精品解析：广西河池市罗城县2023-2024学年九年级下学期开学数学试卷

2023-2024学年广西河池市罗城县九年级（下）开学数学试卷 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂上．） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是(　　) A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除 B. 任意画一个三角形，该三角形的内角和为 C. 从装有4个红球和2个黄球的袋中，随机抽取一个是白球 D. 在纸上画两条直线，这两条直线平行 5. 如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的半径为，点与在同一平面内，且，则点与的关系是（ ） A. 点在上 B. 点在O内 C. 点在外 D. 不能确定 7. 关于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ） A. 它的开口向上，且关于轴对称 B. 它与的图象关于x轴对称 C. 它的顶点是抛物线的最高点 D. 它与轴只有一个交点 8. 一个不等式的解集为，那么在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 11. 如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 12. 如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点A，，，，，在圆上．若两个小正六边形的边长均为2，则大正六边形的边长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 方程组的解为_____． 14. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 15. 如图，在扇形中，，，则的长为 _____． 16. 如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高DH=_____． 17. 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱高为8米，则拱的半径为______米． 18. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a＋c＞0；③4a＋2b＋c＞0；④2a＋b＝0；⑤b2＞4ac．其中正确的结论有_____个． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或算步骤．） 19. 计算： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______． 22. 某校英语社团举行了“单词听写大赛”，每位参赛选手共听写单词100个现从参加比赛的男女选手中分别随机抽取部分学生进行调查，对答对的情况进行分组如下：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：并绘制了如下不完整的统计图： 请根据以上信息解答下列问题： 本次调查共抽取了多少名学生，并将条形统计图补充完整； 求出A组所对的扇形圆心角的度数； 若从D、E两组中分别抽取一位学生进行采访，请用画树状图或列表法求出恰好抽到两位女学生的概率． 23. 某校为了创建书香校园，今年又购进一批图书，经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购进的科普书与用800元购进的文学书本数相等． （1）今年购进的文学书和科普书的单价各是多少元？ （2）该校购买这两种书共180本，总费用不超过2000元，且购买文学书的数量不多于42本，应选择哪种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？ 24. 如图，是的切线，A为切点，是的直径，是弦，交于点D． （1）求证：是的切线． （2）当， 时，求的长． 25. 【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 刹车后行驶的距离 发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方处有一辆抛抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 26. 【探究与证明】旋转，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过旋转三角板开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】将一副三角板如图1摆放，，，，点F在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点F以每秒的速度顺时针旋转（当点D落在射线上时停止旋转），设旋转时间为t秒． 请完成： （1）当 秒时，；当 秒时，； （2）在旋转过程中，与的交点记为P，如图2，若有两个内角相等，求t的值； （3）如图3，当边与边、分别交于点M、N时，连接，设，，，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年广西河池市罗城县九年级（下）开学数学试卷 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂上．） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 下列方程是一元二次方程的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，一个未知数，含未知数的项的最高次数为2的整式方程，进行判断即可． 【详解】解：A、，是二元一次方程，不符合题意； B、，整理，得：，是一元一次方程，不符合题意； C、，是一元二次方程，符合题意； D、，当时，不是一元二次方程，不符合题意； 故选C． 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 4. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除 B. 任意画一个三角形，该三角形的内角和为 C. 从装有4个红球和2个黄球的袋中，随机抽取一个是白球 D. 在纸上画两条直线，这两条直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了事件的分类，根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．据此进行解答即可． 【详解】解：A. 从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除，是必然事件，故选项不合题意； B. 任意画一个三角形，该三角形的内角和为，是必然事件，故选项不合题意； C. 从装有4个红球和2个黄球的袋中，随机抽取一个是白球，是不可能事件，故选项不符合题意； D. 在纸上画两条直线，这两条直线平行，是随机事件，故选项符合题意； 故选：D 5. 如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据旋转角的定义可以直接求出的度数． 【详解】由题可知，是旋转角，也是旋转角， ∴， ∴， 故选． 【点睛】本题主要考查旋转变换时角度的变化关系，掌握旋转角的定义是解决本题的关键． 6. 已知的半径为，点与在同一平面内，且，则点与的关系是（ ） A. 点在上 B. 点在O内 C. 点在外 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系，进行判断即可，正确理解点到圆心的距离为，圆的半径为，当时，点在圆内；当时，点在圆上；当时，点在圆外是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为， ∴， ∴点在圆外， 故选：． 7. 关于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ） A. 它的开口向上，且关于轴对称 B. 它与的图象关于x轴对称 C. 它的顶点是抛物线的最高点 D. 它与轴只有一个交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐项判断即可，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：、由，，则它的开口向上，且关于轴对称，原选项说法正确，不符合题意； 、它与的图象关于x轴对称，原选项说法正确，不符合题意； 、由，，则它的开口向上，它的顶点是抛物线的最低点，原选项说法错误，符合题意； 、它与轴只有一个交点，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 8. 一个不等式的解集为，那么在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（大于向右画；小于向左画），在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示． 【详解】解：解集为在数轴上表示正确的是 ． 故选：A． 9. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，由方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论．牢记“当方程有两个不相等的实数根时，”是解题的关键． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：D． 10. 已知二次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知图象可以得到图象与x轴的交点是，又时，图象在x轴下方，由此可以求出x的取值范围． 【详解】解：由图象可知， 当时，的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当时，自变量x的范围，注意数形结合思想的运用. 11. 如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得 ， 其中，即， ①的长不可以为，原说法错误； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； ②当时，解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 12. 如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点A，，，，，在圆上．若两个小正六边形的边长均为2，则大正六边形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，根据正六边形的性质和勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图， 在小正六边形中，， 则， 在大正六边形中， ， ， 过G作于点H， ， 在中， ， ， ， ， 设， 则，，， 由于， ， 解得（舍去）或， 即， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 方程组的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是解二元一次方程组．根据观察用加减消元法较好，①+②消去y，解出x的值，再把x的值代入①，解出y． 【详解】解：， 得：， ， 把代入①得：， ∴， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标变换规律，即如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数． 根据原点对称的点的坐标变换规律，得到点关于原点对称的点的坐标为． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故坐标为， 故答案为：． 15. 如图，在扇形中，，，则的长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查求弧长，把已知数据代入弧长公式计算即可，掌握弧长公式的应用是解题的关键． 【详解】解：的长=， 故答案为：． 16. 如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高DH=_____． 【答案】4.8 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，求出OA，OB，由勾股定理求出AB，再利用菱形的面积公式得到AC•BD=AB•DH，由此求出答案． 【详解】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD， ∵AC=8，BD=6， ∴OA=AC=×8=4，OB=BD=×6=3， 在Rt△AOB中，AB==5， ∵DH⊥AB， ∴菱形ABCD的面积=AC•BD=AB•DH， 即×6×8=5DH， 解得DH=4.8． 故答案为：4.8． 【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，熟记菱形的性质并熟练应用解决问题是解题的关键． 17. 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱高为8米，则拱的半径为______米． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握这两个定理是解题的关键． 如图，找出石拱桥圆弧形的圆心O并连接，设半径为r米，则米，因为跨度米，根据垂径定理可得米，在中，根据勾股定理可得，解得，即拱的半径为13米． 【详解】解：如图，设石拱桥圆弧形的圆心为O，连接， 设拱的半径为r米， ∵拱高为8米，跨度米， ∴米，米； 在中，根据勾股定理得：， 解得， 即拱的半径为13米． 故答案为：13． 18. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a＋c＞0；③4a＋2b＋c＞0；④2a＋b＝0；⑤b2＞4ac．其中正确的结论有_____个． 【答案】4 【解析】 【分析】根据二次函数的基本性质及对称轴即可判定①；由对称轴可得，可判定④；将代入函数解析式可判定②；抛物线的对称轴以及抛物线与x轴位于对称轴左侧的交点可知抛物线与x轴位于对称轴右侧的交点的横坐标介于2与3之间，当时，代入可判定③；由抛物线与x轴有两个交点，可判定⑤． 【详解】解： ①由开口向下，可得， 抛物线与y轴交于正半轴，可得， 然后由对称轴, ∴， ∴，故①正确； ②，， 当时，，即， 将代入可得：，故②错误； ③根据抛物线的对称轴以及抛物线与x轴位于对称轴左侧的交点可知抛物线与x轴位于对称轴右侧的交点的横坐标介于2与3之间， ∴当时，，故③正确； ④根据对称轴为，可得，所以，故④正确； ⑤由抛物线与x轴有两个交点，可得，即，故⑤正确； 综上可知，正确的有①③④⑤4个， 故答案为：4． 【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质，包括开口方向，对称轴，抛物线与坐标轴的交点等，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或算步骤．） 19. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及到乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简以及零次幂．数量掌握乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简以及零次幂的运算法则是解题的关键． 先完成乘方、特殊角的三角函数值、零次幂的计算以及二次根式化简，然后按照从左到右计算即可． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，14． 【解析】 【详解】试题分析：先利用乘法公式计算，再合并同类项，最后代入求出即可． 试题解析：原式==， 当时，原式=2×2+10=14． 考点：整式的混合运算—化简求值． 21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）如（1）中图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而画出图形； （2）分别找出各个顶点关于原点对称的点从而画出图形； （3）根据图形，结合网格特征即可得出旋转中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如（1）中图，连接，， 由网格特征可知，，的交点坐标为， ∴旋转中心的坐标为． 22. 某校英语社团举行了“单词听写大赛”，每位参赛选手共听写单词100个现从参加比赛的男女选手中分别随机抽取部分学生进行调查，对答对的情况进行分组如下：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：并绘制了如下不完整的统计图： 请根据以上信息解答下列问题： 本次调查共抽取了多少名学生，并将条形统计图补充完整； 求出A组所对的扇形圆心角的度数； 若从D、E两组中分别抽取一位学生进行采访，请用画树状图或列表法求出恰好抽到两位女学生的概率． 【答案】（1）20人， 补全图形如下： （2）36°； （3）. 【解析】 【分析】由C组所占的百分比及C组有6人即可求得总人数，然后求得B组的女生数及E组的男生数，从而补全直方图； 用乘A组人数所占比例可得； 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所抽的两位学生恰好是两位女生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解:本次调查的学生总人数为人， 则B项目中女生人数为，E组男生有人； 组所对的扇形圆心角的度数为； 画树状图如下： 由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好抽到两位女学生的有2种结果， 所以恰好抽到两位女学生的概率为． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及直方图的知识注意概率所求情况数与总情况数之比． 23. 某校为了创建书香校园，今年又购进一批图书，经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购进的科普书与用800元购进的文学书本数相等． （1）今年购进的文学书和科普书的单价各是多少元？ （2）该校购买这两种书共180本，总费用不超过2000元，且购买文学书的数量不多于42本，应选择哪种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】（1）今年购进的文学书和科普书的单价各是8元、12元 （2）当购买文学书42本，科普书138本时，可使总费用最低，最低费用是1992元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和不等式的性质解答． （1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题，注意分式方程要检验； （2）根据题意可以求得总费用与文学书的关系，再根据总费用不超过2000元，且购买文学书的数量不多于42本，即可求得哪种购买方案可使总费用最低以及最低费用． 【小问1详解】 解：设文学书的单价为元， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：今年购进的文学书和科普书的单价各是8元、12元； 【小问2详解】 设购买文学书本，则科普书为本，总费用为元， ， ， 解得，， 当时，取得最小值，此时，， 答：当购买文学书42本，科普书138本时，可使总费用最低，最低费用是1992元． 24. 如图，是的切线，A为切点，是的直径，是弦，交于点D． （1）求证：是的切线． （2）当， 时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）． 【解析】 【分析】（1）由切线的性质，得到，由圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，根据垂径定理得到，然后根据垂直平分线的性质得到，进而证得三角形全等得到．由于是的切线，得到，即可得到结果； （2）根据平行线的性质得到，解直角三角形求得，进一步得到，解直角三角形得到，由勾股定理列方程即可得到的长，从而求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质和判定，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形的中位线定理和解直角三角形等知识．（1）中一般证明某条线是切线时，过切点，作半径，证明这条线与半径垂直即可；（2）能得出，从而将已求线段与已知三角函数放到同一三角形中是解题关键． 25. 【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 刹车后行驶的距离 发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方处有一辆抛抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】（1）关于的函数解析式为； （2）汽车刹车后，行驶了米； （3） 解：由（）得关于的函数解析式为， ∴， ∴当时，汽车停下，行驶了米， ∵， ∴该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求出关于的函数解析式； （）将 代入（）中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离； （）求出（）中函数的最大值，与比较，即可解决问题； 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设关于的函数解析式为，将，，代入， ，解得：， ∴关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（）得关于的函数解析式为， 当时，， ∴汽车刹车后，行驶了米； 【小问3详解】 略 26. 【探究与证明】旋转，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过旋转三角板开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】将一副三角板如图1摆放，，，，点F在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点F以每秒的速度顺时针旋转（当点D落在射线上时停止旋转），设旋转时间为t秒． 请完成： （1）当 秒时，；当 秒时，； （2）在旋转过程中，与的交点记为P，如图2，若有两个内角相等，求t的值； （3）如图3，当边与边、分别交于点M、N时，连接，设，，，证明：为定值． 【答案】（1）， （2）当为或或时，有两个内角相等 （3） 证明：是的一个外角，是的一个外角， ，， 又，， ， ， ， 是定值． 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，考查了图形的旋转变换、平行的性质、垂直的性质、和求等腰三角形内角等知识点．综合运用以上知识点是解题的关键． （1）由平行和垂直求出旋转角，结合旋转速度求出旋转时间； （2）画出图形，分类讨论：①；②；③，求出旋转角，再求出t的值； （3）找出与，，有关的数量关系，再把无关的角消去，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图(1)当时， ， 平分，， ， 又为的一个外角， ， ； 如图（2），当时， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：①如图3，当时， ， ， ； ②如图4，当时， ，， ， ； ③如图5，当时， ， ． 综上所述，当为或或时，有两个内角相等． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $