精品解析：重庆市巴蜀中学校2023-2024学年八年级数学下学期入学测试题

数学 一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案对应的方框涂黑． 1. 下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　 ） A B. C. D. 3. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 的三条边长分别为a、b、c，三个内角分别为、、，则满足下列条件的是直角三角形的是（ ）． A. B. ，， C. ，， D. ，， 5. 估计的值应在（　　） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 6. 下列命题中，正确的命题的是（ ） A. 有两边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 四个角相等的菱形是正方形 D. 两条对角线相等的四边形是矩形 7. 如图，在中，，点为的中点，连接，在上取一点，使得，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（　　） A 4 B. 3 C. 2 D. 9. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，点E、点F分别是的中点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 4 D. 6 11. 如图，在正方形中，O为对角线中点，E为正方形内一点，连接，，，延长与的平分线交于点F，连接，若，则正方形的边长为（ ） A. B. 3 C. D. 12. 定义：对于确定顺序的三个数a，b，c，计算，将这三个计算结果的最大值称为a，b，c的“极数”，例如：1，，1，因为，，所以1，，1的“极数”为，则下列说法中，正确的个数为（ ） ①3，1，的“极数”是36； ②若x，y，0的“极数”为0，则x和y中至少有1个数是负数； ③存在2个数m，使得m，，2的极数为； ④调整，，1这三个数的位置，一共能得到5种不同的极数． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 13. 白细胞是我们体内的重要免疫细胞，负责保护我们免受病原体的侵害．据研究，白细胞直径约为0.000012米，0.000012用科学记数法表示为______． 14. 在正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大，则点在第______象限． 15. 已知，则的值为______ 16. 在菱形中，，点是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值为_______． 17. 如图，点A在线段上，四边形和四边形都是正方形，面积分别是10和18，则面积为_________． 18. 关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式的解集为，则所有满足条件的整数a的和为______． 19. 如图，四边形是平行四边形，为的中点，连接，将沿着所在的直线折叠，点刚好落在上的处，若，则的长为______． 20. 若一个四位数的千位与百位数字和的两倍等于其十位与个位数字的和，则称这个四位数为“伙伴数”．将“伙伴数”的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调后得到新数，且，则_________．若四位数（，，，，为整数）为“伙伴数”，且能被8整除．令，则在所有满足条件的“伙伴数”中，当的值最小时，“伙伴数”的值为_________． 三、解答题（本大题共7个小题，22题8分，27题12分，其余每小题10分，共70分） 21. 计算题 （1） （2） 22. 先化简，再求值： ，请在1、2、3中选择一个喜欢的数值作为x的值． 23. 如图，已知直线y＝kx+6经过点A（4，2），直线与x轴，y轴分别交于B、C两点． （1）求点B的坐标； （2）求△OAC的面积． 24. 某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又购进第二批该款式衬衫，已知进价每件比第一批降低了10元，若第二次购货款为2100元，则进货量是第一次的一半． （1）这两次各购进这种衬衫多少件？ （2）若第一批衬衫的售价是200元件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，且不高于2250元，第二批衬衫的售价有哪几种方案？（售价是10的倍数） 25. 小明从家A步行前往公园E，已知点E在点A的正东方向，但是由于道路施工，小明先沿正北方向走了400米到达B处，再从B处沿北偏东方向行走400米到达C处，从C处沿正东方向走了300米到达D处，在D处休息了6分钟，最终沿方向到达E处，已知点E在点D的南偏东方向．小明从家出发的同时，爷爷从家选择另一路线步行前往E处，已知点F在点A的南偏东方向，且点F在点E的正南方向． （1）求的长度； （2）若小明步行速度为80米/分，爷爷步行速度为70米/分，小明和爷爷始终保持匀速行驶，请计算说明小明和爷爷谁先到达公园？（参考数据：；） 26. 在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于，，作线段的垂直平分线交x轴于点A，交y轴于点B，交于E． （1）如图1，求A点坐标； （2）如图2，过点M作y轴的平行线l，连接并延长交直线l于点F，P、Q分别是直线和直线上的动点，求出的最小周长； （3）如图3，点G是y轴的一个动点，H是平面内任意一点，以N、E、G、H为顶点的四边形是菱形时，直接写出点H的坐标． 27. 在等边中，，，垂足为D，点E为边上一点，点F为直线上一点，连接． （1）如图1，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接．当点E与点B重合，且的延长线过点C时，连接，求线段的长； （2）如图2，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接．点E不与点A，B重合，的延长线交边于点H，连接，求证：； （3）如图3，当点E为中点时，点M为中点，点N在边上，且，点F从中点Q沿射线运动，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，当最小时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案对应的方框涂黑． 1. 下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的判别是解题的关键．根据轴对称图形的判定依次判定即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 不轴对称图形， 故选A． 2. 下列运算正确的是（　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式的加减，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方计算即可． 【详解】A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的加减，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法、积的乘方运算法则． 3. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得到且，求出结果即可． 详解】解：函数， 且， 且， 故选：C． 4. 的三条边长分别为a、b、c，三个内角分别为、、，则满足下列条件的是直角三角形的是（ ）． A. B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵，， ∴ ∴不是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴三边长为，，，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴三边长为，，，可以组成直角三角形，故此选项符合题意； D、∵， ∴三边长为，，，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 估计的值应在（　　） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次根式乘法运算法则化简，进而估算无理数的大小即可． 此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行二次根式的运算是解题关键． 【详解】解： , , 的值应在3和4之间． 故选：B． 6. 下列命题中，正确的命题的是（ ） A. 有两边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 四个角相等的菱形是正方形 D. 两条对角线相等的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、有两邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题错误； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误； C、四个角相等的菱形是正方形，故原命题正确； D、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊的平行四边形的判定方法，难度不大． 7. 如图，在中，，点为的中点，连接，在上取一点，使得，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，根据等腰三角形的性质求出，，再根据勾股定理求出的长度，设，最后在中，根据勾股定理建立有关x的方程即可得到答案． 【详解】解：，点为的中点，， ， ， ， 设，则， ， ， 在中，， ， 解得：． 故选：A． 8. 如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=CD，∠B=∠D=60°， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴BC•AE=CD•AF，∠BAE=∠DAF=30°， ∴AE=AF， ∵∠B=60°， ∴∠BAD=120°， ∴∠EAF=120°-30°-30°=60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴AE=EF，∠AEF=60°， ∵AB=4， ∴AE=2， ∴EF=AE=2， 过A作AM⊥EF， ∴AM=AE•sin60°=3， ∴△AEF的面积是：EF•AM=×2×3=3， 故选B. 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定及三角函数的运用．关键是掌握菱形的性质，证明△AEF是等边三角形． 9. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，点E、点F分别是的中点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据平行四边形的性质推出，再根据等腰三角形的性质求出，即可求出答案． 【详解】解：平行四边形， ， ， ， 点E是的中点， ， ， ， ， 点F是的中点，， ， ， ． 故选D． 10. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】连接OB，先证△AOE≌△COF，得到OE=OF，OA=OC，得到OA=OB=OC ，求得∠ABO＝∠BAC=∠FBO＝∠FBC=30°，根据直角三角形的性质，得到BF=BE=4，从而得到AB=BE+AE=6． 【详解】∵四边形ABCD是矩形，AE=CF，BE=BF， ∴AE∥CF，∠ABC＝∠BCF＝90°， ∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO， ∴△AOE≌△COF， ∴OE=OF，OA=OC， ∴OA=OB=OC ，BO⊥EF， ∴∠ABO＝∠BAC=∠FBO，设∠ABO=x°， ∵∠BEF＝2∠BAC， ∴∠BEF＝2x， ∴2x+x=90°， 解得x=30°， ∴∠ABF=60°， ∴∠FBC=30°， ∵CF=2， ∴BF=BE=4， ∴AB=BE+AE=6， 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的三线合一，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握矩形的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 11. 如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，，延长与的平分线交于点F，连接，若，则正方形的边长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．连接，证明，得到，利用直角三角形斜边上的中线的特点求出，根据正方形的性质即可求解． 【详解】解：连接， 在正方形中，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点，， ， 正方形的对角线为， ， 故正方形的边长为． 故选：C． 12. 定义：对于确定顺序的三个数a，b，c，计算，将这三个计算结果的最大值称为a，b，c的“极数”，例如：1，，1，因为，，所以1，，1的“极数”为，则下列说法中，正确的个数为（ ） ①3，1，的“极数”是36； ②若x，y，0的“极数”为0，则x和y中至少有1个数是负数； ③存在2个数m，使得m，，2的极数为； ④调整，，1这三个数的位置，一共能得到5种不同的极数． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义计算，，结合，可判断①正确；根据定义计算， 结合x，y，0的“极数”为0，必须是负数，则或，故x和y中至少有1个数是负数，判定②正确；根据m，，2，计算得，，结合极数为，则或，解得或（舍去），故判定③错误；分，，1，，1，；，，1，，1，；1，，，1，，， 计算判断即可． 本题考查了新定义运算，分类思想，不等式的意义，熟练掌握新定义是解题的关键． 【详解】解：根据定义计算，，结合， 故①正确； 根据定义计算， 结合x，y，0的“极数”为0，必须是负数， 则或， 故x和y中至少有1个数是负数， 故②正确； 根据m，，2，计算得，，结合极数为， 则或， 解得或（舍去）， 故③错误； 当，，1时，，极数为6； 当，1，时；，极数为2； 当，，1时，，极数为4； 当，1，时；，极数为； 当1，，时，，极数为4； 当1，，时， ，极数为6； 有4种不同的结果， 故④错误． 故选B． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 13. 白细胞是我们体内的重要免疫细胞，负责保护我们免受病原体的侵害．据研究，白细胞直径约为0.000012米，0.000012用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 14. 在正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大，则点在第______象限． 【答案】二 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质得出，再判定点所在的象限即可． 【详解】解：∵正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大， ∴， ∴点在第二象限． 故答案为：二． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 15. 已知，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据所给式子的特征，得到，结合，求出，继而得到，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，分式有意义的条件，解题的关键是根据互为相反数的两个数作为被开方数求出x值． 16. 在菱形中，，点是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴对称最短问题作法，可得P点的位置，再结合菱形的性质得出△AEE′为等边三角形，然后利用勾股定理，求出PE+PB的最小值． 【详解】作E点关于AC对称点E′，连接E′B，E′B与AC的交点即是P点， ∵菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点， ∴AE′=AE=BE=1， ∴△AEE′为等边三角形， ∴∠AEE′=60°， ∴∠E′EB=120°， ∵BE=EE′， ∴∠EE′B=30°， ∴∠AE′B=90°， BE′=， ∵PE+PB= PE′+PB =BE′， ∴PE+PB的最小值是：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握菱形的性质，勾股定理以及“马饮水”模型，是解题的关键． 17. 如图，点A在线段上，四边形和四边形都是正方形，面积分别是10和18，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，算术平方根的应用，过点E作，交的延长线于H，由题意可证，即可得则可求的面积． 【详解】解：如图：过点E作，交的延长线于H， ∵四边形和四边形都是正方形，面积分别是10和18， ，， 在中，， ，， ，且，， ， ， ， 故答案为：． 18. 关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式的解集为，则所有满足条件的整数a的和为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解，根据不等式组的整数解集求字母的取值范围，先根据分式方程的解是正数求出a的取值范围，再根据不等式组的解集求出a的范围，进而得出符合条件的整数，可得答案． 【详解】， 解得． 根据题意，得，且， 解得且． ， 解不等式①，得； 解不等式②，得． ∵不等式组的解集是， ∴， 解得， ∴且， 所以满足条件的整数和． 故答案为：20． 19. 如图，四边形是平行四边形，为的中点，连接，将沿着所在的直线折叠，点刚好落在上的处，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，延长，交于点，连接，证明出，得到，再证明出，从而得到，即可求出的长．掌握相关图形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：延长，交于点，连接， 四边形是平行四边形， ，，， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， 由沿着所在的直线折叠得到， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 20. 若一个四位数的千位与百位数字和的两倍等于其十位与个位数字的和，则称这个四位数为“伙伴数”．将“伙伴数”的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调后得到新数，且，则_________．若四位数（，，，，为整数）为“伙伴数”，且能被8整除．令，则在所有满足条件的“伙伴数”中，当的值最小时，“伙伴数”的值为_________． 【答案】 ①. ②. 2448 【解析】 【分析】本题考查新定义的应用，有理数混合运算，根据定义表示出，进而根据，即可求得的值，表示出m的各个数位上的数字，根据能被8整除，可得的值，根据的值最小及各个数字的取值范围可得a和d的值，进而根据m的千位与百位数字和的两倍等于其十位与个位数字的和，可得b和c的具体值，然后求得m的值即可． 【详解】解：， ， ， ， 千位上的数字为a，百位上的数字为b，十位上的数字为c，个位上的数字为d， ， ，， ， ， ，， 能被8整除，， ， ，为最小值， 取最小值2，d取最大值8， ， ，， “伙伴数”， 故答案为：，2448． 三、解答题（本大题共7个小题，22题8分，27题12分，其余每小题10分，共70分） 21. 计算题 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式和二次根式的化简．熟练掌握分式的减法法则，通分，约分，二次根式的性质，合并同类二根式，是解题的关键． （1）先通分相减，分子合并化简，再约分即可； （2）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 22. 先化简，再求值： ，请在1、2、3中选择一个喜欢的数值作为x的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据完全平方公式以及分式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 要使分式有意义，必须且， 且， 取， 原式． 23. 如图，已知直线y＝kx+6经过点A（4，2），直线与x轴，y轴分别交于B、C两点． （1）求点B的坐标； （2）求△OAC的面积． 【答案】（1）B（6，0）；（2）12 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求得直线解析式，然后根据图象上点的坐标特征即可求得B的坐标； （2）令x＝0，求得C的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得． 【详解】解：（1）∵直线y＝kx+6经过点A（4，2）， ∴2＝4k+6，解得k＝﹣1 ∴直线为y＝﹣x+6 令y＝0，则﹣x+6＝0， 解得x＝6， ∴B（6，0）； （2）令x＝0，则y＝6， ∴C（0，6）， ∴CO＝6， ∴△OAC的面积＝×4＝12． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图象上点的坐标特征，属于基础题目，易于掌握． 24. 某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又购进第二批该款式的衬衫，已知进价每件比第一批降低了10元，若第二次购货款为2100元，则进货量是第一次的一半． （1）这两次各购进这种衬衫多少件？ （2）若第一批衬衫的售价是200元件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，且不高于2250元，第二批衬衫的售价有哪几种方案？（售价是10的倍数） 【答案】（1）第一次购进这种衬衫件，第二次购进这种衬衫件 （2）三种方案，分别元件；元件；元件 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设第二次购进的衬衫为件，根据题意列出分式方程计算即可； （2）设第二批衬衫的售价是元件，根据题意列出一元一次不等式组计算即可． 【小问1详解】 解：设第二次购进的衬衫为件，则第一次购进这种衬衫件， 根据题意可得：， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：第一次购进这种衬衫件，第二次购进这种衬衫件； 【小问2详解】 解：设第二批衬衫的售价是元件， 根据题意得 解得 为正整数，且是的倍数， 可以为， 故有三种方案， 方案一：第二批衬衫的售价是元件； 方案二：第二批衬衫售价是元件； 方案三：第二批衬衫的售价是元件． 25. 小明从家A步行前往公园E，已知点E在点A的正东方向，但是由于道路施工，小明先沿正北方向走了400米到达B处，再从B处沿北偏东方向行走400米到达C处，从C处沿正东方向走了300米到达D处，在D处休息了6分钟，最终沿方向到达E处，已知点E在点D的南偏东方向．小明从家出发的同时，爷爷从家选择另一路线步行前往E处，已知点F在点A的南偏东方向，且点F在点E的正南方向． （1）求的长度； （2）若小明步行速度为80米/分，爷爷步行速度为70米/分，小明和爷爷始终保持匀速行驶，请计算说明小明和爷爷谁先到达公园？（参考数据：；） 【答案】（1）1240米 （2）小明先到达公园 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形实际应用．熟练掌握含的直角三角形性质，等腰直角三角形性质，矩形的判定和性质，路程与速度和时间的关系，是解决问题的关键． (1)延长交射线于点G，过点D作于点E，根据，得到 ，根据，得到,，，，根据矩形性质，得到，，根据等腰直角三角形性质得到，即得； (2)先由勾股定理求出，得到小明步行路程：，得到小明步行时间：，小明到达时间；根据，，得到，，得到爷爷步行路程，，得到爷爷到达时间，，推出小明先到达公园． 【小问1详解】 延长交射线于点G，过点D作于点E， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故的长度约1240米； 【小问2详解】 ∵， ∴小明步行路程： , ∴小明步行时间： ， ∴小明到达时间： , ∵，，， ∴， ∴， ∴爷爷步行路程： ， ∴爷爷到达时间： ， ∵， 故小明先到达公园． 26. 在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于，，作线段的垂直平分线交x轴于点A，交y轴于点B，交于E． （1）如图1，求A点坐标； （2）如图2，过点M作y轴的平行线l，连接并延长交直线l于点F，P、Q分别是直线和直线上的动点，求出的最小周长； （3）如图3，点G是y轴的一个动点，H是平面内任意一点，以N、E、G、H为顶点的四边形是菱形时，直接写出点H的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）证明，利用勾股定理求解，再利用待定系数法求解的解析式，过点作，求出，即可求出A点坐标； （2）过点关于的对称点，作点关于的对称点，连接分别交直线和直线于，根据题意求出坐标，即可得到答案； （3）分两种情况讨论：①当是菱形的对角线时；②当是菱形的边时，根据菱形的性质解得即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得：， 设为，把的坐标代入得： ， 解得， ， 的垂直平分， 的中点的坐标为，， 过点作，则， ， ， ； 【小问2详解】 解：过点关于的对称点，作点关于的对称点，连接分别交直线和直线于， ， ， 此时，的周长最小， 设直线的解析式为：， 将，代入， ， 解得， 直线的解析式为：， 直线的解析式为：， 当时，， ， 是线段的垂直平分线， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设点， ， ， 解得或， ， 同理得， ， 的最小周长为； 【小问3详解】 解：设点， ①当是菱形的边时，时， ， ， 解得或， ， 以N、E、G、H为顶点的四边形是菱形， 的坐标为， 当是菱形的边时，时，，； ②当是菱形的对角线时， 点是轴一个动点，以N、E、G、H为顶点的四边形是菱形， ， ， 解得或， ， 或． 综上：点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解一次函数解析式，线段的垂直平分线的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，菱形的性质，含的直角三角形的性质，熟练掌握性质定理，分类讨论，数形结合是解题的关键． 27. 在等边中，，，垂足为D，点E为边上一点，点F为直线上一点，连接． （1）如图1，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接．当点E与点B重合，且的延长线过点C时，连接，求线段的长； （2）如图2，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接．点E不与点A，B重合，的延长线交边于点H，连接，求证：； （3）如图3，当点E为中点时，点M为中点，点N在边上，且，点F从中点Q沿射线运动，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，当最小时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，先证明是等边三角形，再根据三角函数值求出的长，运用勾股定理即可求出答案； （2）过点作交于点，过点作交于点，连接，作中点，连接，根据题意证明共圆，求出，，即可得到结论； （3）以为顶点，为一边，作，交于点，过点作，设交于点，根据旋转的性质以及解直角三角形求出的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点作于点H， 线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接．当点E与点B重合，且的延长线过点C， ， 是等边三角形， ， 等边，， ， ， ， ， 在中， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，； 【小问2详解】 解：过点作交于点，过点作交于点，连接，作中点，连接， 线段绕点E逆时针旋转得到线段， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ， 共圆， ， 是等边三角形，， ，即， ， ， ①， ， ， ， 共圆， ， ， ， ②， ③， 由①②③得， ， ，中点，， ， ， ， 在中，， ， 即， 在中，， 在中，， ， ； 【小问3详解】 解：以为顶点，为一边，作，交于点，过点作，设交于点，连接， 在中，， 最小值即是最小，此时共线， 线段绕点E顺时针旋转得到线段， 在射线上运动，则在射线上运动， 为主动点，是从动点，为定点，， 由题意得：，分别中点， ， ，即， 故 、的轨迹夹角， ， ， ， ， ， ， ， ， 而， ， 四边形是矩形， ， 等边，， ， ， ， 等边中，，点为中点时，点为中点， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题主要考查等边三角形性质及应用，涉及旋转变换，解直角三角形，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，构造辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$