专题11 一元二次方程应用题分类训练1（增长率比赛道路工程动点）-2024-2025学年九年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（北师大版）

专题11 一元二次方程应用题分类训练1 专题目录 【类型1 增长率问题】 1 【类型2 比赛问题】 2 【类型3 几何图形道路问题】 4 【类型4 工程问题】 7 【类型5 几何图形动点问题】 10 【类型1 增长率问题】 1．快递又称速递或快运，是指物流企业（含货运代理）通过自身的独立网络或以联营合作（即联网）的方式，将用户委托的文件或包裹，快捷而安全地从发件人送到收件人的门到门的运输方式．某小区新开了一家快递店，第一天揽件件，第三天揽件件． (1)该快递点这三天揽件日平均增长率； (2)按这个增长率，求第四天揽件数约为多少件．（结果取整数） 2．近年来，长沙深入挖掘消费潜力，以网红品牌激活夜经济，进一步提升城市“烟火气”．某网红餐饮品牌斩获喜人业绩，据调查，该品牌某门店2023年1月的营业额为500万元，3月的营业额为720万元． (1)求该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率： (2)若4月保持前两月营业额的月平均增长率不变，预计该店4月的营业额能否超过850万元？ 3．“爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客万人次，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗． (1)求出2024至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率； (2)为了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗售价不得超过15元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润360元？ 4．随着旅游旺季的到来，贵州某景区游客人数逐月增加，6月份游客人数为1.6万人，8月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计9月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区9月1日至9月21日已接待游客2.225万人，则9月份后9天日均接待游客人数最多是多少万人？ 5．某品牌衬衫标价为元件，为提高销售量，经过两次降价后为元件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种衬衫每次降价的百分率； (2)若该种品牌衬衫的进价为元件，两次降价共售出此种品牌衬衫件，为使两次降价销售的总利润不少于6560元，第一次降价至少要销售出多少件该种衬衫？ 6．随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2019年公共充电桩的数量为4万个，2021年公共充电桩的数量为11.56万个． (1)求该省2019年至2021年公共充电桩数量的年平均增长率； (2)按照这样的增长速度，预计该省2022年公共充电桩数量能否超过20万个？为什么？ 7．栖霞某旅游景点的超市以每件元的价格购进某款果都吉祥物摆件，以每件元的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． (1)求该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率； (2)从月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价元，月销售量就会增加件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达元？ 8．某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份累计收入达364万元，且2，3月份的生产收入保持相同的增长率，3月份后每月生产收入稳定在3月份的水平． (1)求使用新设备后，2月3月生产收入的月增长率 (2)购进新设备需一次性支付640万元，则使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费） 9．电动自行车已成为市民日常出行的首选工具，据某市某品牌电动自行车经销商1月份至3月份的统计，该品牌电动自行车1月份销售200辆，3月份销售288辆，两月间销量的月平均增长率相同. (1)求该品牌电动自行车销售量的月平均增长率； (2)若该品牌电动自行车的进价为2400元，售价为3000元，则该经销商1月份至3月份共盈利多少元？ 10．为服务全民健身战略，学校体育馆周末面向社会开放．据统计，2月入馆128人次，入馆人次逐月增加，4月达到288人次．设入馆人次的月均增长率相同． (1)求入馆人次的月均增长率； (2)受条件限制，体育馆月接纳能力不能超过400人次．在入馆人次的月均增长率不变的前提下，体育馆能接纳5月的入馆人次吗？说明理由． 【类型2 比赛问题】 11．某足球联赛，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？ 12．2023年10月，我市组织初中男子篮球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场）共安排66场比赛，那么有多少个球队参加比赛？ 13．作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．这个五一，我市举行“缤纷运动‘莞’精彩、‘篮’不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛． (1)应邀请多少支球队参加比赛？ (2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？ 14．某校乒乓球队举行队内比赛，比赛规则是每两个队员之间都赛一场，每场比赛都要分出胜负，每一场比赛结束后依据胜负给出相应积分．本次比赛一共进行了210场，用时两天完成．下面是第一天比赛结束后部分队员的积分表： 队员号码 比赛场次 胜场 负场 积分 1 10 8 2 18 2 10 10 0 20 3 8 7 1 15 4 8 6 2 14 5 7 0 7 7 (1)在本次比赛中，有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是多少？ (2)如果有一名队员在本次比赛中的积分不低于34分，那么他最多负______场． 15．某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），根据场地和时间等条件，赛程计划7天完成，每天安排4场比赛． (1)比赛组织者应计划邀请多少个队参赛？ (2)如果比计划多邀请2个队参赛，每天安排5场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？ 16．为响应党中央提出的“足球进校园”号召，我市在今年秋季确定了3所学校为足球基地实验学校，并在全市开展了中小学足球比赛，比赛采用单循环制，即组内每两队之间进行一场比赛，若初中组共进行场比赛，问初中共有多少个队参加比赛？ 17．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 解决方案：设应邀请x个队参赛、 (1)每个队要与其他______个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共______场； (2)根据题意，列出相应方程为______； (3)解这个方程，得______； (4)检验：______； (5)答：比赛组织者应邀请______个队参赛． 18．组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛． (1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？ (2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式； (3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？ 19．某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）计划安排 场比赛． (1)应该邀请多少支球队参加比赛？ (2)若某支球队参加 场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛多少场？ 20．应用题：某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛．（本题第一问要求列方程作答） （1）应该邀请多少支球队参加比赛？ （2）若某支球队参加3场后，因故不参与以后的比赛，问实际共比赛多少场？ 【类型3 几何图形道路问题】 21．如图所示．在宽为，长为的矩形草坪上，修筑同样宽的三条路（互相垂直），把草坪分成大小不等的六块区域，要使草坪的面积为，道路的宽为多少？ 22．东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型体车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积（即阴影面积）为. (1)求道路的宽是多少米? (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10120元，同时尽可能让利于居民? 23．如图，某旅游景点要在长、宽分别为12米、10米的矩形水池内部建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的（每条道路的一侧均与正方形观赏亭的一边在同一直线上），若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽度． 24．某公园准备在一块长为，宽为的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房（如图所示），在温室花房四周修四条宽度相同，且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为． (1)用含的代数式分别表示花园内温室花房的面积和小路面积； (2)若草坪面积为时，求这时道路宽度． 25．在一块长为，宽为的矩形地面上，修建等宽的道路，剩余部分种上草坪．    (1)如图①，测得草坪的面积是，求道路的宽度； (2)后来要在这块矩形地面上，重新进行规划，打算修建两横两竖等宽的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），如图②所示，剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的二分之一，道路的宽度应设计为多少？ 26．如图，在长为，宽为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，则道路的宽为多少？    27．为了喜迎杭州第十九届亚运会，某学校计划对一块宽为，长为的矩形荒地进行改造，要求修筑同样宽鹅卵石小路,余下的部分种上草坪（阴影部分）,并使草坪的面积为．现在邀请全校同学参与设计，下面是三位同学分别设计的方案，请你选择一种方案，求出道路的宽为多少米？（根据需要精确到0.1米）   28．有一块长为a米，宽为b米的长方形场地，计划在该场地上修建宽均为x米的两条互相垂直的道路，余下的四块长方形场地建成草坪．    (1)已知，且四块草坪的面积和为264平方米，则每条道路的宽x为多少米？ (2)若，且四块草坪的面积和为264平方米，则原来矩形场地的长和宽各为多少米？ (3)已知，现要在场地上修建若干条宽均为2米的纵横小路，假设有m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路（其中，m，n为常数），使草坪地的总面积为132平方米，则__________（直接写出答案）． 29．在宽为，长为的矩形地面上，修筑同样宽的几条道路（图中阴影部分），余下部分作为耕地，要使耕地面积为，道路的宽为多少米？    30．（1）如图1，在一块长为，宽为的矩形地面上，修建有道路，道路都是等宽的，剩余部分种上草坪，测得草坪的面积是，道路的宽度是多少？ （2）后来要在这块长为，宽为的矩形地面上，进行重新规划，打算修建两横、两竖的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），如图2，横、竖道路的宽度比为剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的四分之一，应如何设计道路的宽度？ 【类型4 工程问题】 31．随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍． （1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？ （2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数） 32．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值． 33．某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12 ．经过三年治理，境内长江水质明显改善 ． （1）求的n值； （2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量； 34．中国基础建设速度惊艳世界，“基建狂魔”的称号名不虚传，中国铁路有许多超级工程正处在建设之中，某公司主营铁路建设施工． （1）原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？ （2）到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里程里程会减少千米，隧道施工里程里程会减少千米，桥梁施工里程里程会增加千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加亿元，若二季度总成本与一季度相同，求的值． 35．云南省持续推进“八出省五出境”铁路网建设，努力把与周边国家互联互通的“接口”做好，更好地服务“一带一路”建设．某车站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从今年年初启动了扩建工程．其中某项工程，甲队单独完成所需要时间比乙队单独完成所需要时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍． （1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？ （2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队少20万元．在保证工程质量的前提下，为缩短工期，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1200万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数） 36．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 37．重庆被称为“基建狂魔”城市，今年2月份，重庆轨道交通引来“运营里程超500千米的新突破”，另外重庆其他轨道工程也正处在建设中． (1)原计划今年一季度施工里程（含普通道路施工、高架施工、隧道施工）共56千米，其中普通道路施工32千米，高架施工长度至少是隧道施工长度的7倍，则今年第一季度隧道施工最多是多少千米？ (2)一季度的施工里程刚好按原计划完成且隧道施工里程达到最大值，已知第一季度普通道路施工、高架施工、隧道施工每千米成本分别是1亿元、2亿元、4亿元．在第二季度施工中，预计总里程会减少千米，隧道施工里程会增加千米，高架施工会减少千米，其中普通道路施工、隧道施工每千米成本与第一季度相同，高架桥施工每千米成本会增加亿元，若第二季度总成本与第一季度相同，求的值． 38．重庆地铁18号线一共设站29座，总投资约102亿元其中，杨家坪与石坪桥区何标段隧道总长1000米，由于此标段经过商圈和高层密集区域，隧道挖掘难度大．为了协助九龙坡区争创“全国文明城区”，尽快完成标段的施工，施工单位加快了此标段隧道挖掘速度． (1)若施工单位将挖掘速度提升到了原速度的倍，则比原计划提前50天完成隧道挖掘任务．求原计划每天挖掘继道多少米？ (2)2021年初工程队开始进行隧道挖掘工作，按照（1）中提速后的速度挖掘隧道，每天挖掘隧道的费用为40万元．隧道挖通后，施工单位进行其他项目的施工，到2021年底，其他项目施工总费用为2000万元．为了尽快完成所有工程，施工单位计划在2021年总投资额（即挖掘隧道总费用和其他项目总费用之和）基础上继续增加投资额，预计从2021年初到2023年底，三年累计共完成4.75亿元的投资额．设2022年和2023年这两年的总投资额年平均增长率为m，求m的值． 39．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万． (1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米． (2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值． 40．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【类型5 几何图形动点问题】 41． 如图所示，在中，，，，点由点出发，沿边以的速度向点移动；点由点出发，沿边以的速度向点移动．如果点，分别从点，同时出发，问： (1)经过_____________________秒后，的面积等于？ (2)经过几秒后，P，Q两点间距离是？ 42．如图，中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，移动时间为（单位：）． (1)求的面积关于的函数解析式； (2)若的面积是面积的，求的值； (3)问：的面积能否为面积的一半？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．    43．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． (1) ， ， ， （用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 44．如图，在中，，，点在上从运动到（不包括），速度为；点在上从运动到（不包括），速度为．若点，分别从，同时出发，当，两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题，并写出探索的主要过程． (1)当为何值时，，两点的距离为？ (2)当为何值时，的面积为？ 45．如图所示，中，，．    (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为? (2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于? (3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，的面积为? 46．如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时P，Q两点同时停止运动，设运动时间为． (1)_________；_________；（用含的代数式表示） (2)若是的中点，连接、、，当为何值时的面积为？ 47．如图，矩形中，，，点P从A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，当点P到达B点或点Q到达C点时，两点停止移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，t秒钟后． (1)求出的面积； (2)当的面积等于8平方厘米时，求t的值； (3)是否存在的面积等于10平方厘米，若存在，求出t的值，若不存在，说明理由． 48．如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 49．如图，点B在射线上，过点B作射线，点C在射线上，且，点P由点A开始沿射线运动，点Q由点C开始沿射线运动，两点同时出发，速度都是，与直线相交于点D，设点P的运动时间为，的面积为． (1)当点在射线上时，，求的值． (2)求出关于的函数关系式． (3)当点运动多少秒时，． 50．如图，在四边形中，，，，，点从开始沿边向以每秒的速度移动，点从开始沿边向以每秒的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为秒． (1)求证：当时，四边形是平行四边形； (2)是否可能平分对角线？若能，求出当为何值时平分；若不能，请说明理由； (3)若是以为腰的等腰三角形，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 一元二次方程应用题分类训练1 专题目录 【类型1 增长率问题】 1 【类型2 比赛问题】 8 【类型3 几何图形道路问题】 15 【类型4 工程问题】 24 【类型5 几何图形动点问题】 33 【类型1 增长率问题】 1．快递又称速递或快运，是指物流企业（含货运代理）通过自身的独立网络或以联营合作（即联网）的方式，将用户委托的文件或包裹，快捷而安全地从发件人送到收件人的门到门的运输方式．某小区新开了一家快递店，第一天揽件件，第三天揽件件． (1)该快递点这三天揽件日平均增长率； (2)按这个增长率，求第四天揽件数约为多少件．（结果取整数） 【答案】(1)该快递点这三天揽件日平均增长率为 (2)按这个增长率，第四天揽件数约为件 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设该快递点这三天揽件日平均增长率为，根据题意列出方程即可求解； （2）根据第三天揽件数量和（1）中的增长率即可求解． 【详解】（1）解：设该快递点这三天揽件日平均增长率为， 根据题意得： ， ， ， ，（不合题意，舍去）， 答：该快递点这三天揽件日平均增长率为； （2）根据题意得：（件）， 答：按这个增长率，第四天揽件数约为件． 2．近年来，长沙深入挖掘消费潜力，以网红品牌激活夜经济，进一步提升城市“烟火气”．某网红餐饮品牌斩获喜人业绩，据调查，该品牌某门店2023年1月的营业额为500万元，3月的营业额为720万元． (1)求该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率： (2)若4月保持前两月营业额的月平均增长率不变，预计该店4月的营业额能否超过850万元？ 【答案】(1)该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率为20% (2)预计该店4月的营业额能超过850万元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程成为解题的关键． （1）设该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率为x，然后根据增长率问题列出方程求解即可； （2）根据（1）求得的增长率计算出4月份的营业额，然后与850万元比较即可． 【详解】（1）解：设该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率为． （2）解：预计该店4月的营业额：（万元）． ∵， ∴预计该店4月的营业额能超过850万元． 3．“爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客万人次，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗． (1)求出2024至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率； (2)为了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗售价不得超过15元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润360元？ 【答案】(1)年平均增长率为 (2)当每碗售价定为15元时，店家才能实现每天利润360元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设年平均增长率为，则2025年接待游客万人，2026年接待游客万人，据此列出方程求解即可； （2）设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润600元，根据利润（售价成本价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设年平均增长率为， 依题意有． 解得，（舍去）． 答：年平均增长率为； （2）解：设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润600元， 依题意得：， 解得，， 每碗售价不得超过15元， 当每碗售价定为15元时，店家才能实现每天利润360元． 4．随着旅游旺季的到来，贵州某景区游客人数逐月增加，6月份游客人数为1.6万人，8月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计9月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区9月1日至9月21日已接待游客2.225万人，则9月份后9天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 (2)9月份后9天日均接待游客人数最多是0.1万人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，利用该景区8月份游客人数该景区6月份游客人数（这两个月中该景区游客人数的月平均增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设9月份后9天日均接待游客人数是y万人，根据9月份该景区游客人数的增长率不会超过前两个月的月平均增长率，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； （2）解：设9月份后9天日均接待游客人数是y万人， 根据题意得：， 解得：， ∴y的最大值为． 答：9月份后9天日均接待游客人数最多是万人． 5．某品牌衬衫标价为元件，为提高销售量，经过两次降价后为元件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种衬衫每次降价的百分率； (2)若该种品牌衬衫的进价为元件，两次降价共售出此种品牌衬衫件，为使两次降价销售的总利润不少于6560元，第一次降价至少要销售出多少件该种衬衫？ 【答案】(1)该种衬衫每次降价的百分率为 (2)第一次降价至少要销售出件该种衬衫 【分析】设这种衬衫每次降价的百分率为，由题意：衬衫标价为元件，经过两次优惠降价为元件，并且两次降价的百分率相同．列出方程，解方程即可； 设第一次降价要销售出件该种衬衫，由题意：该种品牌衬衫的进价为元件，两次降价共售出此种品牌衬衫件，为使两次降价销售的总利润不少于6560元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】（1）解：设这种衬衫每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该种衬衫每次降价的百分率为； （2）设第一次降价要销售出件该种衬衫， 由题意得： 解得：， 答：第一次降价至少要销售出件该种衬衫． 6．随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2019年公共充电桩的数量为4万个，2021年公共充电桩的数量为11.56万个． (1)求该省2019年至2021年公共充电桩数量的年平均增长率； (2)按照这样的增长速度，预计该省2022年公共充电桩数量能否超过20万个？为什么？ 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该省公共充电桩数量的年平均增长率为x，根据广东省2019年及2021年公共充电桩，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据该省2022年公共充电桩数量=该省2022年公共充电桩数量×增长率，即可求出结论． 【详解】（1）解：设该省2019年至2021年公共充电桩数量的年平均增长率为． 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去） 答：该省2019年至2021年公共充电桩数量的年平均增长率为． （2）解：不能 理由：（万个）． ， 预计该省2022年公共充电桩数量不能超过20万个． 7．栖霞某旅游景点的超市以每件元的价格购进某款果都吉祥物摆件，以每件元的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． (1)求该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率； (2)从月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价元，月销售量就会增加件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查一元二次方程的应用， （1）设该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为，利用该款吉祥物摆件月份的销售量该款吉祥物摆件月份的销售量该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为； （2）设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元， ∴月销售量为：， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当该吉祥物摆件售价为元时，月销售利润达元． 8．某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份累计收入达364万元，且2，3月份的生产收入保持相同的增长率，3月份后每月生产收入稳定在3月份的水平． (1)求使用新设备后，2月3月生产收入的月增长率 (2)购进新设备需一次性支付640万元，则使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费） 【答案】(1)每月的增长率是． (2)使用新设备12个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润． 【分析】本题主要考查理一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，根据题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设每月的增长率为x，那么2月份的生产收入为，三月份的生产收入为，根据1至3月份的生产收入累计可达364万元可列方程求解即可； （2）设使用新设备y个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据不等关系可列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每月的增长率为x，由题意得：， 解得或（不合题意舍去）． 答：每月的增长率是． （2）解：设使用新设备y个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，依题意有， 解得． 答：使用新设备12个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润． 9．电动自行车已成为市民日常出行的首选工具，据某市某品牌电动自行车经销商1月份至3月份的统计，该品牌电动自行车1月份销售200辆，3月份销售288辆，两月间销量的月平均增长率相同. (1)求该品牌电动自行车销售量的月平均增长率； (2)若该品牌电动自行车的进价为2400元，售价为3000元，则该经销商1月份至3月份共盈利多少元？ 【答案】(1)该品牌电动自行车销售量的月平均增长率为 (2)该经销商1月份至3月份共盈利元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． （1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，根据题意列出方程求解即可； （2）依据（1）中增长率计算出2月的销售量，根据利润总的销售量单个利润列式计算即可． 【详解】（1）解：设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x， 根据题意得：， 解得：或（舍去，不符合题意） 答：该品牌电动自行车销售量的月平均增长率为； （2）解：由（1）知该品牌电动自行车销售量的月平均增长率为， 则2月的销售量为：（辆） 该经销商1月份至3月份共盈利（元） 答：该经销商1月份至3月份共盈利元． 10．为服务全民健身战略，学校体育馆周末面向社会开放．据统计，2月入馆128人次，入馆人次逐月增加，4月达到288人次．设入馆人次的月均增长率相同． (1)求入馆人次的月均增长率； (2)受条件限制，体育馆月接纳能力不能超过400人次．在入馆人次的月均增长率不变的前提下，体育馆能接纳5月的入馆人次吗？说明理由． 【答案】(1)入馆人次的月平均增长率 (2)体育馆不能接纳5月的入馆人次，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用： （1）设入馆人次的月增长率为，根据题意，列出方程求解即可； （2）根据增长率计算5月的入馆人次，即可得到结论． 【详解】（1）解：设入馆人次的月增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：入馆人次的月平均增长率； （2）解：体育馆不能接纳5月的入馆人次，理由如下： 入馆人次的月平均增长率为， 月的入馆人次为（人次）． ， 体育馆不能接纳5月的入馆人次． 【类型2 比赛问题】 11．某足球联赛，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？ 【答案】共有16支球队参加比赛 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，确定等量关系列方程是解答的关键．设共有x支球队参加比赛，根据每两个队之间按主客场共要进行两场比赛，且共要进行240场比赛，可得；解一元二次方程，求得x值，结合实际确定答案即可． 【详解】解：设共有几支球队参加比赛， 根据题意得：， 解得或（舍去）． 答：共有16支球队参加比赛． 12．2023年10月，我市组织初中男子篮球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场）共安排66场比赛，那么有多少个球队参加比赛？ 【答案】一共有12个球队参赛． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用．根据题意赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数为，理解关系即可列出方程． 【详解】解：设一共有个球队参赛， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：一共有12个球队参赛． 13．作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．这个五一，我市举行“缤纷运动‘莞’精彩、‘篮’不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛． (1)应邀请多少支球队参加比赛？ (2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？ 【答案】(1)设应邀请6支球队参加比赛 (2)实际共比赛22场 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设应该邀请支球队参加比赛，根据双循环比赛安排30场，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用比赛总场次数该球队参加的场次数剩下5支球队实行双循环比赛的场次数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设应邀请x支球队参加比赛， 由题意得： 解得：，（不合题意，舍去）． 答：设应邀请6支球队参加比赛． （2）解：（场） 答：实际共比赛22场． 14．某校乒乓球队举行队内比赛，比赛规则是每两个队员之间都赛一场，每场比赛都要分出胜负，每一场比赛结束后依据胜负给出相应积分．本次比赛一共进行了210场，用时两天完成．下面是第一天比赛结束后部分队员的积分表： 队员号码 比赛场次 胜场 负场 积分 1 10 8 2 18 2 10 10 0 20 3 8 7 1 15 4 8 6 2 14 5 7 0 7 7 (1)在本次比赛中，有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是多少？ (2)如果有一名队员在本次比赛中的积分不低于34分，那么他最多负______场． 【答案】(1)该名队员本次比赛中的积分是39分 (2)6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）设参加本次比赛的队员共人，根据每两个队员之间都赛一场，一共进行了210场比赛列一元二次方程，解方程求出参赛总人数，可得每个人都需要进行20场比赛，由表格数据分析得出胜一场积2分，负一场积1分，再计算输掉一场比赛时的积分即可； （2）设这名队员负m场，根据积分不低于34分列一元一次不等式，解不等式可得答案． 【详解】（1）解：设参加本次比赛的队员共人． 由题意，得， 解方程，得（舍去）， 所以参加本次比赛的队员共21人，每个人都需要进行20场比赛， 由2号队员胜10场积20分可知胜一场积2分， 由5号队员负7场积7分可知负一场积1分， 所以该名队员在本次比赛中的积分是， 答：该名队员本次比赛中的积分是39分． （2）设这名队员负m场， 由题意得：， 解得：， ∴他最多负6场， 故答案为：6． 15．某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），根据场地和时间等条件，赛程计划7天完成，每天安排4场比赛． (1)比赛组织者应计划邀请多少个队参赛？ (2)如果比计划多邀请2个队参赛，每天安排5场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？ 【答案】(1)比赛组织者应计划邀请8个队参赛 (2)至少需要9天完成比赛 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用， （1）设比赛组织者应计划邀请个队参赛，则每个队伍比赛场，根据题意列出方程，即可解答； （2）设至少需要天完成比赛，根据（1）中解题思路，列不等关系即可解答； 解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． 【详解】（1）解：设比赛组织者应计划邀请个队参赛，则每个队伍比赛场， 根据题意可得， 解得（舍去）， 故比赛组织者应计划邀请8个队参赛； （2）解：根据题意可得邀请个队伍参赛，则每个队伍比赛场， 设至少需要天完成比赛， 可得， 解得， 故至少需要9天完成比赛． 16．为响应党中央提出的“足球进校园”号召，我市在今年秋季确定了3所学校为足球基地实验学校，并在全市开展了中小学足球比赛，比赛采用单循环制，即组内每两队之间进行一场比赛，若初中组共进行场比赛，问初中共有多少个队参加比赛？ 【答案】初中组共有个队参加比赛 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 设初中组共有个队参加比赛，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设初中组共有个队参加比赛， 依题意得，， ， ， ∴或， 解得：（舍去）， 答：初中组共有个队参加比赛． 17．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 解决方案：设应邀请x个队参赛、 (1)每个队要与其他______个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共______场； (2)根据题意，列出相应方程为______； (3)解这个方程，得______； (4)检验：______； (5)答：比赛组织者应邀请______个队参赛． 【答案】(1)； (2) (3)（不符合题意，舍去）， (4)将代入原方程，左边＝右边 (5)8 【分析】设应邀请x个队参赛，则每个队要与其他个队各赛1场，利用组织比赛的总场次数＝参赛球队数×（参赛球队数），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设应邀请x个队参赛、 每个队要与其他个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场； 故答案为：；； （2）根据题意，列出相应方程为； 故答案为：； （3）解这个方程，得x1＝﹣7（不符合题意，舍去），x2＝8； 故答案为：（不符合题意，舍去），； （4）检验：将代入原方程，左边＝右边； 故答案为：将代入原方程，左边＝右边； （5）答：比赛组织者应邀请8个队参赛． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18．组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛． (1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？ (2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式； (3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？ 【答案】(1)6； (2) (3)8 【分析】（1）采取单循环的形式，如果有四个队参赛，则需要打：场； （2）直接根据题意列出函数关系式即可； （3）根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】（1）如果有四个队参赛，则需要打： 场； （2）总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式：； （3）设比赛组织者应邀请x个队参赛， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 这次比赛共有8个队参加． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 19．某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）计划安排 场比赛． (1)应该邀请多少支球队参加比赛？ (2)若某支球队参加 场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛多少场？ 【答案】(1)应邀请 支球队参加比赛． (2)实际共比赛 场． 【分析】（1）设应该邀请x支球队参加比赛，根据实行单循环赛制共赛了15场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用比赛总场次数=该球队参加的场次数+剩下5支球队实行单循环赛制比赛的场次数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设应该邀请 支球队参加比赛， 依题意得 解得或（不合题意，舍去） 答：应邀请 支球队参加比赛． （2）解：． 答：实际共比赛 场． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．应用题：某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛．（本题第一问要求列方程作答） （1）应该邀请多少支球队参加比赛？ （2）若某支球队参加3场后，因故不参与以后的比赛，问实际共比赛多少场？ 【答案】（1）6；（2）13 【分析】（1）设应该邀请x支球队参加比赛，则比赛的总场数为场，与总场数为15场建立方程求出其解即可； （2）用3加上余下的5支球队比赛的总场数即可． 【详解】（1）设应该邀请x支球队参加比赛， 依题意得：， 解得：或（不合题意，舍去）． 答：应邀请6支球队参加比赛； （2）由题可得：（场）． 答：实际共比赛13场． 【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时以单循环形式比赛规则的总场数作为等量关系建立方程是解题的关键． 【类型3 几何图形道路问题】 21．如图所示．在宽为，长为的矩形草坪上，修筑同样宽的三条路（互相垂直），把草坪分成大小不等的六块区域，要使草坪的面积为，道路的宽为多少？ 【答案】道路宽为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设道路宽为，根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设道路宽为， 根据题意得： ， 解得：，． ∵， ∴舍去． 答：道路宽为． 22．东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型体车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积（即阴影面积）为. (1)求道路的宽是多少米? (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10120元，同时尽可能让利于居民? 【答案】(1)米 (2)上涨元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）道路的宽为米，根据铺花砖的面积 (即阴影面积)为 ，结合其布局图，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可； （2）设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元，根据“该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位”，列出一元二次方程，解方程取尽可能让利于居民的值即可． 【详解】（1）道路的宽为米, 由题意得： 整理得： 解得： (不合题意，舍去)， 答：道路的宽是米； （2）设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入元, 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵尽可能让利于居民， ， 答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元． 23．如图，某旅游景点要在长、宽分别为12米、10米的矩形水池内部建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的（每条道路的一侧均与正方形观赏亭的一边在同一直线上），若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽度． 【答案】道路的宽度为米 【分析】本题考查一元二次方程解实际应用题，读懂题意，设道路的宽度为米，则正方形的边长为米，由道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，列一元二次方程，利用因式分解法求解即可得到答案，读懂题意，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：设道路的宽度为米，则正方形的边长为米，根据题意可得 ， ， 则， 解得或（负值不满足实际意义，舍去） 答：道路的宽度为米． 24．某公园准备在一块长为，宽为的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房（如图所示），在温室花房四周修四条宽度相同，且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为． (1)用含的代数式分别表示花园内温室花房的面积和小路面积； (2)若草坪面积为时，求这时道路宽度． 【答案】(1)温室花房的面积为，小路的面积为 (2)道路的宽度为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出花园内温室花房的面积和小路面积；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）由温室花房边长和小路宽度间的关系，得出温室花房边长为，再由正方形及长方形的面积公式，即可表示出花园内温室花房的面积和小路面积； （2）根据草坪面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：温室花房边长是小路宽度的倍，小路宽度为， 温室花房边长为， 温室花房的面积为，小路的面积为， 答：温室花房的面积为 ，小路的面积为． （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：道路的宽度为． 25．在一块长为，宽为的矩形地面上，修建等宽的道路，剩余部分种上草坪．    (1)如图①，测得草坪的面积是，求道路的宽度； (2)后来要在这块矩形地面上，重新进行规划，打算修建两横两竖等宽的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），如图②所示，剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的二分之一，道路的宽度应设计为多少？ 【答案】(1)道路的宽度为 (2)道路的宽度应设计为 【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用： （1）利用平移的性质得到方程，求解即可； （2）设横向道路的宽度为，竖向道路的宽度为，根据草坪的面积是地面面积的四分之一列得方程，解答即可． 【详解】（1）解：设道路的宽度为． 根据题意，得． 整理，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：道路的宽度为． （2）解：设道路的宽度应设计为． 根据题意，得． 整理，得． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽度应设计为． 26．如图，在长为，宽为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，则道路的宽为多少？    【答案】道路的宽为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设道路的宽为，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设道路的宽为，根据题意得： ，     整理得，     解得，（不符合题意，舍去），     答：道路的宽为 27．为了喜迎杭州第十九届亚运会，某学校计划对一块宽为，长为的矩形荒地进行改造，要求修筑同样宽鹅卵石小路,余下的部分种上草坪（阴影部分）,并使草坪的面积为．现在邀请全校同学参与设计，下面是三位同学分别设计的方案，请你选择一种方案，求出道路的宽为多少米？（根据需要精确到0.1米）   【答案】道路的宽为1米或道路的宽为2米或道路的宽为米． 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，利用平移把道路进行平移，再根据草地的面积公式列出一元二次方程即可求解，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程进行求解． 【详解】解：选择方案一 设道路的宽为米，根据题意可列方程： ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 答：道路的宽为1米； 选择方案二 设道路的宽为米，根据题意可列方程： ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 答：道路的宽为2米； 选择方案三 设道路的宽为米，根据题意可列方程： ， 整理得：， 解得：，（舍去）； 答：道路的宽为米． 28．有一块长为a米，宽为b米的长方形场地，计划在该场地上修建宽均为x米的两条互相垂直的道路，余下的四块长方形场地建成草坪．    (1)已知，且四块草坪的面积和为264平方米，则每条道路的宽x为多少米？ (2)若，且四块草坪的面积和为264平方米，则原来矩形场地的长和宽各为多少米？ (3)已知，现要在场地上修建若干条宽均为2米的纵横小路，假设有m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路（其中，m，n为常数），使草坪地的总面积为132平方米，则__________（直接写出答案）． 【答案】(1)2米 (2)原来矩形场地的长为26米，宽为13米 (3)25 【分析】（1）将四块矩形场地拼成一个长方形，表示出长和宽，根据面积为264平方米列一元二次方程，解方程即可； （2）由题意，四块矩形场地可拼合成一个长为米，宽为的矩形，根据面积为264平方米列一元二次方程，解方程即可； （3）草坪可拼合成相邻两边分别为的矩形，根据题意列出方程，再将33分解为，根据，求出m和n的值，再根据题意进行取舍即可． 【详解】（1）解：四块矩形场地可合成长为米，宽为米的长方形． 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：每条道路的宽x为2米； （2）解：， ， 又道路的宽度米， 四块矩形场地可合成长为米，宽为米的长方形． 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ． 答：原来矩形场地的长为26米，宽为13米． （3）解：草坪可拼合成相邻两边分别为的矩形．依题意，得 ， 即． ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴ ∴． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，因式分解，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 29．在宽为，长为的矩形地面上，修筑同样宽的几条道路（图中阴影部分），余下部分作为耕地，要使耕地面积为，道路的宽为多少米？    【答案】道路的宽为 【分析】设道路的宽度为，根据题意可知耕地可拼成一个矩形，耕地面积为，列出方程，解方程即可． 【详解】设道路的宽为， 根据题意得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 答：道路的宽为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形中耕地面积列出方程是解题的关键． 30．（1）如图1，在一块长为，宽为的矩形地面上，修建有道路，道路都是等宽的，剩余部分种上草坪，测得草坪的面积是，道路的宽度是多少？ （2）后来要在这块长为，宽为的矩形地面上，进行重新规划，打算修建两横、两竖的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），如图2，横、竖道路的宽度比为剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的四分之一，应如何设计道路的宽度？ 【答案】（1）；（2）横向道路的宽度为，竖向道路的宽度为 【分析】（1）利用平移的性质得到等式，求解即可； （2）设横向道路的宽度为，竖向道路的宽度为，根据草坪的面积是地面面积的四分之一列得方程解答． 【详解】解：（1）设道路的宽度是，则 ， 整理得， 解得（舍去）， 答：道路的宽度为； （2）设横向道路的宽度为，竖向道路的宽度为，则 解得（不合题意，舍去）， ∴， 答：横向道路的宽度为，竖向道路的宽度为． 【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【类型4 工程问题】 31．随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍． （1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？ （2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数） 【答案】（1）甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月． （2）甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元． 【分析】（1）若乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需（x+5）个月，等量关系为：“两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍”，据此列方程求解即可． （2）设甲队施工m个月，求出乙施工的时间，根据工程款不超过1500万元，列不等式求解． 【详解】解：（1） 设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需（x+5）个月， 根据题意，得， 即， 解得（不合题意，舍去）． ∴． 答：甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月． （2）设甲队施工m个月，则乙施工的时间为m 个月， 由题意得，100m+（100+50）m≤1500， 解得： ∵施工时间为整数， ∴m≤8， 答：完成这项工程，甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，难度一般，解本题的关键是根据题意设出未知数列出方程及不等式求解． 32．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值． 【答案】(1)300 (2)5 【分析】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解； （2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意可得小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得： ， 解得：， 答：小型设备的使用时间为300小时； （2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时， 根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）． 即m的值为5． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 33．某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12 ．经过三年治理，境内长江水质明显改善 ． （1）求的n值； （2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量； 【答案】（1）；（2），60家 【分析】（1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，列出关于n的一元一次等式，从而求出答案； （2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，列出关于m的一元二次等式，从而求出m及第二年用乙方案新治理的工厂数量． 【详解】解：(1)由题意可得：， 解得； (2)由题意可得：， 解得：，（舍去）， ∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：（家）． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的实际应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据所给条件，找出合适的等量关系，列出方程从而求解． 34．中国基础建设速度惊艳世界，“基建狂魔”的称号名不虚传，中国铁路有许多超级工程正处在建设之中，某公司主营铁路建设施工． （1）原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？ （2）到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里程里程会减少千米，隧道施工里程里程会减少千米，桥梁施工里程里程会增加千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加亿元，若二季度总成本与一季度相同，求的值． 【答案】（1）原计划今年一季度，桥梁施工最多是4千米．（2）2． 【分析】（1）设原计划今年一季度，桥梁施工x千米，则隧道施工（146﹣106﹣x）千米，根据隧道施工至少是桥梁施工的9倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （2）设平地施工每千米的成本为m亿元，则隧道施工每千米的成本为3m亿元，桥梁施工每千米的成本为10m亿元，根据第一季度施工的总成本为254亿元，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再由第二季度总成本与第一季度相同，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：（1）设原计划今年一季度，桥梁施工x千米，则隧道施工（146﹣106﹣x）千米， 依题意，得：146﹣106﹣x≥9x， 解得：x≤4． 答：原计划今年一季度，桥梁施工最多是4千米． （2）设平地施工每千米的成本为m亿元，则隧道施工每千米的成本为3m亿元，桥梁施工每千米的成本为10m亿元， 依题意，得：106m+（146﹣106﹣4）×3m+4×10m＝254， 解得：m＝1． ∴（106﹣7a）×1+（146﹣106﹣4﹣2a）×3+（4+a）（10+a）＝254， 整理，得：a2﹣2a＝0， 解得：a1＝0（不合题意，舍去），a2＝2． 答：a的值为2． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程（一元一次方程）． 35．云南省持续推进“八出省五出境”铁路网建设，努力把与周边国家互联互通的“接口”做好，更好地服务“一带一路”建设．某车站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从今年年初启动了扩建工程．其中某项工程，甲队单独完成所需要时间比乙队单独完成所需要时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍． （1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？ （2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队少20万元．在保证工程质量的前提下，为缩短工期，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1200万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数） 【答案】（1）甲队单独完成这项工程需要15个月，则乙队单独完成这项工程需要10个月；（2）甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1200万元 【分析】（1）设甲队单独完成这项工程需要x个月，则乙队单独完成这项工程需要（x-5）个月，依题意即可得到方程，故可求解； （2）设在完成这项工程中甲队做了a个月，乙队做了0.5a个月，根据题意得到不等式，故可求解． 【详解】解：（1）设甲队单独完成这项工程需要x个月，则乙队单独完成这项工程需要（x-5）个月． 由题意，得 解方程，得(舍去) 故 答：甲队单独完成这项工程需要15个月，则乙队单独完成这项工程需要10个月．     （2）设在完成这项工程中甲队做了a个月，乙队做了0.5a个月． 由题意得，      解这个不等式，得 a是整数，a的最大值为8 答：甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1200万元． 【点睛】此题主要考查一元二次方程及不等式的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列式求解． 36．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米 (2)18 【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案； （2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得 ， 解得， 米， 所以A型设备每小时铺设的路面110米； （2）根据题意得：， 解得，（舍去）， 答：m的值是18． 【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 37．重庆被称为“基建狂魔”城市，今年2月份，重庆轨道交通引来“运营里程超500千米的新突破”，另外重庆其他轨道工程也正处在建设中． (1)原计划今年一季度施工里程（含普通道路施工、高架施工、隧道施工）共56千米，其中普通道路施工32千米，高架施工长度至少是隧道施工长度的7倍，则今年第一季度隧道施工最多是多少千米？ (2)一季度的施工里程刚好按原计划完成且隧道施工里程达到最大值，已知第一季度普通道路施工、高架施工、隧道施工每千米成本分别是1亿元、2亿元、4亿元．在第二季度施工中，预计总里程会减少千米，隧道施工里程会增加千米，高架施工会减少千米，其中普通道路施工、隧道施工每千米成本与第一季度相同，高架桥施工每千米成本会增加亿元，若第二季度总成本与第一季度相同，求的值． 【答案】(1)3千米 (2) 【分析】（1）设原计划今年一季度，隧道施工最多是x千米，则高架施工千米，根据高架施工长度至少是隧道施工长度的7倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （2）先求得第二季度高架施工长度为千米，第二季度隧道施工长度为千米，第二季度普通道路施工长度为千米，再根据第二季度总成本与第一季度相同，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设原计划今年一季度，隧道施工是x千米，则高架施工千米，根据题意，得 解得：， ∴今年第一季度隧道施工最多是3千米； （2）解：第一季度高架施工长度为(千米)， 则第二季度高架施工长度为千米，第二季度隧道施工长度为千米，第二季度普通道路施工长度为千米， 根据题意，得 化简整理，得 解得：，(不符合题意，舍去) ∴． 【点睛】本题考查一元一次不等式与一元二次方程的应用，理解题意，列出一元一次不等式与一元二次方程是解题的关键． 38．重庆地铁18号线一共设站29座，总投资约102亿元其中，杨家坪与石坪桥区何标段隧道总长1000米，由于此标段经过商圈和高层密集区域，隧道挖掘难度大．为了协助九龙坡区争创“全国文明城区”，尽快完成标段的施工，施工单位加快了此标段隧道挖掘速度． (1)若施工单位将挖掘速度提升到了原速度的倍，则比原计划提前50天完成隧道挖掘任务．求原计划每天挖掘继道多少米？ (2)2021年初工程队开始进行隧道挖掘工作，按照（1）中提速后的速度挖掘隧道，每天挖掘隧道的费用为40万元．隧道挖通后，施工单位进行其他项目的施工，到2021年底，其他项目施工总费用为2000万元．为了尽快完成所有工程，施工单位计划在2021年总投资额（即挖掘隧道总费用和其他项目总费用之和）基础上继续增加投资额，预计从2021年初到2023年底，三年累计共完成4.75亿元的投资额．设2022年和2023年这两年的总投资额年平均增长率为m，求m的值． 【答案】(1)4米 (2) 【分析】（1）设原计划每天挖x米，根据题意列方程求解即可； （2）由题可得，提速后的速度为米，则要挖天，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设原计划每天挖x米，则 解得 经检验，是所列方程的解 答：原计划每天挖4米隧道． （2）解：由题可得，提速后的速度为米，则要挖天 则挖隧道的总费用为亿元， 所以2021年总投资额为亿元， 则由题可得 解得或（舍） 答：的值为． 【点睛】此题考查了分式方程和一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程． 39．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万． (1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米． (2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值． 【答案】(1)甲最多施工2500米 (2)a的值为6 【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米， 依题意，得：12（5000-x）≥×10x， 解得：x≤2500， 答：甲最多施工2500米． （2）依题意，得： ， 整理，得：， 解得：，， 当时，总成本为：（万元）， ∵， ∴不符合题意舍去； 当时，总成本为：（万元）， ∵， ∴符合题意； 答：a的值为6． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 40．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 【类型5 几何图形动点问题】 41． 如图所示，在中，，，，点由点出发，沿边以的速度向点移动；点由点出发，沿边以的速度向点移动．如果点，分别从点，同时出发，问： (1)经过_____________________秒后，的面积等于？ (2)经过几秒后，P，Q两点间距离是？ 【答案】(1)2或4 (2)秒 【分析】本题是一元二次方程的应用题，属于常考题型，正确理解题意列出方程、熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）设秒后，面积为，用含x的代数式表示出和，然后根据三角形的面积可得关于x的方程，解方程即可求出结果； （2）设秒后，，两点间距离是，根据勾股定理可得关于t的方程，解方程即得结果． 【详解】（1）解：设秒后，面积为，则，， 由可得， 解得，； 答：经过2秒或4秒后，面积为． （2）解：设秒后，，两点间距离是， 由勾股定理，得，即， 解得：（舍去）； 答：秒后，，两点间距离是． 42．如图，中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，移动时间为（单位：）． (1)求的面积关于的函数解析式； (2)若的面积是面积的，求的值； (3)问：的面积能否为面积的一半？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．    【答案】(1)； (2)； (3)不存在，理由见解析． 【分析】（）根据题意列出关系式即可； （）列出方程，然后求解即可； （）的面积等于的面积的一半，列出方程看看解的情况，可知是否有实数根； 本题考查了一元二次方程的应用及根的判别式，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）由题意得：，， ∴， ∴； （2）∵， ∴当的面积是面积的时，， 整理得：， 解得：； （3）解：不存在，理由： 由（）得， ∴， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， 则不存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半． 43．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． (1) ， ， ， （用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 【答案】(1)；；； (2)当t为5时，四边形的面积为． (3)当t为或时，点P和点Q的距离为10cm 【分析】（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作于点E，则，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，． 故答案为：；；；． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）过点Q作于点E，则，如图所示． 依题意得：， 即， 解得，． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 44．如图，在中，，，点在上从运动到（不包括），速度为；点在上从运动到（不包括），速度为．若点，分别从，同时出发，当，两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题，并写出探索的主要过程． (1)当为何值时，，两点的距离为？ (2)当为何值时，的面积为？ 【答案】(1)经过1秒，P，Q两点的距离为 (2)经过秒或秒，的面积为 【分析】本题考查一元二次方程的应用，勾股定理．熟练掌握勾股定理，列出一元二次方程，是解题的关键． （1）设经过秒，P，Q两点的距离为，勾股定理列式求解即可； （2）利用，列式计算即可． 【详解】（1）解：设经过秒，P，Q两点的距离为， 由题意，得：， ∵在中，，， ∴， 由勾股定理，得：，即：， 解得：，（舍去）； ∴经过1秒，P，Q两点的距离为； （2）解：设经过秒，的面积为， 此时：，则：， ∴， 解得：， ∴经过秒或秒，的面积为． 45．如图所示，中，，．    (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为? (2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于? (3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，的面积为? 【答案】(1)点之间的距离不可能为 (2)秒或秒 (3)秒或秒或秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，数形结合，分类讨论以及找准等量关系是解题的关键． （1）设经过秒，点之间的距离为，根据勾股定理列式求解即可； （2）设经过秒，使的面积等于，根据三角形面积公式列式求解即可； （3）分三种情况根据三角形面积公式列出方程：①点在线段上，点在线段上；②点在线段上，点在射线上；③点在射线上，点在射线上． 【详解】（1）解：设经过秒，点之间的距离为， 则， ， ， 在中，， 故， 化简得：， ， 故方程无解， 故点之间的距离不可能为； （2）解：设经过秒，使的面积等于， 则， ， ， 由题意得：， 解得， 故经过秒或秒，的面积等于； （3）解：①点在线段上，点在线段中， 设经过秒，，依题意得： ， ， ， 由题意得：， 解得（舍去），， 故符合题意； ②点在线段上，点在射线中， 设经过秒，，依题意得： ， ， ， 由题意得：， ， 解得符合题意； ③点在射线上，点在射线中， 设经过秒，，依题意得： ， ， ， 由题意得：， 解得，（舍去）， 故符合题意； 综上所述，经过秒，秒，秒后的面积为． 46．如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时P，Q两点同时停止运动，设运动时间为． (1)_________；_________；（用含的代数式表示） (2)若是的中点，连接、、，当为何值时的面积为？ 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系． （1）根据速度时间路程，列出代数式即可； （2）如图，过点D作于H，利用三角形中位线定理求得的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）根据题意得：，， 所以； （2）如图，过点D作于H， ∵，即， ∴， ∴ ∴ 又∵D是的中点， ∴ ∴，， ∴ ∵的面积为 ∴ ∴ ∴ 整理得， 解得：，， ∴当或4时，的面积是． 47．如图，矩形中，，，点P从A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，当点P到达B点或点Q到达C点时，两点停止移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，t秒钟后． (1)求出的面积； (2)当的面积等于8平方厘米时，求t的值； (3)是否存在的面积等于10平方厘米，若存在，求出t的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据矩形，，，，结合点P从A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，得到，继而得到，利用三角形面积公式计算的面积即可； （2）根据，结合的面积等于8平方厘米，构造方程，解方程即可求t的值． （3）根据，结合的面积等于8平方厘米，构造方程，利用一元二次方程根的判别式计算解答即可． 【详解】（1）∵矩形，，， ∴， ∵点P从A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动， ∴， ∴， ∴． （2）∵，且的面积等于8平方厘米， ∴， 解得或． （3）∵，且的面积等于10平方厘米， ∴， 整理，得， ∴， ∴方程无实数根， 故不存在的面积等于10平方厘米． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的面积，一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键． 48．如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，； (3)当时，四边形的面积等于． 【分析】本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用，再解答时要注意所求的解使实际问题有意义． （1）根据路程速度时间就可以表示出，．再用就可以求出的值； （2）在中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值； （3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出的值． 【详解】（1）解：由题意，得，． 故答案为：，； （2）解：在中，由勾股定理，得， 解得：，； （3）解：由题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，的面积等于． 四边形的面积． 答：当时，四边形的面积等于． 49．如图，点B在射线上，过点B作射线，点C在射线上，且，点P由点A开始沿射线运动，点Q由点C开始沿射线运动，两点同时出发，速度都是，与直线相交于点D，设点P的运动时间为，的面积为． (1)当点在射线上时，，求的值． (2)求出关于的函数关系式． (3)当点运动多少秒时，． 【答案】(1) (2) (3)4秒、6秒或12秒 【分析】本题考查了三角形面积公式和一元二次方程的应用，根据已知进行分类讨论是解题的关键； （1）由题在射线上时，秒，此时，，此时，然后根据三角形面积计算公式计算即可得解； （2）分、，两种情况，根据三角形的面积公式求出关于的函数关系式； （3）由即可列出等式，当秒时，则，当秒时，则，解答得到相应的值即可。 【详解】（1）解： ，， 为直角三角形， ， 当点在射线上时，， 点P由点A开始沿射线运动，点Q由点C开始沿射线运动，两点同时出发，速度都是， ，， ， ， ， 整理得：， 解得：（舍去负值）， ； （2） ，点P、Q运动速度是， 当秒时，P在线段上，此时，， ， 当秒时，P在射线上，此时，， ． 关于的函数关系式为：； （3） ，， 为直角三角形， ， ， 当秒时，， 整理得：， 解得，． 当秒时，， 整理得：， 解得， (不合题意，舍去)， ∴经过4秒、6秒或12秒时，． 50．如图，在四边形中，，，，，点从开始沿边向以每秒的速度移动，点从开始沿边向以每秒的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为秒． (1)求证：当时，四边形是平行四边形； (2)是否可能平分对角线？若能，求出当为何值时平分；若不能，请说明理由； (3)若是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)当秒时，平分对角线 (3)若是以为腰的等腰三角形，的值为 【分析】（1）由题意可得当秒时，两点停止运动，在运动过程中，，即可得，，由，即可求得，又由，即可判定四边形是平行四边形； （2）首先连接交于点，若平分对角线，则，易证得，继而可得四边形为平行四边形，则可得，解此方程即可求得答案． （3）分两种情况：①当时，作于，于，与，如图所示：则，，，得出，，由得出方程，解方程即可； ②当时，由勾股定理得出方程，方程无解；即可得出答案． 【详解】（1）证明： ， 当秒时，两点停止运动，在运动过程中，， ，， 当时，，， 又四边形为等腰梯形， ， 四边形为平行四边形； （2）解：能平分对角线，当秒时，平分对角线． 理由如下： 连接交于点，如图1所示： 若平分对角线，则， ， ，， 在和中， ， ， ， 即四边形为平行四边形， ， 解得，符合题意， 当秒时，平分对角线． （3）解：分两种情况： ①当时，作于，于，与，如图2所示： 则，，， ，， ， ， ， 解得：； ②当时，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得，方程无解； 综上所述：若是以为腰的等腰三角形，的值为． 【点睛】此题是四边形综合题目，考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、解方程．注意掌握方程思想与数形结合思想的应用是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$