精品解析：湖南省常德市石门县第一中学2025届高三上学期入学考试数学试卷

石门一中2025届高三数学入学考试试卷 时量：120分钟；分值：120分 一、单选题 1. 已知集合，，若中恰有两个元素，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（ ） A. B. 或 C. D. 3. 已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 4. 已知函数若，则单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 若，设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 高斯是德国著名数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在定义域上是单调函数，若对任意都有，则（ ） A. B. 2023 C. 2024 D. 2025 8. 设，记在区间上的最大值为，则的最小值为（ ） A 0 B. C. D. 2 二、多选题 9. 已知，下列命题为真命题的是（ ） A 若，则. B 若，则 C. 若且，则. D. 若，则 10. 已知定义在上的偶函数f(x)满足：，且当时，单调递减，下列结论正确的是（ ） A. B. 为函数图象的一条对称轴 C. 在单调递增 D. 若方程在上的两根为、，则 11. 若关于x的不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为______. 13. 已知定义在R上的函数同时满足以下两个条件： ①对任意，都有； ②对任意且，都有. 则不等式的解集为______. 14. 设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是___________. 四、解答题 15. 设集合，. （1）若且，求实数的值； （2）若是的子集，且，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 17. 为了增强身体素质，寒假期间小王每天坚持在 “跑步20 分钟”和“跳绳20 分钟” 中选择一项进行锻炼. 在不下雪的时候，他跑步的概率为，跳绳的概率为，在下雪天他跑步的概率为，跳绳的概率为. 若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为. 已知寒假第一天不下雪，跑步分钟大约消耗能量卡路里，跳绳20分钟大约消耗能量200卡路里. 记寒假第天不下雪的概率为 . （1）求的值，并求; （2）设小王寒假第天通过运动消耗的能量为，求的数学期望. 18. 已知函数. （1）求的最小值； （2）记为的导函数，设函数有且只有一个零点，求的取值范围. 19. 对于函数，若存在实数m，使得为R上的奇函数，则称是位差值为m的“位差奇函数”. （1）若是位差值为的位差奇函数，求的值； （2）已知，，若存在，使得是位差值为m的“位差奇函数”. ①求实数t的取值范围； ②设直线与函数的图象分别交于A、B两点，直线与函数的图象分别交于C、D两点，若存在，且，使得，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石门一中2025届高三数学入学考试试卷 时量：120分钟；分值：120分 一、单选题 1. 已知集合，，若中恰有两个元素，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，确定集合A中的两个元素即可求出a的范围. 【详解】集合，，因为中恰有两个元素， 因此，则， 所以实数a的取值范围为. 故选：A 2. 设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的判别式求解“关于的不等式有解”的充要条件，再分析必要不充分条件即可. 【详解】由关于的不等式有解，得，解得或. 则或，故只有D选项符合必要不充分条件. 故选：D. 3. 已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列 根据等差数列和等比数列性质可知：a+b=x+y，cd=xy， 当且仅当x=y时取“=”， 4. 已知函数若，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题目条件求出 的值，再根据二次函数的性质求出 的单调递增区间 【详解】解：依题意，解得a＝－1，故，可知在上单调递增 故选：D 5. 若，设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数定义域，判断奇偶性和单调性，比较的大小即可. 【详解】由题意知，由， 所以为偶函数，图象关于轴对称， 当时，由复合函数的单调性法则知随的增大而增大， 即 ， 单调递增， 因为，， 且，， 所以，所以， 即，也就是. 故选：D 6. 高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分离常数，求出函数的值域，再根据高斯函数的定义即可得出答案. 【详解】， ，则，即， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 综上，函数的值域为. 故选：C. 7. 已知函数在定义域上是单调函数，若对任意都有，则（ ） A. B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】依题意采用换元法可令，解得，即函数解析式为，代入计算即可求得结果. 【详解】令，则，即，解得, 所以函数，所以. 故选：. 8. 设，记在区间上的最大值为，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用单调性求出的最值，再根据绝对值的意义确定，利用一次函数求解的最小值即可. 【详解】设，则在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以是三者中的较大者，如图： 表示的函数图象为图中粗线部分，且， 所以当时，的最小值为. 故选：B. 二、多选题 9. 已知，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则. B. 若，则 C. 若且，则. D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据均值不等式最值公式对选项一一判断即可． 【详解】对A，，当时等号成立，故正确； 对B，因为，所以，则，故正确； 对C，且 则，故错； 对D，因为，所以，故正确． 故选：ABD 10. 已知定义在上的偶函数f(x)满足：，且当时，单调递减，下列结论正确的是（ ） A. B. 为函数图象的一条对称轴 C. 单调递增 D. 若方程在上的两根为、，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性、方程的根等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A.依题意，，令， 则，∴ ，A选项正确； B.，∴函数周期为，偶函数的对称轴是， ∴是的对称轴，B选项正确； C.在上递减，又函数周期为，∴函数在上递减，C选项错误； D.在上递增，且为偶函数，∴ 在上递减， ∴在上递减，所以的图象关于对称， ∴ 两个根的和为，D选项正确. 故选：ABD 11. 若关于x的不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的解集列方程，求得关于的表达式以及的取值范围，由此对选项进行分析，利用赋值法、不等式的性质来确定正确答案. 【详解】由不等式的解集是，即方程的两个根为和， 所以，解得，， 又由，则由， 即，所以必有， 对于A中，且，所以，所以A正确； 对于B中，当时，得到，所以B错误； 对于C中，当时，，又由，所以C正确； 对于D中，当时，可得， 又由，所以D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：不等式的解集的端点，与不等式对应的方程的根有关，由此可列出等量关系式.判断不等式是否成立，可以结合已知条件以及要判断的不等式的结构，利用赋值法来进行判断. 三、填空题 12. 命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解. 【详解】命题“，”的否定为：“，”，因为原命题为假命题，所以其否定为真， 所以当即时，恒成立，满足题意； 当即时，只需， 解得：. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知定义在R上的函数同时满足以下两个条件： ①对任意，都有； ②对任意且，都有. 则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据，变形，可构造，根据题意，可得函数的奇偶性和单调性，由此解不等式，可得答案． 【详解】由，可得：， 令，则，即函数为偶函数， 因为对任意且，都有， 不妨设，则有，即， 所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增， 由，得，即， 因为函数为偶函数，所以， 则，解得或， 则不等式解集为. 故答案：． 14. 设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】求得在区间上的解析式，画出的图象，结合图象列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】时，，而时， 所以， 又， 所以当时，， 当时，， 作出示意图如下图所示： 要使，则需，结合上图， 由，解得，所以. 【点睛】关键点点睛：所给的抽象函数关系式，如本题中的，然后要关注题目所给的已知区间的函数解析式，结合这两个条件来求得其它区间的函数解析式. 四、解答题 15. 设集合，. （1）若且，求实数的值； （2）若是的子集，且，求实数的取值范围. 【答案】（1），，（2）. 【解析】 【分析】（1）求得集合,根据，计算即可得出结果； （2）由，可解得，由是的子集，根据集合关系列出不等式即可得出结果. 【详解】（1）， ∵，∴， ∴， ∵，，. （2）∵，∴， ∵是的真子集，∴且， 解得. 【点睛】本题考查集合相等和包含关系，考查不等式的求解集问题，属于基础题. 16. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过解对数、指数、一元二次不等式等知识求得不等式的解集. （2）利用换元法，结合一元二次方程根的分布列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 ， ， 恒成立， ， 原不等式的解集为； 【小问2详解】 方程有两个不同的实数根， 有两个不同的实数根， 令，则在有两个不同的实数根， 令， 由已知得，解得. 17. 为了增强身体素质，寒假期间小王每天坚持在 “跑步20 分钟”和“跳绳20 分钟” 中选择一项进行锻炼. 在不下雪的时候，他跑步的概率为，跳绳的概率为，在下雪天他跑步的概率为，跳绳的概率为. 若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为. 已知寒假第一天不下雪，跑步分钟大约消耗能量卡路里，跳绳20分钟大约消耗能量200卡路里. 记寒假第天不下雪的概率为 . （1）求的值，并求; （2）设小王寒假第天通过运动消耗的能量为，求的数学期望. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，且得到，利用构造法得到为等比数列，从而求出通项公式； （2）求出，及对应的概率，得到的数学期望. 【小问1详解】 由题意得， 第3天不下雪，分为两种情况，第2天不下雪且第三天不下雪，第2天下雪且第3天不下雪， 故， 依题意， 整理得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 即 ，所以； 【小问2详解】 ， 由（1）得， 则他第天通过运动锻炼消耗的能量的期望为 18. 已知函数. （1）求的最小值； （2）记为的导函数，设函数有且只有一个零点，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）求导，分析导函数正负，结合极值和单调性分析即得解； （2）求导，分，，分析单调性，结合极值点，边界情况，分析即得解. 【小问1详解】 由题得， ∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以是的极小值点； 又当时，，当时，，当时，， 所以只能在内取得最小值，因为是在（0，）内的极小值点，也是最小值点， 所以． 【小问2详解】 由题可得（）， ∴ ①当时，，函数在上单调递增， 又∵， ∴函数有且仅有1个零点，∴符合题意； ②当时，令，，函数在上单调递增， 因为， ∴存在唯一的实数，使得，即， 当时，，单调递减；时，，单调递增； 又∵时，，时，，且， ∴当函数有且仅有1个零点时，， ∴符合题意 综上可知，的取值范围是或. 【点睛】利用导数研究零点问题： （1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象； （2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题； （3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究. 19. 对于函数，若存在实数m，使得为R上的奇函数，则称是位差值为m的“位差奇函数”. （1）若是位差值为的位差奇函数，求的值； （2）已知，，若存在，使得是位差值为m的“位差奇函数”. ①求实数t的取值范围； ②设直线与函数的图象分别交于A、B两点，直线与函数的图象分别交于C、D两点，若存在，且，使得，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可得为R上的奇函数，结合三角函数的奇偶性分析求解即可； （2）①分析可知对任意的，均存在成立，整理可得，即可得结果；②根据向量平行分析可得，构建，可知在内不单调，结合复合函数单调性分析求解即可. 【小问1详解】 因为 ， 若是位差值为的位差奇函数， 则为上的奇函数， 注意到为上的奇函数，为上的偶函数， 可知，则，解得. 【小问2详解】 ①因为， 由题意可知：对任意的，均存在成立， 因为 整理可得， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 则，即， 所以实数t的取值范围为； ②由①可知：， 则，， 设， 则， 若，则， 且，即，则， 即， 构建， 则，且，， 结合在上连续不断，可知在内不单调， 令，则， 且在内单调递增， 可知在内单调递增， 当时，；当，；即， 可得在内不单调， 且的图象开口向上，对称轴， 则，解得， 所以实数m的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$