2.2.2 圆周角 课件　2023—2024学年湘教版数学九年级下册

（九年级 全一册） 九年级下册 第2章 圆 2.2 圆心角、圆周角 2.2.2 圆周角（2课时） 第1课时 圆周角定理及其推论1 2023 1 起航加油 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 2 知识梳理 1.圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆______的角. 相交 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______. 一半 3.圆周角定理推论1：在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的_______ 相等；相等的圆周角所对的____也相等. 圆周角 弧 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 3 课前自测 1.下列各图中， 为圆周角的是( ) . C A.&1& B.&2& C.&3& D.&4& ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 4 图1 2.如图1，点 ， ， 在 上， ，则 的度数为_ _____. <m></m> 图2 3.如图2，点 在以 为直径的 上， ， 则 的度数为_ ___． <m></m> 提示：圆周角 和圆周角 所对的弧为 ， 根据圆周角定理的推论1，可得 . ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 5 随堂演练 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 6 典型题析 知识点一 圆周角定理 方法指导 圆周角定理给出了一条弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系，利用这一数量关系可以解决求圆周角或圆心角度数的问题. ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 7 图3 例1 如图3，点 ， ， ， 在 上， ， 是 的中点，则 的度数是 ( ) . A. B. C. D. 思路点拨&5& . ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 8 图4 解 如图4，连接 . 圆周角 和圆心角 所对的弧为 ， ． ， 是 的中点， . . . ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 9 图3 例1 如图3，点 ， ， ， 在 上， ， 是 的中点，则 的度数是 ( ) . A A. B. C. D. ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 10 知识点二 圆周角定理的推论1 方法指导 在同圆或等圆中，要证明圆周角相等，通常考虑这两个圆周角是不是同弧或等弧所对的圆周角. ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 11 思路点拨 图5 例2 如图5， 是 的中点，点 在 上， ， 相交于点 ． 求证： . ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 12 图5 证明 是 的中点， . . 又 圆周角 和圆周角 所对的弧为 ， . . 又 ， . . . ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 13 当堂检测 1.下列各角属于圆周角的是( ) . A A.&6& B.&7& C.&8& D.&9& ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 14 图6 2.（江苏常州中考）如图6， 是 的直径， 是 的弦.若 ，则 的度数是 ( ) . C A. B. C. D. 提示：由圆周角 和圆心角 所对的弧为 ， 得 . 又 ，故 . ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 15 图7 3.如图7，在由边长为1的小正方形构成的网格中，半 径为1的 的圆心 在格点上，则 的正切值 为_ _. <m></m> 提示：连接 .由圆周角 和圆周角 所对 的弧为 ，得 . 故 . ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 16 图8 4.如图8，已知 ， ， ， 是 上的四个点， ， 交 于点 ，连接 ， ．求 证： 平分 ． 证明： ， . 平分 . ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 17 课后达标 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 18 基础巩固 图9 1.如图9，点 ， ， ， 都在 上， ， 相 交于点 ，则下列各角中，与 的度数相等的是 ( ) . A A. B. C. D. ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 19 图10 2.（甘肃武威中考）如图10，点 ， ， ， ， 在 上， ， ，则 的度数 是( ) . D A. B. C. D. ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 20 图11 3.（山东滨州中考）如图11，在 中，弦 ， 相交于点 .若 ， ，则 的 度数为( ) . A A. B. C. D. ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 21 图12 4.如图12， ， ， ， 是 上的四点， 为 的 中点，若 ，则 的度数为_ ___. <m></m> ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 22 图13 5.如图13，在 中， ， ，则 的度数为_ ___. <m></m> 提示：由 ，得 . 则 .故 . ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 23 图14 6.如图14，已知 是 的直径，若 . 求 的度数. 解： ， 是 的直径， . 又圆周角 和圆心角 所对的弧为 ， . ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 24 能力提升 图15 7.如图15，将一块等腰直角三角尺放在以 为 直径的半圆 上，锐角顶点 在半圆 上， 的两边分别交半圆 于 ， 两点.若 ， 则 的长是_ ___. <m></m> 提示：连接 ，则 . 因为圆周角 和圆心角 所对的弧为 ， 所以 . 故 . ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 25 图16 8.如图16， ， 分别为 ， 的中点，弦 交 于点 ，交 于点 . 求证： . 证明： ， 分别为 ， 的中点， ， . ， . . ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 26 拓展延伸 图17 9.如图17， 的半径为1， ， ， ， 是 上 的四个点， . （1）判断 的形状，并证明你的结论. 解： 是等边三角形. 证明：在 中， 与 都是 所对的圆周角， 与 都是 所对的圆周角， ， ， . 为等边三角形. ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 27 （2）试写出线段 ， ， 之间的数量关系，并证明你的结论. 图17 . 证明如下：如图65，在 上截取 ，连接 ， ， 是等边三角形. ， . . 又 ， 圆周角 和圆周角 所对的弧为 ， 图65 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 28 图65 . 在 和 中， . ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 29 $$（九年级 全一册） 九年级下册 第2章 圆 2.2 圆心角、圆周角 2.2.2 圆周角（2课时） 第2课时 圆周角定理的推论2及圆内接四边形的性质 2023 1 起航加油 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 2 知识梳理 1.圆周角定理的推论2： 直径所对的圆周角是____角； 的圆周角所对的弦是______. 直 直径 2.圆内接四边形 （1）定义：顺次连接圆上的四点所得的四边形，称为圆内接四边形. 这个圆叫作这个四边形的________. 外接圆 （2）性质：圆内接四边形的对角______. 互补 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 3 课前自测 1.用直角三角尺检查半圆形的工件，下列工件中合格的是( ) . C A.&1& B.&2& C.&3& D.&4& 图1 2.如图1， 是 的直径，点 在 上，则 的 度数是____；若 ， ，则 的长是 ___. <m></m> 5 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 4 图2 3.如图2，点 ， ， 在半径为3的圆上，且 ，则 的长为___. 6 提示：根据“ 圆周角所对的弦是直径”，可知， 为圆的直径，故 的长为6. 图3 4.（甘肃武威中考）如图3， 是四边形 的外 接圆.若 ， ，则 的度数是 ____， 的度数是_ ___. <m></m> <m></m> ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 5 随堂演练 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 6 典型题析 知识点一 圆周角定理的推论2 方法指导 运用圆周角定理的推论2作辅助线的方法： （1）有直径，通常作直径所对的圆周角，从而得到 的角（或 垂直关系）.简记为：见直径作直角. （2）有 的圆周角，通常作直径.简记为：有直角作直径. ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 7 图4 例1 如图4，已知在 中， 为 的直径， ， 分别交 于点 ， ，且 . （1）求证： 是 的中点. ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 8 思路点拨 （1）&5& . ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 9 图4 例1 如图4，已知在 中， 为 的直径， ， 分别交 于点 ， ，且 . （1）求证： 是 的中点. 证明 如图5，连接 ． 是 的直径， ． . ， . 图5 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 10 ． 在 和 中， . ． 是 的中点. 图5 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 11 （2）求证： ． 图4 （2）&6& . 思路点拨 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 12 （2）求证： ． 图4 图5 如图5，连接 . 是 的直径， ，即 ． ， . 又 ， ． . . 是 的中点， . ． ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 13 知识点二 圆内接四边形的性质 方法指导 涉及圆的内接四边形的证明或计算问题，可通过“圆内接四边形的对角互补”得到角的对应关系，再转化为解题所需要的条件． ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 14 思路点拨 图6 例2 如图6，四边形 内接于 ， ，延长 到点 ，使 ，连接 ．求证： ． ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 15 图6 证明 ， . ． 四边形 内接于 ， . 又 ， ． 在 和 中， . ． ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 16 当堂检测 图7 1.（四川广元中考）如图7， 是 的直径， ， 是 上的两点，若 ，则 的度 数为( ) . A A. B. C. D. ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 17 图8 2.在数学实践活动课中，小辉用自己制作的一把“直角 角尺”测量、计算圆的直径.将“直角角尺”按图8所示的 方式放置， ， ， 分别与圆交于点 ， ，读得数据 ， ，则此圆的直径 为____. 10 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 18 图9 3.如图9，四边形 内接于 ， 为 延长线 上的一点，若 ，则 的度数为_ ___. <m></m> 提示：由已知，得 .由四边形 内接于 ，得 . 又 ，故 . ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 19 图10 4.如图10，四边形 是 的内接四边形， 是 直径， ， .求 的度数. 解：连接 四边形 是 的内接四边形， , . ， . 是 的直径， . . ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 20 课后达标 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 21 基础巩固 图11 1.如图11， 是 的直径，点 在圆上， ，则 的度数是( ) . A A. B. C. D. ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 22 图12 2.如图12， 与 交于 ， ， ， 四点， ， ，则 的度数为( ) . C A. B. C. D. ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 23 图13 3.如图13，四边形 内接于 ， 是 的直 径， ，则 的度数是____， 的度数 是_ _____. <m></m> <m></m> ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 24 图14 4.如图14，点 ， ， 在 上， ，则 的度数为_ _____. <m></m> 小锦囊 构造与 同弧的圆周角，从而根据圆内接四边形的性质求解． 提示：如图66，在优弧 上任意找一点 ，连接 ， ． 则 .故 ． 图66 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 25 图15 5.如图15，已知在四边形 中， ，则 ， ， ， 四个 点是否在同一个圆上？若是，请画出这个圆；若 不是，请说明理由. 图67 解： ， ， ， 四个点在同一个圆上. 如图67，以 的中点为圆心， 以 为半径可画出所求圆． ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 26 图16 6.如图16，以 的 边为直径作 ，交 边于 点 ，且 为 的中点， .求 的度数. 解：连接 为 的直径， .又 是 的中点， .在 和 中， . ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 27 能力提升 图17 7.如图17，在平面直角坐标系中， 为原点，直径为 10的 与 轴相交于点 和点 ， 是 轴右侧优 弧 上的一点，且 ，则点 的坐标为 ( ) . B A. B. C. D. 提示：连接 .由 ，得 是 的直径.则 . 又 ，故 .因此 . ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 28 图18 8.（山东威海中考）如图18，已知四边形 是 的内接四边形，连接 ， ，延长 至点 . （1）若 ，求证： . 证明： 四边形 是 的内接四边形， . 又 ， ， ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 29 圆周角 和圆周角 所对的弧为 ， . 图18 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 （2）若 ， 的半径为2，求 的值． 图18 图68 解：如图68，连接 并延长，交 于点 ，连 接 ，则 . 在 中， ， ， ． 圆周角 和圆周角 所对的弧为 ， ． ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 31 拓展延伸 图19 9.如图19， 内接于 ， 为直径， 的平分线 交 于点 ，交 于点 ， 于点 ，交 于点 ，连接 ． （1）求证： ． 证明： 平分 ， 与 都是 所对的圆周角， . ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 32 （2）求证： 是线段 的中点. 图19 证明： 为 的直径， . ， . . . 由（1）得 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 33 图19 ， ， 是线段 的中点. ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 34 图19 （3）若 的半径为6， ，求 的值. 解：由（1）得 ， . . 的半径为6， 在 中 . ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 35 $$