1.5 全称量词与存在量词（4知识点+8题型）-2024-2025学年第一学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

1.5 全称量词与存在量词 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 全称量词与全称量词命题 1.全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x,p(x)成立”,可用符号简记为“∀x∈M,p(x)” 2.理解: (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题,全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定. (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需要把它补充出来,例如:命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. (3)要判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立. (4)要判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是假命题,只需举出一个反例即可. 3.判定全称量词命题及其真假 (1)判断一个命题是否为全称量词命题,主要看命题中是否有“所有的,任意一个,一切,每一个,任给”等表示全体的量词,有些命题的全称量词是隐藏的,要仔细辨别. (2)判断真假时用直接法或间接法,直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立,间接法就是找到一个元素使结论不成立即可判断命题是假命题. 知识点2 存在量词与存在量词命题 1.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的、对某些 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M,p(x)” 2.理解: (1)从集合的角度看,存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题. (2)有些命题可能没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. (3)要判断存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只需要在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可. (4)要判断一个存在量词命题是假命题,需对集合M中的任意一个元素x,证明p(x)都不成立. 3.判定存在量词命题及其真假 (1)判断一个命题是否为存在量词命题,主要看命题中是否有“存在一个,至少有一个,有些,有一个,对某些,有的”等表示部分的量词,有些命题的存在量词是隐藏的,要仔细辨别. (2)判断真假时用直接法或间接法,直接法就是对陈述的集合中有一个元素使结论成立即可判断命题是真命题,间接法就是对集合中所有的元素使结论不成立可判断命题是假命题. 知识点3 全称量词命题的否定 1.全称量词命题的否定 全称量词命题:∀x∈M,p(x),它的否定:∃x∈M, p(x).也就是说,全称量词命题的否定是存在量词命题. 2.常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n+1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 3.理解: 全称量词命题的否定规律可归结为“改变量词,否定结论”,从集合的角度来看,x的范围没有变,只是对结论进行了否定.一个命题和它的否定不能同时为真,也不能同时为假,只能一真一假. 4.全称量词命题否定的焦点 (1)全称量词命题的否定既要改变量词,又要否定结论,所以找出全称量词,明确结论是关键. (2)全称量词命题的否定是存在量词命题,对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定. 知识点4 存在量词命题的否定 1.存在量词命题的否定 存在量词命题:∃x∈M,p(x),它的否定:∀x∈M, p(x).也就是说,存在量词命题的否定是全称量词命题. 2.存在量词命题否定的焦点 (1)写存在量词命题的否定时要分别改变其中的量词和结论.即∃x∈M,p(x),它的否定:∀x∈M, p(x). (2)存在量词命题的否定是全称量词命题,对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定. 思路方法总结 1.判断全称量词命题真假 若为真命题,必须对限定的集合M中的每一个元素,验证成立; 若为假命题,只要能举出集合M中的一个,使不成立即可. 2.判断存在量词命题真假 只要在限定集合M中,至少能找到一个,使成立,则这个命题为真,否则为假. 3.书写全称量词与存在量词命题的否定的思路 在书写全称量词与存在量词命题的否定时,一定要抓住决定命题性质的量词,从量词入手,书写命题的否定.全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题. 4.解决含有量词的命题的求参问题的思路 (1)全称量词命题求参的问题,常以一次函数、二次函数等为载体进行考查,一般在题目中会出现“恒成立”等词语.解决此类问题时,可构造函数,利用数形结合求参数范围,也可用分离参数法求参数范围. (2)存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语,对于此类问题,通常是假设存在满足条件的参数,然后利用条件求参数范围,若能求出参数范围,则假设成立;否则,假设不成立.解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时,应尽量分离参数. 典例 举一反三 题型一 全称(存在)量词命题的判断 例1.下列命题是全称量词命题的是( ) A.存在一个实数的平方是负数 B.至少有一个整数x,使得是质数 C.每个四边形的内角和都是360 D., 跟踪训练1 1.下列命题中特称命题的个数是( ). ①有些自然数是偶数;②正方形是菱形;③能被6整除的数也能被3整除;④对于任意,总有. A.0 B.1 C.2 D.3 2.下列命题是全称量词命题的是( ) A., B.存在一个菱形是正方形 C.每个命题都可以判断真假 D.所有等边三角形的三条高都相等 3.下列命题为存在量词命题的是( ) A.某些二次函数的图象与轴有交点 B.正方体都是长方体 C.不平行的两条直线都是相交直线 D.存在实数大于或等于2 题型二 含有量词的命题的真假判断 例2.下列命题中,既是全称量词命题又是真命题的是( ) A.每一个命题都能判断真假 B.存在一条直线与两条相交直线都平行 C.对任意实数,若,则 D.存在,使 跟踪训练2 1.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( ) A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数,使 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数,使 2.下列命题中为真命题的是( ) A., B., C., D., 3.下列命题中真命题的是( ) A. B. C. D. 题型三 全称量词命题的否定 例3.命题,,则是( ) A., B., C., D., 跟踪训练3 1.命题“,”的否定是( ) A., B., C., D., 2.已知命题,,则是( ) A., B., C.或, D.或, 3.命题“,”的否定是( ) A., B., C., D., 题型四 存在量词命题的否定 例4.已知命题p:,,则( ) A.命题p的否定为,,且p是真命题 B.命题p的否定为,,且p是真命题 C.命题p的否定为,,且p是假命题 D.命题p的否定为,,p是假命题 跟踪训练4 1.已知命题,则命题的否定为( ) A. B. C. D. 2.下列命题的否定是全称量词命题且为真命题的有( ) A., B.所有的正方形都是矩形 C., D.至少有一个实数,使 3.已知命题p:有些实数的相反数是正数,则是( ) A., B., C., D., 题型五 已知全称量词命题的真假求参数 例5.若命题“,”为假命题,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 跟踪训练5 1.若命题“”是真命题,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 2.已知命题为假命题,则实数 的取值范围是 3.已知命题“,”是假命题,则实数a的取值范围为 . 题型六 已知存在量词命题的真假求参数 例6.已知命题“”为真命题,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 跟踪训练6 1.已知集合,,若命题“”为假命题,则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 2.命题“,”是真命题,则实数的取值范围是 . 3.若“,使得成立”为假命题,则实数的取值范围是 . 题型七 已知命题的否定的真假求参数 例7.命题有实数根,若是假命题,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D.以上都不对 跟踪训练7 1.已知,若的否定为真命题,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.已知命题p:“,”,命题q:“,”.若命题和命题q都是真命题,则实数a的取值范围是( ) A.或 B.或 C. D. 3.设命题,,若是假命题,则实数的取值范围是 . 题型八 特称量词命题的综合大题 例8.已知命题,命题. (1)若命题为假命题,求实数的取值范围; (2)若命题和均为真命题,求实数的取值范围. 跟踪训练8 1.已知,命题:,;命题:,. (1)若是真命题,求的最大值; (2)若、中有且只有一个是真命题,求的取值范围. 2. 已知命题: 命题: (1)写出命题. (2)若命题为假命题,命题为真命题,求实数的取值范围. 3.已知命题,;命题,. (1)若命题q为真命题,求实数m的取值范围; (2)若命题p,q中恰有一个为真命题,求实数m的取值范围. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 $$ 1.5 全称量词与存在量词 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 全称量词与全称量词命题 1.全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2.理解： (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定． (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”． (3)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立． (4)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只需举出一个反例即可． 3.判定全称量词命题及其真假 (1)判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别． (2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立即可判断命题是假命题． 知识点2 存在量词与存在量词命题 1.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的、对某些 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 2.理解： (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题． (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题． (3)要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可． (4)要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，证明p(x)都不成立． 3.判定存在量词命题及其真假 (1)判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个，至少有一个，有些，有一个，对某些，有的”等表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别． (2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中有一个元素使结论成立即可判断命题是真命题，间接法就是对集合中所有的元素使结论不成立可判断命题是假命题． 知识点3 全称量词命题的否定 1．全称量词命题的否定 全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，¬p(x)．也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题． 2．常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 3.理解： 全称量词命题的否定规律可归结为“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定．一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假． 4.全称量词命题否定的焦点 (1)全称量词命题的否定既要改变量词，又要否定结论，所以找出全称量词，明确结论是关键． (2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定． 知识点4 存在量词命题的否定 1.存在量词命题的否定 存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x)．也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题． 2.存在量词命题否定的焦点 (1)写存在量词命题的否定时要分别改变其中的量词和结论．即∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x)． (2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定． 思路方法总结 1.判断全称量词命题真假 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可． 2.判断存在量词命题真假 只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个命题为真，否则为假． 3.书写全称量词与存在量词命题的否定的思路 在书写全称量词与存在量词命题的否定时，一定要抓住决定命题性质的量词，从量词入手，书写命题的否定．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 4.解决含有量词的命题的求参问题的思路 （1）全称量词命题求参的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语.解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围． （2）存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立．解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数． 典例·举一反三 题型一 全称（存在）量词命题的判断 例1．下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．， 【答案】C 【分析】根据全称命题与特称命题中的量词即可判断求解. 【详解】选项A，B，D中，分别有“存在”，“至少”，“”这样的特称量词，所以选项A，B，D都为特称命题，选项C：因为有“每个”这样的全称量词，所以命题为全称命题. 故选：C. 跟踪训练1 1．下列命题中特称命题的个数是（    ）. ①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意，总有. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据特称命题和全称量词命题的定义作出判断. 【详解】对①：含有存在量词，故为特称命题； 对②：可以描述为：所以正方形都是菱形，为全称命题； 对③：可以描述为：所有能被6整除的数也能被3整除，为全称命题； 对④：含有全称量词，故为全称命题； 故特称命题的个数为1. 故选：B. 2．下列命题是全称量词命题的是（    ） A．， B．存在一个菱形是正方形 C．每个命题都可以判断真假 D．所有等边三角形的三条高都相等 【答案】ACD 【分析】根据全称量词及存在性量词的概念求解. 【详解】根据全称量词命题的概念，选项ACD都是全称量词命题，选项B是存在量词命题. 故选：ACD 3．下列命题为存在量词命题的是（    ） A．某些二次函数的图象与轴有交点 B．正方体都是长方体 C．不平行的两条直线都是相交直线 D．存在实数大于或等于2 【答案】AD 【分析】根据全称量词和存在量词的定义，依次判断即可 【详解】由题意，选项A，D中研究的是部分二次函数和实数的性质； 选项B，C中研究的是全部正方体和不平行的两条直线的性质 根据全称量词和存在量词的定义，可知AD为存在量词命题 故选：AD 题型二 含有量词的命题的真假判断 例2．下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．每一个命题都能判断真假 B．存在一条直线与两条相交直线都平行 C．对任意实数，若，则 D．存在，使 【答案】A 【分析】根据全称量词命题以及存在量词命题的概念以及命题的真假判断，一一判断各命题，即得答案. 【详解】对于A，“每一个命题都能判断真假”是全称量词命题，命题都能判断真假， A是真命题，符合题意； 对于B，“存在一条直线与两条相交直线都平行”是存在量词命题，不符合题意； 对于C，该命题是全称量词命题，当时，，C中命题是假命题，不符合题意； 对于D，该命题是存在量词命题，不符合题意， 故选：A. 跟踪训练2 1．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（    ） A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使 【答案】B 【分析】判断ACD为假命题，B是存在量词命题又是真命题，得到答案. 【详解】对选项A：锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题； 对选项B：是存在量词命题，当时， 成立，所以B正确； 对选项C：，故C为假命题； 对选项D：对于任何一个负数，都有，所以D为假命题. 故选：B 2．下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】对A：由判断命题为假；对B：当时命题不成立；对C：由及关系判断命题为真；对D：由判断命题为假. 【详解】，，故是假命题； 当时，，故是假命题； ，，故是真命题； 方程中，此方程无解，故是假命题. 故选:：C. 3．下列命题中真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，结合全称命题和特称命题意义，对选项中的命题真假性直接判断即可． 【详解】对于A，，，所以，选项A是假命题； 对于B，时，，所以选项B是真命题； 对于C，由，得，所以选项C是真命题； 对于D，时，，所以选项D是假命题． 故选：BC． 题型三 全称量词命题的否定 例3．命题，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题，求解即可. 【详解】因为命题，，所以：，. 故选：C 跟踪训练3 1．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用特称命题“命题的否定”的求法即可解决． 【详解】特称命题“命题的否定”的求法；否定结论，特称量词与全称量词互换． 则 “，”的否定是“，”． 故选：C. 2．已知命题，，则是（    ） A．， B．， C．或， D．或， 【答案】B 【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题即可得. 【详解】命题，是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以，． 故选：B． 3．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用命题否定的定义求解即可. 【详解】由命题否定的定义得命题“， ”的否定是，，故D正确. 故选：D 题型四 存在量词命题的否定 例4．已知命题p：，，则（    ） A．命题p的否定为，，且p是真命题 B．命题p的否定为，，且p是真命题 C．命题p的否定为，，且p是假命题 D．命题p的否定为，，p是假命题 【答案】C 【分析】根据存在性量词命题的否定，结合分式不等式的解法即可下结论. 【详解】，则. 由，得，即，解得， 所以命题为假命题. 故选：C 跟踪训练4 1．已知命题，则命题的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特称命题的否定是全称命题可得答案. 【详解】， 则命题的否定为. 故选：D. 2．下列命题的否定是全称量词命题且为真命题的有（    ） A．， B．所有的正方形都是矩形 C．， D．至少有一个实数，使 【答案】A 【分析】根据存在命题的否定是全称量词命题进行判断B即可.ACD原命题的否定是全称量词命题，再判断原命题的否定是否为真命题进行判断即可. 【详解】对于A，A是特称命题，其否定为：，，即为真命题，A正确； 对于B，∵B是全称命题，其否定为特称命题，故B排除； 对于C， C是特称命题，其否定为：，，即为假命题，C错误； 对于D， D是特称命题，其否定为：任意实数x，都有，代入不成立，为假命题，D错误； 故选：A． 3．已知命题p：有些实数的相反数是正数，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可直接写出答案. 【详解】已知命题：有些实数的相反数是正数，即， 则， 故选：B. 题型五 已知全称量词命题的真假求参数 例5．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得“，”是真命题，根据求出参数的取值范围. 【详解】因为“，”为假命题， 所以“，”是真命题， 即方程有实数根，则，解得， 即实数的取值范围是． 故选：A． 跟踪训练5 1．若命题“”是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全称命题为真，结合不等式恒成立分类讨论，即可求得的取值范围. 【详解】若命题“”是真命题， 则当时，不等式为对恒成立； 当时，要使得不等式恒成立，则，解得 综上，的取值范围为. 故选：D. 2．已知命题为假命题，则实数λ的取值范围是 【答案】 【分析】由题可知命题的否定为真命题，是一个存在性问题，据此求解. 【详解】因为命题为假命题， 所以为真命题， 因此，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 3．已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据命题为假，得到，解得答案. 【详解】命题“，”是假命题，故， 解得或. 故答案为：. 题型六 已知存在量词命题的真假求参数 例6．已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据命题是真命题的意思求解即可. 【详解】因为命题“”为真命题， 所以命题“”为真命题， 所以时，. 因为， 所以当时，，此时. 所以时，，即实数的取值范围是. 故选：C. 跟踪训练6 1．已知集合，，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用命题的否定是真命题，来求解参数范围. 【详解】命题“”为假命题，则命题的否定“”是真命题， 因为，， 所以，又因为，所以， 故选：C. 2．命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据得到答案. 【详解】，，为真命题，故， 解得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 3．若“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，转化为“，使得成立”为真命题，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由“，使得成立”为假命题， 可得“，使得成立”为真命题， 设，则满足，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 题型七 已知命题的否定的真假求参数 例7．命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】是假命题，则为真命题，即有实数根，分类讨论与时的情况即可. 【详解】当时，即有实数根，解得，故符合要求； 当时，即有，解得且； 综上所述，. 故选：B. 跟踪训练7 1．已知，若的否定为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据p为假命题可得为真命题，由此得，求得答案. 【详解】由题意命题p:的否定为：为真命题， 即，故 ，即， 故选：D 2．已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】先考虑均为真命题得到的取值范围，然后根据的真假性得到关于的不等式，即可求解出的取值范围. 【详解】若，，则， ∴． 若，， 则， 解得或． ∵命题和命题q都是真命题， ∴或， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查根据全称命题、特称命题的真假求解参数范围，难度一般.利用命题的真假求解参数范围时，可先考虑命题都为真的情况下对应的参数范围，然后再根据实际的命题真假得到关于参数的不等式（注：若命题为假，只需对为真时参数范围取补集），由此求解出参数范围. 3．设命题，，若是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据命题的否定与原命题的关系得出命题是真命题，即可根据命题得出，，再根据基本不等式或对勾函数的性质得出在上的最小值，即可得出答案. 【详解】是假命题， 是真命题， ，， ，， 当时，，当且仅当时，即时，等号成立， ，可取到， ， ， 故答案为：. 题型八 特称量词命题的综合大题 例8．已知命题，命题. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由条件可得命题为真命题，列出不等式，即可得到结果； （2）根据题意，先求得当命题为真命题时的范围，即可得到为真命题时的范围，再结合（1）中的结论，即可得到结果. 【详解】（1）若命题为假命题，则命题为真命题， 即在恒成立，所以， 即实数的取值范围是. （2）当命题为真命题时，因为， 所以，解得或， 因为为真命题，则， 又由（1）可知，命题为真命题时， 所以且，即实数的取值范围是. 跟踪训练8 1．已知，命题：，；命题：，． (1)若是真命题，求的最大值； (2)若、中有且只有一个是真命题，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）a小于等于的最小值即可；（2）分p真q假，p假q真两种情形讨论. 【详解】（1）根据题意，若p是真命题，即恒成立， 当时，的最小值为1， 所以，即a的最大值为1； （2）若q是真命题，，解得或， 由已知p、q一真一假， 若p真q假，则， 若p假q真，则,所以， 综上，或， 故的取值范围为或 2． 已知命题: 命题: (1)写出命题. (2)若命题为假命题，命题为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由全称量词命题的否定的定义即可写出. （2）将问题等价转换为和均有实数根，从而均有，由此即可求解. 【详解】（1）因为命题: 所以：. （2）命题为假命题，    ：为真命题， 即有实数根， ，               又命题q为真命题， 有实数根， ，                             m的取值范围是. 3．已知命题，；命题，. (1)若命题q为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p，q中恰有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或或 【分析】（1）根据判别式即可求解, （2）分别求解为真命题时的范围，即可分两种情况求解. 【详解】（1）由题意可知，得或 （2）命题p为真命题时， 若时，显然满足， 当时，则，解得， 综上可得p为真命题时，； 当命题p真q假时，，解得； 当命题p假q真时，得或 所以当命题p，q中恰有一个为真命题时，实数m的取值范围为或或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$