精品解析：云南省大理白族自治州民族中学2025届高三上学期开学数学试题

大理州民族中学2024-2025学年上学期8月开学考试 高三数学 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目的要求） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数除法运算求解. 【详解】. 故选:D. 2. 已知不等式的解集为，不等式的解集为，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式，根据集合的包含关系求解即可. 【详解】由解得，所以， 由解得，所以， 所以集合是集合的真子集， 所以是的必要不充分条件， 故选：C 3. 已知向量，，且则向量的夹角为（ ） A. 0 B. C. D. π 【答案】C 【解析】 【分析】对两边同平方得，则解出，则得到答案. 【详解】由，得， 又，，整理得：， 因为，所以的夹角为， 故选：C. 4. 将每个数均加上9，得到，则两组数数字特征不同的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 极差 D. 众数的个数 【答案】A 【解析】 【分析】利用平均数、方差、极差、众数的意义判断即得. 【详解】依题意，，的平均数， 因此两组数的平均数不同，A是； ，的方差， 因此两组数的方差相同，B不是； 由于数据中的最大与最小，同加9后，在数据中对应的数仍是最大与最小， 因此两组数的极差相同，C不是； 显然数据中出现次数最多的数，同加9后，在数据中对应的数出现次数最多， 因此两组数的众数的个数不变，D不是. 故选：A 5. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据可能平行、可能相交且不垂直判断；对于B，根据可能平行、可能相交且不垂直、异面且不垂直判断；对于C，根据线面垂直的性质定理判断；对于D，根据或异面判断． 【详解】对于A，，则可能平行、可能相交且不垂直，故A不正确； 对于B，，则可能平行、可能相交且不垂直、可能异面且不垂直，故B不正确； 对于C，若，根据线面垂直的性质定理可知，故C正确； 对于D，若，则或异面，故D不正确． 故选：C． 6. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，由题意可得在上恒成立，由此参变分离，结合二次函数的最值即可求得答案. 【详解】因为，所以， 由在上单调递增，得在上恒成立， 即在上恒成立，， 即在上恒成立， 当时，二次函数取到最大值， 故，即a的取值范围为， 故选：C 7. 已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的焦点坐标求得，设在准线上的射影为，利用抛物线的定义进行转化后易得最小值． 【详解】由焦点到其准线的距离为得； 设在准线上的射影为如图, 则， 当且仅当共线时取得等号．所以所求最小值是4． 故选：D． 8. 十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式，(其中，，n!=1×2×3×…×n，0!=1)，现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出后代入得cos1=sin可得答案，即与最接近. 【详解】 所以cos1= = sin=sin，由于 与最接近， 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全对得6分，部分选对得部分分，选错0分．） 9. 对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 是的最小正周期 B. 关于对称 C. 在的值域为 D. 在上递增 【答案】AC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，再根据的性质逐个判断即可 【详解】， 对A，周期为，故A正确； 对B，令，得，所以函数不关于对称，故B不正确； 对C，当时，，所以，即的值域为，故C正确； 对D，当时，，所以函数在上单调递减，故D不正确， 故选：AC. 10. 已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时，直线AB的斜率为2 D. 直线AB过定点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据为准线上的点列方程，解方程即可得到可判断A；利用导数的几何意义得到过点，的切线斜率，可得到，为方程的解，然后利用导数的几何意义和韦达定理得到，即可判断B；利用韦达定理和斜率公式求即可判断C；联立和得到，同理可得，即可得到直线的方程为，可判断D. 【详解】因为为准线上的点，所以，解得，故A错； 根据抛物线方程得到，则，设切点坐标为，， 则，整理得，同理得， 所以，为方程的解，， 所以，则，故B正确； 由B选项得，所以，故C错； 由B选项得，又，联立得， 同理得，所以直线AB的方程为，恒过点，故D正确． 故选：BD． 【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与，的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 11. 观察图象，下列结论错误的有（ ）． A. 若图中为图象，则在处取极小值 B. 若图中为图象，则有两个极值点 C. 若图中为图象，则在上单调递增 D. 若图中为图象，则的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：若图为 图象，在左右单调性一致，不是极值； 选项B：若图为 图象，根据导数与0的大小判断单调性，判断极值. 选项C: 若图为 图象,根据图像的正负判断的正负，判断单调性. 选项D: 若图为 图象, 根据图像的正负判断的正负,解出的解集. 【详解】选项A：若图为图象，则在两边单调性一致，不是极值，故A错误； 选项B：若图为图象， 函数单调递减； 函数单调递增；函数单调递减； 函数单调递增；故函数有-2,0,2三个极值点，选项B错误； 选项C: 若图为图象，则时，单调性相反，即 函数单调递增；函数单调递减；函数单调递增；当单调性一致，函数单调递增；故C正确； 选项D: 若图为 图象，，图像正负相反，时图像正负一致， 的解集为，故D错误； 故答案为：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 等差数列的前项和为，若，，则_____． 【答案】15 【解析】 【分析】根据等差数列的性质得到，求出答案. 【详解】设，由等差数列的性质可得， 又，则，解得． 故答案为：15 13. 现有3名男生，3名女生和2名老师站成一排照相，2名老师分别站两端，且3名女生互不相邻，则不同的站法为______． 【答案】288 【解析】 【分析】利用分步计数原理结合特殊元素优先安排的方法可得答案. 【详解】根据题意，分3步进行：第一步，2名老师分别站两端，有种站法； 第二步，先安排3名男生，有种站法，男生排好后，有4个空位可选； 第三步，将3名女生安排在4个空位中的3个，有种站法，所以不同的站法有． 故答案为：288 14. 若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】对等号两边分别求导，再赋值，可求得答案、。 【详解】， 等号两边分别求导，得， 令，有， 所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角B的值； （2）若，，求的周长. 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合同角的三角函数关系化简，即可得答案； （2）由余弦定理结合已知条件，即可求得答案. 【小问1详解】 因为，所以. 又C为内角，，所以， 显然不满足，即有， 而，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得， ，，则， 所以的周长为. 16. 若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项. （1）求和的调和中项； （2）已知调和数列，，，求的通项公式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到、、成等差数列，从而得到方程，求出，得到答案； （2）根据题意得到是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，从而求出，得到的通项公式. 【小问1详解】 设和的调和中项为，依题意得：、、成等差数列， 所以，解得：， 故和的调和中项为； 【小问2详解】 依题意，是等差数列，设其公差为， 则， 所以， 故. 17. 如图，在三棱锥中，，，. （1）求证：； （2）求二面角平面角的余弦值. 【答案】（1）取的中点，连接，， 由，所以， 由，所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，利用线面垂直的判定定理得平面，再由线面垂直的性质定理可得答案； （2）利用面面垂直的判定定理得平面平面，取，的中点，由面面垂直的性质定理得平面，以为原点，，所在的直线分别为轴建立空间坐标系，求出平面、平面的一个法向量，由面面角向量求法可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，又平面，所以平面平面， 由，，所以， 又，所以为正三角形， 取，的中点，则，平面平面， 平面，，则，两两垂直， 以为原点，，所在的直线分别为轴， 建立如图所示的空间坐标系； 则，，，， 所以，，， 设是平面的一个法向量， 所以即， 令，所以，，即； 设是平面的一个法向量， 所以即， 令，则，，即， 设二面角的平面角为，所以， 二面角平面角的余弦值为. 18. 每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”，为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了1000名高一学生进行在线调查，得到了这1000名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值： （2）为进一步了解这1000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据所以频率和为1进行计算; （2）根据分层抽样可得相应组抽取的人数，则服从超几何分布，根据进行计算求解． 【小问1详解】 由频率分布直方图得：.解得； 【小问2详解】 由频率分布直方图得： 这1000名学生中日平均阅读时间在，两组内的学生人数之比为， 若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在内的学生中抽取（人） 在日平均阅读时间在内的学生中抽取4人， 现从这10人中随机拍取3人，则服从超几何分布，其可能取值为0，1，2，3， ，， ，， ∴的分布列为： 0 1 2 3 . 19. 设椭圆的左焦点为F，上顶点为B，离心率为，O是坐标原点，且． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线与椭圆C在第一象限内的交点为P，，直线BF与直线l的交点为Q，求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由得到，结合离心率为及解出，即可求得椭圆C的方程； （2）先求出直线BF方程，再由及P在椭圆上求出P点坐标，进而求得直线方程，联立求得点Q坐标，再由求解即可. 【小问1详解】 由题意得：，则，解得，则椭圆C的方程为：； 【小问2详解】 由（1）得，则直线BF方程，又可得P在线段OB垂直平分线上，则， 又P在椭圆上，解得，则，直线，联立和线BF可得， 解得，则，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大理州民族中学2024-2025学年上学期8月开学考试 高三数学 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目的要求） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知不等式的解集为，不等式的解集为，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，，且则向量的夹角为（ ） A. 0 B. C. D. π 4. 将每个数均加上9，得到，则两组数数字特征不同的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 极差 D. 众数的个数 5. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 8. 十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式，(其中，，n!=1×2×3×…×n，0!=1)，现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全对得6分，部分选对得部分分，选错0分．） 9. 对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 是的最小正周期 B. 关于对称 C. 在的值域为 D. 在上递增 10. 已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时，直线AB的斜率为2 D. 直线AB过定点 11. 观察图象，下列结论错误的有（ ）． A. 若图中为图象，则在处取极小值 B. 若图中为图象，则有两个极值点 C. 若图中为图象，则在上单调递增 D. 若图中为图象，则的解集为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 等差数列的前项和为，若，，则_____． 13. 现有3名男生，3名女生和2名老师站成一排照相，2名老师分别站两端，且3名女生互不相邻，则不同的站法为______． 14. 若，则___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角B的值； （2）若，，求的周长. 16. 若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项. （1）求和的调和中项； （2）已知调和数列，，，求的通项公式. 17. 如图，在三棱锥中，，，. （1）求证：； （2）求二面角平面角的余弦值. 18. 每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”，为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了1000名高一学生进行在线调查，得到了这1000名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值： （2）为进一步了解这1000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望. 19. 设椭圆的左焦点为F，上顶点为B，离心率为，O是坐标原点，且． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线与椭圆C在第一象限内的交点为P，，直线BF与直线l的交点为Q，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $