精品解析：湖南省长沙市周南中学2025届高三上学期8月月考数学试卷

湖南省长沙市周南中学2025届高三8月联考数学试卷 一､单选题 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合 ， ，再根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 2. 已知复数，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算法则，得到，再利用模长的计算公式，即可求出结果. 【详解】因为，所以. 故选：D 3. 已知空间向量和的夹角为 ，且，，则等于（ ） A. 12 B. 8 C. 4 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的运算律，结合定义即可求解. 【详解】, 故选：D 4. 的值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，结合两角差的正弦展开化简即可. 【详解】原式. 故选：A 5. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出公比根据题干条件列出方程，求出公比，从而利用等比数列通项的基本量计算求出答案. 【详解】设数列的公比为， 则，得， 解得或（舍）， 所以. 故选：C. 6. 如图1，一个圆柱形笔筒的底面直径为 ，（笔筒壁的厚度忽略不计），母线长为，该圆柱形笔筒的直观图如图2所示， ， 分别为该圆柱形笔筒的上底面和下底面直径，且 ，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取 的中点O，连接 ， ，证得平面，三棱锥的体积，计算得到答案； 【详解】由 ，易得，取 的中点O，连接 ， ， 则，，又， ，平面， 所以平面， 所以， 故选：C. 7. 斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设为斐波那契数列， ，，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用给定条件结合对数的性质将化为，结合，得到，根据递增，得到也是递增数列，得，即可求解. 【详解】由题知是的正整数解， 故，取指数得， 同除得，，故， 即，根据是递增数列可以得到也是递增数列， 于是原不等式转化为. 由斐波那契数列可得，，，， 可以得到满足要求的的最大值为 ，故A正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于利用对数的运算将， 转化为，结合的表达式得到， 从而求解的最大值. 8. 已知不等式恰有2个非负整数解，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】原不等式等价于，设，，然后转化为函数的交点结合图象可求. 【详解】原不等式等价于， 设，， 等价与函数在图象下方的整数解恰有2个， 函数的图象是恒过的直线， ，则， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减，且， 做出和的图象可知，当 时，符合题意的解的个数大于2个， 所以 ，从图中可看到一个解是 ，则另外一个解是 ，且， 因为，所以在可取等号， ，解之可得 故选：A 二､多选题 9. 小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：（单位：环），则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为9 B. 这组数据的平均数是8.5 C. 这组数据的极差是4 D. 这组数据的标准差是2 【答案】AC 【解析】 【分析】分别计算这组数据的众数、平均数、极差、方差逐项判断可得答案. 【详解】对于A，由题意知这组数据的众数为9，故A正确； 对于B，这组数据的平均数是，故B错误； 对于C，这组数据的极差是，故C正确； 对于D，这组数据的方差是， 所以这组数据的标准差是，故D错误. 故选：AC. 10. 已知复数，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】AC 【解析】 【分析】复数除法化简的 ，再根据复数 的实部、虚部、模和共轭复数的几何意义判断各个选项； 【详解】由题意得，所以 的实部为，虚部为，故A正确B错误； 在复平面内对应的点位于第四象限．故C正确D错误； 故选：AC. 11. 已知定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时， ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为周期函数 C. 函数为上的偶函数 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】首先利用函数的奇偶性得到函数的对称轴和对称中心，结合关系式的变换得到函数周期判断B，利用特殊值代入判断A，根据导函数判断函数单调性结合关系式和偶函数定义判断C，根据函数的关系式和单调性判断D. 【详解】因为为偶函数， ，故函数图象关于直线对称， 为奇函数，1），函数图象关于对称， 对于B，，故2是函数的周期，函数为周期函数，故B正确； 对于A，，令，故 ， 又，故A正确； 对于C，，当时， ，即函数在上递增， 函数图象关于对称，故函数在上递减，故函数在上递增， 所以，故函数不是偶函数，故C错误； 对于D，，故D错误， 故选：AB. 【点睛】抽象函数的判断一般会从函数奇偶性、周期性和对称性的定义推得相关的函数性质； 三､填空题 12. 在数列中，.若为等差数列，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设数列的公差，由求得公差，再由的通项公式求得结果. 【详解】设的公差为 ，所以，所以， 所以，解得. 故答案为：. 13. 若，则的值为______． 【答案】129 【解析】 【分析】利用特殊值法，结合进行求解即可. 【详解】令 ，得， 又， 则，解得． 故． 故答案为：129 14. 如图，在矩形 中，分别是矩形四条边的中点，点在直线 上，点 在直线 上，，直线 与直线相交于点，则点的轨迹方程为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，求出直线 的方程与直线的方程，联立求解即可. 【详解】 以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系. 因为，所以 ， 所以 ，又因为 ， 所以 ，所以. 因为 ，所以直线 的方程为 ①， 因为 ，所以直线的方程为 ②. 由①可得 ，代入②化简可得 ， 结合图象易知点可到达 ，但不可到达 ， 所以点的轨迹方程为 ， 故答案为： 四､解答题 15. 在 中， ， 是边 上的点，，，. （1）求cos B与 的面积； （2）求边AC的长. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）借助余弦定理与面积公式计算即可得； （2）借助正弦定理计算即可得. 【小问1详解】 在 中，由余弦定理得， ∵，∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）知，∵ ，∴， 在 中，由正弦定理得， 即. 16. 已知椭圆 的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． （1）求椭圆C的标准方程； （2）记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定 的值，得出椭圆的标准方程. （2）设直线 的方程为：，与椭圆方程联立，消去 得到关于 的一元二次方程，由韦达定理得到，，再把用，表示出来，化简即可得解. 【小问1详解】 由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即， 又离心率为所以 ． 所以椭圆C的方程为：． 【小问2详解】 依题意，直线l与x轴不重合， 设l的方程为：． 联立得：， 因为在椭圆内，所以 ， 即，易知该不等式恒成立， 设， 由韦达定理得． 又，则 注意到，即： . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 17. 在 中， ，，D为边 上一点，，E为上一点，，将 沿 翻折，使A到处，. （1）证明：平面； （2）若射线 上存在点M，使，且 与平面所成角的正弦值为，求λ. 【答案】（1）证明：由题意知，， 又，所以平面， 又平面，所以， 又，，所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）题意先证明平面，得到，根据线面垂直判定定理得证； （2）作，垂直为Q，由（1）得，证得平面 ，以B为原点，，，的方向分别为 轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得和平面的一个法向量，根据 与平面所成角正弦值为，解得参数的值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作，垂直为Q，由（1）知，平面， 又平面，所以， 又， ，平面 ， 所以平面 故以B为原点，，，的方向分别为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设，则，，，， 又， 所以，故， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取 ，则 设 与平面所成角为θ， 则， 解得或， 由题意知 ，故. 【点睛】 18. 已知函数的图象在点 处的切线方程为. （1）求 的值； （2）讨论 的单调性； （3）若关于 的方程有两个正根，证明：. 【答案】（1）； （2）在上单调递减，在上单调递增； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数 的导数，利用导数的几何意义及给定切线求出 . （2）由（1），利用导数求出函数 的单调区间即可. （3）方程变形为，利用方程根的意义换元构造函数，利用导数推理证明不等式. 【小问1详解】 函数，求导得， 由 的图象在点 处的切线方程为，得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 由 ，得，由 ，得 ， 所以 在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由，得， 令，依题意，，则， 设，由（2）知 在上单调递增，则，， 由，得，于是， 要证当时，，即证， 令，求导得， 令，求导得， 函数，即在 上单调递增，， 函数在 上单调递增，则当时，，即成立， 所以. 19. 将 个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意 ，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数． （1）若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合； （2）计算以下数列的逆序数． （ⅰ） ； （ⅱ）； （3）已知数列，，…，的逆序数为 ，求，，…，的逆序数． 【答案】（1） ， ， ， ， （2）（ⅰ）4950； （ⅱ）当为奇数时，逆序数为， 当为偶数时，逆序数为． （3） 【解析】 【分析】（1）根据逆序的定义求解即可； （2）（ⅰ）由数列为单调递减数列，即可得到逆序数； （ⅱ）当为奇数时， ，当为偶数时，，由此分析，即可得逆序数； （3）在数列，，…，中，若与后面 个数构成个逆序对，则有不构成逆序对，即可得到答案. 【小问1详解】 由1，2，3，4构成的逆序对有 ， ， ， ， ， ． 若第一个数为4，则至少有3个逆序对； 若第二个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为 ； 若第三个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为 或 ； 若第四个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为 或 ． 综上，符合条件的数列组合有： ， ， ， ， ． 【小问2详解】 （ⅰ）因为为单调递减数列， 所以逆序数为 ． （ⅱ）当为奇数时， 当为偶数时， ， 所以， 当为奇数时，逆序数为 ， 当为偶数时，逆序数为 ． 【小问3详解】 在数列，，…，中，若与后面 个数构成个逆序对， 则有不构成逆序对， 所以在数列，，…，中，逆序数为 ． 【点睛】方法点睛：本题考查数列的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市周南中学2025届高三8月联考数学试卷 一､单选题 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 3. 已知空间向量和的夹角为 ，且，，则等于（ ） A. 12 B. 8 C. 4 D. 14 4. 的值是（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 6. 如图1，一个圆柱形笔筒的底面直径为 ，（笔筒壁的厚度忽略不计），母线长为，该圆柱形笔筒的直观图如图2所示， ， 分别为该圆柱形笔筒的上底面和下底面直径，且 ，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设为斐波那契数列， ，，，其通项公式为，设 是的正整数解，则 的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知不等式恰有2个非负整数解，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：（单位：环），则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为9 B. 这组数据的平均数是8.5 C. 这组数据的极差是4 D. 这组数据的标准差是2 10. 已知复数，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限 11. 已知定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时， ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为周期函数 C. 函数为上的偶函数 D. 三､填空题 12. 在数列中，.若为等差数列，则__________. 13. 若，则的值为______． 14. 如图，在矩形 中，分别是矩形四条边的中点，点 在直线 上，点 在直线 上，，直线 与直线相交于点 ，则点 的轨迹方程为_______________. 四､解答题 15. 在 中， ， 是边 上的点，，，. （1）求cos B与 的面积； （2）求边AC的长. 16. 已知椭圆 的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． （1）求椭圆C的标准方程； （2）记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 17. 在 中， ，，D为边 上一点， ，E为 上一点，，将 沿 翻折，使A到处，. （1）证明：平面； （2）若射线 上存在点M，使，且 与平面所成角的正弦值为，求λ. 18. 已知函数的图象在点 处的切线方程为. （1）求的值； （2）讨论 的单调性； （3）若关于 的方程有两个正根，证明：. 19. 将 个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意 ，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数． （1）若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合； （2）计算以下数列的逆序数． （ⅰ） ； （ⅱ）； （3）已知数列，，…，的逆序数为 ，求，，…，的逆序数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $