2024—2025学年浙教版数学九年级上册专题培优《专题5　圆心角与圆周角》

浙教版数学九年级上册专题培优 专题5　圆心角与圆周角 【知识梳理】 1．圆具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都和原图形重合． 2．圆心角的性质：在同圆或等圆中，如果两个________、________、________、________有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等． 3．圆周角的性质 (1)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧对应的圆心角度数的________． (2)推论1：半圆(或直径)所对的圆周角是________，________所对的弦是直径． 推论2：在同圆或等圆中，_____________所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等． 4．圆心角和圆周角的性质提供了大量的圆中的角度关系，但应用性质时要注意前提是在同圆或等圆中． 5．圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角________． 6．正多边形 我们把各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形．我们把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫做圆内接正多边形．任何正多边形都有一个外接圆． 【例题探究】 【例1】　如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC＝CD，∠C＝120°，∠ADC＝80°，则∠AOB的度数(　　) A．100° B．115° C．120° D．135° 【思路点拨】　连结BD，在等腰△CBD中求出∠CDB的度数，可得出∠ADB的度数，再根据圆周角定理即可得出答案． 【例2】　如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于点E，连结AD，若AD＝3，则⊙O的半径为(　　) A． B．2 C．3 D．3 【思路点拨】　连结AB，OA，OD，根据弦AC＝BD得出＝，根据圆周角定理得出∠BAC＝∠ABD，可得△ABE为等腰直角三角形，即∠ABD＝45°，从而得出∠AOD＝90°，解Rt△AOD即可求得⊙O的半径． 【例3】　如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H，若该圆的半径为12，则线段GH的长为(　　) A．6 B．4 C．5 D．8 【思路点拨】　证明△BHG为等边三角形，可得GH＝BH，在Rt△ABH中，∠ABH＝90°，∠BAC＝30°，AB＝12，求出BH的长，即可得出答案． 【例4】　如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连结AC，BC，D是的中点，过D作DE⊥AB于点E，交BC于点F. (1)求证：BC＝2DE. (2)若AC＝6，AB＝10，求DF的长． 【思路点拨】(1)延长DE交⊙O于点G，由垂径定理可得DE＝GE，＝，由D是的中点，可推出＝，由圆心角、弧、弦的关系即可得出结论；(2)连结BD，OD，证明DF＝BF，然后在Rt△BEF中用勾股定理列出方程，即可求得DF的长． 【例5】　如图，⊙O是△ABC的外接圆，＝，点D在BC上，AE∥BC，AE＝BD. (1)求证：AD＝CE. (2)如果点G在线段CD上(不与点D重合)，且AG＝AD，求证：四边形AGCE是平行四边形． 【思路点拨】　(1)只要证明△ABD≌△CAE，即可得出AD＝CE；(2)连结AO并延长，交边BC于点H，由垂径定理得出AH⊥BC，再由等腰三角形的性质可推出CG＝BD＝AE，进而得出CG与AE平行且相等． 【例6】　如图，已知AB是⊙O的一条弦，点C是的中点，CD是⊙O的直径，过点C的直线l交AB所在直线于点E，交⊙O于点F. (1)判断图中∠CEB与∠FDC的数量关系，并写出结论． (2)将直线l绕点C旋转(与CD不重合)，在旋转过程中点E、F的位置也随之变化，请你在备用图中分别作出l在不同位置时，使(1)的结论仍然成立的图形，标上相应字母，并选其中一个给予证明． 【思路点拨】　运用垂径定理的推论以及直径所对的圆周角是直角等概念，对于(1)，要仔细观察图形，先假设其相等，然后进行推理论证；对于(2)，在作图过程中，注意从特殊到一般的数学思想方法的运用． 【例7】　已知A，B，C，D是⊙O上的四个点． (1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证：AC⊥BD. (2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径． 【思路点拨】　(1)由∠ADC＝∠BCD＝90°可得AC、BD是⊙O的直径，且交点为圆心O，因为AD＝CD，根据等腰三角形三线合一的性质可得AC⊥BD；(2)作直径CK，连结BC、DK，证明∠ACB＝∠KCD，得DK＝AB＝2，在Rt△KDC中可求得⊙O的直径CK的长，进而求得⊙O的半径． 【答案解析】 【知识梳理】 1．圆具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都和原图形重合． 2．圆心角的性质：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等． 3．圆周角的性质 (1)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧对应的圆心角度数的一半． (2)推论1：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°圆周角所对的弦是直径． 推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等． 4．圆心角和圆周角的性质提供了大量的圆中的角度关系，但应用性质时要注意前提是在同圆或等圆中． 5．圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补． 6．正多边形 我们把各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形．我们把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫做圆内接正多边形．任何正多边形都有一个外接圆． 【例题探究】 【例1】　如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC＝CD，∠C＝120°，∠ADC＝80°，则∠AOB的度数(　　) A．100° B．115° C．120° D．135° 【解题过程】　如图，连结BD， 答图 ∵∠C＝120°，BC＝CD， ∴∠CDB＝∠CBD＝(180°－∠C)＝30°. ∵∠ADC＝80°， ∴∠ADB＝80°－30°＝50°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝100°， 故选A． 【方法归纳】　本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【例2】　如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于点E，连结AD，若AD＝3，则⊙O的半径为(　　) A． B．2 C．3 D．3 【解题过程】　如图，连结AB，OA，OD， ∵AC＝BD， ∴＝， ∴＝， ∴∠ABD＝∠BAC． ∵AC⊥BD， ∴∠AEB＝90°， ∴∠ABD＝∠BAC＝45°， ∴∠AOD＝2∠ABD＝90°， ∵AD＝3， ∴OA＝＝3， ∴⊙O的半径为3. 故选C． 【方法归纳】　本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰直角三角形的性质．正确作出辅助线是解题的关键． 【例3】　如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H，若该圆的半径为12，则线段GH的长为(　　) A．6 B．4 C．5 D．8 【解题过程】　∵在圆内接正六边形ABCDEF中，该圆的半径为12， ∴AB＝BC＝12，∠ABC＝120°， ∴∠BAC＝∠BCA＝30°， 同理，∠CBD＝∠ABF＝30°， ∴∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，∠ABH＝90°， ∴△BHG为等边三角形， ∴GH＝BH＝＝4. 故选B. 【方法归纳】　圆内接正六边形有以下结论：①正六边形的每个内角为120°；②正六边形的边长等于圆的半径． 【例4】　如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连结AC，BC，D是的中点，过D作DE⊥AB于点E，交BC于点F. (1)求证：BC＝2DE. (2)若AC＝6，AB＝10，求DF的长． 【解题过程】(1)延长DE交⊙O于点G，如答图1所示． 答图1 ∵AB为⊙O的直径，DE⊥AB， ∴DE＝GE，＝. ∵D是的中点， ∴＝＝， ∴＝， ∴BC＝DG＝2DE. 【解题过程】(2)连结BD，OD，如答图2所示． 答图2 ∵＝， ∴∠DBC＝∠BDF， ∴DF＝BF. ∵AB为⊙O的直径，AB＝10， ∴∠ACB＝90°，OB＝OD＝5， ∴BC＝＝＝8. 由(1)得，DE＝BC＝4， ∵DE⊥AB，∴OE＝＝＝3， ∴BE＝OB－OE＝2. 设DF＝BF＝a，则EF＝4－a， 在Rt△BEF中，由勾股定理，得22＋(4－a)2＝a2，解得a＝， ∴DF＝. 【方法归纳】　本题考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系、勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 【例5】　如图，⊙O是△ABC的外接圆，＝，点D在BC上， AE∥BC，AE＝BD. (1)求证：AD＝CE. (2)如果点G在线段CD上(不与点D重合)，且AG＝AD，求证：四边形AGCE是平行四边形． 【解题过程】　(1)在⊙O中，∵＝，∴AB＝AC．∴∠B＝∠ACB. ∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB.∴∠B＝∠EAC． 又∵BD＝AE，∴△ABD≌△CAE.∴AD＝CE. (2)如图，连结AO并延长，交BC于点H. ∵＝，OA是⊙O的半径， ∴AH⊥BC，BH＝CH. ∵AD＝AG，∴DH＝HG. ∴BH－DH＝CH－GH，即BD＝CG. ∵BD＝AE，∴CG＝AE. 又∵CG∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形． 【方法归纳】　本题综合运用了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定、垂径定理等知识，掌握并灵活运用上述知识是解题的关键． 【例6】　如图，已知AB是⊙O的一条弦，点C是的中点，CD是⊙O的直径，过点C的直线l交AB所在直线于点E，交⊙O于点F. (1)判断图中∠CEB与∠FDC的数量关系，并写出结论． (2)将直线l绕点C旋转(与CD不重合)，在旋转过程中点E、F的位置也随之变化，请你在备用图中分别作出l在不同位置时，使(1)的结论仍然成立的图形，标上相应字母，并选其中一个给予证明． 【解题过程】　(1)∠CEB＝∠FDC． 结论：过弦(不是直径)所对弧的中点的直线与这条弦所夹的锐角，等于这条直线被圆所截得的弦所对的劣弧所对的圆周角． 【解题过程】(2)如图1，图2即为所求，选图1： ∵CD是⊙O的直径，点C是的中点， ∴CD⊥AB，∴∠CEB＋∠ECD＝90°. ∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD＝90°， ∴∠FDC＋∠ECD＝90°， ∴∠CEB＝∠FDC． 故(1)中的结论仍然成立． 【方法归纳】　对于结论开放性问题，要充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论．这类题主要考查学生的发散性思维和应用所学基本知识的能力． 【例7】　已知A，B，C，D是⊙O上的四个点． (1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证：AC⊥BD. (2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径． 【解题过程】　(1)∵∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴AC、BD是⊙O的直径，且交点为圆心O. ∵AD＝CD，AO＝CO，∴AC⊥BD. 【解题过程】(2)如图，连结CO并延长，交⊙O于点K，连结DK、BC， 则∠KDC＝90°，∴∠K＋∠KCD＝90°. ∵AC⊥BD，∴∠ACB＋∠EBC＝90°. ∵∠EBC＝∠K，∴∠ACB＝∠KCD. ∴＝，∴DK＝AB＝2. ∵DC＝4，∴KC＝＝2， ∴⊙O的半径为. 【方法归纳】　与圆周角有关的问题，需要灵活运用以下知识：同弧或等弧所对的圆周角相等、同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 学科网（北京）股份有限公司 $$