2023-2024学年人教版九年级数学上册点拨训练第22章第04讲 二次函数y=a(x-h) ^2的图像和性质

人教版九年级数学上 点拨*训练 第22章 第04讲 二次函数y=a(x-h)²的图像和性质 学习目标： 1. 会用描点法画出二次函数 y=a(x-h)²的图像，并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念； 2. 掌握二次函数 y=a(x-h)²性质，掌握y=ax²（a≠0）与y=a(x-h)²（a≠0）之间联系。 老师告诉你 根据图像的位置变换确定函数解析式时要注意： 平移（上下或左右）a不变，绕顶点旋转180°（沿x轴翻折）a变成原数的相反数。 一、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1 二次函数y=a(x-h)²的图像 （1） a>0 ，开口向上 a<0,开口向下； （2） 对称轴是直线x=h,顶点坐标（h,k） 二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到. 【新知导学】 例1-1 .在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象． 先列表： 描点、连线，画出这两个函数的图象: 例1-2 .抛物线的顶点坐标和对称轴分别为（    ） A．，直线 B．，直线 C．，直线 D．，直线 【对应导练】 1.请写出一个开口向上，顶点坐标为的二次函数 ． 2 .同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（    ） A．   B．  C．   D．   知识点2 二次函数y=a(x-h)²的性质 y=a(x-h)2 a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，0） （h，0） 最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0 对称轴 直线x=h 直线x=h 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 【新知导学】 例2-1 .对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 例2-2 .已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【对应导练】 1.上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2 .抛物线的图象经过点，，，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 3 .二次函数的最大值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 知识点3 二次函数y=a(x-h)²与y=ax2 的平移关系 二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到. 左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变 【新知导学】 例3-1 .抛物线与抛物线的关系： 若h＞0，抛物线向 平移h个单位就得到抛物线； 若h＜0，，抛物线向 平移|h|个单位就得到抛物线 例3-2 .抛物线y＝3(x－2)2的开口方向是 ，顶点坐标为 ，对称轴是 ．当x 时，y随x的增大而增大；当x＝ 时，y有最 值是 ，它可以由抛物线y＝3x2向 平移 个单位得到． 【对应导练】 1.关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．最低点是 C．可以由向左平移2个单位得到 D．当时，随的增大而增大 2.在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向下平移2个单位后所得抛物线的表达式为（　　） A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝﹣2（x﹣3）2+3 C．y＝﹣2（x﹣1）2+5 D．y＝﹣2（x﹣1）2+1 3 .请在同一坐标系中画出二次函数①；②的图象．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点． 2、 题型训练 1.利用二次函数y=a(x-h)²的性质求最值 1.已知二次函数（h为常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为，则h的值为 ． 2.如图，已知二次函数的图象顶点在轴上，且，与一次函数的图象交于轴上一点和另一交点. 求抛物线的解析式； 点为线段上一点，过点作轴，垂足为，交抛物线于点，请求出线段的最大值. 2.利用二次函数y=a(x-h)²的性质求面积 3.如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC; 4 .如图1，E是等边的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作等边，连接已知的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（为抛物线的顶点）． （1）当的面积最大时，的大小为 ． （2）等边的边长为 ． 5 .如图是二次函数y＝a(x＋1)2＋2的图象的一部分，根据图象回答下列问题： (1)抛物线与x轴的一个交点A的坐标是 ，则抛物线与x轴的另一个交点B的坐标是 ； (2)确定a的值； (3)设抛物线的顶点是P，试求△PAB的面积． 3. 利用二次函数y=a(x-h)²的图像确定位置变换 6.对于二次函数． 它的图象与二次函数的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？ 当取哪些值时，的值随的增大而增大？当取哪些值时，的值随的增大而减小？ 7．如图，将抛物线C1：y＝x2向右平移2个单位后，再将该图象关于x轴进行轴对称变换得到抛物线C2：y＝ax2+bx+c．则下列关于抛物线C2的解析式中，正确的是（　　） A．y＝﹣x2+4x﹣4 B．y＝﹣x2﹣4x﹣4 C．y＝x2+4x﹣4 D．y＝x2﹣4x﹣4 8．将抛物线y＝ax2向右平移2个单位后所得抛物线与y轴交于点A（0，4）． （1）求平移后所得抛物线的解析式； （2）平移后所得抛物线的对称轴上有一点P，要使PA+PO最短，求P点的坐标． 三、牛刀小试 1． 选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1.顶点为且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是（     ） A． B． C． D． 2 .对于二次函数，下列结论正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而增大 3.若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4.已知，设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5 .关于x的二次函数与的性质中，下列说法错误的是（    ） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．开口大小相同 D．当时，随x的增大而减小，随x的增大而增大 6 .已知点在抛物线上，且，则的取值范围是 ． 7 .抛物线与抛物线的相同点是（　　） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．形状大小都相同 D．顶点都在轴上 8 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于点A、B，若，则点M到直线l的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（每小题4分，共20分） 9 .如果抛物线的开口向下，那么a的取值范围是 ． 10 .二次函数的图象如图所示，若，是该图象上的两点，则 ．（填“”“”或“”） 11 .已知二次函数为常数），当时，的最大值为，则的值为 ． 12 .在平面直角坐标系内有线段PQ，已知P（3，1）、Q（9，1），若抛物线与线段PQ有交点，则a 的取值范围是______． 13 .已知二次函数y＝（x－m）2，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 三、解答题（共6小题，共48分） 14 .（8分）如图是二次函数的图象，，试求该抛物线的解析式. 15 .（6分）已知二次函数的图象如图所示，求的面积．   16 .（8分）抛物线的顶点为，它的形状与相同，但开口方向与之相反． （1）直接写出抛物线的解析式 ； （2）求抛物线与轴的交点坐标． 17 .（8分）已知二次函数. （1）画出函数图象，确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴. （2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？ 18 .（9分）如图，已知抛物线的顶点A的坐标为，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点. （1）求这条抛物线对应的函数解析式； （2）求直线AB对应的函数解析式； （3）若点D在x轴上，且是等腰三角形，请直接写出D点的坐标. 19 .（9分）已知点是抛物线上的点，且点P在第一象限内. （1）求m的值； （2）过P点作轴交抛物线于点Q，若a的值为3，试求以P点、Q点及原点O为顶点的三角形的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版九年级数学上 点拨*训练 第22章 第04讲 二次函数y=a(x-h)²的图像和性质（解析版） 学习目标： 1. 会用描点法画出二次函数 y=a(x-h)²的图像，并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念； 2. 掌握二次函数 y=a(x-h)²性质，掌握y=ax²（a≠0）与y=a(x-h)²（a≠0）之间联系。 老师告诉你 根据图像的位置变换确定函数解析式时要注意： 平移（上下或左右）a不变，绕顶点旋转180°（沿x轴翻折）a变成原数的相反数。 一、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1 二次函数y=a(x-h)²的图像 （1） a>0 ，开口向上 a<0,开口向下； （2） 对称轴是直线x=h,顶点坐标（h,k） 二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到. 【新知导学】 例1-1 .在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象． 先列表： 描点、连线，画出这两个函数的图象: 例1-2 .抛物线的顶点坐标和对称轴分别为（    ） A．，直线 B．，直线 C．，直线 D．，直线 【答案】B 【分析】直接利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，是解题的关键． 【对应导练】 1.请写出一个开口向上，顶点坐标为的二次函数 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的解析式的顶点式，可知顶点坐标为；再由二次项系数a的符号可以判断抛物线的开口方向：当时，抛物线开口向上，当时，开口向下，从而写出答案． 【详解】解：顶点坐标为， 设二次函数的解析式为：， 又二次函数的图象开口向上， ，取，得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次项系数的作用与二次函数的顶点式是解此题的关键． 2 .同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（    ） A．   B．  C．   D．   【答案】D 【分析】可先根据一次函数的图象判断a，b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得：两个a的符号不一致， 故错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的顶点，，矛盾，故错误； C、由一次函数的图象可得：，由其与y轴的交点可知，矛盾，故错误； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的顶点，，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 知识点2 二次函数y=a(x-h)²的性质 y=a(x-h)2 a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，0） （h，0） 最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0 对称轴 直线x=h 直线x=h 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 【新知导学】 例2-1 .对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键． 根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题． 【详解】解：A、因为二次函数的表达式为，所以抛物线的开口向上．故此选项说法正确，不符合题意； B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法正确，不符合题意； C、因为抛物线的顶点坐标为，故此选项说法正确，不符合题意； D、因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，符合题意； 故选：D． 例2-2 .已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答． 【详解】解：二次函数， ， 函数图象开口向下，对称轴为， 时，函数值随自变量的增大而减小， 故选：A． 【对应导练】 1.上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：抛物线上，开口向上，对称轴为， 在对称轴右侧，随的增大而增大， 当时，随的增大而增大， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，由函数的增减性得到关于的不等式是解题的关键． 2 .抛物线的图象经过点，，，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断值的大小． 【详解】解：函数的解析式是， 对称轴是直线， 点的对称点为， 对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大， 又， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性及对称性． 3 .二次函数的最大值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的最值问题，解答时根据二次函数的图象的顶点坐标和开口方向进行解答． 【详解】解：∵二次函数的解析式是， ∴该抛物线开口方向向下，且顶点坐标是， ∴二次函数的最大值为0， 故选：B 知识点3 二次函数y=a(x-h)²与y=ax2 的平移关系 二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到. 左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变 【新知导学】 例3-1 .抛物线与抛物线的关系： 若h＞0，抛物线向 平移h个单位就得到抛物线； 若h＜0，，抛物线向 平移|h|个单位就得到抛物线 【答案】 右 左 【解析】略 例3-2 .抛物线y＝3(x－2)2的开口方向是 ，顶点坐标为 ，对称轴是 ．当x 时，y随x的增大而增大；当x＝ 时，y有最 值是 ，它可以由抛物线y＝3x2向 平移 个单位得到． 【答案】 向上 (2，0) 直线x＝ 2 ≥2 2 小 0 右 2． 【分析】根据二次函数和之间的关系与性质求解即可． 【详解】解：抛物线y＝3（x－2）2的开口方向是向上，顶点坐标为（2，0），对称轴是直线x＝ 2．当x≥2时，y随x的增大而增大；当x＝2时，y有最小值是0，它可以由抛物线y＝3x2向右平移2个单位得到． 故答案为：向上；（2，0）；直线x＝2；≥2；2；小；0；右；2． 【点睛】本题考查二次函数和的图象与性质，掌握这两种形式的函数图象以及它们之间的关系是解题关键． 【对应导练】 1.关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．最低点是 C．可以由向左平移2个单位得到 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】已知抛物线的顶点式，根据顶点式反映出的性质，逐一判断． 【详解】解：中，-1＜0， ∴开口向下，顶点坐标为（2，0），是最高点， 可以由向右平移2个单位得到， 当时，y随x的增大而增大， ∴说法正确的是D， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，从抛物线的表达式可知抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最高（最低）点坐标，增减性等． 2.在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向下平移2个单位后所得抛物线的表达式为（　　） A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝﹣2（x﹣3）2+3 C．y＝﹣2（x﹣1）2+5 D．y＝﹣2（x﹣1）2+1 【答案】D 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可． 【详解】解：将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向下平移2个单位后所得抛物线的表达式为：y＝﹣2（x﹣1）2+3﹣2，即y＝﹣2（x﹣1）2+1． 故选D． 【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 3 .请在同一坐标系中画出二次函数①；②的图象．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点． 【答案】画图见解析；①向左平移两个单位得到②；②的开口方向向上，对称轴是x=2，顶点坐标为（2，0）． 【分析】根据描点法，可得函数图象，根据，图象开口向上，对称轴是，顶点坐标是（，），可得答案． 【详解】解：列表： -2 -1 0 1 2 3 4 2 0.5 0 0.5 2 2 0.5 0 0.5 2 描点： 连线，如图． 由图像可知，①向左平移两个单位得到②， ∴②的开口方向向上，对称轴是，顶点坐标为（2，0）． 【点评】本题考察了二次函数图象，利用描点法画函数图象，根据，图象开口向上，对称轴是，顶点坐标是（，）是解题关键 2、 题型训练 1.利用二次函数y=a(x-h)²的性质求最值 1.已知二次函数（h为常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为，则h的值为 ． 【答案】6或1 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据二次函数的性质得到当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，再分若，则当时，y最大，若，则当时，y最大，若，则最大值为0，三种情况根据最大值为进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数（h为常数）当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 若，则当时，y最大，即，解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 由上可得，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 2.如图，已知二次函数的图象顶点在轴上，且，与一次函数的图象交于轴上一点和另一交点. 求抛物线的解析式； 点为线段上一点，过点作轴，垂足为，交抛物线于点，请求出线段的最大值. 【答案】(1) ；（2）线段的最大值为. 【分析】（1）根据题意首先计算A、B点的坐标，设出二次函数的解析式，代入求出参数即可. （2）根据题意设F点的横坐标为m,再结合抛物线和一次函数的解析式即可表示F、D的纵坐标，所以可得DF的长度，使用配方法求解出最大值即可. 【详解】解：，二次函数与一次函数的图象交于轴上一点， 点为，点为. 二次函数的图象顶点在轴上. 设二次函数解析式为. 把点代入得， . 抛物线的解析式为，即. 设点坐标为，点坐标为. . 当时，即，解得. 点为线段上一点, . 当时，线段的最大值为. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键在于利用配方法求解抛物线的最大值，这是二次函数求解最大值的常用方法,必须熟练掌握. 2.利用二次函数y=a(x-h)²的性质求面积 3.如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC; 【答案】 【分析】过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，由抛物线y=得C（2，0）， 于是得到对称轴为直线x=2，设B（m，n），根据△ABC是等边三角形，得到BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，求出PB=PC=（m-2），由于PB=n=，于是得到 （m-2）=，解方程得到m的值，然后根据三角形的面积公式即可得到结果． 【详解】解：过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC， 由抛物线y=得C（2，0）， ∴对称轴为直线x=2， 设B（m，n）， ∴CP=m-2， ∵AB∥x轴， ∴AB=2m-4， ∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°， ∴PB=PC=（m-2）， ∵PB=n=， ∴（m-2）=， 解得m=，m=2（不合题意，舍去）， ∴AB=，BP=， ∴S△ABC=． 【点睛】本题考查二次函数的性质. 4 .如图1，E是等边的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作等边，连接已知的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（为抛物线的顶点）． （1）当的面积最大时，的大小为 ． （2）等边的边长为 ． 【答案】 【分析】（1）过点F作FD⊥BC于点D，由已知先证≌，得，，进可得∠FCD的度数，所以可求得FD，设等边△ABC的边长为a，则可把△ECF的面积表示出来，并求出面积的最大值，此时便可求得∠FEC的度数； （2）由图知△ECF的最大值，由（1）中计算知道它的面积的最大值，则两者相等，可求得等边△ABC的边长． 【详解】过F作，交BC的延长线于D，如图： 为等边三角形，为等边三角形， ，，， ， ≌， ，， ， ，， ， 设等边边长是a，则， ， 当时，有最大值为， (1)当的面积最大时，，即E是BC的中点， ，， ， ， 故答案为：； （2）当时，有最大值为， 由图可知最大值是， ，解得或边长，舍去， 等边的边长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形及二次函数知识，解题关键是证明由≌，用x的代数式表示的面积． 5 .如图是二次函数y＝a(x＋1)2＋2的图象的一部分，根据图象回答下列问题： (1)抛物线与x轴的一个交点A的坐标是 ，则抛物线与x轴的另一个交点B的坐标是 ； (2)确定a的值； (3)设抛物线的顶点是P，试求△PAB的面积． 【答案】（1）(－3，0)，(1，0) ；(2) a＝－ ；（3）4． 【解析】 【分析】（1）由图象可求得A点的坐标，由解析式可求得抛物线的对称轴方程，利用图象的对称性可求得B点坐标； （2）把B点坐标代入抛物线解析式可求得a的值； （3）由抛物线解析式可求得P点坐标，再结合A、B坐标可求得AB的值，则可求得△PAB的面积． 【详解】解：(1)由图象可知A点坐标为(−3，0)， ∵y=a(x+1)2+2， ∴抛物线对称轴方程为直线x=−1， ∵A、B两点关于对称轴对称， ∴B的坐标为(1，0)， 故答案(−3，0)；(1，0)； (2)将(1，0)代入y＝a(x＋1)2＋2， 可得0＝4a＋2，解得a＝－ ； (3)∵y＝a(x＋1)2＋2， ∴抛物线的顶点坐标是(－1，2)， ∵A(－3，0)，B(1，0)， ∴AB＝1－(－3)＝4， ∴S△PAB＝×4×2＝4． 【点评】根据二次函数的对称性求出B点坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式 ，由解析式求出p点坐标。结合图形求出三角形面积。 3. 利用二次函数y=a(x-h)²的图像确定位置变换 6.对于二次函数． 它的图象与二次函数的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？ 当取哪些值时，的值随的增大而增大？当取哪些值时，的值随的增大而减小？ 【详解】将的图象向左平移个单位可以得到的图象， ∵， ∴抛物线开口向下， 它是轴对称图形，对称轴为，顶点坐标是； ∵，抛物线开口向下， ∴当时，的值随的增大而增大；当时，的值随的增大而减小． 7．如图，将抛物线C1：y＝x2向右平移2个单位后，再将该图象关于x轴进行轴对称变换得到抛物线C2：y＝ax2+bx+c．则下列关于抛物线C2的解析式中，正确的是（　　） A．y＝﹣x2+4x﹣4 B．y＝﹣x2﹣4x﹣4 C．y＝x2+4x﹣4 D．y＝x2﹣4x﹣4 【分析】根据题意向右平移2个单位后，再将该图象关于x轴进行轴对称变换得到抛物线解析式即可． 【解答】解：由题意可知：将y＝x2向右平移2个单位后得y＝（x﹣2）2，再将该图象关于x轴进行轴对称变换得到y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4； 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，抓住点的平移规律是解题的关键． 8．将抛物线y＝ax2向右平移2个单位后所得抛物线与y轴交于点A（0，4）． （1）求平移后所得抛物线的解析式； （2）平移后所得抛物线的对称轴上有一点P，要使PA+PO最短，求P点的坐标． 【分析】（1）根据右移减，交点坐标，可得函数解析式； （2）根据解析式，可得对称轴，根据PA+PO最短，可得答案． 【解答】解；（1）将抛物线y＝ax2向右平移2个单位后所得抛物线y＝a（x﹣2）2， 抛物线y＝a（x﹣2）2与y轴交于点A（0，4）， 4＝a（0﹣2）2， 解得a＝1， 求平移后所得抛物线的解析式y＝（x﹣2）2； （2）抛物线的解析式y＝（x﹣2）2的对称轴是直线x＝2， 要使PA+PO最短， 做A点关于抛物线对称轴的对称点B，点B坐标为（4，4）， 连接OB，OB与抛物线对称轴的交点即为所求的点P， OB所在直线的方程为y＝x， 抛物线的对称轴方程为x＝2， AP垂直于x＝2，A（0，4）， P（2，2）． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了函数平移规律，轴对称的性质． 三、牛刀小试 1． 选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1.顶点为且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数图象与系数的关系，熟记抛物线中，值确定抛物线的开口方向和抛物线的形状是解题的关键．根据抛物线的形状开口方向和抛物线的形状与值有关，利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点为，且开口方向，形状与函数的图象相同， 这个二次函数的解析式为． 故选：A． 2 .对于二次函数，下列结论正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的增减性，由，抛物线开口向上，而对称轴为直线，可得答案； 【详解】解：∵二次函数， 由于，抛物线开口向上， 而对称轴为直线， 所以当时，y随x的增大而增大． 故选D 3.若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据“当开口方向向上时，离着对称轴越远的点的纵坐标越大”即可作答． 【详解】解：抛物线解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当点离着对称轴越远，对应点的纵坐标越大， 点离着对称轴最远，其次是点，点离着对称轴最近， ． 故选：C． 4.已知，设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象和性质，按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可． 【详解】解：如图所示， A．由图象可知，当时，，故选项错误，不符合题意； B．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意； C．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意； D．由图象可知，当时，，故选项正确，符合题意； 故选：D 5 .关于x的二次函数与的性质中，下列说法错误的是（    ） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．开口大小相同 D．当时，随x的增大而减小，随x的增大而增大 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：二次函数的开口向上，对称轴是直线，当，y随x的增大而减小； 二次函数的开口向下，对称轴是直线，当，y随x的增大而增大； 故选项A符合题意，选项B、C，D不符合题意． 故选：A． 6 .已知点在抛物线上，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先根据抛物线的开口方向以及图象上点的坐标和,将各点代入，进而得出的取值范围. 【详解】分别将点代入得: ，， ， 因为， 所以， 解之的取值范围是：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象上点的特征，根据已知得出不等式组进而得出取值范围是解题关键. 7 .抛物线与抛物线的相同点是（　　） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．形状大小都相同 D．顶点都在轴上 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与各系数之间的关系即可解答． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点为， 抛物线的开口向下，对称轴为y轴，顶点是， ∵二次项系数决定抛物线的开口方向和形状， ∴抛物线与抛物线的开口方向相反，但是形状大小相同， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象与各系数的关系是解题关键． 8 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于点A、B，若，则点M到直线l的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】设函数顶点坐标M为(h，0)，点M到直线l的距离为a，则，再求出A、B坐标即可求解． 【详解】解：函数顶点坐标M为(h，0)，点M到直线l的距离为a， 则：，解得：x＝h， 即：A(h﹣，0)，B(h+，0)， ∵AB＝4， ∴h+﹣(h﹣)＝4，解得：a＝4． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是设并求出A,B的坐标是解答本题的关键． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9 .如果抛物线的开口向下，那么a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】由抛物线的开口向下可得出，解之即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，牢记“时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．”是解题的关键． 10 .二次函数的图象如图所示，若，是该图象上的两点，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性质求解即可． 【详解】解：由图象知，抛物线的对称轴为直线， 又点，关于直线对称， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，能得出已知两点的对称性，并掌握二次函数的对称性是解答的关键． 11 .已知二次函数为常数），当时，的最大值为，则的值为 ． 【答案】1或6/6或1 【分析】分、和三种情况考虑：当时，根据二次函数的性质可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；当时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当时，根据二次函数的性质可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：，（舍去）； 当时，的最大值为0，不符合题意； 当时，有， 解得：（舍去），． 综上所述：的值为1或6． 故答案为：1或6． 【点睛】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分、和三种情况求出值是解题的关键． 12 .在平面直角坐标系内有线段PQ，已知P（3，1）、Q（9，1），若抛物线与线段PQ有交点，则a 的取值范围是______． 【详解】解：由可得抛物线的对称轴直线为，顶点坐标为(，0)， 当对称轴在点P左侧时，， 把P（3，1）代入得， 解得或(舍去)， 当对称轴在点P右侧时，， 把Q（9，1），代入得， 解得或(舍去)， ∴当时，抛物线与线段PQ有交点， 故答案为： 13 .已知二次函数y＝（x－m）2，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当x≤1时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴x＝m≥1． 【详解】解：∵二次函数y＝（x﹣m）2，中，a＝1＞0， ∴此函数开口向上， ∵当x≤1时，函数值y随x的增大而减小， ∴二次函数的对称轴x＝m≥1． 故答案为：m≥1． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键． 三、解答题（共6小题，共48分） 14 .（8分）如图是二次函数的图象，，试求该抛物线的解析式. 答案：解： 当时，，由图得 当时， ，，解得 ， 该抛物线的解析式为. 15 .（6分）已知二次函数的图象如图所示，求的面积．   【答案】1 【分析】利用二次函数的顶点式可得到点A的坐标，再由x=0求出对应的y的值，可得到点B的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△ABO的面积． 【详解】解：∵二次函数 ∴顶点 ∵点在图象上且在轴上，即时的坐标 ∴ ∴ ∴的面积 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据解析式求出交点坐标是关键． 16 .（8分）抛物线的顶点为，它的形状与相同，但开口方向与之相反． （1）直接写出抛物线的解析式 ； （2）求抛物线与轴的交点坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由抛物线y=a（x+h）2的顶点为（-2，0），得出h=2，抛物线y=a（x+h）2的形状与y=3x2的相同，开口方向相反，得出a=-3，从而确定该抛物线的函数表达式； （2）根据图象上点的坐标特征求得即可． 【详解】解：（1）∵抛物线y=a（x+h）2的顶点为（-2，0）， ∴-h=-2， ∴h=2， 抛物线y=a（x+h）2的形状与y=3x2的相同，开口方向相反， ∴a=-3， 则该抛物线的函数表达式是y=-3（x+2）2； （2）当时，， 抛物线与轴的交点坐标为． 【点评】主要考查了待定系数法求二次函数的解析式．要求掌握二次函数图象的性质，并会利用性质得出系数之间的数量关系进行解题． 17 .（8分）已知二次函数. （1）画出函数图象，确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴. （2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？ 答案：解：（1）二次函数的图象如图. 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为. （2）当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小. 18 .（9分）如图，已知抛物线的顶点A的坐标为，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点. （1）求这条抛物线对应的函数解析式； （2）求直线AB对应的函数解析式； （3）若点D在x轴上，且是等腰三角形，请直接写出D点的坐标. 答案：解：（1）抛物线对应的函数解析式为，即. （2）点C是线段AB的中点，，点C在y轴上， B点的横坐标为1， 当时，，. 设直线AB对应的函数解析式为， 把，分别代入，得解得 直线AB对应的函数解析式为. （3）由，得，则， ①当时，点D的坐标为或， ②当时，点D的坐标为， ③当时，设，则， 解得，所以点D的坐标为. 综上所述，点D的坐标为，，或. 19 .（9分）已知点是抛物线上的点，且点P在第一象限内. （1）求m的值； （2）过P点作轴交抛物线于点Q，若a的值为3，试求以P点、Q点及原点O为顶点的三角形的面积. 答案：解：（1）点是抛物线上的点， ，解得或， 点P在第一象限内，. （2）a的值为3，二次函数的解析式为， 点P纵坐标为3，轴， ，解得或， 点Q的坐标为，，. 学科网（北京）股份有限公司 $$