本题考查了有理数的运算及绝对值及有理数比较大小，掌握有理数的运算及绝对值及有理数比较大小是解题的关键. 16．已知a＝20192019×999，b＝20182018×1000，则a与b的大小关系：a b． 【答案】＜． 【分析】将两数相减进行比较，提取公因数，变形求得a-b与0的大小即可． 【详解】解：a﹣b＝20192019×999﹣20182018×1000 ＝2019×10001×999﹣2018×10001×1000 ＝10001×（2019×999﹣2018×1000） ＝10001×[2019×（1000﹣1）﹣（2019﹣1）×1000] ＝10001×（2019×1000﹣2019﹣2019×1000+1000） ＝10001×（﹣1019）＜0 ∴a＜b 故答案为＜． 【点睛】本题考查了多位数大小的比较，将多位数利用提取公因式变形，是解题的关键． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】同号得正，异号得负，再绝对值相除；除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，据此作答即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键． 18．（1）学校开展课外活动，需要购买一些羽毛球，每个元，甲商城打八五折，乙商城“买八送二”，学校要购买个羽毛球，算一算:到哪家购买较合算？ （2）“十一”黄金周，小明爸爸要自驾旅游，出发前在一幅比例尺是的地图上，量得到达旅游地的高速公路的距离是厘米.汽车以每小时千米的速度开往旅游地，需要几小时？ 【答案】（1）到乙商城购买较合算；（2）需要小时. 【分析】（1）算出甲乙两商城各为多少钱，比较即可；（2）先根据比例尺算出6cm的实际长度，再计算需要多少时间. 【详解】（1）解:到甲商城购买所需资金为（元）. 到乙商城需购买羽毛球（个）， 所需资金为（元）. 答:到乙商城购买较合算. （2）解:（厘米）. 厘米千米. （小时）. 答:需要小时. 【点睛】此题主要考查有理数的应用. 19．检修工乘汽车沿东西方向检修电路，规定向东为正，向西为负，某天检修工从地出发，到收工时行程记录为（单位：千米） ，，，，，，，，，； (1)收工时，检修工在地的哪边？距地多远？ (2)若每千米耗油0.3升，从地出发到收工时，共耗油多少升？ 【答案】(1)收工时，检修工就在O地，即距离O地0千米 (2)从地出发到收工时，共耗油升 【分析】（1）把所给的行程记录相加，如果结果为正，则在O地东边，如果结果为负则在O地西边，如果结果为0则就在O地； （2）先求出总行程，再根据每千米的油耗求出总油耗即可． 【详解】（1）解： 千米， ∴收工时，检修工就在O地，即距离O地0千米； （2）解： 千米， 升， ∴从地出发到收工时，共耗油升， 答：从地出发到收工时，共耗油升． 【点睛】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 20．计算： （1）-40-（-19）+（-24）      （2）0.125×（-25）×（-4）×8 （3） 【答案】（1）-45；（2）100；（3）-1 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则进行计算即可得到答案； （2）先变形得到0.125×8×[（-25）×（-4）]，再进行有理数的乘法，即可得到答案； （3）先去括号，进行有理数的乘法运算，再进行有理数的加法运算. 【详解】（1）-40-（-19）+（-24） =-40+19-24 =-45 （2）0.125×（-25）×（-4）×8 =0.125×8×[（-25）×（-4）] =1×100 =100 （3） = = =-1 【点睛】本题考查有理数的加减运算、去括号法则和有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的加减运算、去括号法则和有理数的乘法运算. 21．2020年1月23日以来，因新冠肺炎疫情防控需要，武汉采取封城措施，公共交通收到了限制．疫情期间，为保障医护人员出行，志愿者自发组建志愿车队，志愿司机王师傅在东西走向的街道上接送医护人员，如果规定向东行驶为正．它这天下午的行车里程（单位：千米）如下：+2，，，+2.5，.5，+3，，+1，+2，+3． (1)若把王师傅下午出发地记为0，他将最后一名医护人员送抵目的地时，王师傅如何向队长描述他的位置？ (2)如果汽车耗油量为0.41升/千米，那么这天下午汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)王师傅在距下午出发地的西方2千米处 (2)这天下午汽车共耗油11.89升 【分析】（1）把所有行车记录相加，然后根据和的正负情况确定最后的位置； （2）求出所有行车记录的绝对值的和，再乘以0.41，即可求解． 【详解】（1）解：， （千米）， 答：王师傅在距下午出发地的西方2千米处． （2）解： （升）， 答：这天下午汽车共耗油11.89升． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算和四则混合运算的应用，解题的关键是明确正负数的意义，理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 22．小王和小丁两人在2016年10月15日买了11月15日14:00结伴去北京旅游的火车票2张，每张票价a元，由于另有安排，两人都需取消这次旅游． 2016年铁路部门车票预售期提前到了60天并实行退改签新政．根据梯次退票政策，下表是铁路部门的退票手续费的价目表． 开车前15天（不含）以上退票 不收取退票费 开车前48小时至15天以内退票 收取票价5%的退票费 开车前24小时至48小时以内退票的 收取10%退票费 开车前24小时以内退票的 收取20%退票费 （1）若两人在10月20日一起办理退票手续，则应交退票手续费________元； （2）若小王，小丁分别在11月2日8:00和11月14日15:00办理退票手续，则共需交退票手续费多少元？ （3）在（2）的前提下，若该车票票价每张538元，两人共退回多少元？ 【答案】（1）0；（2）25%a；（3）两人共退回941.5元. 【分析】（1）根据退票日期和发车日期，结合退票政策即可得答案；（2）根据退票日期和发车日期，结合退票政策即可得答案；（3）根据退票政策，用538减去退票费用即可得答案. 【详解】（1）∵10月20日距11月15日14:00发车前15天以上， ∴不收取退票费， 故答案为0 （2）∵11月2日8:00距11月15日14:00发车前开车前48小时至15天以内， ∴退票费为票价的5%，即5%a， ∵11月14日15:00距11月15日14:00发车前23小时， ∴退票费为票价的20%，即20%a， ∴共需交退票手续费5%a+20%a=25%a. 答：共需交退票手续费25%a元. （3）∵票价为538元， ∴共需交退票手续费538×25%=134.5(元)， ∴两人共退回538×2-134.5=941.5(元). 答：两人共退回941.5元. 【点睛】本题考查有理数运算的实际应用，理解题意，正确列式是解题关键. 23．为了有效控制酒后驾车，某市城管的汽车在一条东西方向的公路上巡逻，若规定向东为正，向西为负，从出发点开始所走的路程为(单位：千米)： 此时，这辆城管的汽车司机如何向队长描述他所处的位置? 如果队长命令他马上返回出发点，这次巡逻(含返回)共耗油多少升?(已知每千米耗油升) 【答案】（1）这辆城管的汽车司机在出发点以东3千米处；（2）这次巡逻(含返回)共耗油3升. 【分析】（1）求出这些数的和结合题意即可得出答案； （2）根据题意首先求出行驶的总路程，然后进一步乘以0.1升即可. 【详解】（1）（千米）， 答：这辆城管的汽车司机在出发点以东3千米处； （2）（千米）， ∴（升）， 答：这次巡逻(含返回)共耗油3升. 【点睛】本题主要考查了正负数的意义与有理数混合运算的实际应用，熟练掌握相关方法是解题关键. 24．设a、b都表示有理数，规定一种新运算“※”：当时，，当时，．例如：，． (1)_______________； (2)求的值； (3)若有理数x在数轴上对应点的位置如图所示，设：；，比较m、n的大小关系． 【答案】(1)25 (2)1 (3) 【分析】（1）先比较大小，然后按照题意进行求值即可； （2）先计算，再计算即可； （3）根据数轴确定x的取值范围，然后根据题意进行化简比较即可． 【详解】（1）解：， ； （2） ； （3）由数轴知， ， ， ． 【点睛】本题考查了新定义计算、有理数的混合运算，正确理解新定义的运算法则是解题关键． 25．南丰蜜桔以皮薄核少、汁多少渣、色泽金黄、甜酸适口、营养丰富而享誉古今中外．色、香、味、形俱全，营养丰富，是柑桔中的精品，水果中的佳品，深受广大吃货的喜爱．现有20筐南丰蜜桔，以每筐10千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值(单位:千克) -0.5 -0.4 -0.2 0 0.3 0.6 筐数 1 4 2 5 3 5 （1）20筐南丰蜜桔中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ （2）与标准重量比较，20筐南丰蜜桔总计超过或不足多少千克？ （3）若南丰蜜桔每千克售价6元，则这20筐南丰蜜桔可卖多少元？ 【答案】（1）千克；（2）超过千克；（3）元． 【分析】（1）将记录表中与标准重量的差值的最大数与最小数作差即可得； （2）根据记录表列出运算式子，计算有理数的乘法与加减法即可得； （3）结合（2）的结论，求出这20筐南丰蜜桔的总重量，再乘以6即可得． 【详解】（1）（千克）， 答：20筐南丰蜜桔中，最重的一筐比最轻的一筐重千克； （2）， ， （千克）， 答：与标准重量比较，20筐南丰蜜桔总计超过千克； （3）这20筐南丰蜜桔的总重量为（千克）， 则（元）， 答：这20筐南丰蜜桔可卖元． 【点睛】本题考查了正负数在实际生活中的应用、有理数的乘法与加减法的应用，依据题意，正确列出各运算式子是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$