精品解析：河南省周口市沈丘县沈丘县中英文学校2023-2024学年九年级下学期开学数学试题

2023-2024学年九年级下期开学模拟试题 数 学 （时间：100分钟， 满分：120分） 一、选择题（每小题 3 分，共30分） 1. 抛物线顶点坐标是( ) A. （3，1） B. （3，﹣1） C. （﹣3，1） D. （﹣3，﹣1） 2. 某校为了了解七年级800名学生期中数学考试情况，从中抽取了100名学生的期中数学成绩进行了统计，下面判断中不正确的有（ ） A. 这种调查的方式是抽样调查 B. 800名学生是总体 C. 每名学生的期中数学成绩是个体 D. 100名学生的期中数学成绩是总体的一个样本 3. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）. A. ； B. ； C. ； D. . 4. 如图，ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（ ） A. 36° B. 46° C. 27° D. 63° 5. 某超市去年8月-11月，每月总销售额的条形图和每月水果类销售额占总销售额百分比的折线图如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 10月份水果类销售额比11月份多 B 月销售总额与水果类销售额变化不一致 C. 10月份水果类销售额比11月份少 D. 四个月中8月份水果类销售额最高 6. 如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长均为1cm，则这个圆锥的底面半径为（　　）cm A. B. C. D. 2 7. 如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C D. 8. 如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A 3 次 B. 4 次 C. 5 次 D. 6 次 9. 如图所示，以AD为直径的半圆O经过的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，点B、E是半圆弧的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图是函数的图象，直线轴且过点，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题（每小题3 分，共 15 分） 11. 为了估计湖中有多少条鱼，先从湖中捕捉 50 条鱼做记号，然后放回湖里，经过一段时间，等带记号的鱼完全混于鱼群中之后再捕捞，第二次捕鱼共 20条，有 10 条做了记号，则估计湖里有___________条鱼． 12. 飞行中的炮弹经秒后的高度为米，且高度与时间的关系为，若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则炮弹在最高处的时间是第________秒． 13. 如图所示，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则扇形的周长为_____． 14. 七（一）班同学为了解某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据整理如下表（部分）： 月均用水量x/m3 0＜x≤5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20 x＞20 频数/户 12 20 3 频率 0.12 0.07 若该小区有800户家庭，据此估计该小区月均用水量不超过10m3的家庭约有________户． 15. 如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN=20，AC=8，BD=6，则PA+PB的最小值是____________． 三、解答题（共 75分） 16. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心、CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E．求AB、AD的长． 17. 某公司其有名销售人员，为了解该公司销售人员某季度商品销售情况，随机抽取部分销售人员该季度的销售数量，并把所得数据整理后绘制成如下统计图表进行分析． 频率分布表 组别 销售数量（件） 频数 频率 A B C D E 合计 请根据以上信息，解决下列问题： （1）频数分布表中，________、________： （2）补全频数分布直方图； （3）如果该季度销量不低于件的销售人员将被评为“优秀员工”，试估计该季度被评为“优秀员工”的人数． 18. 已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点. (1)求k的值： (2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标. 19. 某政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元． （1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？ （2）小亮调查发现，种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若种湘莲礼盒的售价和销量不变，当种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？ 20. 如图，⊙O的直径AB=12，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD． （1）由AB，BD，围成的阴影部分的面积是　 　； （2）求线段DE的长． 21. 小云在学习过程中遇到一个函数．下面是小云对其探究的过程，请补充完整： （1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而 ，且；对于函数，当时，随的增大而 ，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而 ． （2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表： 0 1 2 3 0 1 综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象． （3）过点(0，m)（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是 ． 22. 为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果． （1）求证：∠BOC＋∠BAD＝90°． （2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长． 23. 如图，直线： 与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过B、C两点． （1）求抛物线的表达式． （2）若 M 是直线上方抛物线上的一动点，当 面积最大时，请求出点 M的坐标． （3）新定义：若 E 是抛物线对称轴上一动点，把绕点 E 旋转 点O 对应点为G，若点 G 恰好落在抛物线上，则称这样的点 E 为“好点”，请直接写出所有“好点”E 的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年九年级下期开学模拟试题 数 学 （时间：100分钟， 满分：120分） 一、选择题（每小题 3 分，共30分） 1. 抛物线的顶点坐标是( ) A. （3，1） B. （3，﹣1） C. （﹣3，1） D. （﹣3，﹣1） 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：抛物线的解析式为：， 其顶点坐标为：． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的顶点式为，此时顶点坐标是，对称轴是直线，此题考查了学生的应用能力． 2. 某校为了了解七年级800名学生期中数学考试情况，从中抽取了100名学生的期中数学成绩进行了统计，下面判断中不正确的有（ ） A. 这种调查的方式是抽样调查 B. 800名学生是总体 C. 每名学生的期中数学成绩是个体 D. 100名学生的期中数学成绩是总体的一个样本 【答案】B 【解析】 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体．本题考查的对象是七年级800名学生期中数学考试情，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本． 【详解】解：A、题中的调查方式为抽样调查，选项正确，不符合题意； B、总体为800名学生的期中数学成绩，而不是学生，选项错误，符合题意； C、每名学生的期中数学成绩是个体，选项正确，不符合题意； D、100名学生的期中数学成绩是总体的一个样本，选项正确，不符合题意； 故选B 【点睛】本题主要考查了总体、个体与样本，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本．关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小． 3. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）. A. ； B. ； C. ； D. . 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式. 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键. 4. 如图，ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（ ） A. 36° B. 46° C. 27° D. 63° 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=54°， ∴∠B=∠ADC=54°． ∵BE为⊙O的直径， ∴∠BAE=90°． ∴∠AEB=90°﹣∠B=90°﹣54°=36°． 故选A． 5. 某超市去年8月-11月，每月总销售额的条形图和每月水果类销售额占总销售额百分比的折线图如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 10月份水果类销售额比11月份多 B. 月销售总额与水果类销售额变化不一致 C. 10月份水果类销售额比11月份少 D. 四个月中8月份水果类销售额最高 【答案】C 【解析】 【分析】根据条形图和折线图逐项分析即可． 【详解】解：由题意知：10月份水果类销售额为（万元）， 11月份水果类销售额为（万元），， ∵， ∴10月份水果类销售额比11月份多， 故选项A正确，但不符合题意；选项C错误，符合题意； 由题意知：8月份水果类销售额为（万元）， 9月份水果类销售额为（万元）， ∵， ∴四个月中8月份水果类销售额最高， 故选项D正确，但不符合题意； ∴月销售总额从8月份到10月份在减少，10月份到11月份在增加；水果类销售额从8月份到9月份在减少，9月份到10月份在增加，11月份到12月份在减少， ∴月销售总额与水果类销售额变化不一致， 故选项B正确，但不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了条形统计图和折线统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 6. 如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长均为1cm，则这个圆锥的底面半径为（　　）cm A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：分析，由题意知，该扇形的面积是S=，故为 故选B 考点：扇形的面积公式 点评：解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式：，注意使用公式时度不带单位., 7. 如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可． 【详解】A．由一次函数y=ax﹣a图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误； B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确； C．由一次函数y=ax﹣a图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误； D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 8. 如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A. 3 次 B. 4 次 C. 5 次 D. 6 次 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．延长交于点，根据线段的和差关系求出，根据等边三角形的性质，得到，再根据直线和圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ； ； 是等边三角形，为等边三角形的高， ， 又∵的 半径为1， ∴在旋转过程中，与边只有一个公共点的情况有 2次，与边有2次，与边有1次，即交点为点，共5次．如图： 故选 C． 9. 如图所示，以AD为直径的半圆O经过的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，点B、E是半圆弧的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接BD、BE、BO、EO，由三等分点定义求出∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，根据的长为，求出R=2，分别求出AB、BC，勾股定理求出AC，得到△ABC的面积，由△BOE和△ABE同底等高，得到图中阴影部分的面积为，代入数值计算可得． 【详解】解：连接BD、BE、BO、EO， ∵点B、E是半圆弧的三等分点， ∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°， ∴∠EAB=∠BAD=∠EBA=30°， ∴， ∵的长为， ∴， 解得R=2， ∴， ∴， ∴=3， ∴， ∵△BOE和△ABE同底等高， ∴△BOE和△ABE面积相等， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：C ． 【点睛】 此题考查了圆的三等分点的定义，弧长公式，扇形面积公式，直角三角形30度角的性质，勾股定理，根据余弦定理求边长，熟记各知识点并熟练应用是解题的关键． 10. 如图是函数的图象，直线轴且过点，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M的范围可知. 【详解】解：如图1所示， ∵， ∴顶点坐标为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴当时， ， ∴此时最大值为0，最小值为； 如图2所示，当时， 此时最小值为，最大值为1． 综上所述：， 故选C． 【点睛】 此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m的值为解题关键． 二、填空题（每小题3 分，共 15 分） 11. 为了估计湖中有多少条鱼，先从湖中捕捉 50 条鱼做记号，然后放回湖里，经过一段时间，等带记号的鱼完全混于鱼群中之后再捕捞，第二次捕鱼共 20条，有 10 条做了记号，则估计湖里有___________条鱼． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查利用样本估计总体，先求出第二次有记号的鱼所占的比例，再利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】解：（条）； 故答案为：100． 12. 飞行中的炮弹经秒后的高度为米，且高度与时间的关系为，若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则炮弹在最高处的时间是第________秒． 【答案】10 【解析】 【分析】本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x的值． 【详解】∵此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴是：x==10， ∴炮弹所在高度最高时：时间是第10秒． 故答案为10． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键． 13. 如图所示，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则扇形的周长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出扇形半径，进而利用扇形弧长公式求出扇形弧长，进而得出扇形周长． 【详解】如图所示：设与扇形相切于点A，B，则 ∵一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形， ∴， ∴ ∴ ∴扇形的弧长为：． ∴则扇形的周长为：． 故答案为： 14. 七（一）班同学为了解某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据整理如下表（部分）： 月均用水量x/m3 0＜x≤5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20 x＞20 频数/户 12 20 3 频率 0.12 0.07 若该小区有800户家庭，据此估计该小区月均用水量不超过10m3的家庭约有________户． 【答案】560 【解析】 【分析】根据=总数之间的关系求出5＜x≤10的频率,再用整体样本的百分比即可得出答案. 【详解】解:根据题意得:=100(户), 15<x≤20的频数是0.07100=7(户), 5<x≤10的频数是:100-12-20-7-3=58(户), 则该小区月均用水量不超过10m的家庭约有=560(户); 故答案为:560. 【点睛】此题考查了用样本估计总体和频数、频率、总数之间的关系,掌握=总数,样本容量=整体样本的百分比是本题的关键. 15. 如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN=20，AC=8，BD=6，则PA+PB的最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出⊙O的半径，连接OA、OB，根据勾股定理求出OD、OC，即可求出CD，作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，根据两点之间线段最短可得AB′即为PA＋PB的最小值，利用勾股定理求值即可． 【详解】解：∵MN＝20， ∴⊙O的半径＝10， 连接OA、OB，在Rt△OBD中，OB＝10，BD＝6， ∴OD＝＝＝8； 同理，在Rt△AOC中，OA＝10，AC＝8， ∴OC＝＝＝6， ∴CD＝8＋6＝14， 作点B关于MN的对称点B′， 连接AB′，则AB′即为PA＋PB的最小值， B′D＝BD＝6，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E， 在Rt△AB′E中， ∵AE＝AC＋CE＝8＋6＝14，B′E＝CD＝14， ∴AB′＝＝＝14 故答案为：14． 三、解答题（共 75分） 16. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心、CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E．求AB、AD的长． 【答案】AB=5，AD=． 【解析】 【详解】试题分析：首先过点C作CE⊥AD于点E，由∠ACB=90°，AC=3，BC=4，可求得AB的长，又由直角三角形斜边上的高等于两直角边乘积除以斜边，即可求得CE的长，由勾股定理求得AE的长，然后由垂径定理求得AD的长． 试题解析：解：过点C作CE⊥AD于点E，则AE=DE，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∵S△ABC=ACBC=AB•CE，∴CE===，∴AE==，∴AD=2AE=． 考点：1．垂径定理；2．勾股定理． 17. 某公司其有名销售人员，为了解该公司销售人员某季度商品销售情况，随机抽取部分销售人员该季度的销售数量，并把所得数据整理后绘制成如下统计图表进行分析． 频率分布表 组别 销售数量（件） 频数 频率 A B C D E 合计 请根据以上信息，解决下列问题： （1）频数分布表中，________、________： （2）补全频数分布直方图； （3）如果该季度销量不低于件的销售人员将被评为“优秀员工”，试估计该季度被评为“优秀员工”的人数． 【答案】（1）0.26,50；（2）见解析；（3）估计该季度被评为“优秀员工”的人数为名． 【解析】 【分析】（1）根据频率与频数之间的关系，求样本总数，再求. （2）根据频率与频数之间的关系，求频数，补齐频数分布直方图. （3）销量不低于件的销售人员个数即为 组和组频数之和. 【详解】（1）根据频率与频数之间的关系，样本总数，=. （2）=23，频数分布直方图如图所示： （3）销量不低于件的销售人员个数即为 组和组频率之和为，则估计该季度被评为“优秀员工”的人数为（名）. 【点睛】本题考查频数与频率的概念及计算公式. 18. 已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点. (1)求k的值： (2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴距离是2，求点P的坐标. 【答案】(1)k=-3；(2)点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5). 【解析】 【分析】(1)根据抛物线的对称轴是y轴以及对称轴公式可得关于k的方程，解方程后再根据抛物线与x轴的交点个数即可确定答案； (2)由点P到y轴的距离即可确定出点P的横坐标，再根据抛物线的解析式即可求得点P的纵坐标即可得答案. 【详解】(1)∵抛物线y=x2+(k2+k－6)x+3k的对称轴是y轴， ∴， 即k2+k－6=0， 解得k=－3或k=2， 当k=2时，二次函数解析式为y=x2+6，它的图象与x轴无交点，不满足题意，舍去， 当k=－3时，二次函数解析式为y=x2－9，它的图象与x轴有两个交点，满足题意， ∴k=－3； (2)∵P到y轴的距离为2， ∴点P的横坐标为－2或2， 当x=2时，y=－5； 当x=－2时，y=－5， ∴点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5). 【点睛】本题考查了抛物线的对称轴，抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握相关内容是解题的关键. 19. 某政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元． （1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？ （2）小亮调查发现，种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若种湘莲礼盒的售价和销量不变，当种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？ 【答案】（1）该店平均每天销售礼盒10盒，种礼盒为20盒；（2）当种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元． 【解析】 【分析】（1）根据题意，可设平均每天销售礼盒盒，种礼盒为盒，列二元一次方程组即可解题 （2）根据题意，可设种礼盒降价元/盒，则种礼盒的销售量为：（）盒，再列出关系式即可． 【详解】解：（1）根据题意，可设平均每天销售礼盒盒，种礼盒为盒， 则有，解得 故该店平均每天销售礼盒10盒，种礼盒为20盒． （2）设A种湘莲礼盒降价元/盒，利润为元，依题意 总利润 化简得 ∵ ∴当时，取得最大值为1307， 故当种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 20. 如图，⊙O的直径AB=12，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD． （1）由AB，BD，围成的阴影部分的面积是　 　； （2）求线段DE的长． 【答案】（1）9π+18；（2）DE=+6； 【解析】 【分析】（1）根据题意作出合适的辅助线，然后根据题目中的数据和图形，即可求得阴影部分的面积； （2）根据题意和图形，利用平行线的性质和特殊角的三角函数可以求得DE的长． 【详解】解：（1）如图，连接OD， ∵⊙O的直径AB=12，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D， ∴∠ADB=90°，AD=BD， ∴∠OBD=∠ODB=45°， ∴OB=OD=6， ∴由AB，BD，围成的阴影部分的面积是：−(−)=9π+18， 故答案为9π+18； （2）如图，作AF⊥DE于点F，则AF=OD=6， ∵AB∥DE，∠OAD=45°， ∴∠ADF=∠OAD=45°， ∴DF=AF=6， ∵∠ACB=90°，AC=6，AB=12， ∴∠CBA=30°， ∴∠CAB=60°， ∵AB∥DE， ∴∠E=∠CAB=60°， ∵AF=6，∠AFE=90°， ∴EF===2， ∴DE=EF+DF=2+6． 【点睛】本题考查扇形的面积、勾股定理、垂径定理、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21. 小云在学习过程中遇到一个函数．下面是小云对其探究的过程，请补充完整： （1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而 ，且；对于函数，当时，随的增大而 ，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而 ． （2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表： 0 1 2 3 0 1 综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象． （3）过点(0，m)（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是 ． 【答案】（1）减小，减小，减小；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案； （2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像； （3）根据函数图像和性质，当时，函数有最大值，代入计算即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意，在函数中， ∵, ∴函数在中，随的增大而减小； ∵， ∴对称轴为：， ∴在中，随的增大而减小； 综合上述，在中，随的增大而减小； 故答案为：减小，减小，减小； （2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图： （3）由（2）可知，当时，随的增大而增大，无最大值； 由（1）可知在中，随的增大而减小； ∴在中，有 当时，， ∴m的最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出函数图像，并求函数的最大值． 22. 为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果． （1）求证：∠BOC＋∠BAD＝90°． （2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面距离AD最小，测得．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长． 【答案】（1）见解析 （2）50 cm 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质可得，，根据，可得，过点作，根据平行线的性质可得，，进而即可得证； （2）过点作的平行线，交于点，交于点，由（1）得到，在，中，求得,进而求得，根据即可求解． 【小问1详解】 证明：⊙O与水平地面相切于点C， ， ， ， AB与⊙O相切于点B， ， ， 过点作， ， ， ， 即∠BOC＋∠BAD＝90°． 【小问2详解】 如图，过点作的平行线，交于点，交于点， ，则四边形是矩形， ， ， ， 在中，，， （cm)， 在中，，cm， (cm)， (cm)， (cm)， cm， (cm)． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，解直角三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键． 23. 如图，直线： 与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过B、C两点． （1）求抛物线的表达式． （2）若 M 是直线上方抛物线上一动点，当 面积最大时，请求出点 M的坐标． （3）新定义：若 E 是抛物线对称轴上一动点，把绕点 E 旋转 点O 的对应点为G，若点 G 恰好落在抛物线上，则称这样的点 E 为“好点”，请直接写出所有“好点”E 的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 或 或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，进而得到，将三角形的面积转化为二次函数求最值即可； （3）分顺时针和逆时针旋转，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， 把代入，得： ，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：设点，过点作轴，交于点，则：， ∴， ∴， ∴当时，面积最大，此时； 【小问3详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， 设， ①当绕点E逆时针旋转时，设对称轴与x轴交于点H，过点G作于点D． 则：，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 把代入得到，解得， ∴点E坐标为或； 如解图③，当绕点E顺时针旋转时，设对称轴与x轴交于点H，过点G作于点D． 同理可得，把代入得到，解得， ∴点E的坐标为或． 综上所述，存在“好点”E，点E的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数求最值，坐标与旋转，全等三角形的判定和性质等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$