精品解析：湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（一）数学试题

大联考长郡中学2025届高三月考试卷（一） 数学 本试卷共8页.时量120分钟.满分150分. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，若，则 A. 1 B. C. D. 4. 若函数的最大值为，最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（ ） A. ，且直线是相交直线 B. ，且直线是相交直线 C. ，且直线是异面直线 D. ，且直线是异面直线 6. 的值为（ ） A. B. C. 3 D. 7. 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的事件是（ ） A. 第一次朝上的数字是偶数 B. 第一次朝上的数字是1 C. 两次朝上的数字之和是8 D. 两次朝上的数字之和是7 8. 一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（ ） A. 10 B. 55 C. 89 D. 99 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知一组样本数据、、、，下列说法正确的是（ ） A. 该样本数据的第百分位数为 B. 若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数 C. 剔除某个数据后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差 D. 若、、、的平均数为，方差为，、、、的平均数为，方差为，则、、、的方差为 10. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点，，都在抛物线上，且，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线方程为 B. F是的重心 C. D. 11. 已知函数是的导函数，则（ ） A. “”是“为奇函数”的充要条件 B. “”是“为增函数”的充要条件 C. 若不等式的解集为且，则的极小值为 D. 若是方程的两个不同的根，且，则或 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则_________. 13. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为，则的均值______. 14. 若函数在上单调递增，则的取值范围是_________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，满足． （1）求A； （2）若角A的平分线交边BC于点D，AD长为2，求△ABC的面积的最小值． 16. 如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高. （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的余弦值大小. 17. 双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形． （1）求双曲线的方程； （2）、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围． 18. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若函数有2个不同的零点． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 19. 已知集合，，若中元素的个数为，且存在，，使得，则称是的子集. （1）若，写出的所有子集； （2）若为的子集，且对任意的，，存在，使得，求的值； （3）若，且的任意一个元素个数为的子集都是的子集，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大联考长郡中学2025届高三月考试卷（一） 数学 本试卷共8页.时量120分钟.满分150分. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由集合，，因为，则满足. 故选：D. 2. 已知复数满足，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用复数模的几何意义，得到复数在复平面内对应的轨迹，进而结合圆的性质，即可求解. 【详解】由题意知复数满足， 可得复数在复平面内对应的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 且表示圆上的点到原点的距离， 则， 所以的取值范围为. 故选：C. 3. 在中，若，则 A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由可以推得，再利用向量运算的加法法则，即可求得结果． 【详解】由题意得，，即，设的中点为，则，即为等腰三角形， 又因为 即 所以． 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算． 4. 若函数的最大值为，最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将函数解析式化为，令，判断的奇偶性，然后利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】， 令，则其定义域为，又， 所以为奇函数，则， 所以，则. 故选：B. 5. 如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（ ） A. ，且直线是相交直线 B. ，且直线是相交直线 C. ，且直线是异面直线 D. ，且直线是异面直线 【答案】B 【解析】 【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题． 【详解】如图所示，连接，点为正方形的中心， 则经过点，且点为中点，又因为是线段的中点， 所以在中，，所以四点共面，即直线是相交直线； 作于，连接，过作于． 连，平面平面． 平面，平面，平面， 与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知， ．，故选B． 【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角形． 6. 的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正切的和角公式，逆用即可求出结果. 【详解】 . 故选：B. 7. 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的事件是（ ） A. 第一次朝上的数字是偶数 B. 第一次朝上的数字是1 C. 两次朝上的数字之和是8 D. 两次朝上的数字之和是7 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立事件的定义逐一判断即可. 【详解】解：抛掷骰子两次，共有个基本事件数, 则, 共18个基本事件，则, 设事件为第一次朝上面的数字是偶数，则事件与事件是对立事件，故错误； 设事件为第一次朝上面的数字是1，则，故错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是8， 则共5个基本事件，则, 且，则, ，所以C错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是7，则, 则,且，则 因为，所以事件与事件相互独立. 故选：D. 8. 一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（ ） A. 10 B. 55 C. 89 D. 99 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列的递推公式，再依次计算求出. 【详解】依题意，（，），，， 所以. 故选：C 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知一组样本数据、、、，下列说法正确的是（ ） A. 该样本数据的第百分位数为 B. 若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数 C. 剔除某个数据后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差 D. 若、、、的平均数为，方差为，、、、的平均数为，方差为，则、、、的方差为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据中位数的定义可判断A选项；由频率分布直方图中中位数、平均数的概念即可判断B；由极差的定义即可判断C；由方差计算公式即可判断D. 【详解】对于A选项，由，所以样本数据的第百分位数为，A错； 对于B选项，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，则其平均数大于中位数，B对； 对于C选项，若剔除的数据为，则新样本数据的极差为，原样本数据的极差为， 因为，则，由不等式的基本性质可得， 即新样本数据的极差不大于原样本数据的极差； 若剔除的数据为，则新样本数据的极差为，原样本数据的极差为， 因为，则，即新样本数据的极差不大于原样本数据的极差； 若剔除的数据为，则新样本数据的极差为，原样本数据的极差为，即新样本数据的极差等于原样本数据的极差； 综上可知剔除某个数据后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差，C对； 对于D选项，由，则， 所以、、、的方差为，D错. 故选：BC. 10. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点，，都在抛物线上，且，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线方程为 B. F是的重心 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】把点代入可得抛物线的方程，结合向量运算可得是的重心，利用抛物线的定义可得，利用三角形面积公式及，可得. 【详解】对于A，由在抛物线上可得，即抛物线方程为，错误； 对于B，分别取的中点，则，，即在中线上，同理可得也在中线上，所以是的重心，正确； 对于C，由抛物线的定义可得， 所以. 由是的重心，所以，即， 所以，正确； 对于D，，； 同理,， 所以，正确. 故选：BCD. 11. 已知函数是的导函数，则（ ） A. “”是“为奇函数”的充要条件 B. “”是“为增函数”的充要条件 C. 若不等式的解集为且，则的极小值为 D. 若是方程的两个不同的根，且，则或 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和充分、必要条件的判定方法，可判定A正确；结合导数和函数的单调性间的关系，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B错误；利用导数求得函数的单调性，进而求得的极小值，可判定C正确；结合二次函数的性质，结合，列出不等式，可判定D正确． 【详解】对于A中，当时，函数，则满足， 所以为奇函数，所以充分性成立； 若为奇函数，则， 则恒成立，所以，所以必要性成立，所以A正确； 对于B中，当时， ，可得，所以为增函数； 由，当为增函数时，，所以“”是“为增函数”的充分不必要条件，所以B错误； 对于C中，由，若不等式的解集为且， 则在上先增后减再增，则，解得， 故，可得， 令，解得或， 当内，，单调递增； 当内，，单调递减； 当内，，单调递增， 所以的极小值为，所以C正确． 对于D中，由，因为是方程的两个不同的根， 所以，即，且， 由，可得，所以，即， 联立方程组，可得，解得或，所以D正确． 故选：ACD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则_________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据椭圆的对称性，利用三角形中位线定理求得，再由椭圆定义求解即可． 【详解】如图，根据椭圆的对称性，不妨设为左焦点，为右焦点， 由椭圆，得，， 是的中点，是的中点， 为的中位线， ， 由椭圆的定义得． 故答案为：4． 13. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为，则的均值______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出的所有可能取值为，然后分析出涂3面油漆，2面油漆，1面油漆，0面油漆的各有多少个小正方体，从而计算取每个值时的概率，从而求的均值. 【详解】的所有可能取值为， 大正方体8个顶点处的8个小正方体涂有3面油漆； 每一条棱上除了两个顶点处的小正方体外剩余的都涂有两面油漆，所以涂有两面油漆的有个； 每个表面去掉四条棱上的16个小正方体，还剩9个小正方体，这9个都是一面涂漆，所以一共有个小正方体涂有一面油漆； 剩余的个内部的小正方体6个面都没有涂油漆， 所以，，，， . 故答案为：. 14. 若函数在上单调递增，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据在上恒成立，即可结合二次函数的性质求解. 【详解】根据题意，， 在上单调递增， 在上恒成立， 令，，则可写为，， 根据题意在上的最小值非负， 解得. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，满足． （1）求A； （2）若角A的平分线交边BC于点D，AD长为2，求△ABC的面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得出等式，再由正、余弦定理即可解出； （2）把的面积用等积法表示可得关系，再利用基本不等式得出的最小值， 即得面积最小值． 【小问1详解】 因为，所以，由正弦定理得 ，所以， 所以， 因为，故. 【小问2详解】 ∵AD平分∠BAC， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ 由基本不等式可得： ， ∴，当且仅当时取“=”， ∴， 即的面积的最小值为. 16. 如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高. （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的余弦值大小. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据等体积法，由即可求出点到平面的距离； （2）先证明，，由线面垂直的判定定理可得面，进而可得即为所求二面角的平面角，在中，计算即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以， 在中，由余弦定理可得：， 所以，， 在中，由余弦定理可得， 所， 所以， 设点到平面的距离为， 由，得， 即， 解得：， 所以点到平面的距离为； （2）二面角即二面角， 因为是圆的直径，点在圆柱的底面圆上，所以， 因为面，面，可得， 因为，所以面， 因为面，面，所以，， 所以即为二面角的平面角， 在中，，， 所以， 所以二面角的余弦值为. 17. 双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形． （1）求双曲线的方程； （2）、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，转化为的方程，即可求解； （2）首先设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，并根据的取值范围，求点到直线的距离的取值范围. 【小问1详解】 依题意，，焦半径， 由，得，得， 解得：（其中舍去）， 所以， 故双曲线的方程为； 【小问2详解】 显然直线不可能与轴平行，故可设直线的方程为， 联立，消去整理得， 在条件下，设，， 则，， 由，得， 即， 整理得， 代入韦达定理得，， 化简可消去所有的含的项，解得：或（舍去）， 则直线的方程为，得， 又都在双曲线的右支上，故有，， 此时，， 所以点到直线的距离的取值范围为. 18. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若函数有2个不同的零点． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）极小值为，无极大值． （2）（i） （ii）由，可得，即证，即证， 不妨设，因为， 由（i）知，， 令，则且， 又因为，可得，即， 所以，可得，所以， 则， 所以等价于，即， 即为， 令，则， 所以在单调递增，所以， 即，可得，所以，即可得证. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，令，求得，得到的单调性，进而求得函数的单调区间，结合极值的概念，即可求解. （2）（i）由题意得，令，求得，得到在单调递增，再令，得到在有2个零点，且，进而得到，求得函数，即可求解； （ii）根据题意，转化为证明，设，得到，令，求得，得到，进而转化为，令，利用导数求得单调性，结合，即可得证. 【小问1详解】 解：当时，函数，可得， 令，则， 当时，；当，， 所以在单调递减，在单调递增， 因为时，，则，， 所以当时，；， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值为，无极大值． 【小问2详解】 解：（i）由函数， 令，因为，所以在单调递增， 令，即在有2个零点，且， 因为，所以时，，在单调递增， 此时不存在2个零点，所以， 因为时，；时，，所以在单调递减， 在单调递增，因为时，；时，， 所以，所以． （ii）略 19. 已知集合，，若中元素的个数为，且存在，，使得，则称是的子集. （1）若，写出的所有子集； （2）若为的子集，且对任意的，，存在，使得，求的值； （3）若，且的任意一个元素个数为的子集都是的子集，求的最小值. 【答案】（1）； （2）2； （3）13. 【解析】 【分析】（1）根据子集的定义， 即可容易求得； （2）取，求得，再利用反证法假设，推得与矛盾即可； （3）令，讨论时不满足题意，再验证时的情况满足题意，即可求得的最小值. 【小问1详解】 当时，，的所有子集为. 【小问2详解】 当时，取，因为，所以是的子集，此时； 若，设且， 根据题意，，其中； 因为，所以，所以； 又因为，所以； 因为，所以， 所以； 因为，所以， 所以，与矛盾. 综上所述，. 【小问3详解】 设 ， 设的元素个数为， 若不是的子集， 则最多能包含中的一个元素以及中的元素； 令，易验证不是的子集， 当时，的任意一个元素个数为的子集都不是的子集， 所以，若的任意一个元素个数为的子集都是的子集，则； 当时，存在，使得中必有两个元素属于， 同时中两个元素之和为的某个正整数指数幂， 所以是的子集； 所以，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义问题，处理问题的关键是充分把握题中对子集的定义，同时要熟练的使用证明方法，属综合困难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $