精品解析：黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

哈师大青冈实验中学2024--2025学年度开学初考试 高二数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 复数的实部为（ ） A. B. C. 2 D. 2. 已知一个水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，且，则其平面图形的面积是（ ） A. 4 B. C. D. 8 3. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（ ） A. 至少有1个白球和都白球 B. 至少有1个白球和至少有1个红球 C. 恰有1个白球和恰有2个白球 D. 至少有1个白球和都是红球 4. 为了解某中学三个年级的学生对食堂饭菜的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取30%的学生进行调查，已知该中学学生人数和各年级学生的满意率分别如图1和图2所示，则样本容量和抽取的二年级学生中满意的人数分别为（ ） A. 800，360 B. 600，108 C. 800，108 D. 600，360 5. 已知是单位向量，，若在方向上的投影向量是，则与的夹角为（ ） A B. C. D. 6. 如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 万丈悬梯高可攀，白塔坐落落嘉陵边．白塔作为阆中市的标志性建筑之一．当你登临顶层，会欣赏到阆中AAAAA风景的全貌．感觉人仿佛在凌空飞翔．现有一数学兴趣小组，如图，测量河对岸的白塔高，可以选取与塔底 在同一水平面内的两个测量基点与．现测得米，在点C测得塔顶的仰角为，则测得的塔高为（ ）米．    A. B. 10 C. D. 30 8. 如图，在中，M，N分别为AB，AC边上的中点，P是线段MN上的一个动点（不含端点），CP与AB交于点D，BP与AC交于点E，，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 一组样本数据为7，12，13，17，18，20，32，则（ ） A. 该组数据的极差为25 B. 该组数据分位数为19 C. 该组数据的平均数为17 D. 若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等 10. 已知互不相同的两条直线，和两个平面，，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，且，则 D. 若，，且，则 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则将的图象向左平移个单位长度，能得到函数的图象 B. 若，则当时，的值域为 C. 若在区间上恰有个零点，则 D. 若在区间上单调递增，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知向量，且，则__________. 13. 一个封闭的正三棱柱容器，高为8，内装水若干如图1，底面处于水平状态将容器放倒如图2，一个侧面处于水平状态，这时水面所的平面与各棱交点E，F，，分别为所在的棱的中点，则图1中水面的高度为________． 14. 在锐角中，角的对边分别为，的面积为，满足，若，则的最小值为______． 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）求与． 16. 2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图： （1）请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）； （2）现用分层抽样的方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率. 17. 甲､乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响． （1）求甲､乙各射击一次，至少击中目标一次的概率； （2）若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率． 18. 在以下三个条件中任选一个，补充到下面问题中并作答. ①；②；③的面积为（如多选，则按选择的第一个记分） 问题：在中，角，，的对边分别为，，，且  . （1）求角； （2）若，求面积的最大值； （3）在（2）的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围. 19. 如图，在矩形中，，，是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段BC上． （1）当点M与点重合时， ①证明：平面； ②求二面角余弦值； （2）设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大青冈实验中学2024--2025学年度开学初考试 高二数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 复数的实部为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算出复数后，结合复数定义即可得. 【详解】，故其实部为2． 故选：C. 2. 已知一个水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，且，则其平面图形的面积是（ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据直观图画出平面图形，求出相关线段的长度，即可求出平面图形的面积. 【详解】由直观图可得如下平面图形： 其中，， 所以. 故选：A 3. 从装有2个红球和2个白球口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（ ） A. 至少有1个白球和都是白球 B. 至少有1个白球和至少有1个红球 C. 恰有1个白球和恰有2个白球 D. 至少有1个白球和都是红球 【答案】C 【解析】 【分析】利用互斥事件和对立事件的概念分析各个选项的具体含义求解即可. 【详解】“至少有1个白球”和“都是白球”可以同时发生，故它们不互斥； “至少有1个白球”和“至少有1个红球”，因为1个白球1个红球时两种情况同时发生，故它们不互斥； “恰有1个白球”和“恰有2个白球”不可能同时发生，所以它们互斥，当2个球都是红球时它们都不发生，所以它们不是对立事件； “至少有1个白球”和“都是红球”不可能同时发生，所以它们互斥. 因为它们必有一个发生，所以它们是对立事件. 故选：C. 4. 为了解某中学三个年级的学生对食堂饭菜的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取30%的学生进行调查，已知该中学学生人数和各年级学生的满意率分别如图1和图2所示，则样本容量和抽取的二年级学生中满意的人数分别为（ ） A. 800，360 B. 600，108 C. 800，108 D. 600，360 【答案】B 【解析】 【分析】由扇形图求出三个年级的学生总人数，进而求出样本容量，求出抽取的二年级学生人数，再结合二年级学生的满意率求解. 【详解】由扇形图可知，三个年级的学生总人数为人， 所以样本容量为人， 因为抽取的二年级学生人数为人， 所以抽取的二年级学生中满意的人数为人. 故选：B 5. 已知是单位向量，，若在方向上的投影向量是，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知根据投影向量的定义得出即可求解. 【详解】因为在方向上的投影向量是， 所以， 所以，又 所以. 故选：D 6. 如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，则为异面直线EC与BD所成角或其补角，利用余弦定理求解即可. 【详解】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF， 则为异面直线EC与BD所成角或其补角， 不妨设，易得， ， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线EC与BD所成角的余弦值为． 故选：A． 7. 万丈悬梯高可攀，白塔坐落落嘉陵边．白塔作为阆中市的标志性建筑之一．当你登临顶层，会欣赏到阆中AAAAA风景的全貌．感觉人仿佛在凌空飞翔．现有一数学兴趣小组，如图，测量河对岸的白塔高，可以选取与塔底 在同一水平面内的两个测量基点与．现测得米，在点C测得塔顶的仰角为，则测得的塔高为（ ）米．    A. B. 10 C. D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得由余弦定理可得的值，然后在中，由，即可得到结果. 【详解】在中，由得 所以米， 在中，由余弦定理可得 ，所以， 在，可得， 所以米. 故选：D 8. 如图，在中，M，N分别为AB，AC边上的中点，P是线段MN上的一个动点（不含端点），CP与AB交于点D，BP与AC交于点E，，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，利用三角形相似得到，，表达出，利用基本不等式求出最值即可. 【详解】设，则， 因为M，N分别为AB，AC边上的中点，所以，， 故， 因为∽，所以， 设，则，， 故，故， 同理可得，， 因为∽，所以， 设，则， ，， 故，， 则 因为，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 一组样本数据为7，12，13，17，18，20，32，则（ ） A. 该组数据的极差为25 B. 该组数据的分位数为19 C. 该组数据的平均数为17 D. 若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据数据的极差、第百分位数和平均数的公式计算判断各个选项； 【详解】对于A项，极差等于，故A正确； 对于B项，，故分位数为20，B错误； 对于C项，平均数等于；故C正确； 对于D项，去掉17后，这两组数据的平均数相等，故D项正确， 故选：ACD． 10. 已知互不相同的两条直线，和两个平面，，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，且，则 D. 若，，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可得答案. 【详解】对于A，若，，则或与异面，故A不正确； 对于B，根据面面垂直的性质定理可知，B正确； 对于C，若，，且，则或与相交，故C不正确； 对于D，若，，则，过作平面，使得，因为，所以，所以，因为，所以.故D正确. 故选：BD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则将的图象向左平移个单位长度，能得到函数的图象 B. 若，则当时，值域为 C. 若在区间上恰有个零点，则 D. 若在区间上单调递增，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断． 【详解】 ， 当时，，则将的图象向左平移个单位长度得到： ，故A正确； 当时，，当时，， 故，则的值域为，故B错误； 令，，则，， 又， 若在区间上恰有个零点，则，解得，故C错误； 若在区间上单调递增， 则，又，所以，解得， 又，所以， 由可得， 要使在区间上单调递增，则，解得，故D正确． 故选：AD． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知向量，且，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】先算出的坐标，然后由向量的数量积公式列方程即可求解. 【详解】因为向量， 所以， 而，所以，解得. 故答案为：4. 13. 一个封闭的正三棱柱容器，高为8，内装水若干如图1，底面处于水平状态将容器放倒如图2，一个侧面处于水平状态，这时水面所的平面与各棱交点E，F，，分别为所在的棱的中点，则图1中水面的高度为________． 【答案】6 【解析】 【分析】设正三棱柱的底面边长为，在图1中，设水面的高度为，根据图1和图2中水的体积相等可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】设正三棱柱的底面边长为，则， 在图1中，设水面的高度为，则水的体积为， 在图2中，几何体为直四棱柱， 因为为等边三角形，分别为棱的中点，所以， 则水的体积为，解得. 故答案为：6. 14. 在锐角中，角对边分别为，的面积为，满足，若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由结合余弦定理和面积公式可得，再利用同角三角函数的关系可求得的值，由化简得，由三角函数的性质求出的范围，从而可求出的最小值. 【详解】因为，， 所以，所以， 因为，所以， 即，解得或（舍去）， 因为，所以， 在锐角中，有，，则， 所以， 因为 ， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为， 所以 ， 设（），则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查利用余弦定理解三角形，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是利用余弦定理和三角形的面积公式对化简变形，考查计算能力，属于难题. 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）求与． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的运算律展开已知条件，将，代入求解可得； （2）利用向量平方等于模的平方，转化为数量积求解即可. 【小问1详解】 由，得， 即，求得， 再由，可得． 【小问2详解】 ； ． 16. 2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图： （1）请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）； （2）现用分层抽样的方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算规则计算可得； （2）首先求出年龄在区间和中抽取的人数，再列出所有可能结果，最后由古典概型的概率公式计算可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得这200位市民的平均年龄为： ； 【小问2详解】 样本中年龄在区间的频率为， 年龄在区间的频率为， 则年龄在区间抽取人，分别记作、、、， 年龄区间抽取人，分别记作、， 从这6人中随机抽取2人进行电话回访可能结果有、、、、、、 、、、、、、、、共个， 其中满足抽取的2人的年龄差大于10岁的有、、、、、、、共个， 所以“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率. 17. 甲､乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响． （1）求甲､乙各射击一次，至少击中目标一次的概率； （2）若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案. （2）根据“第次击中，后两次未击中”求得乙恰好射击4次后被终止射击的概率． 【小问1详解】 甲､乙各射击一次，至少击中目标一次的概率为： . 【小问2详解】 乙恰好射击4次后被终止射击，则“第次击中，后两次未击中”， 故所求概率为：. 18. 在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答. ①；②；③的面积为（如多选，则按选择的第一个记分） 问题：在中，角，，的对边分别为，，，且  . （1）求角； （2）若，求面积的最大值； （3）在（2）的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）选①：由正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式化简得到求解；选②先切化弦，再利用正弦定理得到求解；选③利用三角形面积公式和正弦定理得到，再利用余弦定理求解. （2）利用余弦定理和基本不等式即可解题； （3）由正弦定理得到，从而有求解. 【小问1详解】 若选①：由正弦定理得， 则， ， ， ． 若选②：，切化弦，得到， 则由正弦定理得，，即，， ， 若选③：， 则， 由正弦定理得， ， . 【小问2详解】 由余弦定理得，， 则，当且仅当“”时，取“＝”号，即． ，则，当且仅当“”时取得最大值． 【小问3详解】 由正弦定理得， 则， ，由于为锐角三角形， 则， . . 19. 如图，在矩形中，，，是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段BC上． （1）当点M与点重合时， ①证明：平面； ②求二面角的余弦值； （2）设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值． 【答案】（1）①证明见解析；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意可得，，，则平面，从而有，再由线面垂直的判定定理可证得结论；②过E作EO⊥BD于点O，连接，可证得为二面角的平面角，然后在中求解即可； （2）过点做交于，所以直线与平面所成的角,即为直线与平面所成的角，过E作EO⊥BM于点O，连接，连接，是直线与平面所成的角，是二面角平面角，设，然后表示出化简后利用二次函数的性质可求得其最大值. 【小问1详解】 ① 当点M与端点D重合时，由可知， 由题意知平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，又平面，所以 因为，平面，平面， 所以平面； ② 过E作EO⊥BD于点O，连接. 因为平面，平面，所以， 因为EO⊥BD， ，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以为二面角的平面角, 且在四边形ABCD中，A、O、E三点共线. 因为所以，所以， 所以， 所以， 所以， 所以在中，， 即二面角的余弦值为. 【小问2详解】 过点做交于，所以直线与平面所成的角, 即为直线与平面所成的角， 过E作EO⊥BM于点O，连接. 由②同理可得平面，平面， 所以平面平面， 作，垂足为，平面平面，平面， 所以平面， 连接，是直线与平面所成的角，即， 因为，满足， 设，所以， 所以， 所以，， 因为在中，斜边大于直角边，即， 所以，所以， ， 在中由等面积，， 因为，，所以是二面角平面角， 即，， ，当且仅当时“＝”成立， 故的最大值. 【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定，考查线面角和二面角的求法，解题的关键是通过几何方法找出线面角和二面角，然后在三角形中求解，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $