第06讲 圆（4个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第06讲 圆（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点3．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点4．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个 题型强化 题型一．圆的认识 1．（2023秋•余姚市校级月考）已知点、，且，画经过、两点且半径为2的圆有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 2．（2023秋•柯桥区月考）如图，点，在半圆上，四边形，四边形均为矩形．若，，则的长为 　　． 3．（2023秋•西湖区校级月考）根据以下素材，探索完成任务． 如何确定拱桥形状？ 问题背景 河面上有一座拱桥，对它的形状，同学们各抒己见．有同学说拱桥的形状是抛物线，也有同学说是圆弧．为确定拱桥的形状，九年级综合实践小组开展了一次探究活动． 素材1 在正常水位时，小组成员对水面宽度和拱顶离水面的距离进行了测量并绘制了如图．测得水面宽为，拱顶离水面的距离为． 素材2 大雨过后，水位上涨．小组成员再对水面宽度和拱顶离水面的距离进行了两次测量发现当水面宽为时，水位（相对正常水位）上涨；当水面宽时，水位（相对正常水位）上涨． 素材3 如何检验探究过程中提出的假设是否符合实际情况呢？ 定义：离差平方和是实际观测值与预测值之间差的平方和，反映了基于假设算得的预测值与实际观测值之间的差异．离差平方和越小，说明预测值与实际观测值之间的误差越小，提出的假设与实际情况更为接近． 问题解决 假设1 小组成员首先假设拱桥形状是抛物线．根据素材1建立如图所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式． 假设2 小组成员又提出拱桥形状可能是圆弧．请根据素材1求出该圆弧的半径． 分析判断 于假设1和假设2，请分别计算水面宽和时水位上涨的预测值，直接填入下表（数据保留两位小数），并结合素材3分别求出两种假设下数据的离差平方和，断拱桥更接近哪一种形状．（参考数据： 水面宽 水面宽 水位上涨的实际观测值 1.90 3.10 假设1的预测值 　1.75　 3.00 假设2的预测值 2.00 　　 题型二．点与圆的位置关系 4．（2024•当阳市模拟）已知的半径为5，点在内，则的长可能是　　 A．7 B．6 C．5 D．4 5．（2023秋•浙江期中）在同一平面内，已知圆的半径为，一点到圆心的距离是，则这点在 　　（填写“圆内”或“圆上”或“圆外” ． 6．（杭州）如图1，的半径为，若点在射线上，满足，则称点是点关于的“反演点”． 如图2，的半径为4，点在上，，，若点，分别是点，关于的反演点，求的长． 题型三．确定圆的条件 7．（2022秋•永康市校级月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是　　 A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块 8．（2022秋•沭阳县校级月考）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 　　． 9．（江汉区校级模拟）如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点．已知：，． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 题型四．三角形的外接圆与外心 10．（2023秋•洞头区校级月考）已知直角三角形的斜边长为，则该三角形的外接圆半径为 　　． 11．（2020秋•滨江区期末）如图，内接于，，，是的直径，交于点，连接，则等于　　 A． B． C． D． 12．已知：如图，圆是的外接圆，平分． （1）求证：是等腰三角形； （2）当，，求边的长． 分层练习 一、单选题 1．已知的半径为4，点在内，则的长可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知的半径为6，点P在内，则线段长（    ） A．小于6 B．大于6 C．等于6 D．等于12 4．已知在中，，则的外接圆直径为（    ） A． B． C． D． 5．以下四个命题中属于假命题的是（    ） A．直径是弦 B．过三点一定可以作一个圆 C．半径相等的两个半圆是等弧 D．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 6．如图，直角坐标系中，，，经过，，三点的圆，圆心为，若线段，则点与的位置关系为（　　） A．点在上 B．点在外 C．点在内 D．无法确定 7．在△ABC中，∠ACB为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作弧BAC，如图所示．若AB=4，AC=2，图中两个新月形面积分别为S1，S2，两个弓形面积分别为S3，S4，S1-S2=，则S3-S4的值是(    )   A． B． C． D． 8．如图，在等腰中，，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（　　）    A． B． C． D． 9．平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径作，已知点，N是上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．以上都不正确 10．如图，在等边中，，点为的中点，动点分别在上，且，作的外接圆，交于点．当动点从点向点运动时，线段长度的变化情况为（    ） A．一直不变 B．一直变大 C．先变小再变大 D．先变大再变小 二、填空题 11．已知的半径为，点在上，则的长为 ． 12．已知直角三角形的斜边长为，则该三角形的外接圆半径为 ． 13．已知外有一动点P，上有一动点Q，线段长的最小值为，最大值为，则的半径为 ． 14．下列说法中正确的有 （填序号）． （1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧． 15．如图，在正方形中，以点C为圆心，为半径作，在上取一点E，使，则的度数为 ． 16．如图，在矩形中，，点在的延长线上，点在直线上，连接，若，则的最大值为 ． 三、解答题 17．如图，是的直径，，交于点，且，求弧的度数． 18．圆圆在解答问题“在矩形中，以A为圆心作，使得B，C，D三点中至少有一点在内，有一点在外，求的半径r的取值范围？”时，答案为“”．圆圆的答案对吗？如果错误，请写出正确的解答过程． 19．如图，是一个圆拱形模型． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆拱形的圆心O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若弦的长为，圆拱形的最大高度为，则圆拱形所在圆的半径为_____． 20．如图在5×5的网格中，的顶点都在格点上．    (1)在图1中画出的垂直平分线； (2)在图2中画出的外接圆． 21．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交于点，交于点，连接．    (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 22．如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，M为AB的中点． （1）以C为圆心，3为半径作⊙C，则点A、B、M与⊙C的位置关系如何? （2）若以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙A内且B点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围． 23．在88的方格中，已知的各顶点都在格点上 (1)如图， 请仅用一把无刻度的直尺按要求作图 （请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图， 不要求写作法）． 找出外接圆的圆心． (2)若， 试求的半径． 24．如图，过抛物线上一点A作轴的平行线，交抛物线于另一点B，交轴于点C，已知点A的横坐标为． （1）求抛物线的对称轴和点B的坐标； （2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D； ①连接BD，求BD的最小值； ②当点D落在抛物线的对称轴上，且在轴上方时，求直线PD的函数表达式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 圆（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点3．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点4．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个 题型强化 题型一．圆的认识 1．（2023秋•余姚市校级月考）已知点、，且，画经过、两点且半径为2的圆有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【分析】根据圆的定义，经过、两点的圆的圆心都在线段的垂直平分线上，则利用的长可判断垂直平分线上点到点和的距离都大于2，所以经过、两点且半径为2的圆没有． 【解答】解：经过、两点的圆的圆心都在线段的垂直平分线上， 而， 所以垂直平分线上点到点和的距离都大于2， 所以经过、两点且半径为2的圆没有． 故选：． 【点评】本题考查了圆的认识：圆可以看作是所有到定点的距离等于定长的点的集合，掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 2．（2023秋•柯桥区月考）如图，点，在半圆上，四边形，四边形均为矩形．若，，则的长为 　5　． 【分析】如图，连接与．根据矩形的性质，由四边形是矩形，得，．根据勾股定理，由中，，，得．根据圆上点到圆心的距离均相等，由，得．根据矩形的性质，由四边形均为矩形，得． 【解答】解：如图，连接与． 四边形是矩形， ，． 在中，，， ． ． ． 四边形为矩形， ． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、圆，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、圆是解决本题的关键． 3．（2023秋•西湖区校级月考）根据以下素材，探索完成任务． 如何确定拱桥形状？ 问题背景 河面上有一座拱桥，对它的形状，同学们各抒己见．有同学说拱桥的形状是抛物线，也有同学说是圆弧．为确定拱桥的形状，九年级综合实践小组开展了一次探究活动． 素材1 在正常水位时，小组成员对水面宽度和拱顶离水面的距离进行了测量并绘制了如图．测得水面宽为，拱顶离水面的距离为． 素材2 大雨过后，水位上涨．小组成员再对水面宽度和拱顶离水面的距离进行了两次测量发现当水面宽为时，水位（相对正常水位）上涨；当水面宽时，水位（相对正常水位）上涨． 素材3 如何检验探究过程中提出的假设是否符合实际情况呢？ 定义：离差平方和是实际观测值与预测值之间差的平方和，反映了基于假设算得的预测值与实际观测值之间的差异．离差平方和越小，说明预测值与实际观测值之间的误差越小，提出的假设与实际情况更为接近． 问题解决 假设1 小组成员首先假设拱桥形状是抛物线．根据素材1建立如图所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式． 假设2 小组成员又提出拱桥形状可能是圆弧．请根据素材1求出该圆弧的半径． 分析判断 于假设1和假设2，请分别计算水面宽和时水位上涨的预测值，直接填入下表（数据保留两位小数），并结合素材3分别求出两种假设下数据的离差平方和，断拱桥更接近哪一种形状．（参考数据： 水面宽 水面宽 水位上涨的实际观测值 1.90 3.10 假设1的预测值 　1.75　 3.00 假设2的预测值 2.00 　　 【分析】（1）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立坐标系，则抛物线顶点，由于，故、，设解析式为：， 代入坐标即可求得的值，求得，当水面宽时，即时，可求得预测值； （2）设圆弧的半径为，圆心，因，根据垂径定理可得，如图：则在中由勾股定理，求得，根据河宽时，利用勾股定理对应的预测值． 【解答】解：假设1：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立坐标系， 由已知，则顶点， 设解析式为：， ， ，， 则时，，，解得：， ， 当水面宽时，即时， ， 假设1的预测值为：， 故答案为：1.75； 假设2：若拱桥形状是圆弧时．请根据素材1，设该圆弧的半径为，圆心为，连接， 由已知可得， ， ， ， 在中， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， 则， 当水面宽时，则， 在中，由勾股定理， 即， 解得：， 则水位上涨， 假设2的预测值为， 故答案为：3.16． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、垂径定理以及勾股定理，读懂题意是解决问题的关键． 题型二．点与圆的位置关系 4．（2024•当阳市模拟）已知的半径为5，点在内，则的长可能是　　 A．7 B．6 C．5 D．4 【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断． 【解答】解：的半径为5，点在内， ． 故选：． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内． 5．（2023秋•浙江期中）在同一平面内，已知圆的半径为，一点到圆心的距离是，则这点在 　圆外　（填写“圆内”或“圆上”或“圆外” ． 【分析】根据点和圆的位置关系得出即可． 【解答】解：， 点在圆外， 故答案为：圆外． 【点评】本题考查了点和圆的位置关系，能熟记点和圆的位置关系的内容是解此题的关键． 6．（杭州）如图1，的半径为，若点在射线上，满足，则称点是点关于的“反演点”． 如图2，的半径为4，点在上，，，若点，分别是点，关于的反演点，求的长． 【分析】设交于，连接，如图2，根据新定义计算出，，则点为的中点，点和重合，再证明为等边三角形，则，然后在△中，利用正弦的定义可求的长． 【解答】解：设交于，连接，如图2， ， 而，， ， ， ，即点和重合， ，， 为等边三角形， 而点为的中点， ， 在△中，， ． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了阅读理解能力． 题型三．确定圆的条件 7．（2022秋•永康市校级月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是　　 A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：． 【点评】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 8．（2022秋•沭阳县校级月考）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 　　． 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故答案为： 【点评】能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置． 9．（江汉区校级模拟）如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点．已知：，． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作，的中垂线交于点，则点是弧所在圆的圆心； （2）在中，由勾股定理可求得半径的长． 【解答】解：（1）作弦的垂直平分线与弦的垂直平分线交于点，以为圆心长为半径作圆就是此残片所在的圆，如图． （2）连接，设，，， 则根据勾股定理列方程： ， 解得：． 答：圆的半径为． 【点评】本题利用了垂径定理，中垂线的性质，勾股定理求解． 题型四．三角形的外接圆与外心 10．（2023秋•洞头区校级月考）已知直角三角形的斜边长为，则该三角形的外接圆半径为 　3　． 【分析】根据题意画出图形，再根据的圆周角所对的弦是直径判断出为直径，从而求出半径． 【解答】解：， 为直径， ， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、等腰直角三角形，正确画出图形是解题的关键． 11．（2020秋•滨江区期末）如图，内接于，，，是的直径，交于点，连接，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】先利用圆周角定理得到，，则利用互余计算出，再计算出，然后根据三角形内角和可计算出的度数． 【解答】解：， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题重点考查了圆周角定理、三角形的内角和，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等． 12．已知：如图，圆是的外接圆，平分． （1）求证：是等腰三角形； （2）当，，求边的长． 【分析】（1）连接、，先证明，再证明得，问题得证； （2）延长交于点，先证明，，设，，根据，，由勾股定理列出、的方程组，解得、，便可得． 【解答】解：（1）连接、， ，平分， ， 在和中， ， ， 即是等腰三角形； （2）延长交于点， 平分，， ，， 设，， ，，，， ， 解得，， ． 【点评】本题是圆的一个综合题，主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，第（1）关键在证明三角形全等；第（2）题关键由勾股定理列出方程组． 分层练习 一、单选题 1．已知的半径为4，点在内，则的长可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系解答即可，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵的半径为4，点在内， ∴， ∴的长可能是3， 故选：A． 2．、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的基本性质可直接进行求解． 【详解】∵圆中最长的弦为直径， ∴． ∴故选D． 【点睛】本题主要考查弦的概念，正确理解圆的弦长概念是解题的关键． 3．已知的半径为6，点P在内，则线段长（    ） A．小于6 B．大于6 C．等于6 D．等于12 【答案】A 【分析】根据点与圆的位置关系解决问题即可．本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【详解】解：点在内， ， 故选：A． 4．已知在中，，则的外接圆直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆直径，勾股定理求得斜边的长即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴的外接圆直径为， 故选：C． 5．以下四个命题中属于假命题的是（    ） A．直径是弦 B．过三点一定可以作一个圆 C．半径相等的两个半圆是等弧 D．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 【答案】B 【分析】根据圆的概念，确定圆的条件，等弧的概念，轴对称图形和中心对称图形的概念判断． 【详解】A.直径是弦， 是真命题； B.过不在同一直线上的三点一定可以作一个圆， 是假命题； C. 半径相等的两个半圆是等弧， 是真命题； D.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形， 是真命题； 故选B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 6．如图，直角坐标系中，，，经过，，三点的圆，圆心为，若线段，则点与的位置关系为（　　） A．点在上 B．点在外 C．点在内 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，确定圆心的位置是解题的关键．连接，作和的垂直平分线，交点为，则圆心的坐标为，然后求出的半径，比较即可解答． 【详解】解：如图： 连接，作和的垂直平分线，交点为， 圆心的坐标为， ， ， 线段， 半径， 点在内， 故选：C． 7．在△ABC中，∠ACB为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作弧BAC，如图所示．若AB=4，AC=2，图中两个新月形面积分别为S1，S2，两个弓形面积分别为S3，S4，S1-S2=，则S3-S4的值是(    )   A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据AB和AC的长和圆的面积公式可求得S1+S3，S2+S4的值，然后再两值相减即可得出结论． 【详解】解：∵AB=4，AC=2， ∴S1+S3=2，S2+S4=， ∴（S1+S3）﹣（S2+S4）=（S1﹣S2）+（S3﹣S4）= ∵S1-S2=， ∴S3-S4= ﹣= ， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的面积，正确表示出S1+S3，S2+S4的值是解答的关键． 8．如图，在等腰中，，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键在找到圆心，依据的知识点是直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，即斜边的中点为圆心，用字母表示多条边，然后找它们的关系是中考经常考的类型，平时要多加练习此类题型． 先设的三边长为，其中为斜边，设的半径为，根据图形找出的关系，用含的式子表示和，即可求出比值． 【详解】解：如图，取的中点为的中点为，连接，    设， 则，① 取的中点为， ∵是直角三角形， ∴， ∵圆心在和的垂直平分线上， ∴为圆心， 由勾股定理得： ，② 由①②得， ∴， 故选：C． 9．平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径作，已知点，N是上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．以上都不正确 【答案】B 【分析】 本题考查轴对称——最短路径问题，圆的有关性质．解题的关键是掌握求圆外一点到圆上的点的最大值距离以及最小距离． 作点关于x轴对称的点，连接，则，连接，由圆外一点的性质可知，当点P，点N在线段上时，有最小值，为，求出即可解决问题． 【详解】作点关于x轴对称的点，连接， 则，， 连接， 由圆外一点的性质可知，当点P，点N在线段上时，有最小值，此时． ∵，， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：B 10．如图，在等边中，，点为的中点，动点分别在上，且，作的外接圆，交于点．当动点从点向点运动时，线段长度的变化情况为（    ） A．一直不变 B．一直变大 C．先变小再变大 D．先变大再变小 【答案】D 【分析】由等腰三角形的性质可求ON = 1，FO=OB= GO= OH = 2，则点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，由勾股定理可求GH， 即可求解． 【详解】如图，连接BO， EO， FO， GO， HO，过点O作ON⊥EF于N， OP⊥GH于P， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60° ∴∠EOF= 120， ∵OE= OF， ON⊥EF， ∠OEF=∠OFE= 30° EN= FN=， OF= 2ON， FN =ON， ON= 1，FO= 2， OB=GO=OH=2， ∴点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动， ∴ OG = OH， OP⊥GH， ∴GH = 2PH， ∵PH= ∵动点E从点D向点A运动时，OP的长是先变小再变大， ∴ GH的长度是先变大再变小， 故选： D． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，确定点O的运动轨迹是解题的关键． 二、填空题 11．已知的半径为，点在上，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了半径的定义，根据“圆上的点到圆心的距离等于半径”，即可解答． 【详解】解：∵的半径为，点在上， ∴， 故答案为：． 12．已知直角三角形的斜边长为，则该三角形的外接圆半径为 ． 【答案】 【分析】根据直角三角形的斜边为直角三角形的外接圆的直径求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的斜边长为， ∴直角三角形的外接圆半径为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，掌握直角三角形的斜边为直角三角形的外接圆的直径成为解答本题的关键． 13．已知外有一动点P，上有一动点Q，线段长的最小值为，最大值为，则的半径为 ． 【答案】 【分析】作图，根据圆外一点到圆上的距离，过圆心时与圆交于两点，此时有最大值和最小值，然后计算半径即可 【详解】解：如图所示：连接交于点A和点B，点Q为上一动点，连接    当Q与A重合时，此时最小，即， 当Q与B重合时，此时最大，即， ∴， ∴的半径， 故答案为： 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，能够判断圆外一点过圆心与圆交于两点，此时两点与P之间的距离为最大值和最小值是解题的关键． 14．下列说法中正确的有 （填序号）． （1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧． 【答案】（1）（3）（4） 【分析】根据弦、等圆、等弧的定义分别分析即可． 【详解】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确； （2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同； （3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确； （4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确； （5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦是直径． 故答案为：（1）（3）（4）． 【点睛】本题考查了圆的有关概念，熟练掌握弦、等圆、等弧的定义是解题的关键． 15．如图，在正方形中，以点C为圆心，为半径作，在上取一点E，使，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，圆的相关定义，根据题意易得，推出为等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形，则， ∴的度数为， 故答案为：． 16．如图，在矩形中，，点在的延长线上，点在直线上，连接，若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查动点最值-点圆模型，涉及矩形性质、圆周角定理推论、圆外一定点与圆周上一动点距离最值、勾股定理等知识，根据题意，先确定动点轨迹，再由动点最值-点圆模型的解法转化为求线段长，最后勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握动点最值问题-点圆模型的解法是解决问题的关键． 【详解】解：在矩形中，，， ，即， ， 点在以中点为圆心、长为半径的圆上运动，如图所示： 由动点最值点圆模型（圆外一定点与圆周上一动点距离最值问题）可知，的最大值为连接并延长交于的线段长， 在中，，则， ， 故答案为：． 三、解答题 17．如图，是的直径，，交于点，且，求弧的度数． 【答案】 【分析】连接，设，由，可得，然后利用等腰三角形的性质与三角形外角的性质，求得，继而求得答案． 【详解】解：连接， 设， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， 弧的度数为． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，设出的度数利用方程思想求解是解此题的关键． 18．圆圆在解答问题“在矩形中，以A为圆心作，使得B，C，D三点中至少有一点在内，有一点在外，求的半径r的取值范围？”时，答案为“”．圆圆的答案对吗？如果错误，请写出正确的解答过程． 【答案】不正确，正确过程见解析 【分析】连接并根据勾股定理计算出的长度，经分析，以A为圆心作，使得B，C，D三点中至少有一点在内，有一点在外，则点B必须在圆内，点C必须在圆外，根据点与圆的位置关系即可进行解答． 【详解】解：圆圆的结果不正确． 连接， ∵四边形为矩形， ∴， 根据勾股定理得：， ∵B，C，D三点中至少有一点在内，有一点在外， ∴点B在圆内，点C在圆外， ∴， ∴圆圆的结果不正确． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握点到圆心的距离小于半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于半径，则点在圆外． 19．如图，是一个圆拱形模型． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆拱形的圆心O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若弦的长为，圆拱形的最大高度为，则圆拱形所在圆的半径为_____． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查确定圆心的画法、线段垂直平分线的画法及其性质、勾股定理，正确确定圆心位置是解答的关键． （1）作线段的垂直平分线交圆拱形于点C，连接，作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O即为所求作； （2）连接，设圆的半径为，根据题意和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求作： （2）解：连接，设圆的半径为， 由题意，，，， 在中，由勾股定理得， 则，解得， 即圆拱形所在圆的半径为， 故答案为：5． 20．如图在5×5的网格中，的顶点都在格点上．    (1)在图1中画出的垂直平分线； (2)在图2中画出的外接圆． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外心等知识，理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点、，作直线即可； （2）线段、的垂直平分线的交点即为的外接圆的圆心，连接，作圆即可． 【详解】（1）如图，直线即为所求；    （2）如图，即为所求．    21．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交于点，交于点，连接．    (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考等腰三角形，勾股定理的综合，掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理，等面积法求高等知识是解题的关键． （1）如图所示，连接，可得是等腰三角形，根据直角三角形可求出的度数，根据等腰三角形的性质可求出的度数，由此即可求解； （2）如图所示，过点作与点，根据等面积法可求出的值，根据勾股定理，等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接，    ∵点在圆上， ∴，即是等腰三角形， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）解：如图所示，过点作与点，    ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵，是等腰三角形， ∴， 在中，， ∴，即． 22．如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，M为AB的中点． （1）以C为圆心，3为半径作⊙C，则点A、B、M与⊙C的位置关系如何? （2）若以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙A内且B点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围． 【答案】（1）A在圆上，M在圆内，B在圆外；（2）3＜r＜4 【分析】（1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较AC，CM，BC与AC的大小关系即可得出答案； （2）根据半径大于AC，且小于BC即可得到结果． 【详解】解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的中点为点M， ∴AB=，CM=AB=， ∵以点C为圆心，3为半径作⊙C， ∴AC=3，则A在圆上，CM=＜3，则M在圆内，BC=4＞3，则B在圆外； （2）以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙内且B点在⊙C外， 3＜r＜4， 故⊙C的半径r的取值范围为：3＜r＜4． 【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，d＞r，在圆外，d=r，在圆上，d＜r，在圆内判断是解题关键． 23．在88的方格中，已知的各顶点都在格点上 (1)如图， 请仅用一把无刻度的直尺按要求作图 （请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图， 不要求写作法）． 找出外接圆的圆心． (2)若， 试求的半径． 【答案】(1)外接圆的圆心见解析图； (2)． 【分析】（1）利用网格的特点作出线段与线段的垂直平分线交于点，则点即为外接圆的圆心； （2）连接，根据可知一个网格的长为1，再由勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）如图，点即为外接圆的圆心； （2）连接， ∵， ∴一个网格的长为1， ∴，即的半径为． 【点睛】本题考查的是作图——复杂作图及三角形的外接圆圆心，解题的关键是利用网格的特点作图． 24．如图，过抛物线上一点A作轴的平行线，交抛物线于另一点B，交轴于点C，已知点A的横坐标为． （1）求抛物线的对称轴和点B的坐标； （2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D； ①连接BD，求BD的最小值； ②当点D落在抛物线的对称轴上，且在轴上方时，求直线PD的函数表达式． 【答案】（1）对称轴为直线x=4；B（10，5）．（2）①．②． 【分析】（1）确定点A的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称性可得点B坐标； （2）①由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，推出当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD； ②当点D在对称轴上时，在Rt△OD=OC=5，OE=4，可得DE==3，求出P、D的坐标即可解决问题． 【详解】解：（1）把x=-2代入，得 ， ∴A（﹣2，5），对称轴为直线x=﹣=4， ∵A、B关于对称轴对称， ∴B（10，5）． （2）①如图1中， 由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上， ∴当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD=． ②如图2中， 图2 当点D在对称轴上时，在Rt△ODE中，OD=OC=5，OE=4， ∴DE==3， ∴点D的坐标为（4，3）． 设PC=PD=x，在Rt△PDK中，， ∴x=， ∴P（，5）， 设直线PD的解析式为y=kx+b，由题意得 ， ∴， ∴直线PD的解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会利用辅助圆解决最短问题，属于中考常考题型. 学科网（北京）股份有限公司 $$