第06讲 用公式法求解一元二次方程 （2个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第06讲 用公式法求解一元二次方程 （2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点2．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 题型强化 题型一．解一元二次方程-公式法 1．（2024•永寿县二模）对于实数，，定义运算“※”：※，例如：5※．若※，则的值为　　 A．1 B．0 C．0或1 D．1或 2．（2023秋•忠县期末）若关于的一元二次方程的唯一实数根也是关于的一元二次方程的根，则关于的方程的根为 　　． 3．（2024春•苍梧县期末）利用公式法解方程：． 题型二．根的判别式 4．（2024•绿园区一模）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D． 5．（2024•市北区二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 　　． 6．（2024春•拱墅区校级期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）已知方程一个根为2，求的值． 分层练习 一、单选题 1．一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 2．以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 6．用公式法解方程时，a、b、c的值分别是（　　） A．5、6、 B． C． D． 7．方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 8．已知为常数，点在第二象限，点在轴的正半轴上，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 9．若关于x的一元二次方程：有两个不相等的实数根，且关于x的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a之和是（　　） A． B． C． D． 10．问题：“解方程”，嘉嘉解得，淇淇看了嘉嘉的答案，说：“你算的不对，这个方程只有一个解．”判断下列结论正确的是（　　） A．嘉嘉的解是正确的 B．淇淇说得对，因为 C．嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为，该方程无解 D．由可得该方程有两个解，但嘉嘉的结果是错的 二、填空题 11．方程的根的判别式的值是 ． 12．一元二次方程，当 时，它的求根公式为： 13．当时，关于的方程根的情况是 ． 14．方程有两个实数根，则的取值范围 15．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 16．已知，，，……，（，且为正整数）．若，则的值为 ． 17．嘉琪准备完成题目：解一元二次方程．若“”表示一个字母，且一元二次方程有实数根，则“”的最大值为 ． 18．定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：①如果是的倒方程的解，则；②如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；③如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 ．（填序号） 三、解答题 19．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 20．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)当时，求方程的解． 21．用公式法解下列各方程： (1) (2) (3) 22．已知关于x的方程．求证：不论m为何值，方程总有实数根． 23．关于的方程．求证：无论为何值，方程总有实数根； 24．已知a，b是关于x的一元二次方程的两根． (1)求n的取值范围； (2)若等腰三角形的三边长分别为a，b，2，求n的值． 25．已知关于的一元二次方程为． (1)当为何值时，该方程有实数根； (2)当时，求出这个方程的两个根． 26．有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 用公式法求解一元二次方程 （2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点2．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 题型强化 题型一．解一元二次方程-公式法 1．（2024•永寿县二模）对于实数，，定义运算“※”：※，例如：5※．若※，则的值为　　 A．1 B．0 C．0或1 D．1或 【分析】根据题意列得一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：由题意可得， 整理得：， 则， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查解一元二次方程，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键． 2．（2023秋•忠县期末）若关于的一元二次方程的唯一实数根也是关于的一元二次方程的根，则关于的方程的根为 　，　． 【分析】由关于的一元二次方程有唯一实数根和一元二次方程的定义求出得，进而求出唯一解为，根据方程解的定义求出，解方程即可． 【解答】解：关于的一元二次方程有唯一实数根， △，解得， 关于的方程是一元二次方程， ， 关于的一元二次方程为， 解得， 关于的一元二次方程的唯一实数根也是关于的一元二次方程的根， 是的一元二次方程的根， ， ， 关于的方程为， 解得：，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法、定义，判别式，根据一元二次方程的定义和判别式求出，是解决问题的关键． 3．（2024春•苍梧县期末）利用公式法解方程：． 【分析】观察方程为一般形式，找出此时二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，发现其结果大于0，故利用求根公式可得出方程的两个解． 【解答】解：， ，，， △，（2分） ， ，．（4分） 【点评】此题考查了利用公式法来求一元二次方程的解，利用此方法解方程时，首先将方程化为一般形式，找出相应的，及的值，代入中求值，当时，可代入求根公式来求解． 题型二．根的判别式 4．（2024•绿园区一模）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D． 【分析】根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出△，求出的取值范围即可得出答案． 【解答】解：关于的一元二次方程， ， 方程有两个实数根， △， 解得， 的取值范围是且， 故选：． 【点评】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 5．（2024•市北区二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 　且　． 【分析】由一元二次方程的定义，，有实数根，则△，建立不等式求解． 【解答】解：由题意得，△且， 解得且． 故答案为：且． 【点评】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式；由判别式定理建立关于参数的不等式是解题的关键． 6．（2024春•拱墅区校级期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）已知方程一个根为2，求的值． 【分析】（1）根据一元二次方程写出根的判别式，根据根的判别式的值为正数即可证明方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一根为，根据根与系数的关系列方程组，消去，得到的一元二次方程，解方程即得． 【解答】解：（1）△， 故方程有两个不相等的实数根． （2）设方程的另一根为， 则， ， ， ，或， 解得，，或． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式判定根的情况，一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】根据得判断即可．本题考查了方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 2．以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键． 根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：A． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； B． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； C． ， ∴，故该选项正确，符合题意； D． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此由求得m的取值范围即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程即有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 故选：A． 4．若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程（）的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．根据关于的一元二次方程有两个相等的实数根可知，求出即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等实数根， ， 解得：． 故选：． 5．是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，将求根公式一一代入方程验证即可得出答案． 【详解】解：A．中，，不合题意； B．中，，不合题意； C．，，不合题意； D．3x2+5x﹣1＝0中，，符合题意； 故选：D． 6．用公式法解方程时，a、b、c的值分别是（　　） A．5、6、 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．将化为一元二次方程的一般形式，即可求解． 【详解】解：将化为一元二次方程的一般形式为：， a、b、c的值分别是， 故选：C． 7．方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：， ∴方程没有实数根， 故选：． 8．已知为常数，点在第二象限，点在轴的正半轴上，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键． 根据点的位置确定，然后判断的值的取值范围即可解题． 【详解】解：∵点在第二象限，点在轴的正半轴上， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A 9．若关于x的一元二次方程：有两个不相等的实数根，且关于x的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a之和是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和分式方程．先根据一元二次方程根的判别式的意义得到，解得，解分式方程得到，再利用且得到，且，解得且，所以a的取值范围为且，然后确定整数a的值，最后计算所有满足条件的整数a之和． 【详解】解：∵有两个不相等的实数根， ∴方程化为， ∴， 解得， 对于关于x的分式方程， 去分母得， 解得， ∵且， ∴，且， 解得且， ∴a的取值范围为且， 整数a为， ∴所有满足条件的整数a之和为． 故选：C． 10．问题：“解方程”，嘉嘉解得，淇淇看了嘉嘉的答案，说：“你算的不对，这个方程只有一个解．”判断下列结论正确的是（　　） A．嘉嘉的解是正确的 B．淇淇说得对，因为 C．嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为，该方程无解 D．由可得该方程有两个解，但嘉嘉的结果是错的 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 根据根的判别式求得，于是得到结论． 【详解】解：原方程可化为， ， ∴原方程无实数根， 故嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为，该方程无解， 故选：C． 二、填空题 11．方程的根的判别式的值是 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式代入数据计算即可． 【详解】解：在方程中， ∵， ∴． 故答案为：40． 12．一元二次方程，当 时，它的求根公式为： 【答案】 【分析】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，然后写出求根公式即可． 【详解】解：当 时，它的求根公式为， 故答案为：． 13．当时，关于的方程根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：关于的方程， ∴， ∵， ∴， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 14．方程有两个实数根，则的取值范围 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 15．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和根的判别式的意义得到，求解公共部分即可； 【详解】解：根据题意得， 解得且． 故答案为且． 16．已知，，，……，（，且为正整数）．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减乘除运算，一元二次方程的求解，分别用a表示出至，然后将至代入得到关于a的方程，解出a的值即可． 【详解】解：， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：， 故答案为：． 17．嘉琪准备完成题目：解一元二次方程．若“”表示一个字母，且一元二次方程有实数根，则“”的最大值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定范围，设中为，根据判别式的意义得到，然后解不等式求出后找出最大整数即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：设中为， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴“”的最大值为， 故答案为：． 18．定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：①如果是的倒方程的解，则；②如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；③如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查方程解，根的判别式，根据倒方程的定义，结合方程的解以及根的判别式逐一进行判断即可． 【详解】解：的倒方程为：， 把代入，得： ，解得：；故①正确； ∵无解， ∴， ∴， ∵的倒方程为，也是一元二次方程， ∴， ∴没有实数根，故②正确； ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 当，时，满足要求， 此时的倒方程为一元一次方程，故③错误； 故答案为：①②． 三、解答题 19．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根可得，据此即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 20．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)当时，求方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，公式法求解方程的根，熟练掌握根的判别式，选择适当解方程的方法是解题的关键． （1）根据，解答即可． （2）把m的值代入方程，选择适当的方法解方程即可． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程即有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故m的取值范围是． （2）∵， ∴变形为， ∴，， 解得． 21．用公式法解下列各方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查利用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解本题的关键，属基础题． （1）把代入求根公式计算即可； （2）把代入求根公式计算即可； （3）先把方程化为一般形式得：，再把代入求根公式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：整理，得， ． 22．已知关于x的方程．求证：不论m为何值，方程总有实数根． 【答案】见解析 【分析】本题考查了根的判别式，讨论：当时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，方程为一元二次方程，因为，则方程有两个实数根． 【详解】证明：①当， 即时，方程为，解得， 所以此时方程有实数根； ②当时，， 所以此时方程有两个实数根． 综上，不论m为何值，方程总有实数根． 23．关于的方程．求证：无论为何值，方程总有实数根； 【答案】见详解 【分析】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：（1）当时，方程有两个不相等的两个实数根；（2）当时，方程有两个相等的两个实数根；（3）当时，方程无实数根． 分两种情况讨论，可确定方程根的情况； 【详解】证明：当时，关于的方程为， 方程有实数根； 当时，关于的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根， 综上，无论k为何值时，方程总有实数根． 24．已知a，b是关于x的一元二次方程的两根． (1)求n的取值范围； (2)若等腰三角形的三边长分别为a，b，2，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根、一元二次方程根的判别式、以及等腰三角形的定义，注意要分类讨论． （1）根据根的判别式列出方程求解即可； （2）根据等腰三角形的定义，分①或，②两种情况讨论． 【详解】（1）由题意，得． ∵a，b是关于x的一元二次方程的两根， ∴， ∴． （2）∵三角形是等腰三角形， ∴有①或，②两种情况． ①当或时， ∵a，b是关于x的一元二次方程的两根， ∴是方程的一根． 把代入， 得， 解得． 当时，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故不合题意，舍去； ②当时，方程有两个相等的实数根， ∴，解得． 综上所述，． 25．已知关于的一元二次方程为． (1)当为何值时，该方程有实数根； (2)当时，求出这个方程的两个根． 【答案】(1) (2)，． 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数、解一元二次方程，解题的关键是熟知根的判别式与一元二次方程的解法． （1）由方程有实数根可知，然后解得m的取值范围即可． （2）将m的值代入原方程，求解方程即可． 【详解】（1）∵方程有实数根， ∴， 即，解得， ∴当为何值时，该方程有实数根； （2）将代入原方程得，即， ∴, 即，． 26．有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，绝对值方程，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想思考问题． 【详解】解：当时，原方程可化为：， 解得：（与矛盾，舍去），； 当时，原方程可化为， 解得：（与矛盾，舍去），； 原方程的解是， 学科网（北京）股份有限公司 $$