精品解析：四川省广元市旺苍县2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

旺苍县2024年春九年级学业水平模拟测试 数学 说明： 1．全卷满分 150分，考试时间120 分钟． 2．本试卷分为第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷(非选择题) 两部分，共三个大题26 个小题． 3．考生必须在答题卡上答题，写在试卷上的答案无效．选择题必须使用2B 铅笔填涂答案，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔答题． 4．考试结束，将答题卡和试卷一并交回． 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题 (每小题3分，共30分) 下列每小题所给的四个选项中，只有一项是最符合题意的， 1. 下列右边的四个图形中，不能由图形在同一平面内经过旋转得到的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 2. 下列说法正确的是（ ） A. “守株待兔”是必然事件 B. “概率为 0.0001的事件”是不可能事件 C. 任意掷一枚质地均匀的硬币 20次，正面向上的次数一定是10次 D. “在一个只装有5个红球的袋中摸出1 个球是红球”是必然事件 3. 如图，量角器外沿上有三点、、，它们所表示的读数分别是、、，则的大小是（ ） A. B. C. D. 4. 将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 2023年9月23日至10月8日，第19届亚洲运动会在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人，分别取名“琮琮”“宸宸”和“莲莲”，某商户7月份销售吉祥物周边产品10万个，9月份销售万个．设该商户吉祥物周边产品销售量的月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 图象与坐标轴无交点 B. 图象分布在一、三象限 C. 图象关于直线对称 D. y随x的增大而减小 7. 在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（　　） A. 14米 B. 12米 C. 11米 D. 10米 8. 如图，矩形的外接圆O与水平地面相切于点A，已知圆O的半径为4，且．若在没有滑动的情况下，将圆O向右滚动，使得O点向右移动了，则此时与地面相切的弧为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的内切圆与、、相切于点、、，已知，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，且．若将此抛物线先向左平移5个单位，再向下平移n个单位，所得新抛物线与x轴两个交点间的距离为4，则 n的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第Ⅱ卷非选择题 二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)把正确答案直接写在答题卡相应的横线上． 11. 在一个不透明的袋子中有50个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中白球有______个． 12. 一元二次方程的根是_______． 13. 如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为______． 14. 在平面直角坐标系中，抛物线关于原点对称所得新抛物线的解析式为_________． 15. 如图，A（a，b）、B（－a，－b）是反比例的数的图象上的两点，分别过点A、B作y轴的平行线，与反比例函数的图象交于点C、D，若四边形ACBD的面积是8，则m、n之间的关系是________． 16. 如图，的半径是4，点A是圆上一个定点，点在上运动，且，，垂足为点，连接，则的最小值是____________． 三、解答题(本大题共 10个小题，共96分) 要求写出必要的解答步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 20. 已知在7×7的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： （1）如图1，与交于点 M； ①找格点 E，使 ； ②直接写出 的度数 ． （2）如图2，点A、B、C均在格点上，依照（1）中方法在上作点 M，使． 21. 某学校在假期开展了“阳光阅读”活动，为了解学生的阅读情况，随机抽取部分学生进行阅读量的调查，阅读量分为四个类别∶A．1~2本，B．3~4本，C．5~6本，D．6本以上，将调查结果进行统计，绘制出如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次调查的学生共有 人； 在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是 （2）请补全条形统计图； （3）某班有4名同学（分别记为甲、乙、丙、丁，其中甲为小明）阅读量为D类别，现从这4人中随机选取两人参加比赛，请利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率． 22. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）点是轴上一点，连接、，当是直角三角形且以为直角边时，直接写出点的坐标． 23. 如图，在中，，以为直径的与边交于点，过点作，垂足为点，的反向延长线交于点． （1）求证∶是的切线； （2）若圆的半径为，，求的长． 24. 某公司抓住“一带一路”的机遇不断创新发展，生产销售某产品，该产品销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为：． （1）当销售总额为120万元时，求每件售价多少元； （2）若总成本P（万元）与销售量y（万件）之间存在如图所示的变化趋势，当时可看成一条线段，当时可看成抛物线，问售价为多少元时，总利润最大，最大值是多少？ 25. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中，，． （1）操作发现∶ 如图2，固定，使绕点C旋转，当点D恰好落在边上时，填空∶ ①线段与的位置关系是 ； ②设的面积为， 的面积为，则与的数量关系是 ． （2）猜想论证∶ 当绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究 已知，点D是角平分线上一点，，交于点E（如图4），若在射线上存在点F，使，请直接写出的长． 26. 已知抛物线． （1）求抛物线与x轴的交点坐标； （2）若，抛物线的顶点为C，抛物线和x轴交点为E、F，直线l：与抛物线交于点A、B（点B与点C不重合），与y轴交于点P，直线BD垂直于直线，垂足为D． ①若的面积为3，求k的值； ②证明：对于每一个给定的实数k，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 旺苍县2024年春九年级学业水平模拟测试 数学 说明： 1．全卷满分 150分，考试时间120 分钟． 2．本试卷分为第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷(非选择题) 两部分，共三个大题26 个小题． 3．考生必须在答题卡上答题，写在试卷上的答案无效．选择题必须使用2B 铅笔填涂答案，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔答题． 4．考试结束，将答题卡和试卷一并交回． 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题 (每小题3分，共30分) 下列每小题所给的四个选项中，只有一项是最符合题意的， 1. 下列右边的四个图形中，不能由图形在同一平面内经过旋转得到的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，解题的关键是掌握把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换． 【详解】解：①由顺时针旋转得到，故①正确； ②由逆时针旋转得到，故②正确 ③由无法旋转得到，故③错误； ④由顺时针旋转得到，故④正确． 故选：C． 2. 下列说法正确的是（ ） A. “守株待兔”是必然事件 B. “概率为 0.0001的事件”是不可能事件 C. 任意掷一枚质地均匀的硬币 20次，正面向上的次数一定是10次 D. “在一个只装有5个红球的袋中摸出1 个球是红球”是必然事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，正确掌握必然事件，不可能事件及随机事件的定义是解题的关键．一定发生的事件是必然事件，一定不能发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，根据定义逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、“守株待兔”是随机事件，故本选项错误，不符合题意； B、“概率为 0.0001的事件”是随机事件，故本选项错误，不符合题意； C、任意掷一枚质地均匀的硬币 20次，正面向上的次数一定是10次是随机事件，故本选项错误，不符合题意； D、“在一个只装有5个红球的袋中摸出1 个球是红球”是必然事件，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图，量角器外沿上有三点、、，它们所表示的读数分别是、、，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是量角器的使用，圆周角定理的应用，本题先连接，，再求解，再利用圆周角定理可得答案． 【详解】解：如图，连接，， 依题意，得， ∴， 故选：C． 4. 将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程．先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可求解． 【详解】解：， 二次项化系数为1得：， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：A． 5. 2023年9月23日至10月8日，第19届亚洲运动会在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人，分别取名“琮琮”“宸宸”和“莲莲”，某商户7月份销售吉祥物周边产品10万个，9月份销售万个．设该商户吉祥物周边产品销售量的月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】．根据“某商户7月份销售吉祥物周边产品10万个，9月份销售万个”即可得到一元二次方程． 【详解】解：设该商户吉祥物周边产品销售量的月平均增长率为，由题意可得， ， 故选：A 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6. 对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 图象与坐标轴无交点 B. 图象分布在一、三象限 C. 图象关于直线对称 D. y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质． 根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法即可判断． 【详解】解：∵反比例函数， ∴该函数图象在第一、三象限，故选项B正确； 反比例函数图象坐标轴无交点，故选项A正确； 函数图象关于直线对称，故选项C正确； 在每个象限内，随的增大而减小，故选项D错误； 故选：D． 7. 在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（　　） A. 14米 B. 12米 C. 11米 D. 10米 【答案】B 【解析】 【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可． 【详解】解：当时，则， 解得（舍去）或． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键． 8. 如图，矩形的外接圆O与水平地面相切于点A，已知圆O的半径为4，且．若在没有滑动的情况下，将圆O向右滚动，使得O点向右移动了，则此时与地面相切的弧为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质以及圆的周长公式等知识，得出O点转动的周数是解题关键．根据圆的周长公式求出圆的周长以及圆转动的周数，根据题意分别求出和的长，比较即可得到答案． 【详解】解：∵圆O半径为4， ∴圆的周长为：， ∵将圆O向右滚动，使得O点向右移动了， ∴， 即圆滚动8周后，又向右滚动了， ∵矩形的外接圆O与水平地面相切于A点，， ∴，， ∴此时与地面相切的弧为， 故选：A． 9. 如图，的内切圆与、、相切于点、、，已知，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内切三角形的性质，切线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，切线长定理等，连接，，，，，．根据题意可知，且，，，再根据求出，接下来设，根据切线长定理得出，，，求出，再根据勾股定理求出，结合，可知是的垂直平分线，然后根据求出，进而得出答案． 【详解】解：连接，，，，，． ∵的内切圆与、、相切于点、、， ∴，且，，， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ， 即， 解得， 设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，且．若将此抛物线先向左平移5个单位，再向下平移n个单位，所得新抛物线与x轴两个交点间的距离为4，则 n的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴交点问题及抛物线的平移、一元二次方程根于系数的关系，熟练掌握相关性质是解题关键． 设两根为，根据得到，由题意得出当时，抛物线上两点之间距离为4，得，解方程求出即可． 【详解】解：抛物线，当时， 设两根为， 则， ， ， ， ， 此抛物线先向左平移5个单位，再向下平移n个单位，所得新抛物线与x轴两个交点间的距离为4， 即当时，抛物线上两点之间距离为4， 设两根为， 则， ， ， ， ， ， 解得：． 故选：B． 第Ⅱ卷非选择题 二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)把正确答案直接写在答题卡相应的横线上． 11. 在一个不透明的袋子中有50个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中白球有______个． 【答案】 【解析】 【分析】用袋中球的总个数乘以摸到白球的频率，据此可得． 【详解】解：估计袋中白球有个， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系． 12. 一元二次方程的根是_______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 本题可以利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： 或 解得：，， 故答案为：，． 13. 如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算，根据“阴影部分的面积扇形的面积以为直径的半圆的面积 以为直径的半圆的面积扇形的面积”即可求解． 【详解】解： ． 故答案为． 14. 在平面直角坐标系中，抛物线关于原点对称所得新抛物线的解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握利用顶点坐标求抛物线解析式是解题的关键．先求出抛物线的顶点坐标，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点关于原点的对称点，然后再利用顶点式写出对称后的抛物线解析式． 【详解】解：， 抛物线的顶点为， 点关于原点的对称点为， 抛物线关于原点对称所得新抛物线的解析式为， 故答案为：． 15. 如图，A（a，b）、B（－a，－b）是反比例的数的图象上的两点，分别过点A、B作y轴的平行线，与反比例函数的图象交于点C、D，若四边形ACBD的面积是8，则m、n之间的关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据反比例函数的性质可得点在线段上，且，由点是反比例函数的图象上的点，可得，由轴，可得点的坐标为，进而可得的长，从而可以判断四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，然后根据三角形的面积公式可得，整理得：． 【详解】解：连接，，如图， 、关于原点对称，且是反比例函数的图象上的两点， 点在线段上，且， 是反比例函数的图象上的点， ， ∥y轴， 点的坐标为， ， 同理可得， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 整理得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的判定与性质、三角形面积等知识，属于常考题型，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键． 16. 如图，的半径是4，点A是圆上一个定点，点在上运动，且，，垂足为点，连接，则的最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】设交于，连接、、，过作于，连接，由题意易证明是等边三角形，即得出，，从而由勾股定理可求出．再根据直角三角形斜边中线的性质可知，最后利用三角形三边关系即可求解． 【详解】解：设交于，连接、、，过作于，连接， ， ， ， 是等边三角形， ，， 由勾股定理得：． ， ． ， ， 在中，， ， 的最小值是， 故答案为： 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质和三角形三边关系的应用．圆的基本性质，正确的作出辅助线是解题关键． 三、解答题(本大题共 10个小题，共96分) 要求写出必要的解答步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】首先计算零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，绝对值，然后计算加减． 【详解】 ． 【点睛】此题考查了零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，绝对值，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化；先根据分式的混合运算进行计算，然后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 19. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）8米 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 20. 已知在7×7的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： （1）如图1，与交于点 M； ①找格点 E，使 ； ②直接写出 的度数 ． （2）如图2，点A、B、C均在格点上，依照（1）中方法在上作点 M，使． 【答案】（1） ①如图1中， 直线即为所求； ② （2） 解：如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求． 理由：同理可得：，， 而， ∴． 【解析】 【分析】（1）①根据格点特点把向上平移1格即可；②先证明为等腰直角三角形，再利用平行线的性质可得答案； （2）如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求． 【小问1详解】 解∶ ①略 ②∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是平移的性质，平行线的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，熟练的利用网格特点作图是解本题的关键． 21. 某学校在假期开展了“阳光阅读”活动，为了解学生的阅读情况，随机抽取部分学生进行阅读量的调查，阅读量分为四个类别∶A．1~2本，B．3~4本，C．5~6本，D．6本以上，将调查结果进行统计，绘制出如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次调查的学生共有 人； 在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是 （2）请补全条形统计图； （3）某班有4名同学（分别记为甲、乙、丙、丁，其中甲为小明）阅读量为D类别，现从这4人中随机选取两人参加比赛，请利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率． 【答案】（1）50， （2） 补全条形统计图如图所示； （3） 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，树状图或列表法求概等知识． （1）用C的人数除以对应的百分比即可得到本题调查的学生人数，再用乘以B的占比即可得到B所对应的扇形的圆心角的度数； （2）求出A类别人数，据此补全统计图即可； （3）列出表格，利用符合要求的情况数除以总的情况数即可得到答案． 【小问1详解】 解∶ 本题调查的学生人数为(人)， B所对应的扇形的圆心角的度数是 故答案为： 50， ； 【小问2详解】 A类别人数： (人) 【小问3详解】 根据题意，列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 (乙， 甲) (丙， 甲) (丁， 甲) 乙 (甲， 乙) (丙， 乙) (丁， 乙) 丙 (甲，丙) (乙，丙) (丁， 丙) 丁 (甲，丁) (乙， 丁) (丙，丁)  由表格可知：共有 12种等可能出现的结果，其中小明(甲) 被选中的有6种，所以小明被选中的概率为 22. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）点是轴上一点，连接、，当是直角三角形且以为直角边时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合题．主要考查了待定系数法求函数解析式，求一次函数与反比例函数的交点，利用坐标求坐标系中的线段的长度，以及运用数形结合的数学思想解决函数与不等式关系的相关问题，数形结合是解题的关键． （1）根据正比例函数的表达式求出点的坐标，再将点坐标代入反比例函数表达式求出的值，即可得出反比例函数的表达式；根据与关于原点对称，点横坐标与纵坐标分别与点横坐标与纵坐标互为相反数； （2）根据图象分析，不等式即的解集即为一次函数图象位于反比例函数图象上方所对应的的取值范围； （3）设，根据勾股定理表示出，，，进而根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 点的坐标为， 点在反比例函数 的图象上， ， ， 反比例函数的表达式为：， 又点，关于原点对称， 且点的坐标为 ， 点的坐标为； 【小问2详解】 观察函数图象， 可知：当或时， 正比例函数的图象在反比例函数 的图象上方， 不等式的解集为 或； 【小问3详解】 点的坐标为或． 设， ，， ， ，， 当是直角三角形且以为直角边时， 则当边为斜边时，， 即， 解得：； 当边为斜边时，， 即， 解得：， 故点的坐标为：或 23. 如图，在中，，以为直径的与边交于点，过点作，垂足为点，的反向延长线交于点． （1）求证∶是的切线； （2）若圆的半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明∶ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，矩形的判定与性质，解题的关键是综合运用知识解题． （）连接，根据已知条件得到，即可得到结论； （）过作于，构建矩形，设，则有，，在中，利用勾股定理，得到进而可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∶ 如图， 过点作 于点， 则 ∴四边形是矩形， ∴， ， 设， 则 ， ∵， ∴， 在 中， 由勾股定理知∶ 即 解得 ， (不合题意， 舍去)， ∴， ∵， ∴ ∴． 24. 某公司抓住“一带一路”的机遇不断创新发展，生产销售某产品，该产品销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为：． （1）当销售总额为120万元时，求每件售价多少元； （2）若总成本P（万元）与销售量y（万件）之间存在如图所示的变化趋势，当时可看成一条线段，当时可看成抛物线，问售价为多少元时，总利润最大，最大值是多少？ 【答案】（1）每件售价10元或12元 （2）售价为16元时，总利润最大，最大值是46万元 【解析】 【分析】（1）根据销售总额=单价×销售量，列出方程求解即可； （2）用待定系数法求出当时，P关于y的函数解析式为，设利润为W，根据，进行分类讨论：①当时，②当时，根据二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意可得： ， 整理得：， 解得：， 答：每件售价10元或12元； 【小问2详解】 解：设当时，P关于y的函数解析式为， 将代入得： ，解得：， ∴当时，P关于y的函数解析式为， 设利润为W， ， ①当时， ， ∵， ∴当时，，符合题意， ∴当时，W有最大值46； ②当时， ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，W随y的增大而减小， ∴当时，， 综上：售价为16元时，总利润最大，最大值是46万元． 25. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中，，． （1）操作发现∶ 如图2，固定，使绕点C旋转，当点D恰好落在边上时，填空∶ ①线段与的位置关系是 ； ②设的面积为， 的面积为，则与的数量关系是 ． （2）猜想论证∶ 当绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究 已知，点D是角平分线上一点，，交于点E（如图4），若在射线上存在点F，使，请直接写出的长． 【答案】（1）① ② （2） 解：如图3中， 过点 D作于 M， 过点A 作 与 N． 是由 绕点 C 旋转得到， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）存在； 或 【解析】 【分析】（1）①根据旋转的性质结合、的大小可得是等边三角形，从而可得； ②根据等边三角形性质和角所对的直角边等于斜边的一半可得，从而可得即； （2）过点 D作于 M， 过点A 作 与 N，根据旋转的性质易证，可得，结合，即可证得； （3）作交于 F． 延长交于 H，可得四边形是平行四边形，从而可得，结合角平分线性质和，可得四边形是菱形，再根据勾股定理可求得菱形边长，得出第一种情况，根据图形可知点F的情况存在两种，结合平行线的性质和锐角三角函数即可求得另一种情况下的长． 【小问1详解】 解：①如图2中， 由旋转可知： 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ②，， ， ， ， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图4中， 作交于 F． 延长交于 H． ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 作点F关于的对称点， 连接 ， ， 在中， ， ， 综上所述，满足条件的的值为： 或 ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等角对等边，等边三角形性质与判定，勾股定理，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，平行线的性质与判定，角平分线性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 26. 已知抛物线． （1）求抛物线与x轴的交点坐标； （2）若，抛物线的顶点为C，抛物线和x轴交点为E、F，直线l：与抛物线交于点A、B（点B与点C不重合），与y轴交于点P，直线BD垂直于直线，垂足为D． ①若的面积为3，求k的值； ②证明：对于每一个给定的实数k，都有． 【答案】（1）和 （2）①或； ②由题意得： 解得： 或 ， ∴或，且， 若 ∵直线垂直于直线， 垂足为D， ∴， 在中，令，得， ∴， 设直线解析式为， 则 解得：， ∴直线解析式为， 设直线的解析式为 则 解得：， ∴直线 的解析式为， ∴． 若 同理． 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，等腰直角三角形性质等，解题关键是利用两条直线解析式中一次项系数相等判断两条直线平行． （1）令，得，解得或，即可得出抛物线与x轴的交点坐标； （2）①根据题意可得，求出点C的坐标为， 可得，联立得，可得，从而得到，再由的面积为3，可得关于k的方程，即可求解；②通过解方程组可求得直线与抛物线交点A、B的坐标，正确的D、P的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，即可利用两条直线一次项系数的关系判断两条直线是否平行． 【小问1详解】 解：在 中， 令，得 ， ∵， ， 解得：或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和； 【小问2详解】 解：①， ∴， ∵， ∴抛物线的解析式为 ， ∴点C的坐标为， 对于， 当时，， ∴， 联立得：， ， ∴， ， 又， ∵的面积为3， ， 或 （舍去）， ， ； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $