专题01 全等三角形的性质【六大考点+知识串讲】-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

专题01 全等三角形的性质 考点类型 知识串讲 （一）全等图形 （1）概念：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合. （2）全等图形特征： ①形状相同。 ②大小相等。 ③对应边相等、对应角相等。 小结：一个图形经过平移,翻折,旋转后,位置变化了,但大小和形状都没有改变,即平移,翻折,旋转前后的图形全等。 （二）全等三角形 （1）概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 记作: ∆ABC ≌ ∆A’B’C’ 读作：∆ABC全等于∆A’B’C’ 对应顶点：A和A’、B和B’、C和C’ 对应边：AB和A’B’、BC和B’C’、AC和A’C’ 对应角：∠A和∠A’、∠B和∠B’、∠C和∠C’ （三）全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边、对应角相等． ②全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． ③全等三角形的周长等、面积等． 考点训练 考点1：全等图形的识别 典例1：下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】找出下列各组图中的全等图形（　　） A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦ 【变式2】如图，有6个条形方格图，在由实线围成的图形中，全等图形有：（1）与 ；（2）与 ． 【变式3】观察下列图形的特点： 有几组全等图形？请一一指出： ． 考点2：网格图中的角度问题 典例2：下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【变式2】在如图所示的正方形网格中，等于 ．    【变式3】如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 . 考点3：全等三角形的对应元素 典例3：已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（   ） A．与是对应边 B．与是对应边 C．与是对应边 D．不能确定 的对应边 【变式1】如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 【变式2】如图，与全等，可表示为 ，与是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是 ，其余的对应边是 ． 【变式3】如图,△ABC≌△DBC,且∠A和∠D,∠ABC和∠DBC是对应角,其对应边: . 考点4：全等三角形的性质应用——求边或角 典例4：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知，点E 在上，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】如图，，点、、、在一条直线上，，，则 ． 【变式3】如图，，若，，，则 ． 考点5：全等三角形的性质应用——证明题 典例5：如图，已知，则以下结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知，与交于点C，与交于点D，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均为格点，，点B，C，D在同一直线上，则下列结论中正确的是 （选填序号）． ①；②；③；④． 【变式3】若与全等，A和E，B和D分别是对应点，则下列结论正确的是 （填序号） ①；②；③；④． 考点6：全等三角形的性质应用——位置关系 典例6：如图，点，，分别在的边，，上（不与顶点重合），设，．若，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，ABC≌EFD，则BC与DF的关系是（    ） A．平行但不相等 B．相等但不平行 C．不平行也不相等 D．平行且相等 【变式2】如图，已知和全等，点和点是对应点，点和点是对应点，则和的位置关系是 【变式3】如图，CA⊥BE，且△ABC≌△ADE，则BC与DE的关系是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 全等三角形的性质 考点类型 知识串讲 （一）全等图形 （1）概念：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合. （2）全等图形特征： ①形状相同。 ②大小相等。 ③对应边相等、对应角相等。 小结：一个图形经过平移,翻折,旋转后,位置变化了,但大小和形状都没有改变,即平移,翻折,旋转前后的图形全等。 （二）全等三角形 （1）概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 记作: ∆ABC ≌ ∆A’B’C’ 读作：∆ABC全等于∆A’B’C’ 对应顶点：A和A’、B和B’、C和C’ 对应边：AB和A’B’、BC和B’C’、AC和A’C’ 对应角：∠A和∠A’、∠B和∠B’、∠C和∠C’ （三）全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边、对应角相等． ②全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． ③全等三角形的周长等、面积等． 考点训练 考点1：全等图形的识别 典例1：下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形． 利用全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意； B、两个图形属于全等图形， 故此选项符合题意； C、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意； D、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】找出下列各组图中的全等图形（　　） A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦ 【答案】C 【分析】本题考查了全等图形的定义，直接根据全等图形的定义判断即可． 【详解】解：∵图形②和图形⑥不能够完全重合， 故A选项不符合题意； ∵图形②和图形⑦不能够完全重合， 故B选项不符合题意； ∵图形③和图形④能够完全重合， 故C选项符合题意； ∵图形⑥和图形⑦不能够完全重合， 故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】如图，有6个条形方格图，在由实线围成的图形中，全等图形有：（1）与 ；（2）与 ． 【答案】 （6） （3）（5） 【分析】利用全等图形的概念可得答案． 【详解】解：（1）与（6）是全等图形， （2）与（3）（5）是全等图形， 故答案为：（6），（3）（5）． 【点睛】本题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形． 【变式3】观察下列图形的特点： 有几组全等图形？请一一指出： ． 【答案】1与6；2与12；3与5与11；4与9；7与10 【分析】根据全等图形的定义判断即可． 【详解】解：根据全等图形可得：1与6、2与12、3与5与11、4与9、7与10； 故答案为1与6、2与12、3与5与11、4与9、7与10 【点睛】本题考查了全等图形，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键． 考点2：网格图中的角度问题 典例2：下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案． 【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示： 故选B． 【点睛】此题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟知全等的性质. 【变式1】如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的性质，由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成， ∴． 故选：B． 【变式2】在如图所示的正方形网格中，等于 ．    【答案】/225度 【分析】根据图形和正方形的性质可知，，，再把它们相加可得的度数． 【详解】解：观察图形可知与所在的三角形全等，二角互余，与所在的三角形全等，二角互余，， ∴，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题结合网格的特点考查了余角，注意本题中，，是解题的关键． 【变式3】如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 . 【答案】/45度 【分析】观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】观察图形可知与所在的直角三角形全等， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键． 考点3：全等三角形的对应元素 典例3：已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（   ） A．与是对应边 B．与是对应边 C．与是对应边 D．不能确定 的对应边 【答案】A 【分析】根据全等三角形的概念即可得到答案． 【详解】解：与是对应角，和是对应角， 和是对应角， 与是对应边， 故选A． 【点睛】本题考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，准确找出对应边是解题关键． 【变式1】如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 【答案】C 【分析】全等三角形中，能够重合的边是对应边，能够重合的角是对应角，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴和是对应角，和是对应角，和是对应边； 故A，B，D不符合题意； 而与是对应边，故C符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是全等三角形的对应边与对应角的含义，理解对应边与对应角的概念是解本题的关键． 【变式2】如图，与全等，可表示为 ，与是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是 ，其余的对应边是 ． 【答案】 与，与 AB与BA，BC与AD 【分析】由，结合图形可得其余的对应角与对应边． 【详解】解：，与是对应角，AC与BD是对应边， 其余的对应角是与，与； 其余的对应边是AB与BA，BC与AD． 故答案为：，与，与，AB与BA，BC与AD 【点睛】本题考查的是三角形全等的表示，全等三角形的对应边与对应角的理解，掌握以上知识是解题的关键． 【变式3】如图,△ABC≌△DBC,且∠A和∠D,∠ABC和∠DBC是对应角,其对应边: . 【答案】BC和BC,CD和CA,BD和AB 【分析】全等三角形就是能够完全重合的三角形，因而得出能重合的角就是对应角，重合的边就是对应边． 【详解】∵△ABC≌DBC，且∠A和∠D，∠ABC和∠DBC是对应角， ∴对应边是BC和BC，CD和CA，BD和AB， 故答案为：BC和BC，CD和CA，BD和AB. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，是需要识记并会应用的内容，找对应边时要根据已知条件. 考点4：全等三角形的性质应用——求边或角 典例4：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理得到，再由全等三角形对应角相等可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，已知，点E 在上，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，以及线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故选：A． 【变式2】如图，，点、、、在一条直线上，，，则 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出是解题关键． 直接利用全等三角形的性质得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【变式3】如图，，若，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理得到，再由全等三角形的性质得到，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 考点5：全等三角形的性质应用——证明题 典例5：如图，已知，则以下结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解： ， ，，，， ，即， 选项A、B、D正确，不符合题意；选项C错误，符合题意， 故选：C． 【变式1】如图，已知，与交于点C，与交于点D，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．根据全等三角形的性质，可得，，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，，故A、C选项正确，不符合题意；B选项错误，符合题意； ∵， ∴，故D选项正确，不符合题意； 故选：B 【变式2】如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均为格点，，点B，C，D在同一直线上，则下列结论中正确的是 （选填序号）． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，由，可得，，，而，可得，可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，，故①符合题意，④不符合题意； ∵， ∴， ∴，，故②符合题意； ∴， ∴，故③符合题意； 故答案为：①②③． 【变式3】若与全等，A和E，B和D分别是对应点，则下列结论正确的是 （填序号） ①；②；③；④． 【答案】②③④ 【分析】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应点．根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】∵与全等，A和E，B和D分别是对应点， ∴， ∴①，选项错误； ②，选项正确； ③，选项正确； ④，选项正确； 故答案为：②③④． 考点6：全等三角形的性质应用——位置关系 典例6：如图，点，，分别在的边，，上（不与顶点重合），设，．若，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质可得∠B=∠C，∠BED=∠EFC，再利用三角形内角和定理可得出等量关系，化简即可． 【详解】解： ∵， ∴∠B=∠C，∠BED=∠EFC， ∵，，在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°， ∴，, ∴， ∵在△EFC中，， ∴,即， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理和全等三角形的性质．熟练掌握定理，能结合图形完成角度之间的转化是解题关键． 【变式1】如图，ABC≌EFD，则BC与DF的关系是（    ） A．平行但不相等 B．相等但不平行 C．不平行也不相等 D．平行且相等 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质可得BC＝FD，∠BCA＝∠FDE，再由平行线的判定可推出BC∥FD，即可得出结论． 【详解】解：∵△ABC≌△EFD， ∴BC＝FD，∠BCA＝∠FDE， ∴BC∥FD， 即BC与DF的关系是：平行且相等； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【变式2】如图，已知和全等，点和点是对应点，点和点是对应点，则和的位置关系是 【答案】平行 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定，根据题意可得，则，由此可得． 【详解】解：∵和全等，点和点是对应点，点和点是对应点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：平行． 【变式3】如图，CA⊥BE，且△ABC≌△ADE，则BC与DE的关系是 ． 【答案】相等且垂直 【分析】根据全等三角形对应边相等可得BC=DE，全等三角形对应角相等可得∠C=∠E，根据垂直的定义求出∠BAC=90°，然后求出∠B+∠E=90°，从而得到∠BFE=90°，即BC⊥DE． 【详解】延长ED交BC于F, ∵△ABC≌△ADE， ∴BC=DE，∠C=∠E， ∵CA⊥BE， ∴∠BAC=90°， ∵∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-90°=90°， ∴∠B+∠E=90°， ∴∠BFE=180°-（∠B+∠E）=180°-90°=90°， ∴BC⊥DE， 故BC与DE的关系是相等且垂直． 故答案为相等且垂直 【点睛】本题考核知识点：全等三角形的判定和性质. 解题关键点：熟记全等三角形的判定和性质. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$