专题1.4两条直线的交点（五个重难点突破）-2024-2025学年高二数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第一册）

专题1.4两条直线的交点 一、求直线的交点坐标 四、三线能围成三角形问题 二、由直线交点的个数求参数 五、过两直线交点的直线方程 三、由直线的交点坐标求参数 知识点1 两条直线的交点坐标 已知两条直线相交，设这两条直线的交点为，则点既在直线上，也在直线上．所以点的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标． 知识点2 方程组解的组数与两条直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线与的位置关系 相交 重合 平行 重难点一 求直线的交点坐标 1．直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知点，点在直线上．若直线垂直于直线，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（    ） A．0 B． C． D． 5．求过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程 ． 6．过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 . 7．已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为 ． 重难点二 由直线交点的个数求参数 8．若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知集合，集合，且，则（    ） A． B． C． D． 10．若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为 11．三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 重难点三 由直线的交点坐标求参数 12．已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 13．已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 14．已知直线：与直线：的交点在轴上，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 15．若直线l：与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（多选）已知三条直线将平面分为六个部分．则满足条件的m可以是（    ） A． B． C． D．0 17．三条直线与相交于一点，则的值为 . 重难点四 三线能围成三角形问题 18．（多选）平面上有三条直线，将平面划分为六个部分，则实数的所有可能取值为（    ） A． B． C． D．1 19．若，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k值中 ． 20．在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等问题：直线l经过两条直线和的交点，且________. (1)求直线l的方程； (2)直线l不过坐标原点O，且与x轴和y轴分别交于两点，求的面积. 21．已知直线． (1)求证：直线经过一个定点； (2)若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 22．直线l经过两条直线和的交点P，且直线l在x轴上的截距为． (1)求直线l的方程； (2)求直线l与坐标轴围成的三角形面积． 23．求适合下列条件的直线方程： (1)已知，，，求△ABC的BC边上的中线所在的直线方程； (2)直线过点，且与轴和直线围成的三角形的面积为2，求直线的方程． 重难点五 过两直线交点的直线方程 24．过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 25．过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 26．平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 27．求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 28．已知两直线和的交点为P．求： (1)过点P与的直线方程； (2)过点P且与直线平行的直线方程． 29．已知两直线和. （1）判断两直线是否相交，若相交，求出其交点； （2）求过与的交点且斜率为的直线方程. 过两条直线交点的直线方程的求法 （1）常规解法：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． （2）直线系法：运用过两直线交点的直线系方程：若两直线有交点，则过与交点的直线系方程为为待定常数，不包括直线)，设出方程后再利用其他条件求解． 一、单选题 1．直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．且 D．且 2．在平面直角坐标系中，已知直线．若直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数的值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 5．已知点，，，若A是直线：和：的公共点，则直线BC的方程为（    ） A． B． C． D． 6．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，若直线与的欧拉线垂直，则直线与的欧拉线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C． D． 8．已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．当时， C．当时， D．，使得 三、填空题 9．经过直线：和：的交点，且与直线垂直的直线方程为 ． 10．若直线过直线和的交点，且在轴的截距是轴截距的2倍，则直线的方程是 . 11．若直线与直线相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 ． 四、解答题 12．若三条直线：，：，：，当为何值时，三条直线不能构成三角形？ 13．求经过直线与直线的交点M，且分别满足下列条件的直线方程： (1)与直线平行； (2)与直线垂直. 14．已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 15．若直线经过直线和的交点且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的方程. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4两条直线的交点 一、求直线的交点坐标 四、三线能围成三角形问题 二、由直线交点的个数求参数 五、过两直线交点的直线方程 三、由直线的交点坐标求参数 知识点1 两条直线的交点坐标 已知两条直线相交，设这两条直线的交点为，则点既在直线上，也在直线上．所以点的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标． 知识点2 方程组解的组数与两条直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线与的位置关系 相交 重合 平行 重难点一 求直线的交点坐标 1．直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解方程组，得， 所以所求交点坐标为. 故选：B 2．已知点，点在直线上．若直线垂直于直线，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可设直线的方程为，代入点， 则，解得，则直线的方程为， 联立直线，解得，则点的坐标为. 故选：C. 3．经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，解得，即所求方程的直线过点， 令直线的倾斜角为，则，显然是锐角， 因此所求方程的直线斜率， 所以所求的直线方程为，即. 故选：C 4．（多选）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】AC 【详解】由，解得， 由两直线的交点在第四象限，得，解得， 所以实数的取值可以是0，，AC正确；BD错误. 故选：AC 5．求过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程 ． 【答案】 【详解】由得， 设直线为，代入解得， 故方程为， 故答案为：． 6．过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 . 【答案】 【详解】联立与可得， 故交点为，倾斜角为，所以斜率为1， 故直线方程为，即， 故答案为： 7．已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为 ． 【答案】 【详解】当与平行或重合时，， 当与平行或重合时，，解得， 当与平行或重合时，，此时无解； 当三条直线经过同一点时，联立，解得， 故的取值所构成的集合为. 故答案为： 重难点二 由直线交点的个数求参数 8．若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B 9．（多选）已知集合，集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由整理可得. 因为集合，. （1）直线过点，则，解得， 此时，直线与直线不平行； （2）若直线与平行，则，解得. 综上所述，或. 故选：BD. 10．若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为 【答案】4 【详解】若方程组有无穷多组解， 即两条直线重合,即 , 则 故答案为：4 11．三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 【答案】或 【详解】由得：，即有一个交点，或； 即或，解得：或. 重难点三 由直线的交点坐标求参数 12．已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 【答案】B 【详解】已知直线的斜率为，直线的斜率为． 又两直线垂直，则，解得． ，即， 将交点代入直线的方程中，得． 将交点代入直线的方程中，得． 所以，． 故选：B． 13．已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 【答案】C 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得； 垂足在直线上，所以， 垂足在直线上，所以， 所以. 故选：C 14．已知直线：与直线：的交点在轴上，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在直线方程中，令，得， 即直线与轴的交点为， 因为点在直线上，所以，即， 所以：，即，所以直线的斜率为. 故选：D. 15．若直线l：与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立得，所以，解得， 所以直线的倾斜角的范围为. 故选：B. 16．（多选）已知三条直线将平面分为六个部分．则满足条件的m可以是（    ） A． B． C． D．0 【答案】ABD 【详解】因为三条直线将平面分为六个部分， 所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交， 当三条直线交于一点时，联立，解得，此时，即， 当两条平行线与第三条直线相交时，可得或， 当时，，当时，，所以或． 故选：ABD. 17．三条直线与相交于一点，则的值为 . 【答案】3 【详解】由，即三条直线交于， 代入，有. 故答案为：3 重难点四 三线能围成三角形问题 18．（多选）平面上有三条直线，将平面划分为六个部分，则实数的所有可能取值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】ABC 【详解】由解得，设， 当时，直线即，画出图象如下图所示，此时三条直线围成三角形， 平面划分为部分，不符合题意.    当时，直线的斜率为， 当直线过时，， 平面划分为部分，符合题意.    直线的斜率为，直线的斜率为， 当时，如下图所示，平面划分为部分，符合题意，    当时，如下图所示，平面划分为部分，符合题意，    当且且时，三条直线围成三角形， 平面划分为部分，不符合题意. 所以ABC选项正确，D选项错误. 故选：ABC 19．若，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k值中 ． 【答案】# 【详解】如图所示，直线，过定点，与轴的交点， 直线过定点，与轴的交点， 由题意知，四边形的面积等于的面积和梯形的面积之和， 所以所求四边形的面积为：， 当时，所求四边形的面积最小. 故答案为： 20．在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等问题：直线l经过两条直线和的交点，且________. (1)求直线l的方程； (2)直线l不过坐标原点O，且与x轴和y轴分别交于两点，求的面积. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）由，解得，所以交点坐标为. 选①，垂直于直线，设直线l的方程为：， 其过点，则，即，故直线l的方程为. 选②，平行于直线，设直线l的方程为：， 其过点，则，即，故直线l的方程为. 选③，截距相等，当直线l经过原点时，，符合题意；当直线l不过原点时， 设为，其经过点，故，即.得直线l：， 化简得，故直线l的方程为或； （2）由（1）知选①时，直线l的方程为， 可知其在x轴和y轴的交点分别为，，故. 选②时，直线l的方程为， 可知其在x轴和y轴的交点分别为，，故. 选③时，直线l的方程为，可知其 在x轴和y轴的交点分别为，故. 21．已知直线． (1)求证：直线经过一个定点； (2)若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析； (2)，. 【详解】（1）直线，化为，当时，对任意实数，恒有， 所以直线过定点. （2）依题意，显然，直线交轴于点，交轴于点， 而点分别在轴的正半轴上，即，于是， 则的面积为， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，，直线的方程的方程为. 22．直线l经过两条直线和的交点P，且直线l在x轴上的截距为． (1)求直线l的方程； (2)求直线l与坐标轴围成的三角形面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵直线l经过两条直线和的交点， ∴解得，，即， 由题意可知直线的斜率存在，设为k且，则过， 代入可得．∴直线l的方程． （2）在直线中，令可得， 令可得，所以直线l与坐标轴围成的三角形面积． 23．求适合下列条件的直线方程： (1)已知，，，求△ABC的BC边上的中线所在的直线方程； (2)直线过点，且与轴和直线围成的三角形的面积为2，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）设中点为,则由中点坐标公式可得, 故, 所以直线方程为：，即可, （2）当直线的斜率不存在时，的方程为， 联立与得交点为,此时面积为，符合要求． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 令得，. 由三角形的面积为2，得. 解得，可得直线的方程为，即. 综上可知，直线的方程为或. 重难点五 过两直线交点的直线方程 24．过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【答案】D 【详解】设过两直线交点的直线系方程为， 代入原点坐标，得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 25．过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 设与直线垂直的直线的方程为，则 ，得， 所以所求直线方程为. 故选：A 26．平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【答案】 【详解】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以，故直线的方程为. 故答案为： 27．求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【答案】 【详解】法一：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点，所以直线的方程可设为（其中为常数），即①， 又直线的斜率为3，所以，解得，将代入①，整理得． 28．已知两直线和的交点为P．求： (1)过点P与的直线方程； (2)过点P且与直线平行的直线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设过直线和交点的直线方程为，即．① 把点代入方程①，化简得，解得， 所以过点P与Q的直线方程为，即． （2）由两直线平行，得，得， 所以所求直线的方程为，即． 29．已知两直线和. （1）判断两直线是否相交，若相交，求出其交点； （2）求过与的交点且斜率为的直线方程. 【答案】（1）两直线相交，两直线交点为；（2）. 【详解】（1）∵， ∴两直线相交， 联立两直线方程得 解得即两直线交点为. （2）解法一：由点斜式方程可得所求的直线方程为，即. 解法二：显然不是所求方程可设所求直线方程为， 整理得， ∴，∴， 整理得所求直线方程为. 过两条直线交点的直线方程的求法 （1）常规解法：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． （2）直线系法：运用过两直线交点的直线系方程：若两直线有交点，则过与交点的直线系方程为为待定常数，不包括直线)，设出方程后再利用其他条件求解． 一、单选题 1．直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．且 D．且 【答案】D 【详解】由直线与直线相交，得， 即，解得且， 所以实数k的值为且. 故选：D 2．在平面直角坐标系中，已知直线．若直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数的值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】由题意易知，与坐标轴交于与 因为，所以必过于是如下图： 由割线定理得，得，即第四个交点为 所以．， 故选：A. 3．若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】, 所以交点为,由于在第二象限，所以， 所以的取值范围为， 故选：D 4．直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【详解】直线，当，得， 即点， 直线，当，得，即点， 且两条直线满足，所以，即， ， ，当时，等号成立， 所以的最大值为4. 故选：A 5．已知点，，，若A是直线：和：的公共点，则直线BC的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由点在：上可知，， 同理由点在：上可知， 故点与均满足方程， 由于两点确定一条直线，因此直线BC的方程为， 故选：B 6．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，若直线与的欧拉线垂直，则直线与的欧拉线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由的顶点坐标，可知其重心为. 注意到，直线BC斜率不存在，则为直角三角形， 则其垂心为其直角顶点，则欧拉线方程为：. 因其与垂直，则. 则，则直线与的欧拉线的交点坐标满足，即交点为. 故选：B 二、多选题 7．若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】AC 【详解】联立方程， 解得 ， 因为交点在第四象限， 可得，解得 故选：AC. 8．已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．当时， C．当时， D．，使得 【答案】AB 【详解】对于选项A：因为表示过定点，且斜率不为0的直线， 可知表示直线上所有的点， 所以，故A正确； 对于选项B：当时，则，， 联立方程，解得，所以，B正确； 对于选项C：当时，则有： 若，则； 若，可知直线与直线平行，且， 可得，解得； 综上所述：或，故C错误； 对于选项D：若，由选项C可知，且，无解，故D错误． 故选：AB． 三、填空题 9．经过直线：和：的交点，且与直线垂直的直线方程为 ． 【答案】 【详解】联立，得， 设与直线垂直的直线方程为， 得，得， 所以直线方程为. 故答案为： 10．若直线过直线和的交点，且在轴的截距是轴截距的2倍，则直线的方程是 . 【答案】或 【详解】联立，解得，故交点坐标为， 当在轴的截距与在轴的截距为0时，设直线方程为， 将代入得，解得，故直线的方程为； 当在轴的截距与在轴的截距不为0时，设直线方程为， 将代入得，解得， 故直线方程为，即， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 11．若直线与直线相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由两直线相交可得， 联立，解得； 所以两直线的交点坐标为； 又两直线交点在第一象限，所以，解得， 又直线l的倾斜角为，则，所以可得. 故答案为： 四、解答题 12．若三条直线：，：，：，当为何值时，三条直线不能构成三角形？ 【答案】或或 【详解】三条直线不能构成三角形⇔三条直线交于同一点或其中至少有两条直线平行． ①若三条直线交于同一点时，解方程组，得， 即与的交点是， 把点代入直线的方程，得； ②若其中至少有两条直线平行时， 由，得，即； 由，得，即； 综上，当或或时，三条直线不能构成三角形． 13．求经过直线与直线的交点M，且分别满足下列条件的直线方程： (1)与直线平行； (2)与直线垂直. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，解得，即点， 设所求直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为. （2）由（1）知，点，设所求直线方程为， 则，解得， 所以所求方程为. 14．已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 【答案】(1)，且，且 (2) 【详解】（1）依题意，得， 得， 得，且，且． （2）， 得，得， 得过定点，又因为也经过点， 得，得． 当时，与重合，故舍去， 故． 15．若直线经过直线和的交点且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的方程. 【答案】或 【详解】方法一：由 得交点，由题意可知直线在x轴、y轴上的截距均不为零， 故可设直线的方程为. 由题意得，所以 (无解，舍去)或 解得或， 所以直线l的方程为或， 即或. 方法二：由，得交点， 由题意得直线的斜率k存在且，设直线的方程为. 令，得；令，得. 由，解得或. 当时，直线的方程为，即； 当时，直线的方程为，即. 方法三：易知直线与坐标轴围成的三角形的面积， 所以直线的方程不可能是. 故可设直线的方程为 (为常数)， 即. 由题意得， 令，得；令，得. 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积， 所以，解得或. 当时，直线的方程为； 当时，直线的方程为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$