精品解析：四川省泸州市龙马潭区尹吉甫学校2023-2024学年九年级下学期开学数学试题

泸州市龙马潭区尹吉甫学校2023-2024学年 九年级下学期开学考试数学试卷 一、选择题（每小题3分，12个小题，共36分，以下每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线顶点坐标是( ) A. （3，1） B. （3，﹣1） C. （﹣3，1） D. （﹣3，﹣1） 4. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方形中，为边上的点，连接，，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，，，是上的三个点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 一个布袋里装有6个只有颜色不同的球，其中2个红球，4个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是白球的概率为（ ） A B. C. D. 8. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. B. 3 C. 11 D. 13 9. 一个圆锥的母线长为10，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（） A. 100 B. 50 C. 20 D. 10 10. 三角形两边长分别为2和4，第三边是方程解，则这个三角形的周长是（ ）． A. 8 B. 8或10 C. 10 D. 8和10 11. 如图，在中，，，，为的内切圆，则图中阴影部分的面积为(结果保留)(　　) A. B. C. D. 12. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数根，则．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题4个小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解：_____． 14. 设，是方程的两个不相等的实数根，则的值为________. 15. 如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转30°到的位置，则阴影部分的面积是___________． 16. 如图，四边形ABCD为矩形，，，点P是线段上一动点，点M为线段上一点，，则最小值为______． 三、本大题3个小题，每小题6分，共18分． 17. 计算：． 18. 化简： 19. 如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE． 四、本大题2个小题，每小题7分，共14分． 20. 2023年3月，某中学发起“劳动最光荣•加油好少年”主题活动，学校团委为了了解学生参与本次主题活动的情况，随机抽取部分学生进行调查，根据调查结果绘制如下不完整的统计图：请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了_______名学生，并补全条形统计图． （2）若该校共有名学生参加本次主题活动，则本次活动中该校参加“洗碗”劳动的学生约有多少名？ （3）现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁4名学生中，随机抽取2名学生谈一谈劳动感受，请用列表或画树状图的方法，求甲、丁两人同时被抽中的概率． 21. 某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利50元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件． （1）若商场要求该服装部每天盈利2400元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？ （2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多． 五、本大题2个题，每小题8分，共16分． 22. 已知方程是关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数方程中有两个不相等的实数根． （2）若，是方程的两根，，求的值． 23. 某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上，C村在B村的正东方向且两村相距2.4千米．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明． （参考数据：≈1.73，≈1.41） 六、本大题共2个小题，共24分，每小题12分． 24. 如图，已知以的直角边为直径作交斜边于点，连接并延长交的延长线于点，连接，点为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 25. 如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点． （1）请直接写出点，，坐标； （2）点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值． （3）点是抛物线上的动点，作//交轴于点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泸州市龙马潭区尹吉甫学校2023-2024学年 九年级下学期开学考试数学试卷 一、选择题（每小题3分，12个小题，共36分，以下每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 2. 抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线的平移遵循：上加下减，左加右减的规律，据此即可解答. 【详解】解：抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是； 故选：A. 【点睛】本题考查了抛物线的平移，熟知抛物线的平移规律是解题的关键. 3. 抛物线的顶点坐标是( ) A. （3，1） B. （3，﹣1） C. （﹣3，1） D. （﹣3，﹣1） 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：抛物线的解析式为：， 其顶点坐标为：． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的顶点式为，此时顶点坐标是，对称轴是直线，此题考查了学生的应用能力． 4. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：C． 5. 如图，在正方形中，为边上的点，连接，，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边对等角，三角形的外角性质，由旋转性质可得，，又四边形是正方形， 则，再由等边对等角得，最后由三角形的外角性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵将绕点顺时针方向旋转得到， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，，，是上三个点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，解题关键是熟练掌握圆心角定理． 观察图形可得是弧的圆心角，是弧的圆周角，根据圆周角定理得即可求解． 【详解】解：弧弧， 其中是弧的圆心角，是弧的圆周角， ． 故选：． 7. 一个布袋里装有6个只有颜色不同的球，其中2个红球，4个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用白球的个数除以球的总个数即为所求的概率． 【详解】解：因为一共有6个球，白球有4个， 所以从布袋里任意摸出1个球，摸到白球的概率为：． 故选C． 【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 8. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. B. 3 C. 11 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 9. 一个圆锥的母线长为10，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（） A. 100 B. 50 C. 20 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】圆锥的侧面积为半径为10的半圆的面积． 【详解】解：圆锥的侧面积=半圆的面积=， 故选B． 【点睛】解决本题的关键是把圆锥的侧面积转换为规则图形的面积． 10. 三角形两边长分别为2和4，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）． A. 8 B. 8或10 C. 10 D. 8和10 【答案】C 【解析】 【分析】先求出方程的解，得出三角形的三边长，看看是否符合三角形的三边关系定理，即可得出选项． 【详解】解：解方程得：或2， 当时，三角形的三边为2、4、4，符合三角形三边关系定理，即此时三角形的周长为； 当时，三角形的三边为2、2、4，不符合三角形三边关系定理，即此时三角形不存在； 即三角形的周长为10， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的解和三角形的三边关系定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 11. 如图，在中，，，，为的内切圆，则图中阴影部分的面积为(结果保留)(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质；勾股定理求得，进而根据等面积法求得，三角形的内切半径，根据，即可求解． 【详解】解：中，，， ， ，， 内切圆半径， ， 设与切于点，与切于点，连接、， 则四边形正方形， ． 故选：C． 12. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数根，则．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则 图象与y轴的交点为正半轴，则c＞0，由此可知abc＜0，故①错误，由图象可知当x=1时，函数取最大值，将x=1，代入，中得：，计算出函数图象与x轴的另一交点为（3,0）设函数解析式为：，将交点坐标代入得化简得：，将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，、变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，结合以上结论可判断正确的项． 【详解】解：由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则故②正确， ∵图象与y轴的交点为正半轴， ∴c＞0，则abc＜0，故①错误， 由图象可知当x=1时，函数取最大值， 将x=1，代入，中得：， 由图象可知函数与x轴交点为（﹣1,0），对称轴为将x=1，故函数图象与x轴的另一交点为（3,0）， 设函数解析式为：， 将交点坐标代入得：， 故化简得：， 将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，故③正确， 变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，故④正确， 则②③④正确， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标掌握数形结合思想是解决本题的关键． 二、填空题：（本大题4个小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 分析】根据提公因式法和平方差公式进行分解即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】本题考查了提公因式法和平方差公式，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键． 14. 设，是方程的两个不相等的实数根，则的值为________. 【答案】2022 【解析】 【分析】由一元二次方程的解及根与系数的关系可得：、，将其代入中即可解答． 【详解】解：a，b是方程的两个不相等的实数根， 、， ． 故答案为：2022． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系等知识点，根据一元二次方程的解及根与系数的关系得到、是解题的关键． 15. 如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转30°到的位置，则阴影部分的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】交于点，连接；根据全等三角形性质，通过证明，得；结合旋转的性质，得；根据三角函数的性质计算，得，结合正方形和三角形面积关系计算，即可得到答案． 【详解】如图，交于点，连接 根据题意得：， ∵ ∴ ∴ ∵正方形绕点顺时针旋转到 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积 故答案为：． 【点睛】本题是面积问题(旋转综合题)，考查了正方形、全等三角形、旋转、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、旋转、三角函数的性质． 16. 如图，四边形ABCD为矩形，，，点P是线段上一动点，点M为线段上一点，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，．证明，推出，点的运动轨迹是以为圆心，2为半径的．利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：如图，取的中点，连接，． 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是以为圆心，2为半径的． ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 三、本大题3个小题，每小题6分，共18分． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，首先根据算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值计算，然后合并即可得出答案，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】原式括号中通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，再将分子分母分别因式分解，进而约分得到最简结果即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式运算法则是解本题的关键． 19. 如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得出，进而利用证明与全等，再利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】证明：是等腰三角形， ， 在与中， ， ， ． 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用证明与全等． 四、本大题2个小题，每小题7分，共14分． 20. 2023年3月，某中学发起“劳动最光荣•加油好少年”主题活动，学校团委为了了解学生参与本次主题活动的情况，随机抽取部分学生进行调查，根据调查结果绘制如下不完整的统计图：请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了_______名学生，并补全条形统计图． （2）若该校共有名学生参加本次主题活动，则本次活动中该校参加“洗碗”劳动的学生约有多少名？ （3）现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁4名学生中，随机抽取2名学生谈一谈劳动感受，请用列表或画树状图的方法，求甲、丁两人同时被抽中的概率． 【答案】（1），见解析 （2）名 （3）图见解析， 【解析】 【分析】（1）由做饭的人数及其所占百分比可得答案；利用总人数减去其他的人数即可求得扫地人数，然后补全统计图即可； （2）用1200乘以洗碗所占的百分比即可求出答案； （3）画出树状图即可求出甲、丁两人同时被抽中的概率． 【小问1详解】 解： (名)，(名)， 故答案为：，补全条形统计图如下： 【小问2详解】 名， 答：该校名学生中参与洗碗的学生约有名； 【小问3详解】 从甲、乙、丙、丁四个人中选择2个人所有可能出现的结果情况如下： 第一人 第二人 甲 乙 丙 丁 甲 乙甲 丙甲 丁甲 乙 甲乙 丙乙 丁乙 丙 甲丙 乙丙 丁丙 丁 甲丁 乙丁 丙丁 共有12种可能出现的结果，其中甲、丁同时被抽中的有2种， 所以甲、丁同时被抽中的概率为． 【点睛】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，由样本估计总体，画树状图或列表法求概率，掌握列表法或树状图求概率是解题的关键． 21. 某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利50元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件． （1）若商场要求该服装部每天盈利2400元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？ （2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多． 【答案】（1）每件衬衫应降价20元；（2）每件衬衫降价15元时，商场服装部每天盈利最多． 【解析】 【分析】（1）利用每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，即可得出每件衬衣降价x元，每天可以多销售2x件，进而得出y与x的函数关系式；再利用商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数=（50﹣降低的价格）×（40+增加的件数），把相关数值代入即可求解； （2）利用商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数=（50﹣降低的价格）×（40+增加的件数），利用二次函数最值求法得出即可． 【详解】解：（1）设每件衬衫应降价x元，由题意得： （50﹣x）（40+2x）=2400， 解得：x1=10，x2=20， 因为尽量减少库存，x1=10舍去． 答：每件衬衫应降价20元． （2）设每天盈利为W元，则 W=（50﹣x）（40+2x）=﹣2（x﹣15）2+2450， 当x=15时，W最大为2450． 答：每件衬衫降价15元时，商场服装部每天盈利最多． 五、本大题2个题，每小题8分，共16分． 22. 已知方程是关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数方程中有两个不相等的实数根． （2）若，是方程的两根，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用一元二次方程根的判别式进行判断，即可得到结论成立； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得，再代入，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴对于任意实数，原方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵， ∴原方程为， ∵，是方程的两根， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． 23. 某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上，C村在B村的正东方向且两村相距2.4千米．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明． （参考数据：≈1.73，≈1.41） 【答案】不穿过，理由见解析 【解析】 【分析】先作AD⊥BC，再根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD=30°，设CD=x，可表示AD和BD，然后根据特殊角三角函数值列出方程，求出AD，与800米比较得出答案即可． 【详解】不穿过，理由如下： 过点A作AD⊥BC，交BC于点D，根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD=30°. 设CD=x，则BD=2.4-x， 在Rt△ACD中，∠ACD=45°， ∴∠CAD=45°， ∴AD=CD=x． 在Rt△ABD中，， 即， 解得x=0.88， 可知AD=0.88千米=880米， 因为880米＞800米，所以公路不穿过纪念园． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键． 六、本大题共2个小题，共24分，每小题12分． 24. 如图，已知以的直角边为直径作交斜边于点，连接并延长交的延长线于点，连接，点为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，可根据三角形中位线的性质可判断，然后根据直径所对的圆周角是直角，可得，进而知，然后根据垂径定理可得，，再通过可知，因此可证是的切线； （）根据题意先由勾股定理求出，设，则，由勾股定理得，即，求出，最后再由勾股定理求出即可． 【小问1详解】 证明: 连接， 则由题意为的中位线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 由垂径定理知，所在直线垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 ∵的半径为，，， ∴为直角三角形，，， 由勾股定理得：， ∴， 由（）知，为直角三角形，且， 设，则， ∴由勾股定理得，即， 解得：， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， 在中，． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，中位线定理，熟练掌握知识点的应用质是解题的关键． 25. 如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点． （1）请直接写出点，，坐标； （2）点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值． （3）点是抛物线上的动点，作//交轴于点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，； （2），面积的最大值； （3）存在，或或． 【解析】 【分析】（1）令得到，求出x即可求得点A和点B的坐标，令，则即可求点C的坐标； （2）过P作轴交BC于Q，先求出直线BC的解析式，根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，的面积最大，利用三角形面积公式求解； （3）根据点是抛物线上的动点，作//交轴于点得到，设，当点F在x轴下方时，当点F在x轴的上方时，结合点，利用平行四边形的性质来列出方程求解． 【小问1详解】 解：令， 则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴； 【小问2详解】 解：过P作轴交BC于Q，如下图． 设直线BC为，将、代入得 ， 解得， ∴直线BC为， 根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，的面积最大， ∵， ∴ ，， ∴， ∵， ∴时，PQ最大为， 而， ∴的面积最大为； 【小问3详解】 解：存在． ∵点是抛物线上的动点，作//交轴于点，如下图． ∴，设． 当点F在x轴下方时， ∵， 即， ∴， 解得（舍去），， ∴． 当点F在x轴的上方时，令， 则 ， 解得，， ∴或． 综上所述，满足条件的点F的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数与平行四边形、二次函数与面积等问题的综合题，主要考查求点的坐标，平行四边形的性质，面积的表示，涉及方程思想，分类思想等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$