精品解析：山东省枣庄市山亭区翼云中学2023—2024学年下学期开学监测 八年级数学试卷

山亭翼云中学八年级数学 寒假收心检测试题 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 实验小学一年级学生的平均年龄为8岁，方差为2平方岁；那么4年后实验小学五年级学生年龄的统计量中（　　） A. 平均年龄为13岁，方差改变 B. 平均年龄为12岁，方差不变 C. 平均年龄为12岁，方差改变 D. 平均年龄为13岁，方差不变 2. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以原点O为中心，将点A顺时针旋转得到点A'，则点A'坐标为（） A. (0，2) B. C. (2，0) D. 3. 已知点，点，且直线轴，则a的值为（　　） A. B. 7 C. 1 D. 4. 某班为了奖励取得较大进步的同学，花了 元购买了甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元． 求甲、乙两种奖品各买了多少件？若设买了甲种奖品件，乙种奖品件，则下列所列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组几何图形中，一定全等的是（ ） A. 各有一个角是的两个等腰三角形； B. 两个等边三角形； C. 腰长相等的两个等腰直角三角形； D. 各有一个角是，腰长都为的两个等腰三角形． 6. 如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是（　　） A. ∠BAC=∠BAD B. AC=AD或BC=BD C. AC=AD且BC=BD D. 以上都不对 7. 如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA，过点D作DE⊥BC，交AB于E，则下列结论一定正确的是（　　） A. AE=BE B. DB=DE C. AE=BD D. ∠BCE=∠ACE 8. 中，．以为圆心，小于长为半径画弧与、边交于点、．分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，连接交于M．若，则点到的距离是（ ） A. 1 B. C. D. 3 9. 如图，四边形中，垂直平分，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. D. 10. 如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，共30分） 11. 已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是______． 12. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果______，那么________． 13. 如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，∠1=∠2，有下列结论：（1）AC∥DE；（2）∠A=∠3；（3）∠B=∠1；（4）∠B与∠2互余；（5）∠A=∠2．其中正确的有___（填写所有正确的序号）． 14. 如图，已知于点，于点，且，，，则__________． 15. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=8．对角线BD⊥CD，P是BC边上一动点，连结PD．若∠ADB=∠C，则PD长的最小值为_______. 16. 如图，已知点B、C、D、E在同一直线上，是等边三角形，且，则__________． 三、解答题（30分） 17. 如图，已知点、、、都在的边上，，，求的度数．（请任下面的空格处填写理由或数学式） 解：（已知） ______（______） （已知） ______（______） ____________，（______） ______，（两直线平行，同旁内角互补） ______，（已知） （等量代换） ______． 18. 已知：如图，在中，，O是内一点，且． 求证：直线垂直平分线段． 19. 如图，在中，，中线、相交于点．求证：． 20. 已知：线段，． 求作：，使，且，高．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，写出作图的结论） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山亭翼云中学八年级数学 寒假收心检测试题 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 实验小学一年级学生的平均年龄为8岁，方差为2平方岁；那么4年后实验小学五年级学生年龄的统计量中（　　） A. 平均年龄为13岁，方差改变 B. 平均年龄为12岁，方差不变 C. 平均年龄为12岁，方差改变 D. 平均年龄为13岁，方差不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数与方差的含义，根据4年后，平均年龄加4，数据的波动性不变，作答即可． 【详解】由题意知，实验小学一年级的学生4年后，每个同学的年龄都加4， 则平均年龄加4，数据的波动性不变， 即方差不变，平均年龄为12岁， 故A、C、D不符合要求；B符合要求； 故选：B． 2. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以原点O为中心，将点A顺时针旋转得到点A'，则点A'坐标为（） A. (0，2) B. C. (2，0) D. 【答案】D 【解析】 【详解】如图，作AB⊥x轴于点B，∴AB= ，OB=1，则tan∠AOB= ，∴∠AOB=60°， ∴∠AOy=30°，∴将点A顺时针旋转150°得到点A′后，如图所示，OA′=OA==2，∠A′OC=30°，∴A′C=1，OC=，即A′（，–1），故选D． 3. 已知点，点，且直线轴，则a的值为（　　） A. B. 7 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行于y轴的直线上的点的坐标特征：横坐标相等进行解答即可． 【详解】解：∵点，点，且直线轴， ∴，解得， 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形，熟知平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解答的关键． 4. 某班为了奖励取得较大进步的同学，花了 元购买了甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元． 求甲、乙两种奖品各买了多少件？若设买了甲种奖品件，乙种奖品件，则下列所列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是正确理解题意，抓住关键语句，找出等量关系． 根据题意可得等量关系：①甲商品数量+乙商品数量=30件；②甲商品的总价+乙商品的总价=400，然后列出方程组即可． 【详解】解：设买了甲种奖品件，乙种奖品件，依题意得： ， 故选：D 5. 下列各组几何图形中，一定全等的是（ ） A. 各有一个角是的两个等腰三角形； B. 两个等边三角形； C. 腰长相等的两个等腰直角三角形； D. 各有一个角是，腰长都为的两个等腰三角形． 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定方法的理解及运用，做题时要确定各角、边的对应关系．利用三角形全等的判定方法对选项这个进行判断．（如、、、等） 【详解】解：A、不正确，因为没有指出该角是顶角还是底角则无法判定其全等； B、不正确，因为没有指出其边长相等，而全等三角形的判定必须有边的参与，所以该项不正确； C、正确，因为符合； D、不正确，因为没有说明该角是顶角还是底角． 故选：C 6. 如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是（　　） A. ∠BAC=∠BAD B. AC=AD或BC=BD C. AC=AD且BC=BD D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，因图中已经有AB为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可． 【详解】解：从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边． 根据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，还需补充一对直角边相等， 即AC=AD或BC=BD， 故选：B． 【点睛】此题主要考查学生利用“HL”证明直角三角形全等，解题的关键是掌握“HL”判定定理． 7. 如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA，过点D作DE⊥BC，交AB于E，则下列结论一定正确的是（　　） A. AE=BE B. DB=DE C. AE=BD D. ∠BCE=∠ACE 【答案】D 【解析】 【详解】A．∵DE⊥BC，∠A=90°， ∴∠A=∠CDE=90°， 在Rt△CAE和Rt△CDE中， ∵CA=CD，CE=CE， ∴Rt△CAE≌Rt△CDE（HL）， ∴AE=DE， ∵在Rt△BED中，BE＞DE， ∴BE＞AE， 故A错误； B．根据已知不能得出BD=DE，故B错误； C．根据已知不能得出BD=DE，又由DE=AE，即不能推出BD=AE，故C错误； D．∵Rt△CAE≌Rt△CDE， ∴∠BCE=∠ACE， 故D正确． 故选∶D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明直角三角形全等，直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL． 8. 中，．以为圆心，小于长为半径画弧与、边交于点、．分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，连接交于M．若，则点到的距离是（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形内角和定理，角平分线的作法及性质，含30度角的直角三角形性质的应用，能求出的长和得出点到的距离等于的长是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等，难度适中．先求出的度数，求出，根据含角的直角三角形性质求出，求出长，根据角平分线性质求出即可． 【详解】解：在中，， ， 以为圆心，小于长为半径画弧与、边交于点、．分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点， ， ， ， ， 由勾股定理得：， 解得：， ，， 点到的距离等于的长，即是1， 故选：A． 9. 如图，四边形中，垂直平分，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，先由垂直平分线的性质得，，再证明，故平分，然后运用证明，即可作答． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，，故A选项成立， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故B选项成立， ∴． 在和中， ∵， ∴．故D选项成立， 没有可证明的条件，故C选项不一定成立， 故选：C． 10. 如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角定理，熟练掌握等边三角形性质及外角定理是解题的关键利用等边三角形的性质及三角形外角定理计算即可 【详解】∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选： 二、填空题（每题5分，共30分） 11. 已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据一次函数经过的象限推得，，进行求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴，， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，时函数图象经过第一、二、三象限是解答此题的关键． 12. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果______，那么________． 【答案】 ①. 两个角是对顶角 ②. 这两个角相等 【解析】 【分析】把命题改写成“如果……那么……”形式时，“如果”的部分接命题的条件，“那么”的部分接命题的结论；原命题“对顶角相等”中，条件是两个角为对顶角，结论是这两个角相等，按要求拆分填写即可． 【详解】解：如果两个角为对顶角，那么两个角相等． 13. 如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，∠1=∠2，有下列结论：（1）AC∥DE；（2）∠A=∠3；（3）∠B=∠1；（4）∠B与∠2互余；（5）∠A=∠2．其中正确的有___（填写所有正确的序号）． 【答案】(1)(2)(3) 【解析】 【分析】由同角的余角相等得到∠1=∠B，由已知内错角相等得到AC与DE平行，由两直线平行同位角相等得到∠A=∠3，再利用等量代换得到∠2与∠B相等，∠2不一定等于∠A． 【详解】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB， ∴△ACD与△ACB都为直角三角形， ∴∠A+∠1=90°，∠A+∠B=90°， ∴∠1=∠B，选项（3）正确； ∵∠1=∠2， ∴AC∥DE，选项（1）正确； ∴∠A=∠3，选项（2）正确； ∵∠1=∠B，∠1=∠2， ∴∠2=∠B，即∠2与∠B不互余，选项（4）错误； ∠2不一定等于∠A，选项（5）错误； 则正确的选项有（1）（2）（3）， 故答案为：（1）（2）（3）． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 14. 如图，已知于点，于点，且，，，则__________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，三角形的外角的性质，掌握知识点是解题的关键． 先证明是的平分线，可得，再根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，，且， ∴是的平分线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=8．对角线BD⊥CD，P是BC边上一动点，连结PD．若∠ADB=∠C，则PD长的最小值为_______. 【答案】8 【解析】 【分析】 【详解】解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小， ∵BD⊥CD,即∠BDC=又∠A= ∴∠A=∠BDC，又∠ADB=∠C， ∴∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC， ∴AD=DP，又AD=8， ∴DP=8. 故答案为8. 16. 如图，已知点B、C、D、E在同一直线上，是等边三角形，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质，求得，根据平角的性质求得，由已知条件根据等边对等角求得，进而求得； 【详解】∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握相关图形的性质是解题的关键． 三、解答题（30分） 17. 如图，已知点、、、都在的边上，，，求的度数．（请任下面的空格处填写理由或数学式） 解：（已知） ______（______） （已知） ______（______） ____________，（______） ______，（两直线平行，同旁内角互补） ______，（已知） （等量代换） ______． 【答案】 ；两直线平行，同位角相等；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；；； 【解析】 【分析】首先可得，进而可推出，根据同旁内角互补即可求出结果． 【详解】解：∵(已知 两直线平行，同位角相等 已知 等量代换 ，内错角相等，两直线平行 ，两直线平行，同旁内角互补 ，已知 等量代换 ． 【点睛】本题考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题关键． 18. 已知：如图，在中，，O是内一点，且． 求证：直线垂直平分线段． 【答案】 证明：， 点在线段BC的垂直平分线上 ∵， 点在线段BC的垂直平分线上 是的垂直平分线． 即直线垂直平分线段． 【解析】 【分析】根据已知条件点在线段BC的垂直平分线上，点在线段BC的垂直平分线上，即可证明是的垂直平分线． 【详解】略 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的判定，三角形全等的性质与判定，掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键． 19. 如图，在中，，中线、相交于点．求证：． 【答案】 证明：的两条中线、， ，， ， ，， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，关键是推出，注意：等角对等边．求出，，证，推出即可． 【详解】略 20. 已知：线段，． 求作：，使，且，高．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，写出作图的结论） 【答案】见解答 【解析】 【分析】先作线段，再作的垂直平分线，垂足为，再在上截取，然后连接、，则满足条件． 【详解】解：如图，为所作． 【点睛】此题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $