精品解析：2024年辽宁省沈阳市浑南区中考零模考试数学试题

2023-2024学年下学期期初模拟测试 九年级数学 （试题满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在答题卡规定位置填写自己的姓名，本次测试考号． 2．考生须在答题卡上作容，不能在木试卷上作答，答在本试卷上无效． 3．考试结束，将答题卡交回． 4．木试卷23道小题，共8页．如缺页，印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果零上记作，那么零下记作（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数的意义，解题的关键是掌握正数和负数表示具有相反意义的量． 【详解】解：∵零上记作， ∴零下记作， 故选：C． 2. 如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，则从它的正面看到的几何体的形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体直接判断即可． 【详解】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层左右两边各一个小正方形， 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 3. 下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A选项：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项错误； B选项：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故B选项正确； C选项：不是中心对称图形，但是轴对称图形，故C选项错误； D选项，是中心对称图形，但不是轴对称图形，故D选项错误， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类项的概念、同底数的幂相乘、同底数的幂相除、幂的乘方的性质化简计算即可. 【详解】A. ，故原选项错误； B. ，正确； C. ，故原选项错误； D. ，故原选项错误. 故选：B. 【点睛】此题主要考查了整式的运算，利用相关性质计算是关键.同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 5. 关于x的一元二次方程x2+3x-1=0的根的情况（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】先根据根的判别式求出△的值，再判断即可． 【详解】解：x2+3x﹣1＝0， △＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0， 所以一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选C． 【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键． 6. 解分式方程，去分母后得到的方程正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程两边乘以即可得到结果． 【详解】方程两边同时乘以去分母得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分式方程去分母时要注意不要漏乘常数项，注意相反数的转化． 7. 一次函数y＝kx－m，y随x的增大而增大，且km＜0，则在坐标系中它的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质以及有理数乘法的性质，求得、的符号，即可求解． 【详解】解：一次函数y＝kx－m，y随x的增大而增大，可得， ，可得， 则一次函数y＝kx－m，经过一、二、三象限， 故选：D 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，涉及了一次函数的增减性，有理数乘法的性质，解题的关键是掌握一次函数的有关性质以及有理数乘法的性质，正确判断出、的符号． 8. 我国元朝数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中记载了一道问题，大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？如果设快马x天可以追上慢马，那么根据题意可列方程为（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】快马花x天追上慢马，此时快马走的路程为里，由于慢马先走12天，所以慢马总共走的路程为里．当快马追上慢马时，就是说它们所走的路程相等，即可列出方程． 【详解】快马花x天追上慢马，此时快马走的路程为里，慢马走的路程为里， 由题意得：． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． 9. 某人把“抖空竹”的一个姿势抽象成数学问题．如图所示，已知，，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点，根据得到，结合三角形内外角关系即可得到答案． 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选B； 【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形内外角的性质，解题的关键是作出辅助线． 10. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②作直线，与交于点，连接，若，直线恰好经过点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、菱形的性质、勾股定理．由作图可知，直线为线段的垂直平分线，则，，结合菱形的性质，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：四边形为菱形， ，． 由作图可知，直线为线段的垂直平分线， ，， 在中，由勾股定理得，， ∵， ， ． 在中，由勾股定理得，． 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次根式的乘法法则计算：． 故答案为：． 12. 如图，顶点，，的坐标分别为，，，将绕原点旋转，得到，则点的对应点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．根据成中心对称的图形的性质即可解决问题． 【详解】解：由题知，由绕原点旋转得到， 所以与关于坐标原点成中心对称， 则点与其对应点关于坐标原点对称． 又因为点坐标为， 所以点坐标为． 故答案为：． 13. 如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率P=_． 【答案】 【解析】 【详解】画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，双方出现相同手势的有3种情况， ∴双方出现相同手势的概率P= 14. 如图，在函数的图象上任取一点，过点作轴的垂线交函数的图象于点，连接，，的面积是4，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义．直接根据反比例函数系数的几何意义解答即可． 【详解】解：轴，点在函数的图象上，点在函数的图象上， ，， 的面积是4， ， 解得， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，以为边作矩形（点，，，按逆时针方向排列），，和的延长线相交于点，点从点出发沿向点运动，到达点时停止．点在线段上运动，且始终满足，连接，，．当的面积为时，的长是_____． 【答案】1或 【解析】 【分析】分两种情况：①当点在线段上运动时，②当点在线段上运动时，运用解直角三角形、勾股定理等知识即可求得答案． 【详解】解：， 设，， 点从点出发沿向点运动，到达点时停止， 有以下两种情况： ①当点在线段上运动时，过点作于，过点作于，如图1， 在中，，，， ， ∴由勾股定理得，， 四边形为矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ，， ， 在中，， ， ，， ， ， ， 解得：或（负值舍去）， ． ②当点在线段上运动时，连接，过点作于，于，如图2所示： 同理，设，则，为直角三角形， 依题意得：，， ，， ， ， ， 即， 在中，， ， ，， ， ， 解得：或（舍去）， ， 综上所述：的长为1或． 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积，解直角三角形等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想解决问题． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. （1）解不等式，并把它的解集表示在数轴上； （2）计算：． 【答案】（1），数轴见解析；（2） 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先解出不等式的解集，再在数轴上表示出其解集即可； （2）先算括号内的式子，再算括号外的除法即可． 【详解】解：（1）， 移项及合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 其解集在数轴上表示如下： ； （2） ． 17. 据“沈阳发布”微信公众号消息，2024春节假期期间，沈阳实现国内旅游收入151.47亿元，同比增长254.85%．为了解春节假期期间游客对沈阳市旅游服务满意度，从中随机选取部分游客进行调查，调查结果为：A：非常满意；B：满意；C：基本满意；D：不满意四个等级．请根据如图所示的两幅不完整的统计图中信息，回答下列问题： （1）本次调查共选取游客多少人？ （2）请直接补全条形统计图，并直接写出A等级所在扇形统计图的圆心角度数； （3）2024春节假期期间，沈阳累计接待游客约1100万人次，请你估计对服务表示不满意的游客有多少万人次？ 【答案】（1）这次抽样调查的游客有50人 （2）图见解析，A等级所在扇形统计图的圆心角度数为； （3）估计对服务表示不满意的游客有44万人次． 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据的人数除以占的百分比，得出调查总数即可； （2）将总人数减去、、的人数即可得的人数，从而补全统计图，根据的人数占的百分比乘即可求解； （3）用总人数乘以表示不满意的游客所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：这次抽样调查的游客有：（人）； 【小问2详解】 解：“基本满意”的游客有：（人）， 补全条形图如图： 等级所在扇形统计图的圆心角度数为：； 【小问3详解】 解：（万人）， 答：估计对服务表示不满意的游客有44万人次． 18. 某商场以1200元购进一批商品，很快销售完了，由于商品畅销，商场又用1200元购进第二批这种商品，但第二批商品单价比第一批商品单价上涨了20%，结果比第一批少购进5件这种商品，求第一批和第二批商品的购进单价分别是多少元？ 【答案】第一批商品的单价为40元，第二批商品的单价为48元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用．设第一批商品的单价为元，根据结果比第一批少购进5件这种商品列出分式方程得，解方程并检验可得答案． 【详解】解：设第一批商品的单价为元，则第二批商品的单价为元； 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，也符合题意， ， 第一批商品的单价为40元，第二批商品的单价为48元． 19. 【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 30 60 增加的电量y（%） 0 10 30 60 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 160 200 280 显示电量e（%） 100 60 50 30 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式； 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20%，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 【答案】（1）y关于t函数解析式为：，e关于s函数解析式为：；（2）电动汽车在服务区充电35分钟． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据表格数据，待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）先计算行驶后的电量，假设充电充了分钟，应增加电量：，出发是电量为，走完剩余路程，应耗电量为：，应耗电量为，据此可得：，解得即可． 【详解】解：（1）根据题意，两个函数均为一次函数，设，， 将，代入得， 解得， 函数解析式为：， 将，代入得， 解得， 函数解析式为：； （2）由题意得，先在满电的情况下行走了， 当时，， 未充电前电量显示为， 假设充电充了分钟，应增加电量：， 出发是电量为，走完剩余路程， 应耗电量为：，应耗电量为，据此可得： ，解得， 答：电动汽车在服务区充电35分钟． 20. 《奉天通志》卷75记载了沈阳浑南白塔“出生”的年代，白塔建于明永乐四年（公元1606年），为僧人德本监修．塔座用经过琢磨的白石砌成，塔旁有一庙宇名弥院寺，故又名弥陀寺塔．白塔是沈阳当时的一个标志性建筑．在清代因日俄战争损毁，百年后的2001年，白塔堡政府重建了白塔．浑南区某校九年级“综合与实践”小组开展了“白塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 测量对象 沈阳市浑南区白塔． 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 无人机，测角仪等． 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面100m的P点，测得塔的顶端A的俯角为； 2．再将无人机沿水平方向飞行80m到达点Q，测得塔顶端A的俯角为． 测量示意图 请根据以上测量数据，求白塔的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：，，） 【答案】白塔的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．延长交于，则，根据等腰直角三角形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：延长交于， 则， ， ， ， ， 解得， ， 答：白塔的高度约为． 21. 如图，平分，点在射线上，以点为圆心，半径为1的与相切于点，连接并延长交于点，交于点 （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积．（结果保留 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）首先过点作于点，易证得，即可得是的切线； （2）由，，可求得的长，又由，即可求得答案． 此题考查了切线的判定与性质、扇形的面积以及三角函数的性质解答本题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 【小问1详解】 证明：过点作于点，如图， 与相切于点， ， 平分，是半径， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 在中，， ， ． 22. 如图1，直线与轴，轴分别交于点，，点的坐标为，连接，点为线段上的一动点（点与点，不重合），过点作交于点，将沿翻折，得到，连接． （1）当点与原点重合时，求点的坐标； （2）设m，若和重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式；小亮同学经过探究发现，此问题需要分两种情况讨论． ①当点在内部（含点在边上），即时，等于的面积． ②当点在外部，即时，直接求与之间函数关系式较困难，小亮同学根据学习函数的经验，尝试结合函数图象研究此问题，根据点在上的不同位置（包括时），利用计算机画出相应的与之间的函数图象，如图2所示；并且分析出当时，与之间满足二次函数关系，该二次函数的顶点坐标为． 请参考小亮的解题思路（也可另辟蹊径）并结合图1、图2，解决此问题． （3）小亮同学继续探究发现，至少存在一个点，使得为直角三角形，请求出满足为直角三角形的其中一个点的坐标． 【答案】（1） （2）当时，m2；当时， （3）或 【解析】 【分析】（1）由题推理出由折叠可推导出，则轴，当D点与O点重合，F点在y轴上，，即可求解； （2）①根据题意可得，过点E作轴于点G，可得，可求出S关于m 的函数关系式；②设抛物线的解析式为，把点代入，可求出，即可求地物线的解析式 （3）利用勾股定理，分两种情况讨论：当为斜边时，当为斜边时，分别求出m的值，即可求D点坐标． 【小问1详解】 解：对于， 当时，， ∴点， 当时，，解得：， ∴点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴轴， ∵点D与点O重合，， ∴； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， 过点E作轴于点G，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当时，抛物线的解析式为； ②∵该二次函数的顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为， 观察函数图象得：当时，， 把点代入，得： ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 即当时，； 综上所述，当时，m2；当时，； 【小问3详解】 解：∵， ∴，，， 当为斜边时， ， 解得：（舍去）或， ∴点D的坐标为； 当为斜边时， ， 解得：（舍去）或， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定及性质，折叠的性质是解题的关键． 23. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，，为中点，点在线段上，且，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．求证：． ①如图2，小哲同学发现：如果取线段中点，连接，那么是等边三角形，通过构造全等三角形可以找到，，之间的数量关系． ②如图3，小扬同学发现：如果在线段上截取，连接，那么是等边三角形，也可以构造出全等三角形，找到，，之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类此分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图4，在中，，，为中点，点在线段上，且，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．探究线段，，之间的数量关系． 【学以致用】 （3）在中，，，点在边上，点在边上，连接，将线段绕点逆时针旋转角，得到线段，连接，．当，，时，请直接写出的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）的值为或． 【解析】 【分析】（1）若选择小哲同学的思路，取线段中点，连接，则，可证明是等边三角形，得，，再证明是等边三角形，得，，可证明，得，； 若选择小扬同学的思路，在线段上截取，连接，可证明是等边三角形，推导出，，，再证明是等边三角形，得，，进而证明，得，则； （2）取的中点，的中点，连接、，则，，因为，，所以，可证明，则，再证明，则，再证明，得，则； （3）作交于点，作交于点，由，，得，，推导出，，再证明，得，而，，当点与点在直线同侧，则，可证明，作于点，则，，，所以；当点与点在直线异侧，则，所以，求得． 【详解】（1）证明方法一：如图2，取线段中点，连接，则， ，， 是等边三角形， ，， 为的中点， ， ，， 是等边三角形， ，， 由旋转得，， ， ， ， ， ． 证明方法二：如图3，在线段上截取，连接， ，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形，， ，，， 由旋转得，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ． （2）解：， 理由：如图4，取的中点，的中点，连接、，则，， ，， ， ，， ， ， 为中点， ，， ，，， ，， 由旋转得，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：的值为或， 理由：如图5，点与点在直线同侧，作交于点，作交于点， ，， ，，， ，， ，， 由旋转得，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ∵，， 四边形是平行四边形， ， 作于点，则，，， ． 如图6，点与点在直线异侧， ，，， ， ， 而， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的中位线定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年下学期期初模拟测试 九年级数学 （试题满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在答题卡规定位置填写自己的姓名，本次测试考号． 2．考生须在答题卡上作容，不能在木试卷上作答，答在本试卷上无效． 3．考试结束，将答题卡交回． 4．木试卷23道小题，共8页．如缺页，印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果零上记作，那么零下记作（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，则从它的正面看到的几何体的形状是（ ） A. B. C. D. 3. 下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程x2+3x-1=0的根的情况（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 6. 解分式方程，去分母后得到的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数y＝kx－m，y随x的增大而增大，且km＜0，则在坐标系中它的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 我国元朝数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中记载了一道问题，大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？如果设快马x天可以追上慢马，那么根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 某人把“抖空竹”的一个姿势抽象成数学问题．如图所示，已知，，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②作直线，与交于点，连接，若，直线恰好经过点，则的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：___． 12. 如图，顶点，，的坐标分别为，，，将绕原点旋转，得到，则点的对应点的坐标是_________． 13. 如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率P=_． 14. 如图，在函数的图象上任取一点，过点作轴的垂线交函数的图象于点，连接，，的面积是4，则的值是______． 15. 如图，在中，，，，以为边作矩形（点，，，按逆时针方向排列），，和的延长线相交于点，点从点出发沿向点运动，到达点时停止．点在线段上运动，且始终满足，连接，，．当的面积为时，的长是_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. （1）解不等式，并把它的解集表示在数轴上； （2）计算：． 17. 据“沈阳发布”微信公众号消息，2024春节假期期间，沈阳实现国内旅游收入151.47亿元，同比增长254.85%．为了解春节假期期间游客对沈阳市旅游服务满意度，从中随机选取部分游客进行调查，调查结果为：A：非常满意；B：满意；C：基本满意；D：不满意四个等级．请根据如图所示的两幅不完整的统计图中信息，回答下列问题： （1）本次调查共选取游客多少人？ （2）请直接补全条形统计图，并直接写出A等级所在扇形统计图的圆心角度数； （3）2024春节假期期间，沈阳累计接待游客约1100万人次，请你估计对服务表示不满意的游客有多少万人次？ 18. 某商场以1200元购进一批商品，很快销售完了，由于商品畅销，商场又用1200元购进第二批这种商品，但第二批商品单价比第一批商品的单价上涨了20%，结果比第一批少购进5件这种商品，求第一批和第二批商品的购进单价分别是多少元？ 19. 【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 30 60 增加的电量y（%） 0 10 30 60 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 160 200 280 显示电量e（%） 100 60 50 30 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式； 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20%，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 20. 《奉天通志》卷75记载了沈阳浑南白塔“出生”年代，白塔建于明永乐四年（公元1606年），为僧人德本监修．塔座用经过琢磨的白石砌成，塔旁有一庙宇名弥院寺，故又名弥陀寺塔．白塔是沈阳当时的一个标志性建筑．在清代因日俄战争损毁，百年后的2001年，白塔堡政府重建了白塔．浑南区某校九年级“综合与实践”小组开展了“白塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 测量对象 沈阳市浑南区白塔． 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 无人机，测角仪等． 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面100m的P点，测得塔的顶端A的俯角为； 2．再将无人机沿水平方向飞行80m到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为． 测量示意图 请根据以上测量数据，求白塔的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：，，） 21. 如图，平分，点在射线上，以点为圆心，半径为1的与相切于点，连接并延长交于点，交于点 （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积．（结果保留 22. 如图1，直线与轴，轴分别交于点，，点的坐标为，连接，点为线段上的一动点（点与点，不重合），过点作交于点，将沿翻折，得到，连接． （1）当点与原点重合时，求点的坐标； （2）设m，若和重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式；小亮同学经过探究发现，此问题需要分两种情况讨论． ①当点在内部（含点在边上），即时，等于的面积． ②当点在外部，即时，直接求与之间的函数关系式较困难，小亮同学根据学习函数的经验，尝试结合函数图象研究此问题，根据点在上的不同位置（包括时），利用计算机画出相应的与之间的函数图象，如图2所示；并且分析出当时，与之间满足二次函数关系，该二次函数的顶点坐标为． 请参考小亮的解题思路（也可另辟蹊径）并结合图1、图2，解决此问题． （3）小亮同学继续探究发现，至少存在一个点，使得为直角三角形，请求出满足为直角三角形其中一个点的坐标． 23. 问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，，为中点，点在线段上，且，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．求证：． ①如图2，小哲同学发现：如果取线段中点，连接，那么是等边三角形，通过构造全等三角形可以找到，，之间的数量关系． ②如图3，小扬同学发现：如果在线段上截取，连接，那么是等边三角形，也可以构造出全等三角形，找到，，之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类此分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图4，在中，，，为中点，点在线段上，且，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．探究线段，，之间的数量关系． 【学以致用】 （3）在中，，，点在边上，点在边上，连接，将线段绕点逆时针旋转角，得到线段，连接，．当，，时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$