专题1.5 全等三角形的重难点模型（八大题型）-2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题1.5 全等三角形的重难点模型（八大题型） 【题型01：平移型】 【题型02：翻折型】 【题型03：旋转型】 【题型04：一线三等角型（三类型）】 【题型05：手拉手模型（四大类型）】 【题型06：半角模型】 【题型07：对角互补模型】 【题型08：平行+线段中点构造全等模型】 【题型1 平移型】 【方法技巧】 【典例1】如图，点E，C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式1-1】如图、点、、、在一条直线上，，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式1-2】如图，在和 中，边，交于点，，，． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 【变式1-3】如图，点、、、在同一直线上，，，． 求证：． 【题型2 翻折型】 【方法技巧】 【典例2】如图，，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【变式2-1】如图，已知，求证： 【变式2-2】如图，已知平分，．求证：． 【变式2-3】如图，，，求证：． 【题型3 旋转型】 【方法技巧】 【典例3】如图，在△ABC和△AEF中，点E在BC边上，∠C＝∠F，AC＝AF，∠CAF＝∠BAE，EF与AC交于点G． （1）试说明：△ABC≌△AEF； （2）若∠B＝55°，∠C＝20°，求∠EAC的度数． 【变式3-1】如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，若∠1＝∠2，∠E＝∠C，AE＝AC，求证：AB＝AD． 【变式3-2】如图，点E在△ABC边AC上，AE＝BC，BC∥AD，∠BAC＝∠ADE． （1）求证：△ABC≌△DEA； （2）若∠CAD＝30°，求∠BCD的度数． 【变式3-3】如图，在△ABC中，点D是BC的中点，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．求证：△BDE≌△CDF． 【变式3-4】如图，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，AC＝AE，求证：△ABC≌△ADE． 【题型4 一线三等角型】 【方法技巧】 模型一 一线三垂直 如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 模型二 一线三等角全等模型 如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA 图一 图二 应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题； ②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。 【典例4】（2024•凉州区二模）如图，点B、C、D在同一条直线上，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD． （1）求证：△ABC≌△CDE． （2）若∠ACB＝37°，求∠AED的度数． 【变式4-1】（2023秋•海伦市校级期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N． （1）若MN在△ABC外（如图1），求证：MN＝AM+BN； （2）若MN与线段AB相交（如图2），且AM＝2.6，BN＝1.1，则MN＝　　． 【变式4-2】（2023秋•武冈市期中）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E． （1）求证：△ACD≌△CBE； （2）试探究线段AD，DE，BE之间有什么样的数量关系，请说明理由． 【典例5】如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）． （1）当a＝2时，则C点的坐标为 　 　； （2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由． 【变式5】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD． （1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD． ①求证：AC＝OD； ②求D点坐标． （2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度． 【典例6】（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出； （2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由． 【变式6】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC （1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 　 ，CE与AD的数量关系为 　 　； （2）如图②，判断并说明线段BD，CE与 DE的数量关系； （3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 【题型5 手拉手模型】 【方法技巧】 应用：①利用手拉手模型证明三角形全等，便于解决对应的几何问题； ②作辅助线构造手拉手模型，难度比较大。 【类型一：等边三角形中的手拉手模型】 【典例7】阅读与理解：如图1，等边△BDE按如图所示方式设置． 操作与证明： （1）操作：固定等边△ABC，将△BDE绕点B按逆时针方向旋转120°，连接AD，CE，如图2；在图2中，请直接写出线段CE与AD之间具有怎样的大小关系． （2）操作：若将图1中的△BDE，绕点B按逆时针方向旋转任意一个角度α（60°＜α＜180°），连接AD，CE，AD与CE相交于点M，连BM，如图3；在图3中线段CE与AD之间具有怎样的大小关系？∠EMD的度数是多少？证明你的结论． 猜想与发现： （3）根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，∠DMB的度数大小是否会随着变化而变化？请证明你的结论． 【变式7-1】如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P． （1）求证：BE＝AD． （2）求∠APB的度数． 【变式7-2】（1）问题发现：如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接AE． ①∠AEC的度数为 　　 ； ②线段AE、BD之间的数量关系为 　 　； （2）拓展探究：如图②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形、∠ACB＝∠DCE＝90°，点B、D、E在同一条直线上，CM为△EDC中DE边上的高，连接AE，试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝36°，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出∠EAB+∠ECB的度数． 【类型二：等腰三角形的手拉手模型】 【典例8】在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上时，∠BAC＝90°， ①求证：BD＝CE； ②∠BCE＝　 　； （2）设∠BCE＝a，∠BAC＝β， ①如图2，当点D在线段BC上移动，求证α+β＝180°； ②当点D在射线BC的反向延长线上移动，则a、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【变式8-1】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N． 证明：（1）BD＝CE；（2）BD⊥CE． 【变式8-2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边作等腰直角三角形ADF． （1）如图1，若当点D在线段BC上时（不与点B、C重合），证明：△ACF≌△ABD； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，试猜想CF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由． 【类型三：直角三角形中的手拉手模型】 【典例9】△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°． （1）如图1，当D，B，C在同一直线时，CE的延长线与AD交于点F．求证：∠CFA＝90°； （2）当△ABC与△BDE的位置如图2时，CE的延长线与AD交于点F，猜想∠CFA的大小并证明你的结论； （3）如图3，当A，E，D在同一直线时（A，D在点E的异侧），CE与AB交于点G，∠BAD＝∠ACE，求证：BG+AB＝AC． 【变式9-1】如图：已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE． 发现问题： 如图1，当点D在边BC上时， （1）请写出BD和CE之间的位置关系为 　BD⊥CE　，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系：　 ． （2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系；BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由； 【类型四：作辅助线构造手拉手模型】 【典例10】在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，点D是直线BC上一点，点C关于射线AD的对称点为点E．作直线BE交射线AD于点F．连接CF． （1）如图1，点D在线段BC上，补全图形，求∠AFB的大小（用含α的代数式表示）； （2）如果∠α＝60°， ①如图2，当点D在线段BC上时，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明； ②如图3，当点D在线段CB的延长线上时，直接写出线段AF、BF、CF之间的数量关系． 【变式10】如图1，已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点． （1）以AD为边构造等边△ADE（其中点D、E在直线AC两侧），连接CE，猜想CE与AB的位置关系，并证明你的结论； （2）若过点C作CM∥AB，在CM上取一点F，连AF、DF，使得AF＝DF，试猜想△ADF的形状，并证明你的结论． 【题型6 半角模型】 【方法技巧】 等角=要三角形中得半角模型 【典例11】旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D、E在边BC上，且． （1）如图a，当α＝60°时，将△AEC绕点A顺时针旋转60°到△AFB的位置，连结DF． ①∠DAF＝　 　；②求证：DF＝DE； （2）如图b，当α＝90°时，猜想BD、DE、CE的数量关系，并说明理由． 【变式11】已知∠MBN＝60°，等边△BEF与∠MBN顶点B重合，将等边△BEF绕顶点B顺时针旋转，边EF所在直线与∠MBN的BN边相交于点C，并在BM边上截取AB＝BC，连接AE． （1）将等边△BEF旋转至如图①所示位置时，求证：CE＝BE+AE； （2）将等边△BEF顺时针旋转至如图②、图③位置时，请分别直接写出AE，BE，CE之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）和（2）的条件下，若BF＝4，AE＝1，则CE＝　 　． 【典例12】等边△ABC，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，BD＝DC，∠MDN＝60°，射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N， ①当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系． ②当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明． ③当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系． 【题型7 对角互补模型】 应用：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。 【典例13】（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明； （2）如图（2），在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明． 【变式13】（1）阅读理解： 如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法： 延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，这样就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系可判断线段AE的取值范围是 　 　；则中线AD的取值范围是 　　 ； （2）问题解决： 如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，此时：BE+CF　　EF（填“＞”或“＝”或“＜”）； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作∠ECF＝70°，边CE，CF分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，此时：BE+DF　 EF（填“＞”或“＝”或“＜“）； （4）若在图③的四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且（3）中的结论仍然成立，则∠BCD＝　 　（用含α的代数式表示）. 【典例14】（1）如图1，四边形ABCD是边长为5 cm的正方形，E，F分别在AD，CD边上，∠EBF＝45°．为了求出△DEF的周长．小南同学的探究方法是： 如图2，延长EA到H，使AH＝CF，连接BH，先证△ABH≌△CBF，再证△EBH≌△EBF，得EF＝EH，从而得到△DEF的周长＝　 　cm； （2）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是线段BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系； （3）如图4，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是线段BC，CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （4）若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在CB、DC的延长线上，且2∠EAF＝∠BAD，请画出图形，并直接写出线段EF、BE、FD之间的数量关系． 【变式14-1】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE+FD． 【变式14-2】“截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是　 　． 探索问题： （2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 【题型8 平行+线段中点构造全等模型】 【结论】如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O为EF中点，则△POE≌△QOF 口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行 【典例15】已知：AD是△ABC的角平分线，点E为直线BC上一点，BD＝DE，过点E作EF∥AB交直线AC于点F，当点F在边AC的延长线上时，如图①易证AF+EF＝AB；当点F在边AC上，如图②；当点F在边AC的延长线上，AD是△ABC的外角平分线时，如图③．写出AF、EF与AB的数量关系，并对图②进行证明． 【变式15-1】如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA⊥OC． （1）求证：CO平分∠ACD； （2）求证：AB+CD＝AC． 【变式15-2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中点，求证AD和BC的关系。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 全等三角形的重难点模型（八大题型） 【题型01：平移型】 【题型02：翻折型】 【题型03：旋转型】 【题型04：一线三等角型（三类型）】 【题型05：手拉手模型（四大类型）】 【题型06：半角模型】 【题型07：对角互补模型】 【题型08：平行+线段中点构造全等模型】 【题型1 平移型】 【方法技巧】 【典例1】如图，点E，C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理,解题的关键是熟练运用全等三角形的判定． （1）首先根据可得，即可判定； （2）首先根据（1）中两三角形全等，可得，在中根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ． （2）解：，，， ， ． 【变式1-1】如图、点、、、在一条直线上，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查三角形综合，涉及三角形全等的判定与性质、平行线的判定等知识，熟记相关几何判定与性质是解决问题的关键． （1）由题中条件，利用两个三角形全等的判定定理得到，再由三角形全等的性质即可得证； （2）由（1）中得到，再由同位角相等两直线平行即可得证． 【详解】（1）证明： ， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）知， ， ． 【变式1-2】如图，在和 中，边，交于点，，，． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质得出即可； （）根据平行线的性质得出，求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 在和中， ∴． 【变式1-3】如图，点、、、在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】答案见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键即可得到答案． 根据得到即，之后利用证明即可得到答案． 【详解】证明：， ， 即． ， 则在和中， ， ． ． 【题型2 翻折型】 【方法技巧】 【典例2】如图，，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)12 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）由可直接证明； （2）根据得出，即可解答； 【详解】（1）解：在和中， ， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：四边形的面积是12． 【变式2-1】如图，已知，求证： 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，由两个三角形全等的判定定理得到，再由三角形全等性质即可得证，熟练掌握两个三角形全等判的定定理及性质是解决问题的关键． 【详解】证明：在与中 ， ， ． 【变式2-2】如图，已知平分，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据平分，可得，再根据边角边可证明． 【详解】证明：∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴． 【变式2-3】如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，连接，证明得出，再由三角形外角的定义及性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型3 旋转型】 【方法技巧】 【典例3】如图，在△ABC和△AEF中，点E在BC边上，∠C＝∠F，AC＝AF，∠CAF＝∠BAE，EF与AC交于点G． （1）试说明：△ABC≌△AEF； （2）若∠B＝55°，∠C＝20°，求∠EAC的度数． 【答案】（1）见解答； （2）35°． 【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE， ∴∠CAF+∠EAC＝∠BAE+∠EAC， 即∠BAC＝∠EAF， 在△ABC和△AEF中， ， ∴△ABC≌△AEF（ASA）； （2）解：∵∠B＝55°，∠C＝20°， ∴∠BAC＝180°﹣55°﹣20°＝105°， ∵△ABC≌△AEF， ∴AB＝AE， ∴∠B＝∠AEB＝55°， ∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝70°， ∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝105°﹣70°＝35°． 【变式3-1】如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，若∠1＝∠2，∠E＝∠C，AE＝AC，求证：AB＝AD． 【答案】证明见解答． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）， ∴AB＝AD． 【变式3-2】如图，点E在△ABC边AC上，AE＝BC，BC∥AD，∠BAC＝∠ADE． （1）求证：△ABC≌△DEA； （2）若∠CAD＝30°，求∠BCD的度数． 【答案】（1）见解析； （2）∠BCD＝105°． 【解答】（1）证明：∵BC∥AD， ∴∠ACB＝∠DAE． 在△ABC和△DEA中， ∵， ∴△ABC≌△DEA（AAS）． （2）解：由（1）知△ABC≌△DEA（AAS）， ∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝30°， ∴， ∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝30°+75°＝105°． ∴∠BCD＝105°． 【变式3-3】如图，在△ABC中，点D是BC的中点，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．求证：△BDE≌△CDF． 【答案】证明见解答过程． 【解答】证明：∵CF∥AB， ∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDE与△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（AAS）． 【变式3-4】如图，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，AC＝AE，求证：△ABC≌△ADE． 【答案】见解答． 【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD， 即∠BAC＝∠DAE． 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（AAS）． 【题型4 一线三等角型】 【方法技巧】 模型一 一线三垂直 如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 模型二 一线三等角全等模型 如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA 图一 图二 应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题； ②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。 【典例4】（2024•凉州区二模）如图，点B、C、D在同一条直线上，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD． （1）求证：△ABC≌△CDE． （2）若∠ACB＝37°，求∠AED的度数． 【答案】（1）见解析过程； （2）82． 【解答】（1）证明：∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE， ∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°． ∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠DCE＝90°． ∴∠BAC＝∠DCE． 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（ASA）． （2）解：∵△ABC≌△CDE， ∴AC＝CE，∠ACB＝∠CED＝37°， ∴∠CAE＝∠AEC＝45°， ∴∠AED＝37°+45°＝82°． 【变式4-1】（2023秋•海伦市校级期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N． （1）若MN在△ABC外（如图1），求证：MN＝AM+BN； （2）若MN与线段AB相交（如图2），且AM＝2.6，BN＝1.1，则MN＝　1.5　． 【答案】（1）证明见解析； （2）1.5 【解答】（1）证明：∵AM⊥MN，BN⊥MN， ∴∠AMC＝∠CNB＝90°． ∵∠ACB＝90°，∠AMC＝90°， ∴∠MAC+∠ACM＝90°，∠NCB+∠ACM＝90°， ∴∠MAC＝∠NCB． 在△AMC和△CNB中， ， ∴△AMC≌△CNB（AAS）， ∴AM＝CN，MC＝NB． ∵MN＝NC+CM， ∴MN＝AM+BN． （2）解：∵AM⊥MN于M，BN⊥MN， ∴∠AMC＝∠CNB＝90°， ∴∠MAC+∠ACM＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACM+∠NCB＝90°， ∴∠MAC＝∠NCB， 在△ACM和△CBN中， ， ∴△ACM≌△CBN（AAS）， ∴AM＝CN＝2.6，CM＝BN＝1.1， ∴MN＝CN﹣CM＝2.6﹣1.1＝1.5， 故答案为：1.5． 【变式4-2】（2023秋•武冈市期中）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E． （1）求证：△ACD≌△CBE； （2）试探究线段AD，DE，BE之间有什么样的数量关系，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）AD＝BE+DE． 【解答】（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠ACE+∠CAD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）； （2）解：AD＝BE+DE，理由如下： ∵△ACD≌△CBE， ∴CD＝BE，AD＝CE， ∵CE＝CD+DE， ∴AD＝BE+DE 【典例5】如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）． （1）当a＝2时，则C点的坐标为 　 　； （2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由． 【解答】解：（1）如图1中，过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEB＝∠AOB． ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC＝BA，∠ABC＝90°， ∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠BAO+∠CBE， ∴∠BCE＝∠ABO， 在△BCE和△BAO中， ， ∴△CBE≌△BAO（AAS）， ∵A（﹣1，0），B（0，2）， ∴AO＝BE＝1，OB＝CE＝2， ∴OE＝1+2＝3， ∴C（﹣2，3）， 故答案为：（﹣2，3）； （2）动点A在运动的过程中，c+d的值不变． 理由：过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEA＝∠AOB， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC＝BA，∠ABC＝90°， ∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠ABO+∠CBE， ∴∠BCE＝∠ABO， 在△BCE和△BAO中， ， ∴△CBE≌△BAO（AAS）， ∵B（﹣1，0），A（0，a）， ∴BO＝AE＝1，AO＝CE＝a， ∴OE＝1+a， ∴C（﹣a，1+a）， 又∵点C的坐标为（c，d）， ∴c+d＝﹣a+1+a＝1， 即c+d的值不变． 【变式5】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD． （1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD． ①求证：AC＝OD； ②求D点坐标． （2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度． 【解答】（1）①证明：∵△OBC和△ABD是等腰直角三角形， ∴OB＝CB，BD＝AB，∠ABD＝∠OBC＝90°， ∴∠ABD+ABO＝∠OBC+∠A∠O， ∴∠OBD＝∠CBA， ∴△OBD≌△CBA（SAS）， ∴AC＝OD； ②如图一、 ∵A（4，0），B（0，﹣3）， ∴OA＝4，OB＝3， 过点D作DF⊥y轴于F， ∴∠BOA＝∠DFB＝90°， ∴∠ABO+∠OAB＝90°， ∵∠ABD＝90°， ∴∠ABO+∠FBD＝90°， ∴∠OAB＝∠FBD， ∵AB＝BD， ∴△AOB≌△BFD（AAS）， ∴DF＝OB＝3，BF＝OA＝4， ∴OF＝OB+BF＝7， ∴D（3，﹣7）； （2）如图二、过点D作DF⊥y轴于F， 则∠DFB＝90°＝∠CBF， 同（1）②的方法得，△AOB≌△BFD（AAS）， ∴DF＝OB，BF＝OA＝4， ∵OB＝BC， ∴BC＝DF， ∵∠DEF＝∠CEB， ∴△DEF≌△CEB（AAS）， ∴BE＝EF， ∴BF＝BE+EF＝2BE＝4， ∴BE＝2． 【典例6】（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出； （2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由． 【解答】解：（1）DE＝BD+CE， 理由如下：∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∵BD⊥m，CE⊥m， ∴∠ADB＝∠CEA＝90°， ∴∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE； （2）结论DE＝BD+CE成立， 理由如下：∵∠BAD+∠CAE＝180°﹣∠BAC，∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠ADB，∠ADB＝∠BAC， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△BAD和△ACE中， ， ∴△BAD≌△ACE（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝DA+AE＝BD+CE； （3）△DFE为等边三角形， 理由如下：由（2）得，△BAD≌△ACE， ∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE， ∴∠ABD+∠FBA＝∠CAE+FAC，即∠FBD＝∠FAE， 在△FBD和△FAE中， ， ∴△FBD≌△FAE（SAS）， ∴FD＝FE，∠BFD＝∠AFE， ∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°， ∴△DFE为等边三角形． 【变式6】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC （1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 　 ，CE与AD的数量关系为 　 　； （2）如图②，判断并说明线段BD，CE与 DE的数量关系； （3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC， ∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD， ∴∠CAE＝∠ABD， ∵∠BDA＝∠AEC，BA＝CA， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，CE＝AD， 故答案为：BD＝AE，CE＝AD； （2）DE＝BD+CE， 由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，CE＝AD， ∴DE＝BD+CE； （3）存在，当△DAB≌△ECA时， ∴AD＝CE＝2cm，BD＝AE＝7cm， ∴t＝1，此时x＝2； 当△DAB≌△EAC时， ∴AD＝AE＝4.5cm，DB＝EC＝7cm， ∴t＝，x＝7÷＝， 综上：t＝1，x＝2或t＝，x＝． 【题型5 手拉手模型】 【方法技巧】 应用：①利用手拉手模型证明三角形全等，便于解决对应的几何问题； ②作辅助线构造手拉手模型，难度比较大。 【类型一：等边三角形中的手拉手模型】 【典例7】阅读与理解：如图1，等边△BDE按如图所示方式设置． 操作与证明： （1）操作：固定等边△ABC，将△BDE绕点B按逆时针方向旋转120°，连接AD，CE，如图2；在图2中，请直接写出线段CE与AD之间具有怎样的大小关系． （2）操作：若将图1中的△BDE，绕点B按逆时针方向旋转任意一个角度α（60°＜α＜180°），连接AD，CE，AD与CE相交于点M，连BM，如图3；在图3中线段CE与AD之间具有怎样的大小关系？∠EMD的度数是多少？证明你的结论． 猜想与发现： （3）根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，∠DMB的度数大小是否会随着变化而变化？请证明你的结论． 【解答】解：（1）EC＝AD； ∵将△BDE绕点B按逆时针方向旋转120°， ∴∠ABD＝∠CBE， 在△EBC和△DBA中， ， ∴△EBC≌△DBA（SAS）， ∴EC＝AD； （2）EC＝AD，∠EMD＝60°，理由如下： 设AD与BE交于点O， ∵将△BDE绕点B按逆时针方向旋转α度， ∴∠EBC＝∠DBA＝α， ∵△ABC与△BDE是等边三角形， ∴BC＝AB，BD＝BE， ∴△EBC≌△DBA（SAS）， ∴EC＝AD，∠CEB＝∠ADB， ∵∠EOM＝∠DOB， ∴∠EMD＝∠EBD＝60°， （3）不变，理由如下： 过点B作BH⊥AD于点H，BF⊥EC于点F， ∵△EBC≌△DBA， ∴S△EBC＝S△DBA，AD＝EC， ∴BH＝BF， ∴MB平分∠DMC， ∴∠DMB＝， ∴∠DMB的度数大小不变 【变式7-1】如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P． （1）求证：BE＝AD． （2）求∠APB的度数． 【解答】（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE， 即∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE． （2）解：由（1）可得△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠DAC＝∠EBC． ∵∠ACB＝∠DAC+∠ADC＝60°， ∴∠EBC+∠ADC＝∠APB＝60°， 即∠APB＝60°． 【变式7-2】（1）问题发现：如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接AE． ①∠AEC的度数为 　　 ； ②线段AE、BD之间的数量关系为 　 　； （2）拓展探究：如图②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形、∠ACB＝∠DCE＝90°，点B、D、E在同一条直线上，CM为△EDC中DE边上的高，连接AE，试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝36°，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出∠EAB+∠ECB的度数． 【解答】解：（1）①∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴CE＝CD，CA＝CB，∠ECD＝∠ACB＝60°， ∴∠ECD﹣∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD，即∠ECA＝∠DCB， 在△ECA和△DCB中， ， ∴△ECA≌△DCB（SAS）， ∴∠AEC＝∠BDC＝120°， 故答案为：120°； ②∵△ECA≌△DCB， ∴AE＝BD， 故答案为：AE＝BD； （2）CM+AE＝BM，理由如下： ∵△DCE是等腰直角三角形， ∠CDE＝45°， ∴∠CDB＝135°， 由（1）得△ECA≌△DCB， ∴∠CEA＝∠CDB＝135°，AE＝BD， ∵∠CEB＝45°， ∴∠AEB＝∠CEA﹣∠CEB＝90°， ∵△DCE都是等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高， ∴CM＝EM＝MD， ∴CM+AE＝BM； （3）∵△DCE是等腰三角形，∠DCE＝36°， ∴∠CDE＝72°， ∴∠CDB＝108°， ∵△ECA≌△DCB， ∴∠CEA＝∠CDB＝108°， ∴∠EAC+∠ECA＝72°， ∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝36°， ∴∠CAB＝72°， ∴∠EAB+∠ECB＝∠EAC+∠CAB+∠ECA+∠ACB＝72°+72°+36°＝180°， 【类型二：等腰三角形的手拉手模型】 【典例8】在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上时，∠BAC＝90°， ①求证：BD＝CE； ②∠BCE＝　 　； （2）设∠BCE＝a，∠BAC＝β， ①如图2，当点D在线段BC上移动，求证α+β＝180°； ②当点D在射线BC的反向延长线上移动，则a、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【解答】（1）①证明：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE； ②由①知△ABD≌△ACE， ∴∠B＝∠ACE， ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠B， 又∵∠BAC＝90°， ∴∠BCE＝90°， 故答案为：90°； （2）①证明：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE， ∴∠B+∠ACB＝α， ∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°， ∴α+β＝180°； ②α＝β．理由如下：如图，由①同理得，△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∴∠BAC+∠ACB＝∠ACB+∠BCE， ∴∠BAC＝∠BCE， 即α＝β． 【变式8-1】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N． 证明：（1）BD＝CE；（2）BD⊥CE． 【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90° ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD 即∠CAE＝∠BAD 在△ABD和△ACE中 ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴BD＝CE （2）∵△ABD≌△ACE ∴∠ABN＝∠ACE ∵∠ANB＝∠CND ∴∠ABN+∠ANB＝∠CND+∠NCE＝90° ∴∠CMN＝90° 即BD⊥CE． 【变式8-2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边作等腰直角三角形ADF． （1）如图1，若当点D在线段BC上时（不与点B、C重合），证明：△ACF≌△ABD； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，试猜想CF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，△ADF是等腰直角三角形， ∴∠CAF+∠CAD＝90°，∠BAD+∠ACD＝90°， ∴∠CAF＝∠BAD， 在△ACF和△ABD中， ， ∴△ACF≌△ABD（SAS）， （2）解：CF＝BD，CF⊥BD． 理由：∵∠CAB＝∠DAF＝90°， ∴∠CAB+∠CAD＝∠DAF+∠CAD， 即∠CAF＝∠BAD， 在△ACF和△ABD中， ， ∴△ACF≌△ABD（SAS）， ∴CF＝BD，∠ACF＝∠B， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠BCF＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°， ∴CF⊥BD 【类型三：直角三角形中的手拉手模型】 【典例9】△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°． （1）如图1，当D，B，C在同一直线时，CE的延长线与AD交于点F．求证：∠CFA＝90°； （2）当△ABC与△BDE的位置如图2时，CE的延长线与AD交于点F，猜想∠CFA的大小并证明你的结论； （3）如图3，当A，E，D在同一直线时（A，D在点E的异侧），CE与AB交于点G，∠BAD＝∠ACE，求证：BG+AB＝AC． 【解答】（1）证明：∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形， ∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴∠BAD＝∠BCE， ∵∠BAD+∠AFE+∠FEA＝∠BCE+∠ABC+∠BEC＝180°， 又∵∠FEA＝∠BEC， ∴∠CFA＝∠ABC＝90°． （2）解：∠CFA＝90°． 理由如下： 同理可证△ABD≌△CBE（SAS）， ∴∠BAD＝∠BCE， ∴∠CFA＝∠ABC＝90°． （3）过点G作GH⊥AC于点H，同（2）可知∠BAD＝∠BCE， ∵∠BAD＝∠ACE， ∴∠ACE＝∠BCE， ∵AB⊥BC，GH⊥AC， ∴BG＝GH， ∵∠BAC＝45°， ∴∠BAC＝∠AGH＝45°， ∴GH＝AH， ∴AH＝BG， 在Rt△BCG和Rt△HCG中， ， ∴Rt△BCG≌Rt△HCG（HL）， ∴BC＝CH， ∴AC＝AH+CH＝BG+BC＝BG+AB． 【变式9-1】如图：已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE． 发现问题： 如图1，当点D在边BC上时， （1）请写出BD和CE之间的位置关系为 　BD⊥CE　，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系：　 ． （2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系；BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由； 【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD＝45°， ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，BC＝CD+BD＝CD+CE， ∴BD⊥CE， 故答案为：BD⊥CE；BC＝CD+CE； （2）BD⊥CE成立，数量关系不成立，关系为BC＝CE﹣CD． 理由如下：如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC， ∴BD＝BC+CD，∠ACE+∠ACB＝90°， ∴BD⊥CE；BC＝CE﹣CD； 【类型四：作辅助线构造手拉手模型】 【典例10】在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，点D是直线BC上一点，点C关于射线AD的对称点为点E．作直线BE交射线AD于点F．连接CF． （1）如图1，点D在线段BC上，补全图形，求∠AFB的大小（用含α的代数式表示）； （2）如果∠α＝60°， ①如图2，当点D在线段BC上时，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明； ②如图3，当点D在线段CB的延长线上时，直接写出线段AF、BF、CF之间的数量关系． 【解答】解：（1）补全图形如下， 连接AE， ∵点E为点C关于AD的对称点， ∴AE＝AC，EF＝FC，∠EAD＝∠CAD， 设∠EAD＝∠CAD＝x， ∴∠CAE＝2x， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABCα． ∴∠BAE＝180°﹣2x﹣2α， ∴∠ABE+∠AEB＝2x+2α， ∵AE＝AB， ∴∠ABE＝∠AEB＝x+α， ∴∠AFB＝∠AEB﹣∠EAD＝α； （2）①AF＝BF+CF． 延长FB至点G，使FG＝FA，连接AG， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝α＝60°， ∴△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°， 由（1）知∠AFB＝α＝60°， ∴△AFG为等边三角形， ∴AG＝AF，∠GAF＝60°， ∴∠GAB＝∠FAC， 在△ABG和△ACF中， ， ∴△ABG≌△ACF（SAS）， ∴BG＝CF， ∴CF+BF＝BG+BF＝GF， ∵GF＝AF， ∴AF＝BF+CF； ②结论为：CF＝AF+BF．连接AE． ∵点E为点C关于AD的对称点， ∴AE＝AC，EF＝FC，∠EAD＝∠CAD， 设∠EAD＝∠CAD＝x， ∴∠CAE＝2x， ∵AB＝AC＝AE， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°． ∴∠DAB＝x﹣60°， ∴∠EAB＝x+x﹣60°＝2x﹣60°， ∵AE＝AB， ∴∠ABE＝∠AEB＝＝120°﹣x， ∴∠AFE＝∠DAB+∠ABE＝x﹣60°+120°﹣x＝60°， 在BE上取点G，使得FG＝FA，连接AG， ∴△AFG为等边三角形， ∴AG＝AF，∠GAF＝60°， ∴∠GAE＝∠FAB＝x﹣60°， 在△AGE与△AFB中， ， ∴△AGE≌△AFB（SAS）， ∴BF＝EG， ∴EF＝EG+FG＝BF+AF， ∴CF＝EF＝BF+AF． 【变式10】如图1，已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点． （1）以AD为边构造等边△ADE（其中点D、E在直线AC两侧），连接CE，猜想CE与AB的位置关系，并证明你的结论； （2）若过点C作CM∥AB，在CM上取一点F，连AF、DF，使得AF＝DF，试猜想△ADF的形状，并证明你的结论． 【解答】解：（1）CE∥AB， 证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°＝∠ABC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE＝60°， ∴∠BAC＝∠ACE， ∴CE∥AB； （2）延长BC至点G，使得CG＝CF，作FH⊥CG于点H， 作FN⊥AC于点N， ∵CM//AB， ∴∠FCG＝∠B＝60°， ∴△CFG是等边三角形， ∴CF＝FG， 又∴∠ACF＝∠BAC＝60°， ∴∠FCN＝∠G＝60°， ∵∠FMC＝∠FHG＝90°， ∴△NFC≌△HFG（AAS）， ∴NF＝FH， 又∵AF＝DF， ∴Rt△AFN≌Rt△DFH（HL）， ∴∠DFH＝∠AFN， ∴∠DFH+∠GFH＝∠AFN+∠NFC， 即∠AFC＝∠DFG， ∴∠AFD+∠DFC＝∠CFG+∠DFC， ∴∠AFD＝∠CFG＝60°， ∴△ADF是等边三角形． 【题型6 半角模型】 【方法技巧】 等角=要三角形中得半角模型 【典例11】旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D、E在边BC上，且． （1）如图a，当α＝60°时，将△AEC绕点A顺时针旋转60°到△AFB的位置，连结DF． ①∠DAF＝　 　；②求证：DF＝DE； （2）如图b，当α＝90°时，猜想BD、DE、CE的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）①解：由旋转知，AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，∠EAF＝60°， ∵∠DAE＝α，∠BAC＝α＝60°， ∴∠DAE＝×60°＝30°， ∴∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝30°， ∴∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝∠BAD+∠CAE＝30°， 故答案为：30°； ②证明：由①知，AF＝AE，∠DAF＝∠DAE＝30°， ∵AB＝AC， ∴△DAF≌△DAE（SAS）， ∴DF＝DE； （2）解：DE2＝BD2+CE2，理由如下： 如图， 将△AEC绕点A顺时针旋转90°到△AFB的位置，连结DF， ∴AF＝AE，∠EAF＝90°＝∠BAC， ∴∠BAF＝∠CAE， ∴△BAF≌△CAE（SAS）， ∴BF＝CE，∠ABF＝∠ACE， 在Rt△ABC中，∠C＝∠ABC＝45°， ∴∠ABF＝45°， ∴∠DBF＝90°，根据勾股定理得，DF2＝BD2+BF2， ∴DF2＝BD2+CE2， 同（1）②的方法得，DF＝DE， ∴DE2＝BD2+CE2． 【变式11】已知∠MBN＝60°，等边△BEF与∠MBN顶点B重合，将等边△BEF绕顶点B顺时针旋转，边EF所在直线与∠MBN的BN边相交于点C，并在BM边上截取AB＝BC，连接AE． （1）将等边△BEF旋转至如图①所示位置时，求证：CE＝BE+AE； （2）将等边△BEF顺时针旋转至如图②、图③位置时，请分别直接写出AE，BE，CE之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）和（2）的条件下，若BF＝4，AE＝1，则CE＝　3或5　． 【解答】（1）证明：∵△BEF为等边三角形， ∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°， ∴∠EBA+∠ABF＝60°， ∵∠MBN＝60°， ∴∠CBF+∠ABF＝60°， ∴∠EBA＝∠CBF， 在△ABE与△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴AE＝CF， ∵CE＝EF+CF， ∴CE＝BE+AE； （2）解：图②结论为CE＝BE﹣AE，图③结论为CE＝AE﹣BE， 图②的理由如下： ∵△BEF为等边三角形， ∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°， ∴∠EBA+∠ABF＝60°， ∵∠MBN＝60°， ∴∠CBF+∠ABF＝60°， ∴∠EBA＝∠CBF， 在△ABE与△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴AE＝CF， ∵CE＝EF﹣CF， ∴CE＝BE﹣AE， 图③的利用如下： ∵△BEF为等边三角形， ∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°， ∴∠EBA+∠ABF＝60°， ∵∠MBN＝60°， ∴∠CBF+∠ABF＝60°， ∴∠EBA＝∠CBF， 在△ABE与△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴AE＝CF， ∵CE＝CF﹣EF， ∴CE＝AE﹣BE； （3）解：在（1）条件下，CE＝BE+AE＝BF+AE＝4+1＝5； 在（2）条件下，CE＝BE﹣AE＝BF﹣AE＝4﹣1＝3， 综上所述，CE＝3或5， 故答案为：3或5． 【典例12】等边△ABC，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，BD＝DC，∠MDN＝60°，射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N， ①当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系． ②当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明． ③当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系． 【解答】解①BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC＝MN． ②猜想：结论仍然成立． 证明：在CN的反向延长线上截取CM1＝BM，连接DM1． ∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD， ∴△DBM≌△DCM1， ∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM， ∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°， ∴∠M1DN＝∠MDN＝60°， ∴△MDN≌△M1DN， ∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC， ③证明：在CN上截取CM1＝BM，连接DM1． 可证△DBM≌△DCM1， ∴DM＝DM1， 可证∠CDN＝∠MDN＝60°， ∴△MDN≌△M1DN， ∴MN＝M1N， ∴NC﹣BM＝MN． 【题型7 对角互补模型】 应用：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。 【典例13】（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明； （2）如图（2），在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明． 【解答】证明：（1）EF2＝BE2+CF2， 理由如下：如图（1）延长ED到G，使DG＝ED，连接CG，FG， 在△DCG与△DBE中， ， ∴△DCG≌△DBE（SAS）， ∴DG＝DE，CG＝BE，∠B＝∠DCG， 又∵DE⊥DF， ∴FD垂直平分线段EG， ∴FG＝FE， ∵∠A＝90°， ∴∠B+∠ACB＝90°， ∴∠FCG＝90°， 在△CFG中，CG2+CF2＝FG2， ∴EF2＝BE2+CF2； （2）如图（2），结论：EF＝EB+FC， 理由如下：延长AB到M，使BM＝CF， ∵∠ABD+∠C＝180°，又∠ABD+∠MBD＝180°， ∴∠MBD＝∠C， 在△BDM和△CDF中， ， ∴△BDM≌△CDF（SAS）， ∴DM＝DF，∠BDM＝∠CDF， ∴∠EDM＝∠EDB+∠BDM＝∠EDB+∠CDF＝∠CDB﹣∠EDF＝120°﹣60°＝60°＝∠EDF， 在△DEM和△DEF中， ， ∴△DEM≌△DEF（SAS）， ∴EF＝EM， ∴EF＝EM＝BE+BM＝EB+CF． 【变式13】（1）阅读理解： 如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法： 延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，这样就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系可判断线段AE的取值范围是 　 　；则中线AD的取值范围是 　　 ； （2）问题解决： 如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，此时：BE+CF　　EF（填“＞”或“＝”或“＜”）； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作∠ECF＝70°，边CE，CF分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，此时：BE+DF　 EF（填“＞”或“＝”或“＜“）； （4）若在图③的四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且（3）中的结论仍然成立，则∠BCD＝　 　（用含α的代数式表示）. 【解答】解：（1）在△ADC与△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC＝3， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， 即2＜AE＜8， ∴2＜2AD＜8， ∴1＜AD＜4， 故答案为：2＜AE＜8；1＜AD＜4； （2）如图，延长FD至点G，使DG＝DF，连接BG，EG， ∵点D是BC的中点， ∴DB＝DC， ∵∠BDG＝∠CDF，DG＝DF， ∴△BDG≌△CDF（SAS）， ∴BG＝CF， ∵ED⊥FD，FD＝GD， ∴EF＝EG， 在△BEG中，BE+BG＞EG， ∴BE+CF＞EF， 故答案为：＞； （3）BE+DF＝EF， 如图，延长AB至点G，使BG＝DF，连接CG， ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBG＝180°， ∴∠CBG＝∠D， 又∵CB＝CD，BG＝DF， ∴△CBG≌△CDF（SAS）， ∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF， ∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°， ∴∠DCF+∠BCE＝70°， ∴∠BCE+∠BCG＝70°， ∴∠ECG＝∠ECF＝70°， 又∵CE＝CE，CG＝CF， ∴△ECG≌△ECF（SAS）， ∴EG＝EF， ∵BE+BG＝EG， ∴BE+DF＝EF， 故答案为：＝； （4）由（3）同理可得△CBG≌△CDF， ∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF， 若BE+DF＝EF， 则EG＝EF， ∴△ECF≌△ECG（SSS）， ∴∠ECG＝∠ECF， ∴∠BCD＝2∠ECF＝2α， 故答案为：2α． 【典例14】（1）如图1，四边形ABCD是边长为5 cm的正方形，E，F分别在AD，CD边上，∠EBF＝45°．为了求出△DEF的周长．小南同学的探究方法是： 如图2，延长EA到H，使AH＝CF，连接BH，先证△ABH≌△CBF，再证△EBH≌△EBF，得EF＝EH，从而得到△DEF的周长＝　 　cm； （2）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是线段BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系； （3）如图4，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是线段BC，CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （4）若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在CB、DC的延长线上，且2∠EAF＝∠BAD，请画出图形，并直接写出线段EF、BE、FD之间的数量关系． 【解答】解：（1）如图1，延长EA到H，使AH＝CF，连接BH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝AD＝CD＝5cm，∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠BAH＝∠BCF＝90°， 又∵AH＝CF，AB＝BC， ∴△ABH≌△CBF（SAS）， ∴BH＝BF，∠ABH＝∠CBF， ∵∠EBF＝45°， ∴∠CBF+∠ABE＝45°＝∠HBA+∠ABE＝∠EBF， ∴∠EBH＝∠EBF， 又∵BH＝BF，BE＝BE， ∴△EBH≌△EBF（SAS）， ∴EF＝EH， ∴EF＝EH＝AE+CF， ∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝10（cm）． 故答案为：10． （2）EF＝BE+DF． 证明：如图2所示，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠BAD＝100°，∠EAF＝50°， ∴∠BAE+∠FAD＝∠DAG+∠FAD＝50°， ∴∠EAF＝∠FAG＝50°， 在△EAF和△GAF中， ， ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF＝FG＝DF+DG， ∴EF＝BE+DF； （3）成立． 证明：如图3，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG． ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°， ∴∠ABG＝∠D， ∵在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF， ∵2∠EAF＝∠BAD， ∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠BAD＝∠EAF， ∴∠GAE＝∠EAF， 又AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴EG＝EF， ∵EG＝BE+BG， ∴EF＝BE+FD； （4）EF＝DF﹣BE， 理由如下：在DF上截取DH，使DH＝BE， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°， ∴∠ABE＝∠ADH，且AB＝AD，DH＝BE， ∴△ABE≌△ADH（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAH，AH＝AE， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠DAH+∠BAF＝∠BAD， ∴∠HAF＝∠BAD＝∠EAF，且AF＝AF，AE＝AH， ∴△FAH≌△FAE（SAS）， ∴HF＝EF， ∴EF＝HF＝DF﹣DH＝DF﹣BE 【变式14-1】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE+FD． 【解答】证明：延长CB至M，使BM＝FD，连接AM，如图所示： ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABM+∠ABC＝180°， ∴∠ABM＝∠D， 在△ABM与△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AF＝AM，∠BAM＝∠DAF， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD＝∠FAE， ∴∠BAM+∠BAE＝∠EAF， 即∠MAE＝∠EAF， 在△AME与△AFE中， ， ∴△AME≌△AFE（SAS）， ∴EF＝ME， ∵ME＝BE+BM， ∴EF＝BE+FD． 【变式14-2】“截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是　 　． 探索问题： （2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 【解答】证明：（1）在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； 故答案为：EF＝BE+DF． （2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立； 理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF． 【题型8 平行+线段中点构造全等模型】 【结论】如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O为EF中点，则△POE≌△QOF 口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行 【典例15】已知：AD是△ABC的角平分线，点E为直线BC上一点，BD＝DE，过点E作EF∥AB交直线AC于点F，当点F在边AC的延长线上时，如图①易证AF+EF＝AB；当点F在边AC上，如图②；当点F在边AC的延长线上，AD是△ABC的外角平分线时，如图③．写出AF、EF与AB的数量关系，并对图②进行证明． 【解答】（1）证明：如图①，延长AD、EF交于点G， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵EF∥AB， ∴∠G＝∠BAD， ∴∠G＝∠CAD， ∴FG＝AF， 在△ABD和△GED中， ， ∴△ABD≌△GED（AAS）， ∴AB＝GE， ∵GE＝FG+EF＝AF+EF， ∴AF+EF＝AB； （2）结论：AF﹣EF＝AB． 证明：如图②，延长AD、EF交于点G， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵EF∥AB， ∴∠G＝∠BAD， ∴∠G＝∠CAD， ∴FG＝AF， 在△ABD和△GED中， ， ∴△ABD≌△GED（AAS）， ∴AB＝GE， ∵GE＝FG﹣EF＝AF﹣EF， ∴AF﹣EF＝AB； （3）结论：EF﹣AF＝AB． 证明：如图③，延长AD交EF于点G， ∵AD平分∠PAC， ∴∠PAD＝∠CAD， ∵EF∥AB， ∴∠AGF＝∠PAD， ∴∠AGF＝∠CAD，∠ABD＝∠GED， ∴FG＝AF， 在△ABD和△GED中， ， ∴△ABD≌△GED（ASA）， ∴AB＝GE， ∵EF﹣FG＝GE， ∴EF﹣AF＝AB； 【变式15-1】如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA⊥OC． （1）求证：CO平分∠ACD； （2）求证：AB+CD＝AC． 【解答】解： （1）如图，延长AO交CD的延长线于点E， ∵O为BD的中点， ∴BO＝DO， 在△AOB与△EOD中， ∴△AOB≌△EOD，（ASA） ∴AO＝AE， 又∵OA⊥OC， ∴AC＝CE ∴CO平分∠ACD；（三线合一） （2）由△AOB≌△EOD 可得AB＝DE ∴AB+CD＝CD+DE＝CE ∵AC＝CE ∴AB+CD＝AC 【变式15-2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中点，求证AD和BC的关系。 【解答】解：如图，延长AE交BC于F． ∵AB⊥BC，AB⊥AD， ∴AD∥BC ∴∠D＝∠C，∠DAE＝∠CFE， 又∵点E是CD的中点， ∴DE＝CE． ∵在△AED与△FEC中， ， ∴△AED≌△FEC（AAS）， ∴AE＝FE，AD＝FC． ∵AD＝5，BC＝10． ∴BF＝5 ∴AD＝ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$