第06讲 立方根（1个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第06讲 立方根（1个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 题型强化 题型一．立方根 1．（2024•海港区一模）的立方根是　　 A． B． C． D．2 2．（2024•宣州区校级三模）的立方根是 　　． 3．（2023秋•东营期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4． （1）求，的值； （2）求的平方根． 题型二、立方根概念理解 4．（23-24八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）计算： ； ． 5．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）下列说法正确的是（    ）． A．一个正数的立方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根 C．任何数的立方根都是非负数 D．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三、求一个数的立方根 7．（2024·山东济南·模拟预测）的立方根是（　 　） A．4 B． C．2 D．8 8．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算 ． 9．（23-24八年级上·四川眉山·期中）计算或解方程: (1)解方程： (2)计算： 题型四、立方根的实际应用 10．（22-23八年级上·陕西西安·期中）将一块体积为的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·全国·课后作业）正方体的体积为7，则正方体的棱长为 ． 12．（22-23八年级上·河南驻马店·阶段练习）（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 分层练习 一、单选题 1．8的立方根是（   ） A． B． C．2 D． 2．若一个数的立方根为，则这个数为（    ） A． B． C． D． 3．一个正方体的体积是，则它的棱长为（　　） A． B． C． D． 4．有下列说法：（1）带根号的数是无理数；（2）不带根号的数一定是有理数；（3）负数有立方根；（4）是17的平方根，其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．a+3的算术平方根是3，b－2的立方根是2，则为（   ） A． B． C．±6 D．6 6．在，π，，，0，，七个数中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．实数a、b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（　　　） A．﹣3b B．﹣2a﹣b C．a﹣2b D．﹣b 8．若则的立方根为（    ） A．4 B．2 C． D．8 9．关于立方根，下列说法正确的是（　　） A．正数有两个立方根 B．立方根等于它本身的数只有 C．负数的立方根是负数 D．负数没有立方根 10．在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，并令正方体铁块完全浸没在盛满水的圆柱体烧杯中．若用一量筒量得铁块排出的水的体积为，则该正方体铁块的棱长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．一个正方体木块的体积为，则它的棱长为 cm． 12．已知的立方根是，则 ． 13．已知的平方根是的立方根是，则 ． 14．如果，那么的立方根为 ． 15．在实数中无理数有 个． 16．根据如图中呈现的运算关系，可知的值为 ．    17．已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根是 18．某区环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，该贮水池将这些废水刚好装满，则正方体贮水池的棱长为 分米． 三、解答题 19．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 20．已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大，求第二个正方体纸盒的棱长． 21．求下列各式中的x． (1) (2)． 22．已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 23．若都是实数，，求的立方根． 24．已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 25．先阅读材料，再解答问题． ，， ． ，， ． ，， ． ， ， ， ． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ． (2)计算的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 立方根（1个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 题型强化 题型一．立方根 1．（2024•海港区一模）的立方根是　　 A． B． C． D．2 【分析】根据立方根的定义求解即可． 【解答】解：， 的立方根是． 故选：． 【点评】本题考查了立方根，掌握如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根是解题的关键． 2．（2024•宣州区校级三模）的立方根是 　　． 【分析】利用立方根的意义解答即可． 【解答】解：， 的立方根是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了立方根，熟练掌握立方根的意义是解题的关键． 3．（2023秋•东营期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4． （1）求，的值； （2）求的平方根． 【分析】（1）根据平方根、立方根的定义可求出、的值； （2）先求出的值，再求的平方根． 【解答】解：（1）的立方根是3，即， ， 解得， 又的算术平方根是4，即， ，而， ， 答：，； （2）当，时， ， 的平方根为． 【点评】本题考查平方根、算术平方根、立方根的定义，理解平方根、立方根的意义是正确计算的前提． 题型二、立方根概念理解 4．（23-24八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）计算： ； ． 【答案】 4 【分析】根据平方根和立方根的定义求出即可． 【详解】解： 故答案为：，4． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握定义并准确计算是解题的关键． 5．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）下列说法正确的是（    ）． A．一个正数的立方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根 C．任何数的立方根都是非负数 D．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根的概念，解决本题的关键是熟练掌握正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零．根据立方根的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、一个正数的立方根只有一个，选项错误，不符合题意； B、负数有立方根，选项错误，不符合题意； C、负数的立方根是负数，选项错误，不符合题意； D、正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0，正确，符合题意； 故选：D． 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)， (4)， 【分析】本题考查了利用立方根、平方根解方程，熟练掌握立方根和平方根的定义是解此题的关键． （1）利用立方根解方程即可； （2）利用平方根解方程即可； （3）利用平方根解方程即可； （4）利用平方根解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，（不符合题意，舍去）； ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴，． 题型三、求一个数的立方根 7．（2024·山东济南·模拟预测）的立方根是（　 　） A．4 B． C．2 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根的概念和算术平方根的概念，根据立方根的概念和算术平方根的概念即可求解，正确理解立方根的概念和算术平方根的概念是解题的关键． 【详解】解：由， ∴的立方根是，即的立方根是， 故选：． 8．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算 ． 【答案】3 【分析】本题考查了立方根、零指数幂．熟练掌握立方根和零指数幂是解题的关键． 先分别计算立方根、零指数幂，然后进行加法运算即可． 【详解】解：． 故答案为：3． 9．（23-24八年级上·四川眉山·期中）计算或解方程: (1)解方程： (2)计算： 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先将原方程转化成的形式，再根据平方根的定义解方程即可； （2）先计算算术平方根，立方根和绝对值，再进行加减计算即可． 本题主要考查了根据平方根的定义解方程和实数的运算．熟练掌握平方根的定义和实数的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或； （2）解： ． 题型四、立方根的实际应用 10．（22-23八年级上·陕西西安·期中）将一块体积为的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据立方根的定义求出大正方体的棱长，取其一半即可； 【详解】解：（） （） 故选：A． 【点睛】本题考查了立方根的定义；熟练掌握立方根的计算法则是解题的关键． 11．（24-25八年级上·全国·课后作业）正方体的体积为7，则正方体的棱长为 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．根据正方体体积公式及立方根定义解答． 【详解】解：设这个正方体的棱长为，根据题意得， ， ， 故答案为：． 12．（22-23八年级上·河南驻马店·阶段练习）（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）或；（2） 【分析】本题主要考查了平方根与立方根，熟练掌握平方根与立方根的定义进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意可化为，根据平方根的定义可得，计算即可得出答案； （2）根据题意可化为，根据立方根的定义可得，计算即可得出答案． 【详解】解：（1）， ， ， ， 或， 或； （2）， ， ， ， ． 分层练习 一、单选题 1．8的立方根是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查立方根定义及计算，根据立方根定义即可得到答案，熟记立方根定义及计算是解决问题的关键． 【详解】解：8的立方根是， 故选：C． 2．若一个数的立方根为，则这个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了已知一个数的立方根，求这个数．熟练掌握立方根的运算是解题的关键． 由，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：C． 3．一个正方体的体积是，则它的棱长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体体积的计算方法，利用立方根进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴若一个正方体的体积是，则它的棱长是， 故选B． 【点睛】本题考查了立方根，理解立方根的意义是正确解答的关键． 4．有下列说法：（1）带根号的数是无理数；（2）不带根号的数一定是有理数；（3）负数有立方根；（4）是17的平方根，其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】题主要考查有理数、无理数、立方根及平方根，熟练掌握有理数、无理数、立方根及平方根的概念是解题的关键． 【详解】解：（1）带根号的数不一定是无理数，例如是有理数，说法错误； （2）不带根号的数不一定是有理数，例如是无理数，说法错误； （3）负数有立方根，说法正确； （4）是17的平方根，说法正确； 故选：C． 5．a+3的算术平方根是3，b－2的立方根是2，则为（   ） A． B． C．±6 D．6 【答案】D 【分析】利用算术平方根是立方根的定义即可求出a、b，再代入，计算即可. 【详解】∵a+3的算术平方根是3 ∴，解得： ∵b－2的立方根是2 ∴，解得： ∴ 故选D 【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，难度较低，熟练掌握各个知识点是解题关键. 6．在，π，，，0，，七个数中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了无理数，根据所给七个数依次判断是否为无理数，即可得；掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：，， 在，π，，，0，，七个数中，无理数有π，，则无理数的个数为2个， 故选；A． 7．实数a、b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（　　　） A．﹣3b B．﹣2a﹣b C．a﹣2b D．﹣b 【答案】D 【分析】由图可知，，且，结合立方根、算术平方根、绝对值的性质化简解题即可． 【详解】解：，且 ， 原式 故选：D． 【点睛】本题考查利用数轴判断式子的正负，涉及绝对值、算术平方根、立方根等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 8．若则的立方根为（    ） A．4 B．2 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质、求立方根，根据非负数的性质求出，，再求出的值，最后根据立方根的定义计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的立方根为， 故选：C． 9．关于立方根，下列说法正确的是（　　） A．正数有两个立方根 B．立方根等于它本身的数只有 C．负数的立方根是负数 D．负数没有立方根 【答案】C 【分析】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 各项利用立方根定义判断即可． 【详解】解：A、正数有一个立方根，错误； B、立方根等于本身的数有，，，错误； C、负数的立方根是负数，正确； D、负数有立方根，错误， 故选：C． 10．在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，并令正方体铁块完全浸没在盛满水的圆柱体烧杯中．若用一量筒量得铁块排出的水的体积为，则该正方体铁块的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根，掌握立方根的定义是正确计算的前提．根据正方体体积为进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，正方体的体积为， 因此棱长为， 故选：A． 二、填空题 11．一个正方体木块的体积为，则它的棱长为 cm． 【答案】5 【分析】根据正方体的体积等于棱长的立方，即求的立方根即可． 【详解】解：正方体的体积为 它的棱长为cm 故答案为： 【点睛】本题考查了立方根的应用，理解正方体的体积公式以及求一个数的立方根是解题的关键． 12．已知的立方根是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得，，解方程即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 13．已知的平方根是的立方根是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方根定义、立方根定义定义等知识，根据题意，求出值代入即可，熟记平方根及立方根定义是解决问题的关键． 【详解】解：的平方根是的立方根是， ，，解得，， ， 故答案为：． 14．如果，那么的立方根为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的非负性，解题的关键是利用非负性求出x、y的值． 根据二次根式的非负性，求出x、y的值，然后进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：2． 15．在实数中无理数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了无理数，先化简实数，再根据无限不循环小数是无理数即可判断求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴在实数中无理数有，，共有个， 故答案为：． 16．根据如图中呈现的运算关系，可知的值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，由图可知，左右数字变化为开立方运算，通过开立方为，而与为相反数且一个数的立方根只有一个进行分析判断，正确理解题意是解题的关键． 【详解】∵开立方为，与为相反数且一个数的立方根只有一个， ∴的立方根为， ∴， 故答案为：． 17．已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根是 【答案】 【分析】本题考查了平方根以及立方根，根据平方根以及立方根的定义得出的值是关键． 根据的平方根是，可得，根据的立方根是，得出，求出的值即可得出答案． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的算术平方根是； 故答案为：． 18．某区环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，该贮水池将这些废水刚好装满，则正方体贮水池的棱长为 分米． 【答案】 【分析】根据题意列出算式进行计算，最后将结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：正方体贮水池的棱长为： （分米）． 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，求一个数的立方根，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 三、解答题 19．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解方程，灵活运用平方根和立方根解方程是关键． （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， 方程可化为， 开平方，得：； （2）解：， 方程可化为， ， ． 20．已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大，求第二个正方体纸盒的棱长． 【答案】 【分析】本题主要考查的是立方根的定义，解题关键是根据立方根的定义求出正方体的棱长． 【详解】解：第一个正方体纸盒的体积为， ∴第二个正方体纸盒的体积为， ∴第二个正方体纸盒的棱长为． 21．求下列各式中的x． (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解： ， ∴； （2） ， ∴． 22．已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根． （1）根据立方根及算术平方根的定义即可求得，的值； （2）将，的值代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， 解得， ∵的算术平方根是3， ∴． 解得． ∴，； （2）解：∵，， ∴． ∴的平方根为． 23．若都是实数，，求的立方根． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，非负数的性质，先根据被开方数要大于等于0得到，进而求出，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解；∵式子要有意义， ∴ 解得：， ∴， ∴， ∴的立方根是3． 24．已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的性质是解题的关键．根据是的算术平方根，得到，求出a的值，根据是的立方根，得到，求出b的值，从而求出A，B，进而求出的值，即可求出结果． 【详解】解：是的算术平方根， ， ， 是的立方根， ， 又， ， ，， ， ． 25．先阅读材料，再解答问题． ，， ． ，， ． ，， ． ， ， ， ． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ． (2)计算的值． 【答案】(1)；；； ，相反数 (2) 【分析】（1）观察各式，填写即可；猜测得到互为相反数的两个数的立方根互为相反数； （2）利用得出的结论化简，计算即可得到结果． 此题考查了立方根，相反数，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 【详解】（1）解：，， ； ∴互为相反数的两个数的立方根互为相反数； 故答案为：；；； ，相反数 （2）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$