精品解析：山东省枣庄市山亭区翼云中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

山亭区翼云中学九年级数学假期检测卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是亿年，数据亿年用科学记数法表示为（ ） A. 年 B. 年 C. D. 年 3. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3 6. 如图，在中，点是线段上一点，，过点 作 交的延长线于点，若的面积等于，则 的面积等于（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 7. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，菱形，点、、 、均在坐标轴上， ，点，点是 的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 9. 如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形，正方形，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线 ．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（每小题4分，共24分） 11. 分解因式：__________． 12. 《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x间房，可求得x的值为________． 13. 在中，若，则 的度数是_____________． 14. 如果、满足，那么代数式的值为_____． 15. 如图，在 ABC中，AB＝6，BC＝12，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝___________时， BPQ与 BAC相似． 16. 如图，OE平分∠AOB，EM∥OA，EN⊥OA，若EN＝3，ON＝5，则EM＝_____． 三、解答题：（本大题共5小题，满50分） 17. （1）计算：． （2）先化简后求值：，其中满足． 18. 《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． 请根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了___________名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有___________名，“D烹饪与营养”的男生有___________名． （2）补全上面的条形统计图和扇形统计图； （3）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 19. 习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同． （1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？ 20. 如图，P是正△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．将△ABP逆时针旋转到△ACQ的位置． （1）求PQ的长． （2）求∠APB的度数． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于 两点，轴交于点C，连接，已知点B的坐标是，点A在第一象限且． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）观察图象，直接写出不等式的解集． 22. 如图，抛物线 经过 两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； （3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【实践探究】 （2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交 于点G，可以用等式表示线段， ， 的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接 ，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山亭区翼云中学九年级数学假期检测卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法法则逐项分析即可． 【详解】A．中的两项不是同类项，不能合并，故不正确； B．，正确； C．，故不正确； D．，故不正确； 故选B． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 2. 2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是亿年，数据亿年用科学记数法表示为（ ） A. 年 B. 年 C. D. 年 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 【详解】解：亿用科学记数法表示为． 故选：A． 3. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的增根，先解分式方程，再根据分式方程的增根的定义得到 ，列方程计算即可解决此题． 【详解】， 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 的系数化为1，得． 关于的分式方程有增根， ． ． 故选：A． 4. 不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 将不等式的解集表示在数轴上，如图所示， 故选：A． 【点睛】本题主要考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键． 5. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可． 【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为 ∵ ∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为 ∴A、B、D选项错误，C选项正确 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 6. 如图，在中，点是线段上一点，，过点作 交的延长线于点，若的面积等于，则 的面积等于（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质，根据三角形的面积公式求出 的面积的值是本题解题关键 由 中 边上的高和 中 边上的高相等可求得，根据相似三角形的判定证得，根据相似三角形的性质即可求得结果． 【详解】解：∵ 中 边上的高和 中 边上的高相等，且， ∴， ∵ ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ 的面积等于 故选： ． 7. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以cos∠APC＝cos∠EDC即可得答案． 【详解】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图． 则DE∥AB， ∴∠APC＝∠EDC． 在△DCE中，有，，， ∴， ∴是直角三角形，且 ， ∴cos∠APC＝cos∠EDC＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键． 8. 如图，菱形，点、、、均在坐标轴上， ，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值． 【详解】如图：连接BE， ， ∵菱形ABCD， ∴B、D关于直线AC对称， ∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小 ∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．， ∵菱形ABCD， ，点， ∴， ， ∴ ∴△CDB是等边三角形 ∴ ∵点是的中点， ∴,且BE⊥CD， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长． 9. 如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形，正方形，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律． 【详解】解：∵，，，， ， ∴， ∵，则， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律． 10. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线 ．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线开口向下可得 ，根据抛物线的对称轴可推得，根据时，，即可得到，推得，故①错误；根据点的坐标和对称轴可得点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得，故②正确；根据抛物线的图象可知二次函数与直线有两个不同的交点，推得关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点，即可得到时，的取值范围，故④正确． 【详解】①∵抛物线开口向下， ∴ ． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 由图象可得时，， 即， 而， ∴．故①错误； ②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线 ． 故当 时，随的增大而增大，当 时，随的增大而减小， ∵，， 即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 故，故②正确； ③由图象可知：二次函数与直线有两个不同的交点， 即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误； ④∵函数图象经过，对称轴为直线 ， ∴二次函数必然经过点， ∴时，的取值范围，故④正确； 综上，②④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当 时，抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置；常数项决定抛物线与轴交点；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题：（每小题4分，共24分） 11. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解中的提取公因式和公式法的综合应用，熟知以上知识是解题的关键． 先提取公因式，再使用完全平方公式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x间房，可求得x的值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】设店中共有x间房，根据“今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住”可列一元一次方程，求解即可． 【详解】设店中共有x间房， 由题意得，， 解得， 所以，店中共有8间房， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 13. 在中，若，则 的度数是_____________． 【答案】120° 【解析】 【分析】直接利用非负数的性质以及特殊角的三角函数值计算得出答案． 【详解】解：∵， ∴sinA-=0，cosB-=0， ∴sinA=，cosB=， ∴∠A=30°，∠B=30°， ∴∠C的度数是：180°-30°-30°=120°． 故答案为：120°． 【点睛】此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 14. 如果、满足，那么代数式的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】将多项式分解因式后代入数值计算即可． 【详解】解：∵x-2y=2，x+2y=3， ∴=（x+2y）（x-2y）=， 故答案为6． 【点睛】此题考查了平方差公式分解因式，正确掌握平方差公式的构成特点正确分解因式是解题的关键． 15. 如图，在 ABC中，AB＝6，BC＝12，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝___________时， BPQ与 BAC相似． 【答案】1.5或6 【解析】 【分析】直接利用△BPQ∽△BAC或△BPQ∽△BCA，分别得出答案． 【详解】解：∵AB＝6，BC＝12，点P是AB边的中点， ∴BP＝3． 当△BPQ∽△BAC时， 则 故 解得： ； 当△BPQ∽△BCA时， 则， 故， 解得． 故答案为：1.5或6． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题关键． 16. 如图，OE平分∠AOB，EM∥OA，EN⊥OA，若EN＝3，ON＝5，则EM＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图：过E点作EF⊥OB于F，根据角平分线的性质得到∠FOE=∠NOE，EF=EN=3，再证明Rt△OEF≌Rt△OEN得到OF=ON=5；再证明∠MOE=∠MEO可得MO=ME，所以MF=5-ME，然后用勾股定理列方程ME的长即可． 【详解】解：如图：过E点作EF⊥OB于F， ∵OE平分∠AOB，EN⊥OA，EF⊥OB， ∴∠FOE=∠NOE，EF=EN=3， 在Rt△OEF和Rt△OEN中， ∴Rt△OEF≌Rt△OEN（HL）， ∴OF=ON=5， ∵ME//OA， ∴∠MOE=∠MEO， ∴∠MOE=∠MEO， ∴MO=ME， ∴MF=5-OM=5-ME，在Rt△EFM中，（5-ME）2+32=ME2，解得ME=． 故答案为 ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答本题的关键． 三、解答题：（本大题共5小题，满50分） 17. （1）计算：． （2）先化简后求值：，其中满足． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）先根据绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值，有理数的乘方和负整数指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可； （2）先根据分式的减法法则算括号里面的，根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ， ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，实数的混合运算和分式的化简求值等知识点，能正确根据实数的运算法则和分式的运算法则进行计算是解此题的关键． 18. 《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． 请根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了___________名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有___________名，“D烹饪与营养”的男生有___________名． （2）补全上面的条形统计图和扇形统计图； （3）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1） （2） 补全图形如下： （3） 【解析】 【分析】（1）利用组人数除以所占的百分比求出总数，总数乘以组的百分比，求出组人数，进而求出组女生人数，总数乘以组的百分比，求出组的人数，进而求出组男生人数； （2）根据（1）中所求数据，补全图形即可； （3）利用列表法求出概率即可． 【小问1详解】 解： （人）， ∴一共调查了20人； ∴组人数为：（人）， ∴组女生有：（人）； 由扇形统计图可知：组的百分比为 ， ∴组人数为： （人）， ∴组男生有： （人）； 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 用表示 名男生，用表示两名女生，列表如下： A B C D E A B C D E 共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种， ∴． 【点睛】本题考查扇形图与条形图的综合应用，以及利用列表法求概率．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比求出总数，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键． 19. 习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同． （1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？ 【答案】（1）购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元； （2）甲种农机具最多能购买6件． 【解析】 【分析】（1）设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要（x+1）万元，找出等量关系列方程求解即可； （2）设购买m件甲种农机具，则购买（20﹣m）件乙种农机具，根据购买的总费用不超过46万元列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要（x+1）万元， 依题意得： 解得：x＝2， 经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意， ∴x+1＝2+1＝3． ∴购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元． 【小问2详解】 解：设购买m件甲种农机具，则购买（20﹣m）件乙种农机具， 依题意得：3m+2（20﹣m）≤46， 解得：m≤6． ∴甲种农机具最多能购买6件． 【点睛】本题考查分式方程的应用，不等式的应用，（1）的关键是理解题意，找出等量关系列出分式方程，（2）的关键是根据购买的总费用不超过46万元列出不等式． 20. 如图，P是正△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．将△ABP逆时针旋转到△ACQ的位置． （1）求PQ的长． （2）求∠APB的度数． 【答案】（1）3；（2）150°． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形得性质得∠BAC=60°，BA= BC，由旋转的性质得AP=AQ，∠PAB=∠CAQ，于是可判断△APQ是等边三角形，所以PQ=AP=3； （2）先利用勾股定理的逆定理证明△PCQ是直角三角形，且∠PQC=90°，再加上∠AQP=60°，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，BA＝BC， ∵将△ABP逆时针旋转到△ACQ的位置， ∴△ABP≌△ACQ， ∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ， ∴∠PAQ＝∠BAC＝60°， ∴△APQ是等边三角形， ∴PQ＝AP＝3； （2）由（1）知∠AQP＝60°， ∵△ABP≌△ACQ， ∴BP＝CQ＝4，∠APB＝∠AQC， ∵PC＝5， ∴PQ2+CQ2＝CP2， ∴△PCQ是直角三角形，且∠PQC＝90°， ∴∠AQC＝∠PQC+∠AQP＝150°， ∴∠APB＝150°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是本题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于 两点，轴交于点C，连接，已知点B的坐标是，点A在第一象限且． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）12 （3）当 或时， 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与反比例函数交点问题． （1）将点代入反比例函数即可求得，从而得到反比例函数解析式，再通过反比例函数解析式求出点A的坐标，将点A，B的坐标代入一次函数，求出、b的值，即可得到答案； （2）过点B作 交的延长线于点D，根据，计算即可得到答案； （3）结合图象可求的解集． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ，即， ∴反比例函数的表达式为， ∵点A在第一象限，轴于点C， ， ∴点A的横坐标为6， 当 时，， ∴点A的坐标为． ∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，过点B作 交的延长线于点D， 轴，， ， ∴； 【小问3详解】 解： 由图象可得：当 或时，． 22. 如图，抛物线 经过 两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； （3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可； （3）分 ，， 分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线 经过 两点， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵ ， ∴， 设直线， 则：，解得：， ∴， 当 时， ， ∴； 作点关于轴的对称点，连接， 则：，， ∴当三点共线时，有最小值为的长， ∵，， ∴， 即：的最小值为：； 【小问3详解】 解：存在； ∵ ， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ① 为对角线时：， ∴， 当时， ， ∴ ， ∴； ②当为对角线时：， ∴， 当 时，， ∴， ∴； ③当 为对角线时：， ∴， 当时， ， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 23. 综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【实践探究】 （2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交 于点G，可以用等式表示线段， ，的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接 ，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题． 【答案】（1）四边形是正方形， 证明：∵，，， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． （2）； （3）； 【解析】 【分析】（1）证明，可得，从而可得结论； （2）证明四边形是矩形，可得，同理可得：，证明， ，，证明四边形是正方形，可得，从而可得结论； （3）如图，连接，证明，， ，，可得，再证明，可得，证明，可得，从而可得答案． 【详解】解：（1）略 （2）∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴ ，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． （3）如图，连接， ∵，正方形， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，构建相似三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $