专题01 有理数加减法【九大考点+知识串讲】——2024-2025学年七年级数学上册重难考点强化训练（人教版2024）

专题01 有理数加减法 考点类型 知识一遍过 （一）有理数加法法则 （1）同号两数相加；取相同的符号，并把绝对值相加。 数学表示：若a>0、b>0，则a+b=|a|+|b|； 若a<0、b<0，则a+b=-(|a|+|b|)； （2）异号两数相加，绝对值相等（相反数）时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值。 数学表示：若a>0、b<0，且|a|>|b|则a+b=|a|-|b|； 若a>0、b<0，则a+b=|b|-|a|； （3）任何一个数同0相加，和仍等于本身。 （二）有理数加法运算定律 （1）加法交换律：a + b = b + a（2）加法结合律：（a + b）+ c = a +（b + c） （三）有理数减法法则 （1）法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+（-b），这里a、b表示任意有理数。 （2）步骤：①变减为加，把减数的相反数变成加数；②按照加法运算的步骤去做。 【注意减法运算2个要素发生变化】：减号变成加号；减数变成它的相反数 （四）有理数加减混合运算 有理数加减混合运算：方法一（变减为加、再运用加法法则）；方法二（变成无括号式子，再加减） 考点一遍过 考点1：有理数加法——基础运算 典例1：把这个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都等于，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”(图1)，“洛书”是世界上最早的“幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为(　　)． A．1 B．3 C．6 D．9 【变式1】下列计算中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中的值是 ． 【变式3】在《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，如图1表示的是的计算过程，则下图2表示的算式是 ． 考点2：有理数加法——符号问题 典例2：如果，且，则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c均为负数 【变式1】已知两数的和为正，下面的判断中，正确的是（   ） A．两个加数必须都为正数 B．两个加数都为负数 C．两个加数中至少有一个正数 D．两个加数必须一正，一负 【变式2】用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 【变式3】的符号取 号，的符号取 号，的符号取 号． 考点3：有理数加法——实际应用 典例3：据史料证明：中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在两千多年前，我国就有了正负数的概念，掌握了正负数的运算法则，并应用到生产和生活中．若某同学某一天零花钱的明细如下：元，元，其中元表示收入10元，则下列说法正确的是（    ） A．元表示支出15元 B．元表示支出元 C．元表示收入15元 D．收支总和为25元 【变式1】甲、乙、丙、丁四人进行比赛，规则为：每两人要赛一场，胜者得3分，负者得0分，平局则两人各得1分．比赛结束后，乙得了7分，丙得了1分，丁得了6分，若甲只输了一场，那么甲共得了（    ）分． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】某粮食仓库原库存小麦300吨，本周五天对这一品种小麦的进出货情况统计如下表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）：（单位：吨） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 50 30 60 40 50 0 本周五天后这种小麦库存 吨． 【变式3】宸宸的背包最多可以装12千克的物品，现有六件物品重量与价值如下表所示： 宸宸想把六件物品中的若干件装入背包，使得背包中物品的价值最大，则背包中所装物品是 ，最大总价值为 百元． A B C D E F 重量（千克） 2 3 4 3 6 8 价值（百元） 12 19 22 14 40 45 物品 总重量（千克） 总价值（百元） A、B、C、D 12 67 A、B、E 11 71 A、C、E 12 74 B、D、E 12 73 C、F 12 67 考点4：有理数加法——运算定律 典例4：计算 ． 【变式1】计算的结果是 ． 【变式2】计算时，先把减法转化为加法可得 ，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为 ． 【变式3】计算：|－1|＋|－|＋|－|＋…＋|－|＋|－|＝ ． 考点5：有理数减法——基础运算 典例5：如图1，点A，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点对应刻度，点对应刻度.则数轴上点所对应的数为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式1】下面算式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位上的数字各不相同（计算中0 可放在百位），把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如：若选的数为729，则），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减……这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”，该“卡普雷卡尔黑洞数”为 【变式3】如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对应刻度． （1）该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ； （2）数轴上点所对应的数为，则 ． 考点6：有理数减法——实际应用 典例6：纽约与北京的时差为（同一时刻北京时间为，东京时间为，那么东京与北京的时差为）．小明在北京乘坐早晨的航班飞行约到达纽约，那么小明到达时纽约时间是（    ）． A．15时 B．16时 C．17时 D．18时 【变式1】去年月小明到银行开户，存入元，下表为小明从月到月的存款情况：（“”表示存入，“”表示支出） 月份 与上一月比较（元） 截至去年月，小明账号上共有（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式2】某地一周内每天的最高气温与最低气温记录如下表，通过观察与计算，你会发现：周 的温差最大，周 的温差最小． 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温 10℃ 12℃ 11℃ 9℃ 7℃ 5℃ 7℃ 最低气温 2℃ 1℃ 0℃ ℃ 【变式3】今年的“十·一”黄金周是7天的长假，青城山风景区在7天假期中每天旅游人数变化如表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少） 若9月日的旅游人数为万人，七天中旅游人数最多的一天比最少的一天多 万人． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 单位：万人 考点7：有理数加减法——混合运算 典例7：如图所示的九宫格内，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，则的值为 （    ） A． B．0 C．1 D．3 【变式1】我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念，如图是一个简单的二阶幻圆模型，将1、2、3、4、、、、分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将1、2、、这四个数填入了圆圈，则下列描述正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】小明设计了一个“幻圆”游戏，将，，，，11，13，15，17分别填入图中的圆圈内，使横行、竖列以及内外两圆圈上的4个数之和都相等，则图中的值为 ．    【变式3】黑板上有按规律排列的20个整数：1，，3，，5，，7，…，，19，．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同；然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是5，，，则添写数字．若某次划掉的数是7，15，，则添写数字 ；经过9次操作后剩下两个数，若一个数是，则另一个数是 ． 考点8：有理数加减法——简便运算 典例8：计算 的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】再加上（  ）后，结果就是． A． B． C． D． 【变式2】计算时，运算律用得最为恰当的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】小磊解题时，将式子先变成再计算结果，则小磊运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．以上均不正确 考点9：有理数加减法——实际运用 典例9：为了培养“成达好习惯”，小李同学根据自身情况制定了跑步计划，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的跑步距离（单位：）． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 2500 2200 2000 1500 1600 高强度 3400 4000 4500 4000 2500 休息 0 0 0 0 0 小李定下了以下规则：若当天选择“高强度”方案，则要求前一天必须休息（第1天可选择“高强度”方案)；第1天不休息且不能连续两天都休息．小李根据计划进行了5天跑步锻炼，下列结论错误的是（   ） A．若小李每天都选择“低强度”方案，则他这5天共跑步 B．若小李第4天休息，则他这5天最多跑步 C．小李这5天最少跑步 D．小李这5天最多跑步 【变式1】2023年9月23日至10月8日杭州亚运会期间，河南某体育用品商店推出一系列打折让利活动，某星期的盈亏情况如表（盈余为正，亏损为负，单位：元）所示：表中星期五的数据被墨水覆盖了，则被墨水覆盖的数据是（    ）． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 1381    38 188 458 A． B． C． D． 【变式2】水库管理人员为掌握水库蓄水情况，需要观测水库水位变化，下表是一周内水位高低的变化情况，用正数表示水位比前一天上升数，用负数表示水位比前一天下降数．问水库的水位在本周内是 ？（填上升还是下降） 星期 一 二 三 四 五 六 七 水位变化（米） 【变式3】小明妈妈买了一盒月饼（共计6枚），小明仔细地看了标签和包装盒上的有关说明，然后把6枚月饼进行称重，其统计结果如下表所示（单位：克）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量（克） 69.3 70.2 70.8 69.6 69.4 71 与标准质量的差 m （1）小明为了简化运算，选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，他把超出的部分记为正，不足的部分记为负，并列出上表（不完整），小明选取的标准质量是 克； （2）在表格中 克；小明看到包装说明上标记的总质量为（）克，他告诉妈妈买的月饼在总质量上是 （填“合格”或“不合格”）的． 同步一遍过 一、单选题 1．若一个算式可以读作：负20、正3、正5、负7的和，则这个算式一定还可以读作（    ） A．加20加3减5减7 B．负20加3加5减7 C．负20减3加5减7 D．加20减3加5减7 2．比2℃低7℃的温度为（    ） A．5℃ B．9℃ C．－5℃ D．－9℃ 3．已知某地一天中的最高温度为，最低温度为，则这天最高温度与最低温度的温差为（    ） A．5 B． C．15 D． 4．刘师傅8月份打在卡上的工资是3200元（卡中原来金额为0），同月用于交房租买日用品取出1720元，9月份打在卡上的工资是3150元，同月用于买衣服和交房租取出3300元，则此时刘师傅的卡上还有（    ） A．1330元 B．1400元 C．1430元 D．1500元 5．下列运算结果等于0的是(   ) A． B． C． D． 6．如图所示，有理数a、b在数轴上的位置如图，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 7．将，，，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于，则的最大值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 8．已知有理数，数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．有一列数：，它们按一定的规律排列，那么这列数的前（    ）个数的和最小． A．288 B．289 C．290 D．292 10．巴黎与北京的时差为时，如果北京时间是月日，那么巴黎时间是（　　） A．月日 B．月日 C．月日 D．月日 二、填空题 11．小明与小刚规定了一种新运算：若a、b是有理数，则，小明计算出．请你帮小刚计算 ． 12．计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字0∼9和字母A∼F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示 ． 13．已知甲地的海拔高度是，乙地的海拔高度是，那么甲地比乙地高 ． 14．在计算“”时，甲同学的做法如下： 在上面的甲同学的计算过程中，开始出错的步骤是 （写出错误所在行的序号），这一步依据的运算法则应当是：同号两数相加， ． 15．读一读：式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算 ． 16．如图，爱动脑筋的琪琪同学设计了一种“幻圆”游戏，将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将，，，这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ．    三、解答题 17．现有一批水果包装质量为每筐25千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重记录如下（单位：千克）： 27，24，23，28，21，26，22，27，为了求得8筐样品的总质量，我们可以选取一个恰当的基准数进行简化计算： (1)请你选择一个恰当的基准数将它记作“0”：___________； (2)根据你选取的数，用正、负数填写下表； 原质量 27 24 23 28 21 26 22 27 与基准数的差距 (3)这8筐水果的总质量是多少？ 原质量 27 24 23 28 21 26 22 27 与基准数的差距 2 3 1 2 18．阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是______，体现了数学中的______思想； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了______、______； (3)请将过程补充完整． 19．一位病人8时的体温是，下表是该病人一天中的体温变化． 时间 体温变化（相对于上一次测得温度）（） 11时 14时 17时 20时 23时 2时（次日） 5时（次日） 8时（次日） (1)次日8时，这位病人的体温是多少摄氏度？ (2)这位病人的体温最低是多少摄氏度？最高是多少摄氏度？ (3)若正常体温是，那么这位病人的病情是在恶化还是在好转？ 20．孟津梨是洛阳名产，栽培历史千余年，自古即为贡品．因它味甜汁多，细脆无渣，形圆色红，故又称为“洛阳金桔”．现有8箱孟津梨，以每箱10千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如图，回答下列问题： (1)求这8箱孟津梨的总质量． (2)若每千克售价8元，则出售这8箱孟津梨可卖多少元？ 21．计算： (1)． (2) 22．阅读下列材料，探究规律，并解决问题． 已知： (1)若n为正整数－请你猜想________． (2)计算： (3)计算：． 23．出租车司机刘师傅某天上午从A地出发，在东西方向的公路上行驶营运，出租车的6次行程（单位：千米，规定向东走为正，向西走为负）如下：﹣2，+3，+6，﹣10，+12，+8． （1）刘师傅结束第6次行程时，他在A地的 　 　（填“东边”或“西边”），离A地　 　千米； （2）已知出租车每千米耗油约0.06升，刘师傅开始营运前油箱里有6升油．若油箱中的油少于3升，则需要加油，请通过计算说明刘师傅这6次行程途中是否可以不加油？ 24．某果农把自家果园的柑橘包装后放到网上销售，原计划每天卖10箱，但实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况：（实际每天的销售量超过计划量记为正，不足计划量记为负，单位：箱） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值（单位：箱） (1)本周销售最多的一天比最少的一天多卖出多少箱？ (2)请通过计算说明本周实际销售总量是否达到了计划销售总量？ (3)若每箱柑橘售价为80元，同时需要支出运费9元/箱，求该果农本周共收入多少元？ 25．福建省厦门市居民生活用电实行分档累进递增的阶梯电价，按户月均用电量分三档，普通电价表加下： 月用电量 电费（单位，元/度） 第一档 不超过230度的部分 0.50 第二档 超过230度不超过420度的部分 0.55 第三档 超过420度的部分 0.80 示数类型 上次抄表示数 这次抄表示数 用电量 总电量 18776 19081 305 峰电量 12689 12882 谷电量 5480 5592 根据用电情况，用户可以申请“峰谷电价”其收费如下，高峰时段，其电价在各档电价基础上加价0.03元/度，低谷时段以外时间，其电价在各档电价基础上加价元/度． 小朋家9月电表示数变化情况如表： (1)对于第一档用电情况，高峰时段电价为________元/度，低谷时段电价为________元/度． (2)①计算小朋家这个月的普通电费． ②若申请“峰谷电价”，9月份能省钱码？省多少钱？ (3)若某用户的月用电量为度，请用含的式子表示该用户这个月的普通电费． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有理数加减法 考点类型 知识一遍过 （一）有理数加法法则 （1）同号两数相加；取相同的符号，并把绝对值相加。 数学表示：若a>0、b>0，则a+b=|a|+|b|； 若a<0、b<0，则a+b=-(|a|+|b|)； （2）异号两数相加，绝对值相等（相反数）时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值。 数学表示：若a>0、b<0，且|a|>|b|则a+b=|a|-|b|； 若a>0、b<0，则a+b=|b|-|a|； （3）任何一个数同0相加，和仍等于本身。 （二）有理数加法运算定律 （1）加法交换律：a + b = b + a（2）加法结合律：（a + b）+ c = a +（b + c） （三）有理数减法法则 （1）法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+（-b），这里a、b表示任意有理数。 （2）步骤：①变减为加，把减数的相反数变成加数；②按照加法运算的步骤去做。 【注意减法运算2个要素发生变化】：减号变成加号；减数变成它的相反数 （四）有理数加减混合运算 有理数加减混合运算：方法一（变减为加、再运用加法法则）；方法二（变成无括号式子，再加减） 考点一遍过 考点1：有理数加法——基础运算 典例1：把这个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都等于，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”(图1)，“洛书”是世界上最早的“幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为(　　)． A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算；根据任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都等于，可得①，②，③表示的数，即可求出的值． 【详解】解：如图， 任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都等于， 对角线上①处数字与，的和为， ①处的数字为：， 又中间一列②处数字与，的和为， ②处上的数字为： 最正面一行数字之和为 ③处数字为 最后一列之和为， ， 故选：D． 【变式1】下列计算中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】认真审题，根据有理数的加法法则，对四个选项逐一进行计算，据此即可得解； 【详解】A、，该选项错误； B、，该选项正确； C、，该选项正确； D、，该选项正确； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法法则：即同号两数相加取相同的符号，并把绝对值相加，异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，个数同0相加仍得这个数． 【变式2】把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，解决此题的关键利用中心数求幻和，再由幻和与已知数求得、，最后是有理数的加法． 根据三阶幻方的特点，三阶幻方的中心数，可得三阶幻方的和，根据三阶幻方的和，可得、的值，根据有理数的减法，可得答案． 【详解】解：根据幻方的性质， 则， 所以， 而， 则， 故， 故答案为：． 【变式3】在《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，如图1表示的是的计算过程，则下图2表示的算式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算．由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可列式计算． 【详解】解：由题意得白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数， 图中表示的计算过程为． 故答案为：． 考点2：有理数加法——符号问题 典例2：如果，且，则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c均为负数 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，根据有理数的加法计算法则确定出a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号，是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故A． 【变式1】已知两数的和为正，下面的判断中，正确的是（   ） A．两个加数必须都为正数 B．两个加数都为负数 C．两个加数中至少有一个正数 D．两个加数必须一正，一负 【答案】C 【分析】根据有理数加法计算法则逐一判断即可． 【详解】解：A．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，并不一定两个加数都是正数，说法错误，不符合题意； B．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，说法错误，不符合题意； C．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，即两个加数中至少有一个正数，说法正确，符合题意； D．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，两个加数可以都是正数，说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数加法计算，熟知两个有理数相加，符号取绝对值较大的数的符号是解题的关键． 【变式2】用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 【答案】 【分析】（1）根据有理数的加法法则即可解答； （2）根据有理数的加法法则即可解答； （3）根据有理数的加法法则即可解答； （4）根据有理数的加法法则即可解答． 【详解】（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正． 故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负． 故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正． 故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负． 故答案为：； 【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【变式3】的符号取 号，的符号取 号，的符号取 号． 【答案】 负/- 正/+ 负/- 【分析】根据加法法则判断和的符号即可． 【详解】解：的符号取负号，的符号取正号，的符号取负号， 故答案为：负，正，负 【点睛】此题考查了加法法则判断和的符号，熟练掌握加法法则是解题的关键． 考点3：有理数加法——实际应用 典例3：据史料证明：中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在两千多年前，我国就有了正负数的概念，掌握了正负数的运算法则，并应用到生产和生活中．若某同学某一天零花钱的明细如下：元，元，其中元表示收入10元，则下列说法正确的是（    ） A．元表示支出15元 B．元表示支出元 C．元表示收入15元 D．收支总和为25元 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数的意义，有理数的加法运算的实际应用，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 根据正数和负数的意义和有理数的加法运算求解即可． 【详解】∵元表示收入10元， ∴元表示支出15元，故A选项正确，B，C选项错误； ∵ ∴收支总和为元，故D选项错误． 故选：A． 【变式1】甲、乙、丙、丁四人进行比赛，规则为：每两人要赛一场，胜者得3分，负者得0分，平局则两人各得1分．比赛结束后，乙得了7分，丙得了1分，丁得了6分，若甲只输了一场，那么甲共得了（    ）分． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据每两人要赛一场，没人有3场比赛，乙得7分，说明乙只能是2胜1平；丙得了1分，说明丙是两负一平；丁得了6分，说明是2胜1负；根据它们间的胜负情况，推算出甲的胜负情况，进而求出甲的得分． 【详解】解：乙得7分，说明乙只能是2胜1平；丙得了1分，说明丙是两负一平；丁得了6分，说明是2胜1负； 乙如果与丙战平，那么就战胜了甲与丁，而丁是2胜，只能是战胜了甲与丙，这样甲就输了2场，这与甲只输了一场矛盾；因此乙只有与甲战平，乙胜了丙与丁；丁没有平局，所以甲与丙战平，丁输给了乙，只有战胜甲与丙；因此甲是2平1负，得2分． 故选：B． 【点睛】本题为逻辑推理题，解题的关键是根据乙、丙、丁的胜负情况，甲只输了一场，推算出甲是2平1负，是解题的关键． 【变式2】某粮食仓库原库存小麦300吨，本周五天对这一品种小麦的进出货情况统计如下表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）：（单位：吨） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 50 30 60 40 50 0 本周五天后这种小麦库存 吨． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，根据有理数的加法运算，可得答案，利用有理数的加法运算是解题的关键． 【详解】解：（吨， 故本周五天后这种小麦库存吨， 故答案为：． 【变式3】宸宸的背包最多可以装12千克的物品，现有六件物品重量与价值如下表所示： 宸宸想把六件物品中的若干件装入背包，使得背包中物品的价值最大，则背包中所装物品是 ，最大总价值为 百元． A B C D E F 重量（千克） 2 3 4 3 6 8 价值（百元） 12 19 22 14 40 45 【答案】 A、C、E 74 【分析】本题考查了推理计算，有理数的加法，根据“背包最多可以装12千克”，列出可能出现的组合，分别计算总价值，即可得到答案． 【详解】解：背包最多可以装12千克， 最有可能的组合有： 物品 总重量（千克） 总价值（百元） A、B、C、D 12 67 A、B、E 11 71 A、C、E 12 74 B、D、E 12 73 C、F 12 67 装A、C、E三件物品能使背包中物品的价值最大，总价值为（百元）， 故答案为：A、C、E，74． 考点4：有理数加法——运算定律 典例4：计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算以及加法运算律，根据加法运算律添加大括号，简便计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】先去括号，再交叉相加，两两组合求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字的变换类，正确利用加法的运算律是解题的关键． 【变式2】计算时，先把减法转化为加法可得 ，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为 ． 【答案】 7 【分析】先把有理数加减混合运算统一转化成加法运算，再利用有理数加法运算律进行计算． 【详解】解：计算时， 先把减法转化为加法可得， 观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为． 故答案为：①，②，③，④7，⑤． 【点睛】本题主要考查了有理数加法运算以及加法运算律的知识，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键． 【变式3】计算：|－1|＋|－|＋|－|＋…＋|－|＋|－|＝ ． 【答案】 【分析】先根据绝对值的性质化简，再从第二项开始依次相加即可得出结果． 【详解】解：原式= = =， 故答案为：． 【点睛】本题考查化简绝对值，有理数的加法．在本题中应先化简，再计算． 考点5：有理数减法——基础运算 典例5：如图1，点A，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点对应刻度，点对应刻度.则数轴上点所对应的数为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，结合图1和图2求出1个单位长度，再求出求出之间在数轴上的距离，即可求解；利用数形结合思想解决问题是本题的关键． 【详解】解：由图1可得，由图2可得， ∴数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为， ∵， ∴（单位长度）， ∴在数轴上点B所对应的数； 故选：C． 【变式1】下面算式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的减法法则逐项计算即可． 【详解】解：A.，原式错误； B. ，原式正确； C. ，原式错误； D. ，原式错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式2】黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位上的数字各不相同（计算中0 可放在百位），把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如：若选的数为729，则），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减……这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”，该“卡普雷卡尔黑洞数”为 【答案】495 【分析】本题考查了有理数的减法、数字类变化规律，选取题干中的数据，按照题意进行计算，直到出现循环出现的数即可． 【详解】解：若选的数为729，则， 以下按照上述规则继续计算： ， ， ， …， ∴该“卡普雷卡尔黑洞数”为， 故答案为：． 【变式3】如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对应刻度． （1）该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ； （2）数轴上点所对应的数为，则 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的减法运算： （1）先求出在数轴上点A和点C的距离为，再由刻度尺上点A与点C的距离除以数轴上点A和点C的距离即可得到答案； （2）用刻度尺上点A与点B的距离除以得到数轴上点A和点B的距离即可得到答案． 【详解】解：（1）∵数轴上点A和点C表示的数分别为，3， ∴在数轴上点A和点C的距离为， ∵在刻度尺上数字0对齐数轴上的点A，点C对应刻度， ∴该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的， 故答案为：； （2）∵在刻度尺上点B对应刻度， ∴在数轴上点A和点B的距离为， ∴数轴上点B所对应的数b为， 则 故答案为：． 考点6：有理数减法——实际应用 典例6：纽约与北京的时差为（同一时刻北京时间为，东京时间为，那么东京与北京的时差为）．小明在北京乘坐早晨的航班飞行约到达纽约，那么小明到达时纽约时间是（    ）． A．15时 B．16时 C．17时 D．18时 【答案】C 【分析】先计算从北京早晨出发飞行后北京时间为第二天的上午，再利用两地的时差和有理数的减法和加法法则进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴在北京乘坐早晨的航班飞行后北京时间为第二天的上午， 又∵纽约与北京的时差为， ∴，， ∴小明在北京乘坐早晨的航班飞行约到达时纽约时间是17时， 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的加法和减法的应用，熟练掌握运算法则并理解时差的概念是解题的关键． 【变式1】去年月小明到银行开户，存入元，下表为小明从月到月的存款情况：（“”表示存入，“”表示支出） 月份 与上一月比较（元） 截至去年月，小明账号上共有（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】根据已知可求得从月到 月的存款情况即可． 【详解】月份存入的钱：（元）， 月份存入的钱：（元）， 月份存入的钱：（元）， 月份存入的钱：（元）， 月份存入的钱：（元）， 故选：． 【点睛】此题考查了有理数加减运算，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 【变式2】某地一周内每天的最高气温与最低气温记录如下表，通过观察与计算，你会发现：周 的温差最大，周 的温差最小． 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温 10℃ 12℃ 11℃ 9℃ 7℃ 5℃ 7℃ 最低气温 2℃ 1℃ 0℃ ℃ 【答案】 日 一 【分析】根据有理数的减法求得每天的温差，比较大小． 【详解】周一，周二，周三，周四，周五，周六，周日； 由，得 周日的温差最大，周一的温差最小． 故答案为：日，一． 【点睛】本题考查有理数的运算；理解正负数的意义，运算法则计算是解题的关键． 【变式3】今年的“十·一”黄金周是7天的长假，青城山风景区在7天假期中每天旅游人数变化如表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少） 若9月日的旅游人数为万人，七天中旅游人数最多的一天比最少的一天多 万人． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 单位：万人 【答案】 【分析】根据题意算出各天人数即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 1号：（万人）， 2号：（万人）， 3号：（万人）， 4号：（万人）， 5号：（万人）， 6号：（万人）， 7号：（万人）， 1号最多，7号最少，即可得到， （万人）， 故答案为：万人． 【点睛】本题考查正负数意义及有理数加减，解题的关键是找出做多的天数与最少的天数． 考点7：有理数加减法——混合运算 典例7：如图所示的九宫格内，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，则的值为 （    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】此题考查了有理数减法计算，加减混合运算法则，先求出每行三个数的和，利用减法求出、、的值，进而求出式子的值． 【详解】解：三个数之和均为， ，，， ， 故选：A． 【变式1】我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念，如图是一个简单的二阶幻圆模型，将1、2、3、4、、、、分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将1、2、、这四个数填入了圆圈，则下列描述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减运算，关键是由条件得到横、竖以及内外两圈上的个数字之和是． 【详解】， ∴横、竖以及内外两圈上的个数字之和是， ， ， ， ， , ， 故选: ． 【变式2】小明设计了一个“幻圆”游戏，将，，，，11，13，15，17分别填入图中的圆圈内，使横行、竖列以及内外两圆圈上的4个数之和都相等，则图中的值为 ．    【答案】7或 【分析】本题考查了有理数的加法，设小圈上的数为c，大圈上的数为d，先求出这8个数的和，然后即可求出横行、竖列以及内外两圆圈上的4个数之和，从而求出a、c的值，即可得出的值，进而分别分析求解即可． 【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d， ， 又横行、竖列以及内外两圆圈上的4个数之和都相等， 这个数和为， ， ， ， 当时，， 当时，， 或， 故答案为：7或． 【变式3】黑板上有按规律排列的20个整数：1，，3，，5，，7，…，，19，．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同；然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是5，，，则添写数字．若某次划掉的数是7，15，，则添写数字 ；经过9次操作后剩下两个数，若一个数是，则另一个数是 ． 【答案】 6 或4/4或 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，数字规律探索，解题的关键是理解题意，找出数字运算规律． 【详解】解：∵， ∴若某次划掉的数是7，15，，则添写数字为6； ∵ ， ∴将所有这些数字相加后个位数字为0， ∵经过9次操作后剩下两个数，若一个数是， ∴另外一个数一定是一个个位数， ∵或， ∴另外一个数为或4． 故答案为：6；或4． 考点8：有理数加减法——简便运算 典例8：计算 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从第二项开始，利用加法的结合律每相邻两项结合相加，结果依次为－1和1循环，而其和为0，且共有1010个0，最后可求得和的值． 【详解】 =1 故选：A 【点睛】本题考查了有理数的加减运算及加法的结合律，关键是运用加法的结合律，抓住相邻两项的和为1或－1的特点，从而问题得以解决． 【变式1】再加上（  ）后，结果就是． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据简便算法求出的值，再用1减去该值即得出答案． 【详解】解： ． ， 故再加上后，结果就是． 故选C． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则，并利用简便算法计算是解题关键． 【变式2】计算时，运算律用得最为恰当的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加减运算，凑整，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的加减中运算中的简便运算，掌握有理数的运算律以及运算法则是解题的关键． 【变式3】小磊解题时，将式子先变成再计算结果，则小磊运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】根据加法交换律和加法结合律进行计算即可求解． 【详解】解：将式子先变成再计算结果，则小磊运用了加法交换律和加法结合律 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握加法交换律和加法结合律是解题的关键． 考点9：有理数加减法——实际运用 典例9：为了培养“成达好习惯”，小李同学根据自身情况制定了跑步计划，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的跑步距离（单位：）． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 2500 2200 2000 1500 1600 高强度 3400 4000 4500 4000 2500 休息 0 0 0 0 0 小李定下了以下规则：若当天选择“高强度”方案，则要求前一天必须休息（第1天可选择“高强度”方案)；第1天不休息且不能连续两天都休息．小李根据计划进行了5天跑步锻炼，下列结论错误的是（   ） A．若小李每天都选择“低强度”方案，则他这5天共跑步 B．若小李第4天休息，则他这5天最多跑步 C．小李这5天最少跑步 D．小李这5天最多跑步 【答案】D 【分析】本题考查了 【详解】解：A. 若小李每天都选择“低强度”方案，5天共跑步：，结论正确，故不符合题意； B.“高强度”要求前一天必须“休息”，当“高强度”的徒步距离前一天“低强度”距离+当天“低强度”距离时选择“高强度”能使徒步距离最远，若小李第天休息，，可以第天高强度，第天休息，第天高强度，第天休息，第天高强度，此时跑步最远：，结论正确，故不符合题意； C.安排：第天低强度，第天休息，第天低强度，第天低强度，第天休息，此时跑步最少：，结论正确，故不符合题意； D.由选项B得：第天高强度，第天低强度，第天休息，第天高强度，第天低强度，此时跑步最远：，结论错误，故符合题意； 故选：D． 【变式1】2023年9月23日至10月8日杭州亚运会期间，河南某体育用品商店推出一系列打折让利活动，某星期的盈亏情况如表（盈余为正，亏损为负，单位：元）所示：表中星期五的数据被墨水覆盖了，则被墨水覆盖的数据是（    ）． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 1381    38 188 458 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加减及正负数的意义，利用加减法法则计算星期五的盈亏钱数即可解答． 【详解】解：． 故选D． 【变式2】水库管理人员为掌握水库蓄水情况，需要观测水库水位变化，下表是一周内水位高低的变化情况，用正数表示水位比前一天上升数，用负数表示水位比前一天下降数．问水库的水位在本周内是 ？（填上升还是下降） 星期 一 二 三 四 五 六 七 水位变化（米） 【答案】下降 【分析】分别求出星期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六、星期七的水位，再把星期七的水位和星期一的水位比较即可． 【详解】星期一：米， 星期二：（米）， 星期三：（米）， 星期四：（米）， 星期五：（米）， 星期六：（米）， 星期七：（米），即水位在本周内下降了，幅度是米， 故答案为：下降． 【点睛】此题考查了正负数的意义，有理数加减混合运算的应用，弄清题意，正确列式是解本题的关键． 【变式3】小明妈妈买了一盒月饼（共计6枚），小明仔细地看了标签和包装盒上的有关说明，然后把6枚月饼进行称重，其统计结果如下表所示（单位：克）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量（克） 69.3 70.2 70.8 69.6 69.4 71 与标准质量的差 m （1）小明为了简化运算，选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，他把超出的部分记为正，不足的部分记为负，并列出上表（不完整），小明选取的标准质量是 克； （2）在表格中 克；小明看到包装说明上标记的总质量为（）克，他告诉妈妈买的月饼在总质量上是 （填“合格”或“不合格”）的． 【答案】 70 −0.7 合格 【分析】（1）根据题意可知，标准质量为70克，据此可得结果； （2）求出6记录的数的和，判断其是否在418至422之间即可得出答案． 【详解】解∶（1）由表格可知，第2枚月饼重70.2克，与标准质量的差为克， ∴（克） ∴标准质量为70克； （2）∵第1枚月饼重69.3克，标准质量为70克， ∴m=69.3−70=−0.7（克）， 69.3+70.2+70.8+69.6+69.4+71=420.3（克），（克），（克）， ∴420.3克在418克至422克之间， ∴这盒月饼在总质量上是合格的． 故答案为：70；−0.7 ；合格． 【点睛】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确理解本题中正数和负数的意义是解答本题的关键． 同步一遍过 一、单选题 1．若一个算式可以读作：负20、正3、正5、负7的和，则这个算式一定还可以读作（    ） A．加20加3减5减7 B．负20加3加5减7 C．负20减3加5减7 D．加20减3加5减7 【答案】B 【分析】由负20，正3、正5、负7的和可得算式，即而得另一种读法． 【详解】解：负20，正3、正5、负7的和用算式表示为 ， 还可以读作负20加3加5减7 ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了有理数的加减，根据题意得到算式是解题的关键． 2．比2℃低7℃的温度为（    ） A．5℃ B．9℃ C．－5℃ D．－9℃ 【答案】C 【分析】根据题意可直接进行列式求解． 【详解】解：由题意得：2-7=-5℃； 故选C 【点睛】本题主要考查有理数减法的应用，熟练掌握有理数的减法是解题的关键． 3．已知某地一天中的最高温度为，最低温度为，则这天最高温度与最低温度的温差为（    ） A．5 B． C．15 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数减法的应用，熟练掌握有理数减法的运算法则是解题关键．利用最高温度减去最低温度即可得． 【详解】解：这天最高温度与最低温度的温差为， 故选：C． 4．刘师傅8月份打在卡上的工资是3200元（卡中原来金额为0），同月用于交房租买日用品取出1720元，9月份打在卡上的工资是3150元，同月用于买衣服和交房租取出3300元，则此时刘师傅的卡上还有（    ） A．1330元 B．1400元 C．1430元 D．1500元 【答案】A 【分析】根据打入的为正，取出的为负，利用有理数的加法进行计算求解即可． 【详解】解：∵打入的为正，取出的为负， ∴（元）． 故选A． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握有理数的加减计算法则． 5．下列运算结果等于0的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，不符合题意； B．，符合题意； C．，不符合题意； D．，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6．如图所示，有理数a、b在数轴上的位置如图，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在数轴上的位置，判断出数的大小关系，逐一判断即可． 【详解】解：由图可知：， A、，选项正确，不符合题意； B、，选项正确，不符合题意； C、，选项正确，不符合题意； D、，选项正错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查利用数轴判断式子的符号．熟练掌握数轴上的点表示的数从左到右依次增大，是解题的关键． 7．将，，，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于，则的最大值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了整数运算的综合运用，解题的关键是明确三个田字格的所有数字之和中，有两个数被重复计算了．先求出所有数字之和，得出，且n为整数，则，进而推出当时，n有最大值，即可解答． 【详解】解：， ∵所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于， ∴，且n为整数， 整理得：， ∴当最大时，n有最大值， ∵n为整数， ∴当时，n有最大值， 此时， 故选：A． 8．已知有理数，数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减，除法和有理数的大小比较．根据各点在数轴上的位置，判断①，根据加法、减法和倒数确定②③④． 【详解】解：由数轴知，， 则，故①正确； ，故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴，即；故③正确， ∴，故④不正确 故选：C． 9．有一列数：，它们按一定的规律排列，那么这列数的前（    ）个数的和最小． A．288 B．289 C．290 D．292 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法，数字规律探索，当各项都是负数时，和最小，得出答案． 【详解】这列数的第项可表示为， 当各项都是负数时，和最小， 由当时，，当时，， 所以前288项的和最小． 故选：A． 10．巴黎与北京的时差为时，如果北京时间是月日，那么巴黎时间是（　　） A．月日 B．月日 C．月日 D．月日 【答案】C 【分析】用加上时差，再根据有理数的加法运算求解，然后解答即可． 【详解】解：∵， ∴如果北京时间是月日，那么巴黎时间是月日 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的加法，理解时差的正、负的意义是解题的关键． 二、填空题 11．小明与小刚规定了一种新运算：若a、b是有理数，则，小明计算出．请你帮小刚计算 ． 【答案】13 【分析】根据题中的新定义，将，代入计算即可． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 故答案为：13． 【点睛】此题考查了有理数混合运算的应用，属于新定义题型，弄清题中的新定义是解本题的关键． 12．计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字0∼9和字母A∼F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，本题需先根据十进制求出B与D的乘积，再把结果转化成十六进制即可．掌握十进制和十六进制之间的换算是解题的关键，属于基础题． 【详解】解：， ， ∴用十六进制表示为． 故答案为：． 13．已知甲地的海拔高度是，乙地的海拔高度是，那么甲地比乙地高 ． 【答案】/360米 【分析】根据甲地比乙地高列式计算． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数减法的应用，正确列出算式是解题关键． 14．在计算“”时，甲同学的做法如下： 在上面的甲同学的计算过程中，开始出错的步骤是 （写出错误所在行的序号），这一步依据的运算法则应当是：同号两数相加， ． 【答案】 ② 取相同的符号，并把绝对值相加 【分析】根据有理数的加减混合运算，逐步去判断即可．， 【详解】因为：＝﹣4， 所以开始出错的步骤是：②， 这一步依据的运算法则应当是：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加， 故答案为：②；取相同的符号，并把绝对值相加． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，学生必须熟练掌握运算法则是解题的关键． 15．读一读：式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算 ． 【答案】 【分析】根据求和公式写出分数的和的形式，根据分数的性质计算即可． 【详解】解：由题意得， = 故答案为： 【点睛】本题考查的是数字的变化类问题，根据题意写出分数的和的形式、并正确进行分解是解题的关键． 16．如图，爱动脑筋的琪琪同学设计了一种“幻圆”游戏，将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将，，，这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ．    【答案】1 【分析】由于八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．列等式可得结论． 【详解】解：， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2，如图，    则，解得， ，解得， 则或， 当时，； 当时，， 综上所述，的值为1 故答案为：1． 【点睛】本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都是2． 三、解答题 17．现有一批水果包装质量为每筐25千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重记录如下（单位：千克）：27，24，23，28，21，26，22，27，为了求得8筐样品的总质量，我们可以选取一个恰当的基准数进行简化计算： (1)请你选择一个恰当的基准数将它记作“0”：___________； (2)根据你选取的数，用正、负数填写下表； 原质量 27 24 23 28 21 26 22 27 与基准数的差距 (3)这8筐水果的总质量是多少？ 【答案】(1)25（答案不唯一） (2)见解析 (3)这8筐水果的总质量是198千克 【分析】（1）选取包装质量作为基准数即可； （2）将8筐样品的质量分别减去基准数，将所得的结果填入表中即可； （3）利用基准数求和，可根据和=基准数×个数+浮动数来得出8筐水果的总重量． 【详解】（1）解：这批水果包装质量为每筐25千克， 基准数可取25； 故答案为：25； （2）解： 原质量 27 24 23 28 21 26 22 27 与基准数的差距 2 3 1 2 （3）解： 千克， 答：这8筐水果的总质量是198千克． 【点睛】本题考查了正数和负数，利用有理数的加法是解题关键，注意相反意义的量用正数和负数表示． 18．阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是______，体现了数学中的______思想； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了______、______； (3)请将过程补充完整． 【答案】(1)有理数的减法法则，转化 (2)加法交换律，加法结合律 (3)见解析 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算步骤及运算定律可得出答案； （2）仿照题意运用有理数加法交换律及结合律，使用简便方法计算即可； （3）根据有理数的加减混合运算计算即可． 【详解】（1）解：根据有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数， 所以第一步变形的依据是有理数的减法法则，体现了数学中的转化思想； 故答案为：有理数的减法法则，转化； （2）解：为了计算简便，第二步和第三步分别应用了加法交换律，加法结合律； 故答案为：加法交换律，加法结合律； （3）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查有理数的加减混合运算，掌握混合运算的步骤及运算法则是解题关键． 19．一位病人8时的体温是，下表是该病人一天中的体温变化． 时间 体温变化（相对于上一次测得温度）（） 11时 14时 17时 20时 23时 2时（次日） 5时（次日） 8时（次日） (1)次日8时，这位病人的体温是多少摄氏度？ (2)这位病人的体温最低是多少摄氏度？最高是多少摄氏度？ (3)若正常体温是，那么这位病人的病情是在恶化还是在好转？ 【答案】(1)次日上午8时，这位病人的体温是； (2)这位病人的体温最低是，最高是； (3)从体温看，这位病人的病情是在好转． 【分析】（1）用早晨8时的体温是加上表中记录的数据可得结果； （2）用原来体温加上前面的体温变化数据算出答案即可； （3）利用（2）的数据，结合后面的体温变化得出答案即可． 【详解】（1）解：， 答：次日上午8时，这位病人的体温是； （2）解：早晨8时的体温是， 11时的体温是：， 14时的体温是：， 17时的体温是：， 20时的体温是：， 23时的体温是：， 次日上午2时的体温是：， 次日上午5时的体温是：， 次日上午8时的体温是， ∴这位病人的体温最低是，最高是； （3）解：由（2）可知，若正常体温是，那么从体温看，这位病人的病情是在好转． 【点睛】此题考查正数和负数，有理数的加减混合运算，理解题意，正确理解正负数是表示相对意义的量是解决问题的关键． 20．孟津梨是洛阳名产，栽培历史千余年，自古即为贡品．因它味甜汁多，细脆无渣，形圆色红，故又称为“洛阳金桔”．现有8箱孟津梨，以每箱10千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如图，回答下列问题： (1)求这8箱孟津梨的总质量． (2)若每千克售价8元，则出售这8箱孟津梨可卖多少元？ 【答案】(1)千克 (2)596元 【分析】（1）将图片中的数据求和即可求解； （2）根据单价乘以数量即可求解． 【详解】（1）解：∵（千克）， ∴这8箱孟津梨的总质量为（千克）； （2）解：（元）， 答：出售这8箱孟津梨可卖596元． 【点睛】本题考查正负数的应用、有理数运算的应用，理解题意，正确列出算式是解答的关键． 21．计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据有理数的加法运算律计算，即可求解； （2）根据有理数的加法运算律计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：原式 【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算律，熟练掌握有理数的加法运算律是解题的关键． 22．阅读下列材料，探究规律，并解决问题． 已知： (1)若n为正整数－请你猜想________． (2)计算： (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题． （1）分子是1，分母是连续两个自然数的乘积可以拆成两个分子是1，分母是这两个自然数的分数的差，由此规律得出答案即可； （2）利用发现的规律拆分抵消计算即可； （3）利用发现的规律拆分抵消计算即可． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 23．出租车司机刘师傅某天上午从A地出发，在东西方向的公路上行驶营运，出租车的6次行程（单位：千米，规定向东走为正，向西走为负）如下：﹣2，+3，+6，﹣10，+12，+8． （1）刘师傅结束第6次行程时，他在A地的 　 　（填“东边”或“西边”），离A地　 　千米； （2）已知出租车每千米耗油约0.06升，刘师傅开始营运前油箱里有6升油．若油箱中的油少于3升，则需要加油，请通过计算说明刘师傅这6次行程途中是否可以不加油？ 【答案】（1）东边；17；（2）中途可以不加油 【分析】（1）把刘师傅6次行程的数据相加，如果结果为正就在出发点A地的东边，如果出发点为负，就在出发点A的西边如果为0，就在A地； （2）把刘师傅6次行程的数据的绝对值相加，求出总路程，然后算出一共的耗油量，由此求解即可． 【详解】解：（1） ， ∴刘师傅结束第6次行程时，他在A地的东边，离A地17千米； 故答案为：东边；17； （2）行驶的总路程：|-2|+|+3|+|+6|+|-10|+|+12|+|+8| =2+3+6+10+12+8 =41（千米）， ∴耗油量为：0.06×41=2.46（升）， ∵6-2.46=3.54＞3， ∴中途可以不加油． 【点睛】本题主要考查了正负数的应用，有理数加减法的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识． 24．某果农把自家果园的柑橘包装后放到网上销售，原计划每天卖10箱，但实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况：（实际每天的销售量超过计划量记为正，不足计划量记为负，单位：箱） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值（单位：箱） (1)本周销售最多的一天比最少的一天多卖出多少箱？ (2)请通过计算说明本周实际销售总量是否达到了计划销售总量？ (3)若每箱柑橘售价为80元，同时需要支出运费9元/箱，求该果农本周共收入多少元？ 【答案】(1)本周销售最多的一天比最少的一天多卖出箱； (2)本周实际销售总量达到了计划销售总量； (3)该果农本周共收入元． 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数四则运算应用，解题的关键是理解题意，正确列出式子进行计算． （1）根据正负数的意义，确定最多和最少的一天，从而求解； （2）求得本周实际销售总量与计划销售总量，进行比较即可； （3）求得销售总量，根据售价以及运费，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，销售最多的一天为周六，（箱）； 销售最少的一天为周五，为（箱）， （箱） 答：本周销售最多的一天比最少的一天多卖出箱； （2）（箱） 即本周实际销售量为箱， 计划销售量为箱， ∵ ∴本周实际销售总量达到了计划销售总量； （3）由（2）可得本周销售量为箱， （元） 答：该果农本周共收入元． 25．福建省厦门市居民生活用电实行分档累进递增的阶梯电价，按户月均用电量分三档，普通电价表加下： 月用电量 电费（单位，元/度） 第一档 不超过230度的部分 0.50 第二档 超过230度不超过420度的部分 0.55 第三档 超过420度的部分 0.80 示数类型 上次抄表示数 这次抄表示数 用电量 总电量 18776 19081 305 峰电量 12689 12882 谷电量 5480 5592 根据用电情况，用户可以申请“峰谷电价”其收费如下，高峰时段，其电价在各档电价基础上加价0.03元/度，低谷时段以外时间，其电价在各档电价基础上加价元/度． 小朋家9月电表示数变化情况如表： (1)对于第一档用电情况，高峰时段电价为________元/度，低谷时段电价为________元/度． (2)①计算小朋家这个月的普通电费． ②若申请“峰谷电价”，9月份能省钱码？省多少钱？ 【答案】(1)0.53，0.30 (2)①156.25；②能省钱，共省钱20.36元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、整式的加减的实际应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）①由表格可得小朋家本月共用电305度，其中第一档用电量为230度，第二档用电量为75度，根据表格中的收费标准计算即可； ②先计算出的值，然后列式计算即可； 【详解】（1）解：由表格可得： 第一档用电情况，高峰时段电价为：（元/度）， 低谷时段电价为：（元/度）， 故答案为：0.53，0.30； （2）解：①由表格得： 小朋家本月共用电305度，其中第一档用电量为230度，第二档用电量为75度， 小朋家这个月的普通电费为：（元）； ②若申请“峰谷电价”，由表格可得： （度），（度）， 共需电费为：（元）， （元）， 能省钱，共省钱20.36元； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$