2.4 圆的方程（6大题型）（分层作业）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第二章 直线和圆的方程 2．4 圆的方程（6大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：圆的标准方程 2 题型二：圆的一般方程 3 题型三：点与圆的位置关系 3 题型四：二元二次曲线与圆的关系 4 题型五：圆过定点问题 5 题型六：轨迹问题 5 拓展培优练 7 题型一：圆的标准方程 1．（2024·高二·重庆九龙坡·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 2．（2024·高三·天津河东·阶段练习）圆C与y轴相切，切点为，（O为坐标原点），圆心C在第一象限，则圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·北京海淀·期中）已知圆C的标准方程为，则与圆C有相同的圆心，且经过点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·全国·课后作业）已知点，，线段为圆的直径，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：圆的一般方程 6．（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·广东·一模）过，，三点的圆与轴交于，两点，则（    ） A．3 B．4 C．8 D．6 8．（2024·河南·模拟预测）圆心在射线上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方程为（    ）. A． B． C． D． 9．（2024·高二·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·高二·浙江宁波·期中）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 题型三：点与圆的位置关系 11．（2024·高二课时练习）点与圆的位置关系是（　　） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．与a的值有关 12．（2024·高二课时练习）点与圆的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 13．（2024·全国·高二专题练习）对于圆：，下列说法正确的为（    ） A．点圆的内部 B．圆的圆心为 C．圆的半径为 D．圆与直线相切 14．（2024·高二课前预习）已知点在圆C：的外部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：二元二次曲线与圆的关系 15．（2024·高二·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（2024·高二·全国·课后作业）若方程表示圆，则a的取值范围为（   ） A．R B． C． D． 17．（2024·高二·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（2024·高三·全国·专题练习）若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示圆，则实数t的取值范围是（    ） A．{t|－1＜t＜} B．{t|－＜t＜1} C．{t|－1＜t＜} D．{t|1＜t＜2} 19．（2024·高二·全国·期中）“实数”是“方程表示圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型五：圆过定点问题 20．（2024·高二·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 21．（2024·高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 22．（2024·高二·上海·开学考试）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为 . 23．（2024·高一·全国·课后作业）已知方程表示圆，其中，且a≠1，则不论a取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是 . 题型六：轨迹问题 24．（2024·高二·河北保定·期中）已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍. (1)求点的轨迹方程； (2)如果把倍改成倍，求点的轨迹. 25．（2024·高二·全国·课后作业）已知一曲线是与两个定点，的距离之比为的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出该曲线. 26．（2024·广东深圳·模拟预测）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． 27．（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知圆经过，，三点. (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为，求的方程. 28．（2024·高二·河北石家庄·期中）已知圆C经过三点． (1)求圆C的方程； (2)设点A在圆C上运动，点，且点M满足，求点M的轨迹（根据方程描述出图形）． 29．（2024·高二·全国·课后作业）已知，动点P满足，求动点P的轨迹． 30．（2024·高二·上海徐汇·期末）已知圆过三个点. (1)求圆的方程； (2)过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹. 31．（2024·高二·全国·课后作业）已知点，，动点P满足.若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程. 1．（2024·高二·四川乐山·阶段练习）某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米，现有一船宽10米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（    ） A．2.40米 B．2.66米 C．2.80米 D．3.00米 2．（2024·高三·四川德阳·阶段练习）已知如图点在圆上，圆沿着轴顺时针滚动弧度，点到了点的位置，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·全国·随堂练习）已知方程，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示圆心为的圆 B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示的圆的半径为 D．当时，方程表示的圆与y轴相切 4．（2024·高二·全国·课后作业）已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（    ） A． B．（除去两点） C．（除去两点） D．（除去两点） 5．（2024·西藏拉萨·二模）已知点，动点在圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·陕西宝鸡·阶段练习）已知两点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 7．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，，，点P是圆上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·高二·甘肃·期末）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（    ） A．32 B． C．16 D． 9．（多选题）（2024·高二·陕西宝鸡·期中）若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 10．（多选题）（2024·辽宁丹东·模拟预测）已知曲线:，则（   ） A．曲线围成图形面积为 B．曲线的长度为 C．曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D．曲线上任意两点间最大距离 11．（多选题）（2024·高二·河北邢台·期末）已知曲线，下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是一条直线 B．当时，曲线是一个圆 C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为 D．当曲线是面积为的圆时， 12．（2024·高二·全国·随堂练习）已知是圆上的动点，，为的中点，则点的轨迹方程为 ． 13．（2024·天津河西·模拟预测）已知点为圆上一点，点，当变化时线段AB长度的最小值为 . 14．（2024·高三·河南郑州·阶段练习）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若，，的垂心为，则的九点圆的标准方程为 ． 15．（2024·高二·江苏南通·阶段练习）已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB 边所在直线的方程为，点在AD边所在的直线上. (1)求AD边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD外接圆的标准方程. 16．（2024·高二·四川乐山·阶段练习）已知的三个顶点分别是，，. (1)求的外接圆方程和外心坐标； (2)求的内切圆方程和内心坐标. 17．（2024·高二·江苏南京·阶段练习）①过点，②圆G恒被直线平分，③与y轴相切；在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知圆G经过点，，且_____. (1)求圆G的一般方程： (2)设，P是圆G上的动点，求线段的中点M的轨迹方程，并说明表示何曲线?注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直线和圆的方程 2．4 圆的方程（6大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：圆的标准方程 2 题型二：圆的一般方程 4 题型三：点与圆的位置关系 6 题型四：二元二次曲线与圆的关系 8 题型五：圆过定点问题 9 题型六：轨迹问题 11 拓展培优练 15 题型一：圆的标准方程 1．（2024·高二·重庆九龙坡·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆以为直径，所以圆心的坐标为， 半径为， 圆的标准方程为. 故选：B. 2．（2024·高三·天津河东·阶段练习）圆C与y轴相切，切点为，（O为坐标原点），圆心C在第一象限，则圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆C与y轴相切，切点为，设圆心，由圆心C在第一象限，得， 于是，解得，显然圆C的半径， 所以圆C的标准方程为. 故选：A 3．（2024·高二·北京海淀·期中）已知圆C的标准方程为，则与圆C有相同的圆心，且经过点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意设所求圆的方程为， 代入点，得， 所以所求圆的方程为． 故选：B． 4．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，，且圆心在直线上， 所以有， 因此圆的标准方程为， 故选：A 5．（2024·高二·全国·课后作业）已知点，，线段为圆的直径，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点，， 所以线段的中点坐标为，即圆心坐标为，半径， 所以圆的标准方程为. 故选：D 题型二：圆的一般方程 6．（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设经过，，三个点的圆的方程为 ， 由题意可得，解得， 且满足， 所以经过，，三个点的圆的方程为， 即为. 故选：C. 7．（2024·广东·一模）过，，三点的圆与轴交于，两点，则（    ） A．3 B．4 C．8 D．6 【答案】D 【解析】设圆的方程为，代入点，，， 则，解得， 可得，整理得符合题意， 所以圆的方程为， 令，可得，解得，所以． 故选：D. 8．（2024·河南·模拟预测）圆心在射线上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方程为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆心在射线上，故设圆心为， 又半径为5，且经过坐标原点，所以，解得或（舍去）， 即圆的圆心坐标为，则圆的方程为， 即. 故选：C 9．（2024·高二·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆的方程为， 由题意知,圆过点，和， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故选：A 10．（2024·高二·浙江宁波·期中）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程， 整理可得，解得， 故所求的圆的一般方程为， 故选：D． 题型三：点与圆的位置关系 11．（2024·高二课时练习）点与圆的位置关系是（　　） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．与a的值有关 【答案】A 【解析】圆的圆心，半径， 因为， 所以点在圆外， 故选：A 12．（2024·高二课时练习）点与圆的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径，， 故点在圆内. 故选：B 13．（2024·全国·高二专题练习）对于圆：，下列说法正确的为（    ） A．点圆的内部 B．圆的圆心为 C．圆的半径为 D．圆与直线相切 【答案】A 【解析】对于A，将点代入圆C中，得，所以点圆C的内部，故A正确； 对于B，C，由，得，所以圆的圆心为，半径为，故B，C错误； 对于D，由圆心到直线的距离为，所以，即，所以圆与直线相离，故D错误. 故选：A. 14．（2024·高二课前预习）已知点在圆C：的外部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 则，解得：①， 又∵点在圆的外部， ∴，即，解得或②， 由①②得， 故选：B． 题型四：二元二次曲线与圆的关系 15．（2024·高二·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 得， 即, 解得 故选： 16．（2024·高二·全国·课后作业）若方程表示圆，则a的取值范围为（   ） A．R B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，若方程表示圆， 则有，解得． 故选：C. 17．（2024·高二·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B 18．（2024·高三·全国·专题练习）若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示圆，则实数t的取值范围是（    ） A．{t|－1＜t＜} B．{t|－＜t＜1} C．{t|－1＜t＜} D．{t|1＜t＜2} 【答案】B 【解析】由D2＋E2－4F＞0，得7t2－6t－1＜0，解得－＜t＜1. 19．（2024·高二·全国·期中）“实数”是“方程表示圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若方程表示圆，则，解得， 因为， 所以 “实数”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 故选：A 题型五：圆过定点问题 20．（2024·高二·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 21．（2024·高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 【答案】（0，－2）和（0，1） 【解析】解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由 得 所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）. 22．（2024·高二·上海·开学考试）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为 . 【答案】、 【解析】由由得，故，解得或. 故填：、. 23．（2024·高一·全国·课后作业）已知方程表示圆，其中，且a≠1，则不论a取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是 . 【答案】 【解析】由已知得，它表示过圆与直线交点的圆. 由，解得 即定点坐标为. 故答案为 题型六：轨迹问题 24．（2024·高二·河北保定·期中）已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍. (1)求点的轨迹方程； (2)如果把倍改成倍，求点的轨迹. 【解析】（1）设点的坐标为，由， 得，化简得， 即. （2）设点的坐标为，由，得， 化简得， 当时，方程为，可知点的轨迹是线段的垂直平分线； 当且时，方程可化为， 点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 25．（2024·高二·全国·课后作业）已知一曲线是与两个定点，的距离之比为的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出该曲线. 【解析】设点为曲线上任意一点， 因为曲线是与两个定点，的距离之比为的点的轨迹， 所以， 所以，化简得， 即所求曲线方程为， 26．（2024·广东深圳·模拟预测）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． 【解析】（1）圆的方程可变形为， 故的圆心坐标为，半径为2. （2）设，因为点M是的中点，， ， 故， 由此可得， 故轨迹方程为，轨迹是以圆心为，半径为的圆. 27．（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知圆经过，，三点. (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为，求的方程. 【解析】（1）设圆的方程为， 将三点，，分别代入方程， 则，解得，，， 所以圆的方程为； （2）设，， 因为点满足，， 所以，， 则，所以. 因为点在圆上运动， 所以， 所以，所以， 所以点的轨迹方程为. 28．（2024·高二·河北石家庄·期中）已知圆C经过三点． (1)求圆C的方程； (2)设点A在圆C上运动，点，且点M满足，求点M的轨迹（根据方程描述出图形）． 【解析】（1）设圆的方程为，则 ， 解得， 所以圆的方程为：； （2）设，，又点，， 则， 所以，即，又点A在圆C上运动， 则， 所以，即， 所以点的轨迹方程为， 所以点M的轨迹是以为圆心，以为半径的圆. 29．（2024·高二·全国·课后作业）已知，动点P满足，求动点P的轨迹． 【解析】由题意，点，动点满足， 所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标为，半径为， 所以点的轨迹方程为，其中且. 所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，且除去点和. 30．（2024·高二·上海徐汇·期末）已知圆过三个点. (1)求圆的方程； (2)过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹. 【解析】（1）设圆的方程为， 因为圆过三个点， 可得，解得， 所以圆的方程为，即. （2）因为为线段的中点，且，所以在以为直径的圆上， 以为直径的圆的方程为， 联立方程组，解得或， 所以点的轨迹方程为. 31．（2024·高二·全国·课后作业）已知点，，动点P满足.若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程. 【解析】设点P的坐标为，则， 化简得， 故此曲线的方程为. 1．（2024·高二·四川乐山·阶段练习）某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米，现有一船宽10米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（    ） A．2.40米 B．2.66米 C．2.80米 D．3.00米 【答案】B 【解析】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为x轴，过桥的最高点垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 设图中矩形为船刚好能通过桥下时的位置， 则， 设圆拱桥所在圆的方程为， 将坐标代入，得，解得， 即圆的方程为， 令，则， 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为（米）， 故选：B 2．（2024·高三·四川德阳·阶段练习）已知如图点在圆上，圆沿着轴顺时针滚动弧度，点到了点的位置，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设原来圆的方程为，代入点得 ，解得，则圆的方程为， 则，， 则点的坐标为. 故选：D. 3．（2024·高二·全国·随堂练习）已知方程，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示圆心为的圆 B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示的圆的半径为 D．当时，方程表示的圆与y轴相切 【答案】A 【解析】由题意，方程，可化为， 当时，，方程表示点，故A错误； 当时，，方程表示圆心为的圆，故B正确； 当时，，方程表示的圆的半径为，故C正确； 当时，，方程表示的圆的半径为，圆心为，与轴相交，故D正确， 故选：A. 4．（2024·高二·全国·课后作业）已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（    ） A． B．（除去两点） C．（除去两点） D．（除去两点） 【答案】B 【解析】设点， 由，得， 即， 又点与点不重合且不共线，所以需除去两点． 故选：B． 5．（2024·西藏拉萨·二模）已知点，动点在圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，即求的最小值. 设，则， 整理，得点的轨迹方程为. 又点在圆上， 所以，解得，所以， 所以， 即的最小值为. 故选：. 6．（2024·高二·陕西宝鸡·阶段练习）已知两点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 7．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，，，点P是圆上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】点，，，设， 则， 因为点P在圆上运动， 所以表示圆上的点到点的距离的平方， 所以的最小值为， 即的最小值为. 故选：D﹒ 8．（2024·高二·甘肃·期末）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（    ） A．32 B． C．16 D． 【答案】D 【解析】由，则圆心坐标是，半径是3．因为圆心到点的距离为， 所以点在圆内，最长弦为圆的直径， 由垂径定理，得最短弦和最长弦（即圆的直径）垂直， 故最短弦的长为，最长弦即直径， 所以四边形的面积为． 故选：D 9．（多选题）（2024·高二·陕西宝鸡·期中）若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】AD 【解析】方程，即， 若方程表示圆，则，解得或， 结合选项可知AD正确，BC错误. 故选：AD 10．（多选题）（2024·辽宁丹东·模拟预测）已知曲线:，则（   ） A．曲线围成图形面积为 B．曲线的长度为 C．曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D．曲线上任意两点间最大距离 【答案】ABD 【解析】当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线为原点. 画出曲线的图形，如图所示. 对于A，曲线围成的面积可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的半圆， 故面积为，故A正确； 对于B，曲线由四个半径为的半圆组成，故周长为，故B正确； 对于C，如图所示，因为原点在曲线上，所以最小值为0，故C错误； 对于D，如图所示，曲线上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为.故D正确. 故选：ABD. 11．（多选题）（2024·高二·河北邢台·期末）已知曲线，下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是一条直线 B．当时，曲线是一个圆 C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为 D．当曲线是面积为的圆时， 【答案】AB 【解析】对于A选项，当时，曲线的方程为，此时，曲线是一条直线，A对； 对于B选项，当时，曲线的方程可化为， 因为，此时，曲线是一个圆，B对； 对于C选项，当曲线是圆时，其半径为， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因此，当曲线是圆时，它的面积的最小值为，C错； 对于D选项，当曲线是面积为的圆时，其半径为， 即，解得或，D错. 故选：AB. 12．（2024·高二·全国·随堂练习）已知是圆上的动点，，为的中点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设点，由为的中点，得， 由点在圆上，得，即， 所以点的轨迹方程为. 故答案为： 13．（2024·天津河西·模拟预测）已知点为圆上一点，点，当变化时线段AB长度的最小值为 . 【答案】 【解析】 圆的圆心坐标为，半径，所以圆心在直线：上， 当时线段的长度最小， 点到直线的距离， 所以. 故答案为：. 14．（2024·高三·河南郑州·阶段练习）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若，，的垂心为，则的九点圆的标准方程为 ． 【答案】 【解析】由，，，可得中点为，中点为，中点为， 设的九点圆方程为， 代入三点坐标，可得， 解得， 即， 化简可得圆的标准方程为． 故答案为： 15．（2024·高二·江苏南通·阶段练习）已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB 边所在直线的方程为，点在AD边所在的直线上. (1)求AD边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD外接圆的标准方程. 【解析】（1）因为AB边所在直线的方程为，且AD与AB垂直， 所以直线AD的斜率为 又因为点在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为， 即 （2）由，解得点A的坐标为 因为矩形ABCD两条对角线的交点为 所以M为矩形ABCD外接圆的圆心． 又， 从而矩形ABCD外接圆的方程为 16．（2024·高二·四川乐山·阶段练习）已知的三个顶点分别是，，. (1)求的外接圆方程和外心坐标； (2)求的内切圆方程和内心坐标. 【解析】（1）由图知，由，，构成的三角形为直角三角形， 故的外接圆是以、的中点为外接圆圆心，一半为外接圆半径. 又、中点坐标为，即圆心， 又，， 的外接圆方程是，圆心为. （2）由的内切圆的圆心为三个内角平分线的交点，且， 结合图形可设内切圆的圆心，半径为. 又，即 ， 的内切圆是以为圆心，半径为1的圆， 的内切圆的方程为，圆心. 17．（2024·高二·江苏南京·阶段练习）①过点，②圆G恒被直线平分，③与y轴相切；在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知圆G经过点，，且_____. (1)求圆G的一般方程： (2)设，P是圆G上的动点，求线段的中点M的轨迹方程，并说明表示何曲线?注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【解析】（1）方案一：选条件①. 设圆的方程为， 则，解得， 则圆G的方程为. 方案二：选条件② 直线恒过点. 因为圆G恒被直线平分，所以恒过圆心， 所以圆心坐标为，又圆G经过点， 所以圆的半径，所以圆G的方程为，即. 方案三：选条件③ 设圆G的方程为， 由题意可得，解得， 则圆G的方程为，即. （2）设，因为M为线段的中点，所以， 因为点P是圆G上的动点，所以， 即， 所以M的轨迹是一个圆. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$