1.2 二次函数的图象与性质（4课时）第1课时课件2024-2025学年 湘教版数学九年级下册

（九年级 全一册） 九年级下册 第1章 二次函数 1.2 二次函数的图象与性质（4课时） 第1课时 二次函数 的图象与性质 2023 1 起航加油 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 2 知识梳理 1.画二次函数 图象的步骤：______、______、______. 列表 描点 连线 2.二次函数 的图象： （1）当 时，开口______；当 时，开口______. 向上 向下 （2）对称轴是_ ____. <m></m> 轴 （3）顶点坐标是________. （0,0） ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 3 3.二次函数 的性质： （1）当 时，图象在对称轴左边的部分，函数值 随自变量 取值 的增大而______；图象在对称轴右边的部分，函数值 随自变量 取值 的增大而______.简记为“左降右升”.当 ___时，函数值最小，最小值 为___. 减小 增大 0 0 （2）当 时，图象在对称轴左边的部分，函数值 随自变量 取值 的增大而______；图象在对称轴右边的部分，函数值 随自变量 取值 的增大而______.简记为“左升右降”.当 ___时，函数值最大，最大值 为___. 增大 减小 0 0 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 4 课前自测 1.函数 的图象大致为( ) . A A.&1& B.&2& C.&3& D.&4& ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 5 2.关于二次函数 ，下列说法不正确的是( ) . D A.因为 ，所以图象开口向上 B.图象的对称轴是 轴 C.图象的顶点为 D.当 时， 随 的增大而减小 3.二次函数 的图象开口方向是向____，对称轴是_____，顶点 坐标是______；当 时， 随 增大而______；当 ___时， 有 最____值，这个值是___. 下 <m></m> 轴 <m></m> 增大 0 大 0 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 6 随堂演练 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 7 典型题析 知识点 二次函数 的图象与性质 方法指导 用描点法画二次函数 图象的步骤 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 8 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 例 【动手操作】 （1）在平面直角坐标系中作出二次函数 的图象. 思路点拨 先按列表、描点、连线的步骤画出函数的图象，然后结合图象解答有关性质的问题. ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 10 例 【动手操作】 （1）在平面直角坐标系中作出二次函数 的图象. 解 因为 的图象关于 轴对称，因此列表时，自变量 可以从原点的横坐标0开始取值. 列表： 0 1 2 … 0 … ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 11 描点和连线：先画出图象在 轴右边的部分，再利用 对称性，画出图象在 轴左边的部分，这样就得到了 的图象，如图1. 图1 0 1 2 … 0 … ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 12 【观察思考】 （2）当 时，随着 的值的增大， 的值如何变化？ 当 时呢？ 由（1）中图象可知，当 时， 的值随着 的值的 增大而增大； 当 时， 的值随着 的值的增大而减小. 图1 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 13 （3） 有最大值还是最小值？当 取何值时， 取得这个最值？最值是多少？ 由图象开口向下可知，函数有最大值. 当 时， 有最大值，最大值为0. 图1 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 14 【拓展探究】 （4）函数 的图象开口向____，对称轴是___，顶点坐标是 _______；当 ___时，函数有最____值，其值是___；函数 的图象与函数 的图象关于_ __对称. ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 15 图1 如图1，用同样的方法在同一坐标系中画出函数 的图象.从图1可以看出，函数 的图象开口向上，对称轴是 轴，顶点坐标是 ；当 时，函数有最小值，其值是0；函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称. ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 16 【拓展探究】 （4）函数 的图象开口向____，对称轴是___，顶点坐标是 _______；当 ___时，函数有最____值，其值是___；函数 的图象与函数 的图象关于_ __对称. 上 <m></m> <m></m> 0 小 0 <m></m> ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 17 图2 易错提醒 画图连线时要用光滑的曲线，不能出现折线；抛物线应向开口方向无限延伸，不应有端点.例如，图2中的两种图象都是错误画法. ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 18 当堂检测 1.关于函数 ，下列说法错误的是( ) . C A.图象关于 轴对称 B.图象开口向上 C. 随 的增大而增大 D.当 时，它有最小值，为0 2.二次函数 图象的顶点坐标是______，对称轴是_____，它与 二次函数 的图象关于_ ____对称. <m></m> <m></m> 轴 <m></m> 轴 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 19 3.填空并按要求画出二次函数 的图象． （1）列表： … 0 1 2 3 … … … 3 0 3 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 20 （2）在图3的平面直角坐标系中（网格的单位长度为1），描点并连线． 图3 描点、连线如图36． 图36 … 0 1 2 3 … … … 3 0 3 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 21 （3）函数图象的开口向____，对称轴为_ ____，顶点坐标为______. 上 <m></m> 轴 <m></m> （4）当 时， 随 的增大而______；当 时， 随 的增大 而______. 增大 减小 图36 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 22 课后达标 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 23 基础巩固 1.已知正方形的边长为 ，则它的面积 关于边长 的函 数的图象为( ) . C A.&6& B.&7& C.&8& D.&9& ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 24 2.关于二次函数 的图象与性质，下列说法不正确的是 ( ) . A A.图象开口向上 B.图象关于 轴对称 C.顶点坐标为 D.当 时， 随 的增大而增大 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 25 图4 3.二次函数 的图象如图4，则该二次函数的 表达式为( ) . D A. B. C. D. 小锦囊 将 代入，求出 的值，即得函数表达式. ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 26 4.已知二次函数 ，当 时， 随 的增大而增大，则 实数 的取值范围是_ _____. <m></m> 小锦囊 根据二次函数 的性质，当 时，“左降右升”；当 时，“右升左降”. ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 27 5.如图5，已知点 在二次函数 的图象上，则 的值为___. 4 图5 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 28 6.已知二次函数 的图象经过点 图6 （1）二次函数表达式为_ ____________________， 请在图6的平面直角坐标系中作出它的图象. <m></m> 图象如图37. 图37 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 29 （2）函数图象的开口向____，对称轴为_ ____，顶点坐标为______. 下 <m></m> 轴 <m></m> （3）当 时， 随 的增大而______；当 时， 随 的增大 而______. 减小 增大 （4）点 ____此图象上.（填“在”或“不在”） 在 图37 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 30 能力提升 图7 7.根据图7中的函数图象填空（填序号）． 函数 的图象是____； 函数 的图象是____； 函数 的图象是____； 函数 的图象是____． ③ ② ① ④ 小锦囊 对于 ， 越大，开口越小. ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 31 8.二次函数 的图象与直线 交于点 ． （1）求 ， 的值. 解:因为点 在 的图象上， 所以 ． 所以点 的坐标为 . 将点 代入 ， 得 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 32 （2）写出该二次函数的表达式和该函数图象的顶点坐标、对称轴和开 口方向，并指出当 取何值时， 随 的增大而增大. 由（1）知该二次函数的表达式为 ． 所以该二次函数图象的顶点坐标为 ，对称轴为 轴，开口向上. 当 时， 随 的增大而增大． ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 拓展延伸 图8 9.综合与探究 如图8，在 轴上有两点 ， ，分别过点 ， 作 轴的 垂线，交抛物线 于点 ， ，直线 交直线 于点 ，直线 交直线 于点 ， 点 ， 的纵坐标分别记作 ， . ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 34 【特例探究】 （1）当 ， 时， ____， ____； 当 ， 时， _ ____， _____． <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> 提示：当 ， 时，由题意可得 ， ， ， ．故直线 所对应 的函数的表达式是 ，直线 所对应的函数 的表达式是 .从而点 的坐标是 ，点 的坐标是 ． 故 .同理可得，当 ， 时， . 图8 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 35 【归纳证明】 （2）对任意实数 ， ，猜想 与 的大小关系，并证 明你的猜想． 猜想： . 证明：因为点 的坐标是 ，点 的坐标是 ， 轴， 轴， 点 ， 在抛物线 上， 所以点 的坐标是 ，点 的坐标是 ． 设直线 所对应的函数的表达式是 ，将点 的坐标代入，得 . 解得 . 所以直线 所对应的函数的表达式是 . 图8 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 36 同理可得，直线 所对应的函数的表达式是 . 则点 的坐标是 ，点 的坐标是 ． 所以 . 图8 ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 【拓展应用】 （3）若将抛物线 改为抛物线 ，其他条件不变， 请直接写出 与 的大小关系． 提示：因为 ， ，所以 ， ．从而求得直线 所对应的函数的表达式是 ， 直线 所对应的函数的表达式是 .则 ， . 所以 . 答案： ‹#› 起航加油 随堂演练 课后达标 38 $$