专题1.1 有理数（全章知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.1 有理数（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】有理数 （1）整数和分数统称有理数. （2）有理数的分类： ① ② 【知识点二】数轴0 -1 -2 -3 1 2 3 越来越大 数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 【知识点三】相反数 （1）只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；互为相反数，0的相反数0; （2）注意： a-b+c的相反数是-a+b-c；a+b的相反数是-a-b； 【知识点四】绝对值 (1) 数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，用“| |”表示。 (2) 绝对值可表示为： 或 ； (3) ①非负性：|a|≥0 ②|a|=|-a| ③若|a|=b则a=±b ④； . 【知识点五】有理数的大小比较 比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下： ①先求出两个数负数的绝对值； ②比较两个绝对值的大小； ③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】正负数的意义与相反意义的量 【例1】已知有A，B，C三个数的“家族”： A：{－1,3.1，－4,6,2.1}，B：，C：｛2.1，－4.2,8,6}． （1）请把每个“家族”中所含的数填入图中的相应部分． （2）把A，B，C三个数的“家族”中的负数写在横线上：__________. （3）有没有同时属于A，B，C三个数的“家族”的数？若有，请指出． 【变式1】（23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习）在15，，0，，，2，，这几个数中，非负数的个数是（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式2】（23-24七年级上·河北沧州·阶段练习）某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示 ． 【题型2】有理数的分类 【例2】（22-23七年级上·四川成都·阶段练习）把下列各数的序号填入相应的大括号内： ，，，，，，，，， 正有理数集合：{_______________…}； 非负数集合：{_______________…}； 非正整数集合：{_______________…}； 分数集合：{_______________…}． 【变式1】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）下面关于有理数的说法正确的是（    ） A．正整数和负整数合在一起称为整数 B．正数和负数统称为有理数 C．正数、负数和零统称为有理数 D．整数和分数统称为有理数 【变式2】（23-24六年级下·山东菏泽·期中）在，9，，，0，，中，正数有 ，负数有 ， 既不是正数也不是负数． 【题型3】数轴 【例3】（23-24七年级上·吉林·阶段练习）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有三点，其中，，设点所对应的数的和是． (1)若为原点．则点对应的数是__________；点对应的数是__________，__________． (2)若原点在图中数轴上点的右边，且．求． 【变式1】（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上A、B两点在原点两侧，且，若，那么点A表示的数是 ． 【题型4】相反数 【例4】 用尺子画出数轴并回答： （1）把下列各数表示在数轴上：； （2）上述数中互为相反数的一组数是 ，它们之间有 个单位长度，它们关于 对称． 【变式1】（23-24七年级上·广东深圳·期中）下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则；④若，则a、b互为相反数．其中正确的结论是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【变式2】（2024七年级上·广西·专题练习） ， 【题型5】绝对值 【例5】（2024七年级上·全国·专题练习）阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段；线段；线段 问题： (1)数轴上点代表的数分别为和1，则线段___________； (2)数轴上点代表的数分别为和，则线段___________； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，则另一个点表示的数为，求． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）若，那么的取值不可能是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】（22-23七年级上·四川成都·阶段练习）已知，，且，则的值为 ． 【题型6】有理数的大小比较 【例6】（2024七年级上·江苏·专题练习）在数轴上表示下列各数的相反数，并比较原数的大小． 3，，，，0， 【变式1】（2024七年级·全国·竞赛）把四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）比较大小：（1）0 ；（2） ；（3） ． 【题型7】数轴上的动点问题 【例7】（23-24八年级上·河北张家口·期中）点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离． 已知数轴上两点对应的数分别为、3，点为数轴上一动点，其对应的数为．    (1)两点之间的距离是 ； (2)设点在数轴上表示的数为，则与之间的距离表示为 ； (3)若点到点、点的距离相等，则点对应的数为 ； (4)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为8？若存在，请直接写出的值；若不存在，说明理由． 【变式1】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为（　　） A． B．和 C．和 D．和 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、4，点P为数轴上一动点，若P到A、B的距离的比为时，则点P表示的数是 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·黑龙江大庆·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．2024和 C．和2024 D．和 【例2】（2024·江苏连云港·中考真题）如果公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作 年． 2、拓展延伸 【例1】（22-23七年级上·河南新乡·阶段练习）已知． (1)求的值． (2)求的值． 【例2】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）已知有理数在数轴上对应的点分别为，且满足，． (1)分别求的值； (2)若点在数轴上对应的数为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为（提示：点在点的右侧时，．，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 有理数（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】有理数 （1）整数和分数统称有理数. （2）有理数的分类： ① ② 【知识点二】数轴0 -1 -2 -3 1 2 3 越来越大 数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 【知识点三】相反数 （1）只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；互为相反数，0的相反数0; （2）注意： a-b+c的相反数是-a+b-c；a+b的相反数是-a-b； 【知识点四】绝对值 (1) 数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，用“| |”表示。 (2) 绝对值可表示为： 或 ； (3) ①非负性：|a|≥0 ②|a|=|-a| ③若|a|=b则a=±b ④； . 【知识点五】有理数的大小比较 比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下： ①先求出两个数负数的绝对值； ②比较两个绝对值的大小； ③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】正负数的意义与相反意义的量 【例1】已知有A，B，C三个数的“家族”： A：{－1,3.1，－4,6,2.1}，B：，C：｛2.1，－4.2,8,6}． （1）请把每个“家族”中所含的数填入图中的相应部分． （2）把A，B，C三个数的“家族”中的负数写在横线上：__________. （3）有没有同时属于A，B，C三个数的“家族”的数？若有，请指出． 【答案】(1)见解析;(2) －1，－4，－4.2，;(3)见解析. 【分析】（1）根据数集的包含关系进行分类（2）选出负数；（3）根据观察易得. 解：(1)如图所示． (2)－1，－4，－4.2， (3)有，是2.1. 故答案为(2)－1，－4，－4;2，;(3)有，是2.1. 【点拨】本题考核知识点：有理数分类. 解题关键点：分析各有理数的关系. 【变式1】（23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习）在15，，0，，，2，，这几个数中，非负数的个数是（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查非负数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．非负数即0和正数，据此进行判断即可． 解：15，0，，2，是非负数，共5个， 故选：B． 【变式2】（23-24七年级上·河北沧州·阶段练习）某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示 ． 【答案】水面低于标准水位高度为 【分析】根据正数和负数表示相反意义的量即可解答． 解：某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示水面低于标准水位高度为． 故答案为：水面低于标准水位高度为． 【点拨】本题主要考查了正数和负数，理解相反意义的量用正数和负数表示是解答本题的关键． 【题型2】有理数的分类 【例2】（22-23七年级上·四川成都·阶段练习）把下列各数的序号填入相应的大括号内： ，，，，，，，，， 正有理数集合：{_______________…}； 非负数集合：{_______________…}； 非正整数集合：{_______________…}； 分数集合：{_______________…}． 【答案】；；； 【分析】本题考查了正有理数、非负数、非正整数、分数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正有理数、非负数、非正整数、分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 解：由，，，， 正有理数集合：{…}； 非负数集合：{…}； 非正整数集合：{…}； 分数集合：{…} 故答案为：；；；． 【变式1】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）下面关于有理数的说法正确的是（    ） A．正整数和负整数合在一起称为整数 B．正数和负数统称为有理数 C．正数、负数和零统称为有理数 D．整数和分数统称为有理数 【答案】D 【分析】根据有理数的概念和分类（整数和分数统称为有理数）、整数的定义（正整数、负整数和0统称为整数）逐项判断即可得． 解：A、正整数、负整数和0统称为整数，则此项错误，不符合题意； B、正有理数、负有理数和0统称为有理数，则此项错误，不符合题意； C、正有理数、负有理数和0统称为有理数，则此项错误，不符合题意； D、整数和分数统称为有理数，则此项正确，符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查了有理数和整数，熟记概念是解题关键． 【变式2】（23-24六年级下·山东菏泽·期中）在，9，，，0，，中，正数有 ，负数有 ， 既不是正数也不是负数． 【答案】 、9、 、、 0 【分析】本题主要考查了有理数的知识，熟练掌握相关概念是解题关键．比0大的数叫正数，正数前面常有一个符号“”，通常可以省略不写；比0小的数叫做负数，负数用负号“”和一个正数标记．利用正数、负数和0的意义可得出答案． 解：在，9，，，0，，中， 正数有、9、，负数有、、，0既不是正数也不是负数． 故答案为：、9、；、、；0． 【题型3】数轴 【例3】（23-24七年级上·吉林·阶段练习）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有三点，其中，，设点所对应的数的和是． (1)若为原点．则点对应的数是__________；点对应的数是__________，__________． (2)若原点在图中数轴上点的右边，且．求． 【答案】(1)，1， (2) 【分析】本题主要考查了数轴的知识，根据题意确定点所对应的数是解题关键． （1）根据题意，确定点所对应的数，即可获得答案； （2）根据题意，确定点所对应的数，即可获得答案． 解：（1）解：根据题意，，， 若为原点，即点对应的数为0， 则点对应的数为，点对应的数为1， ∴． 故答案为：，1，； （2）解：根据题意，原点在图中数轴上点的右边，且， 则点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∴． 【变式1】（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴，由数轴判断出有理数的符号和绝对值的大小是解题的关键． 观察数轴可知，，且，利用加法法则依次对选项进行判断即可得出结果． 解：由在数轴上的位置可知，，且， A、， ，故选项不符合题意； B、，且， ，故选项不符合题意； C、，且， ，故选项不符合题意； D、， ， ，故选项不符合题意； 故选：D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上A、B两点在原点两侧，且，若，那么点A表示的数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了数轴，掌握数轴的概念，正确计算是解题的关键． 首先可得，再由点A在原点的左边，可得结果． 解：， ， 点A表示的数为． 故答案为：． 【题型4】相反数 【例4】 用尺子画出数轴并回答： （1）把下列各数表示在数轴上：； （2）上述数中互为相反数的一组数是 ，它们之间有 个单位长度，它们关于 对称． 【答案】（1）见解析；（2）与2.5；5；原点 【分析】（1）先画出数轴，注意数轴的三要素，再根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数即可； （2）根据相反数的定义，绝对值相同，符号不同的两个数互为相反数；互为相反数的两个数到原点的距离相等，再利用数轴上两点之间的距离，求出两数之间的距离即可． 解：（1）如图所示， （2）结合数轴，根据相反数的定义可知，数与数2.5互为相反数；两点之间的距离为5；它们关于原点对称， 故答案为：与2.5；5；原点． 【点拨】本题考查了在数轴上表示数的方法，数轴的特征，相反数的定义等知识，此为基础知识，要熟练掌握． 【变式1】（23-24七年级上·广东深圳·期中）下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则；④若，则a、b互为相反数．其中正确的结论是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据0的相反数是0；互为相反数的两个数的和为0，对各说法进行判断作答即可． 解：若a、b互为相反数，则，正确，故①符合要求； 若，则a、b互为相反数，正确，故②符合要求； 若a、b互为相反数，当时，，错误，故③不符合要求； 若，则，即，a、b互为相反数，正确，故④符合要求； 故选：C． 【点拨】本题考查了相反数的应用．熟练掌握0的相反数是0；互为相反数的两个数的和为0，是解题的关键． 【变式2】（2024七年级上·广西·专题练习） ， 【答案】 2 【分析】本题考查了相反数，相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．掌握相反数的定义是解答本题的关键． 根据多重符号化简，即可解答． 解：；；． 故答案为：；；2． 【题型5】绝对值 【例5】（2024七年级上·全国·专题练习）阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段；线段；线段 问题： (1)数轴上点代表的数分别为和1，则线段___________； (2)数轴上点代表的数分别为和，则线段___________； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，则另一个点表示的数为，求． 【答案】(1)10 (2)3 (3)7或 【分析】本题考查数轴上两点之间线段长度的求法，数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，熟记运算公式是解决问题的关键． （1）根据点代表的数分别为和1，可得线段； （2）根据点代表的数分别为和，可得线段； （3）根据一个点表示的数为2，另一个点表示的数为，即可得到． 解：（1）∵点代表的数分别为和1， ∴线段， 故答案为：10； （2）∵点代表的数分别为和， ∴线段； 故答案为：3； （3）解：由题可得，则或，解得或， ∴值为7或． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）若，那么的取值不可能是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，由，可得：①，，②，，③，，④，；分别计算即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 解：∵， ∴有四种情况：①，，②，，③，，④，； ①当，时，； ②当，时，； ③当，时，； ④当，时，； 综上所述，的值为：或0． 故选：C． 【变式2】（22-23七年级上·四川成都·阶段练习）已知，，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值的意义和求代数式的值，首先依据绝对值的定义求得、，然后结合条件，进行分类计算即可，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算及分类讨论思想． 解：∵，， ∴，， ∵， ∴，，则； ，，则； 故答案为：或． 【题型6】有理数的大小比较 【例6】（2024七年级上·江苏·专题练习）在数轴上表示下列各数的相反数，并比较原数的大小． 3，，，，0， 【答案】数轴见解析， 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，相反数的定义，根据数轴比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点．先根据相反数的定义，求出各个数的相反数，然后将各个数表示在数轴上，再比较大小即可． 解：3的相反数是， 的相反数是， 的相反数是， 的相反数是， 0的相反数是0， 的相反数是4， 在数轴上表示如下： 比较原数的大小为：． 【变式1】（2024七年级·全国·竞赛）把四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数大小比较，先比较各数绝对值的大小，再比较各数即可． 解：， 又， ∵， ∴， ∴， ． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）比较大小：（1）0 ；（2） ；（3） ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，“有理数的大小比较，正数大于0,0大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，据此逐题比较即可求解． 解：（1）； （2）因为， 所以， 所以； （3）因为， 所以， 所以． 故答案为：；； 【题型7】数轴上的动点问题 【例7】（23-24八年级上·河北张家口·期中）点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离． 已知数轴上两点对应的数分别为、3，点为数轴上一动点，其对应的数为．    (1)两点之间的距离是 ； (2)设点在数轴上表示的数为，则与之间的距离表示为 ； (3)若点到点、点的距离相等，则点对应的数为 ； (4)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为8？若存在，请直接写出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)4 (2) (3)1 (4)或5 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想在解题中的运用． （1）在数轴上两点之间的距离为，依此即可求解； （2）在数轴上两点之间的距离为，依此即可求解； （3）根据中点坐标公式即可求解； （4）分两种情况：点在点的左边，点在点的右边，进行讨论即可求解． 解：（1）两点之间的距离是， 故答案为：4； （2）x与之间的距离表示为， 故答案为：； （3）． 故点P对应的数是1， 故答案为：1； （4）点P在点A的左边， x的值是； 点P在点B的右边， x的值是． 故x的值是或5． 【变式1】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为（　　） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点与点之间的距离及数轴的应用，明确如何借助用数轴上的点表示距离，是解题的关键．当P在点A、B之间时的距离、当点P到点A和点B的距离之和为7的点P的位置，借助含绝对值的式子分析求解即可． 解：由题意得：当P到点A、B的距离之和为7时，有 ∵当点P位于点A、B之间时，， ∴将x从向左移动1.5个单位或从3向右移动1.5个单位，则有 此时，或 \故选：C． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、4，点P为数轴上一动点，若P到A、B的距离的比为时，则点P表示的数是 ． 【答案】或0 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，解绝对值方程，设点P表示的数是x，根据题意列绝对值方程求解即可． 解：设点P表示的数是x， 则，， ∵P到A、B的距离的比为， ∴， ∴或， 解得：或0， ∴点P表示的数是或0， 故答案为：或0． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·黑龙江大庆·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．2024和 C．和2024 D．和 【答案】A 【分析】本题考查相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，结合绝对值的意义逐项判断即可． 解：A、和互为相反数，故A选项符合题意； B、2024和互为倒数，故B选项不符合题意； C、和2024不互为相反数，故C选项不符合题意； D、和不互为相反数，故D选项不符合题意； 故选：A． 【例2】（2024·江苏连云港·中考真题）如果公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作 年． 【答案】 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，公元前为负，则公元后为正，进行作答即可． 解：公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作年； 故答案为：． 2、拓展延伸 【例1】（22-23七年级上·河南新乡·阶段练习）已知． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零． （1）根据非负数的性质可求出、的值，再将它们代入中求解即可． （2）根据非负数的性质可求出、的值，再将它们代入中求解即可． 解：（1）由题意得，，， 解得，，， 则， （2）由题意得，，， 解得，，， 则． 【例2】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）已知有理数在数轴上对应的点分别为，且满足，． (1)分别求的值； (2)若点在数轴上对应的数为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为（提示：点在点的右侧时，．，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值分别为1，， (2)的值为7或 (3)存在， 【分析】（1）由非负数的概念即可求解； （2）在数轴上应用两点的距离公式，即可求解； （3）表示出，的长度，即可求解． 本题考查有关数轴的问题，关键是掌握在数轴上两点距离的表示方法． 解：（1）∵满足， ∴且． 解得，． ∴． ∴的值分别为1，，． （2）由（1）得， ， ∴点表示的数为7或， ∴的值为7或； （3）假设存在常数，使得不随运动时间的改变而改变． 则依题意得：表示的数为，点表示的数为， ， ， ∴当时，不随运动时间的改变而改变，此时． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$