2024—2025学年浙教版数学九年级上册专题培优讲义《专题6　弧长及扇形的面积》

浙教版数学九年级上册专题培优 专题6　弧长及扇形的面积 【知识梳理】 1．弧长及扇形的面积： 若设⊙O的半径为R，n°圆心角所对弧长为l，扇形的面积为S， 则l＝__________，S扇形＝__________＝__________. 注意公式中n是圆心角的度数，不是圆周角的度数，且单位为度，R表示圆的半径，不能把直径代入． 2．对于规则图形的面积，直接用相应的面积公式计算，其中弓形的面积可转化为扇形的面积与三角形面积的和或差；对于不规则图形的面积，通常通过割补法转化为可求面积的和差． 3．解决本讲问题时要充分运用“动态思维”，充分运用化归思想、方程思想，使问题得以顺利解决． 【例题探究】 【例1】　如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°.若⊙O的半径为5，则的长为(　　) A．π B．π C．π D．π 【思路点拨】　连结OA，OC，OD，根据圆周角的性质求出∠COD的度数，再根据弧长公式计算即可得出答案． 【例2】　如图，正方形ABCD的边长为8，分别以正方形的三边为直径在正方形内部作半圆，则阴影部分的面积之和是(　　) A．32 B．2π C．10π＋2 D．8π＋1 【思路点拨】　如图，两半圆的交点即为正方形的中心O，连结AC、BD，可得图中①②③④四个小弓形的面积相等，进而得出阴影部分面积等于△ABD的面积． 【例3】　如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为(　　) A．π－ B．π－2 C．π－4 D．π－2 【思路点拨】　连结CE，在Rt△CDE中，CE＝4，CD＝2，可得∠DEC＝30°，DE＝2，∠DCE＝60°，分别求出扇形CEB′和△CDE的面积，即可求出答案． 【例4】　如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以点C为圆心，CD为半径作弧交AB于点E，若AB＝8，则图中阴影部分的面积是(　　) A．π＋2 B．π C．π－2 D．π 【思路点拨】　连结AD，OD，可得△OAD为等边三角形，根据阴影部分的面积＝S扇形ODB－(S扇形CDE－S△DCO)，即可得出答案． 【例5】　如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，边CD在直线l上．将矩形ABCD沿直线l做无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为________． 【思路点拨】　如图，根据旋转的性质知，点A第一次翻滚到点A1位置时，点A经过的路线有三段：①以90°为圆心角，AD的长为半径的扇形的弧长；②以90°为圆心角，AB的长为半径的扇形的弧长；③以90°为圆心角，矩形ABCD的对角线长为半径的扇形的弧长．根据弧长公式分别计算，相加即可． 【例6】　如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6.将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积． 【思路点拨】　如图，连结OD，由折叠的性质可得CD＝CO，BD＝BO，∠DBC＝∠OBC，于是△OBD是等边三角形，继而求得OC的长，即可求得△OBC与△BCD的面积，又由在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，即可求得扇形OAB的面积与的长，继而求得整个阴影部分的周长和面积． 【例7】　如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠C＝60°，点E，F分别是AB，AD上的动点，且AE＝DF，DE与BF交于点P.当点E从点A运动到点B时，则点P的运动路径长为________． 【思路点拨】　如答图，作△CBD的外接圆⊙O，连结OB，OD，BD，证明△BDF≌△DAE，可得出∠DPB＝120°，因此点P的运动路径长为的长，利用弧长公式计算即可． 【答案解析】 【知识梳理】 1．弧长及扇形的面积： 若设⊙O的半径为R，n°圆心角所对弧长为l，扇形的面积为S， 则l＝，S扇形＝＝lR. 注意公式中n是圆心角的度数，不是圆周角的度数，且单位为度，R表示圆的半径，不能把直径代入． 2．对于规则图形的面积，直接用相应的面积公式计算，其中弓形的面积可转化为扇形的面积与三角形面积的和或差；对于不规则图形的面积，通常通过割补法转化为可求面积的和差． 3．解决本讲问题时要充分运用“动态思维”，充分运用化归思想、方程思想，使问题得以顺利解决． 【例题探究】 【例1】　如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°.若⊙O的半径为5，则的长为(　　) A．π B．π C．π D．π 【解题过程】　如图，连结OA，OC，OD， ∵∠B＝58°，∠ACD＝40°. ∴∠AOC＝2∠B＝116°，∠AOD＝2∠ACD＝80°， ∴∠COD＝36°， ∴的长为＝π. 故选C． 【方法归纳】　本题考查了弧长的计算和圆周角定理，根据圆周角定理求出所对的圆心角度数是解题的关键． 【例2】　如图，正方形ABCD的边长为8，分别以正方形的三边为直径在正方形内部作半圆，则阴影部分的面积之和是(　　) A．32 B．2π C．10π＋2 D．8π＋1 【解题过程】　如图，易知两半圆的交点即为正方形的中心O，连结AC、BD. 由题意，可得图中①②③④四个小弓形的面积相等， ∴S阴影＝S△AOB＋S△DOC＝S△ABD＝×8×8＝32. 故选A． 【方法归纳】　求不规则图形的面积，通常采用割补法，即通过图形变换或转换，把不规则图形变成我们熟悉的几何图形来算． 【例3】　如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为(　　) A．π－ B．π－2 C．π－4 D．π－2 【解题过程】如图，连结CE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，CE＝BC＝AD＝4，CD＝AB＝2， ∴ED＝＝2，∠CED＝30°， ∴∠ECD＝60°， ∴S阴影＝－×2×2＝－2. 故选D. 【方法归纳】　不规则图形的面积通常转化为规则图形面积的和差． 【例4】　如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以点C为圆心，CD为半径作弧交AB于点E，若AB＝8，则图中阴影部分的面积是(　　) A．π＋2 B．π C．π－2 D．π 答图 【解题过程】如图，连结AD，OD， ∵C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D， 又∵AB＝8， ∴OD＝4，OC＝2，CD＝2， ∴∠DOC＝60°，∠DOB＝120°， ∴S扇形CDE＝＝3π，S扇形ODB＝＝π，S△DCO＝×2×2＝2， ∴阴影部分的面积＝S扇形ODB－(S扇形CDE－S△DCO)＝π－(3π－2)＝π＋2. 故选A． 【方法归纳】　本题主要考查了扇形的面积计算、等边三角形的性质，综合性较强，解题时注意转化思想的运用． 【例5】　如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，边CD在直线l上．将矩形ABCD沿直线l做无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为________． 【解题过程】　如图，有A″C1＝＝5， 则＝＝π，＝＝2π， ＝＝π. 所以点A第一次翻滚到点A1位置时，点A经过的路线长为＋A′A″＋＝π＋2π＋π＝6π. 故填6π. 【方法归纳】　本题考查弧长的计算、矩形的性质以及旋转的性质．根据题意作出点A的运动轨迹图，是突破解题难点的关键．在计算每一段弧长时，要分清楚旋转角和旋转半径的大小． 【例6】　如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6.将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积． 【解题过程】如图，连结OD. 根据折叠的性质，得CD＝CO，BD＝BO，∠DBC＝∠OBC， ∴OB＝OD＝BD，即△OBD是等边三角形． ∴∠DBO＝60°，∠CBO＝∠DBO＝30°. ∵∠AOB＝90°，∴OC＝OB＝2. ∴S△BDC＝S△OBC＝OB·OC＝×6×2＝6， S扇形OAB＝π×62＝9π，的长＝π×6＝3π. ∴整个阴影部分的周长为AC＋CD＋BD＋＝AC＋OC＋OB＋＝OA＋OB＋＝6＋6＋3π＝12＋3π， 整个阴影部分的面积为S扇形OAB－S△BDC－S△OBC＝9π－6－6＝9π－12. 【方法归纳】　本题运用转化思想把不规则图形的面积转化为规则图形面积的差，把欲求的周长转化为已知线段长或者根据已知线段长能求出线段长的和．在解题过程中，要注意数形结合思想的应用和合理添加辅助线构造等边三角形． 【例7】　如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠C＝60°，点E，F分别是AB，AD上的动点，且AE＝DF，DE与BF交于点P.当点E从点A运动到点B时，则点P的运动路径长为________． 【解题过程】　如图，作△CBD的外接圆⊙O，连结OB，OD，BD. 答图 ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠A＝∠C＝60°，AB＝BC＝CD＝AD， ∴△ABD，△BCD都是等边三角形， ∴BD＝AD，∠BDF＝∠DAE＝60°. ∵DF＝AE，∴△BDF≌△DAE(SAS)， ∴∠DBF＝∠ADE. ∵∠ADE＋∠BDE＝60°，∴∠DBF＋∠BDP＝60°， ∴∠BPD＝120°. ∵∠C＝60°，∴∠C＋∠DPB＝180°，∴点P在⊙O上． 由BC＝CD＝BD＝2，可得OB＝OD＝2， ∵∠BOD＝2∠C＝120°， ∴点P的运动路径长为＝π. 故填π. 【方法归纳】　求某个点运动的路径长时，先确定该点运动的轨迹，一般是线段或弧长，然后根据运动的轨迹求路径的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$