专题1.3 两条直线的平行与垂直（四个重难点突破）-2024-2025学年高二数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第一册）

专题1.3两条直线的平行与垂直 一、平行、垂直的判断 ②已知垂直求参数 ①平行的判断 三、已知平行、垂直求直线方程 ②垂直的判断 ①已知平行求直线方程 二、已知平行、垂直求参数 ②已知垂直求直线方程 ①已知平行求参数 四、直线平行、垂直在几何中的应用 知识点1两条直线平行 如图,若斜率都存在且,则l1与l2的倾斜角与相等,由,可得,即.因此,若,则. 反之,当时, ,由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知, ,因此 于是,对于斜率分别为的两条直线,有． 利用一般式方程解决直线平行问题： 直线，直线，若且(或)． 知识点2两条直线垂直 当直线l1或l2的倾斜角为90°时,若,则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然． 如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于；反之,如果两条直线的斜率之积等于,那么它们互相垂直．即． 利用一般式解决直线垂直问题： 直线，直线，若. 重难点一 平行、垂直的判断 ①平行的判断 1．（多选）设平面内四点，，，，则下面四个结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）已知直线，，则（   ） A．过定点 B．当时， C．当时， D．当时，的斜率不存在 3．若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是 ． 4．下列直线与直线 (与不重合)平行的有 .(填序号) ①经过点，，经过点，； ②的斜率为2，经过点，； ③的倾斜角为，经过点，； ④经过点，，经过点，. 5．判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 6．根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． ②垂直的判断 7．已知两条直线和，其斜率分别是一元二次方程的两不等实数根，则其位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．异面 8．（多选）设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线垂直 9．（多选）已知直线与直线，下列说法正确的是（） A．当时，直线的倾斜角为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则 10．已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 11．判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 12．判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； (3)直线的法向量为，直线的法向量为． ①若两条不同的直线的斜率都不存在，则两直线平行；若两条不同的直线斜率相同，则两直线平行； ②若一条直线斜率不存在，一条直线的斜率为0，则两直线,垂直；若两条直线的斜率满足，则两直线垂直 重难点二 已知平行、垂直求参数 ①已知平行求参数 13．已知直线与直线平行，则m的值为（    ） A．4 B．9 C． D． 14．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知两条直线的斜率分别为和，若这两条直线互相平行，则实数a的最大值为 ． 16．直线与平行，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 17．“”是“直线和直线平行且不重合”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 18．“直线与平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．（多选）若三条直线l1：，l2：，l3：有2个公共点，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．1 D．2 ②已知垂直求参数 20．已知直线与垂直，则实数a的值是（   ） A．0或3 B．3 C．0或 D． 21．已知直线与直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．若直线与直线垂直.则（    ） A．1 B． C．0 D．0或 23．已知直线：，：，若“”是“”的充要条件，则（    ） A． B． C．1 D．2 24．已知直线的斜率为1，若直线，则直线的倾斜角为 ． 25．已知直线和直线，问：m为何值时，直线与平行？m为何值时，直线与垂直？ 若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑这个条件． 重难点三 已知平行、垂直求直线方程 ①已知平行求直线方程 26．经过点且与直线平行的直线方程是 . 27．已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程为 28．已知直线l经过点，且与经过，两点的直线平行，求直线l的方程． 29．已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 30．已知的三个顶点为，为的中点，所在的直线为， (1)求的一般式方程； (2)若直线经过点，且，求在轴上的截距. ②已知垂直求直线方程 31．若点在直线l上的射影为，则直线l的方程为 ． 32．已知直线过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为 ． 33．已知三角形三顶点，则边上的高所在的直线方程为 . 34．与直线垂直，且在x轴上的截距为的直线方程是 ． 35．已知平面内两点，． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 （1）由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程； （2）①可利用如下待定系数法：与直线不同时为)平行的直线方程可设为，再由直线所过的点确定； ②与直线不同时为)垂直的直线方程可设为，再由直线所过的点确定. 重难点四 直线平行、垂直在几何中的应用 36．已知. (1)若可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 37．如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 38．已知中，点，点，点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求角平分线所在直线的方程． 39．已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形. 40．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且，，AD，BE相交于点P．求证：.    一、单选题 1．已知，，三点，且有一点D满足，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知，，直线和垂直，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．与直线平行且过点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 4．已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（    ） A．-2 B． C．1 D．2 5．设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，AB中点为Q，则的值为（　　） A． B． C． D．与m的取值有关 6．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线：与的欧拉线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．3 二、多选题 7．下列说法中错误的是（   ） A．不过原点的直线都可以用方程表示 B．若直线，则两直线的斜率相等 C．过两点，的直线都可用方程表示 D．若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直 8．以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 三、填空题 9．若原点在直线上的射影为，则直线的一般式方程为 ． 10．已知点，直线与轴相交于点，则中，边上的高所在直线的方程是 . 11．已知直线的方程为，的方程为，直线l与平行且与在y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为 . 四、解答题 12．已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 13．已知点和直线l： ，求： (1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程； (2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程. 14．在平面直角坐标系xOy中，四边形的顶点坐标分别为、、、，其中．试判断四边形的形状． 15．已知分别过定点的直线，与轴交于点 (1)若为中，边上的高所在直线，求边上的中线所在直线方程； (2)若为中，边上的中线所在直线，求边上的高所在直线方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3两条直线的平行与垂直 一、平行、垂直的判断 ②已知垂直求参数 ①平行的判断 三、已知平行、垂直求直线方程 ②垂直的判断 ①已知平行求直线方程 二、已知平行、垂直求参数 ②已知垂直求直线方程 ①已知平行求参数 四、直线平行、垂直在几何中的应用 知识点1两条直线平行 如图,若斜率都存在且,则l1与l2的倾斜角与相等,由,可得,即.因此,若,则. 反之,当时, ,由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知, ,因此 于是,对于斜率分别为的两条直线,有． 利用一般式方程解决直线平行问题： 直线，直线，若且(或)． 知识点2两条直线垂直 当直线l1或l2的倾斜角为90°时,若,则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然． 如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于；反之,如果两条直线的斜率之积等于,那么它们互相垂直．即． 利用一般式解决直线垂直问题： 直线，直线，若. 重难点一 平行、垂直的判断 ①平行的判断 1．（多选）设平面内四点，，，，则下面四个结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意可得：，，，，， 因为，可知，故A正确； 因为，可知，故B正确； 因为，可知PS与QS不平行，故C错误； 因为，可知，故D正确； 故选：ABD. 2．（多选）已知直线，，则（   ） A．过定点 B．当时， C．当时， D．当时，的斜率不存在 【答案】ABD 【详解】对于A，直线的方程化为，令，解得， 所以直线过定点，正确； 对于B，当时，，，所以，正确； 对于C，当时，其斜率为2，其斜率为0，故两直线相交，错误； 对于D，当时，，直线的倾斜角为，故的斜率不存在，正确. 故选：ABD. 3．若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是 ． 【答案】平行或重合 【详解】直线的倾斜角为135°，故斜率． 由经过点，，得， 所以，所以直线与平行或重合． 故答案为：平行或重合． 4．下列直线与直线 (与不重合)平行的有 .(填序号) ①经过点，，经过点，； ②的斜率为2，经过点，； ③的倾斜角为，经过点，； ④经过点，，经过点，. 【答案】①③④ 【详解】对于①，直线的斜率，直线的斜率，，所以； ②直线的斜率，所以不平行于； ③直线的斜率，直线的斜率，，所以； ④轴，轴，即直线与直线的倾斜角都为，所以. 故答案为：①③④ 5．判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)与不平行，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)与重合，理由见解析 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以． （2）因为，，． 所以与不平行． （3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以． （4），因为，， 所以与重合． 6．根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【答案】(1) (2)或与重合 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 因为，又， 所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以． （2）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 所以，所以或与重合． ②垂直的判断 7．已知两条直线和，其斜率分别是一元二次方程的两不等实数根，则其位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．异面 【答案】B 【详解】由题意，设两条直线和的斜率分别为， 且为一元二次方程的两不等实数根， 则，所以. 故选：B 8．（多选）设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线垂直 【答案】BD 【详解】对于A，直线：， 则的斜率为，故A错误； 对于B，令，解得， 故在轴上的截距为，故B正确； 对于C，当时，直线：，平行于轴，故C错误； 对于D，当时，直线与直线显然垂直， 当时，直线的斜率为， 直线的斜率为， 所以，故D正确． 故选：BD． 9．（多选）已知直线与直线，下列说法正确的是（） A．当时，直线的倾斜角为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】A中，当时，直线的斜率，设其倾斜角为， 所以，则，所以A不正确； B中，直线，整理可得， 令，可得， 即直线恒过定点，所以B正确； C中，当时，两条直线方程分别为：， 则两条直线重合，所以C不正确； D中，当时，两条直线方程分别为：， 显然两条直线垂直，所以D正确. 故选：BD. 10．已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 【答案】垂直或重合 【详解】由，得或， 当时，：，：，，， 显然，所以直线与垂直； 当时，：，：，所以直线与重合． 故答案为：垂直或重合 11．判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）两直线的斜率，，由，则． （2）两直线的斜率，，由，则． （3）的斜率为0，的斜率不存在，． 12．判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； (3)直线的法向量为，直线的法向量为． 【答案】(1)垂直 (2)垂直 (3)垂直 【详解】（1）直线的斜率，直线的斜率，因为，所以与垂直． （2）直线的斜率不存在，故与轴垂直，直线的斜率为0，故直线与轴平行，所以与垂直． （3）因为，所以与的法向量垂直，所以与垂直 ①若两条不同的直线的斜率都不存在，则两直线平行；若两条不同的直线斜率相同，则两直线平行； ②若一条直线斜率不存在，一条直线的斜率为0，则两直线,垂直；若两条直线的斜率满足，则两直线垂直 重难点二 已知平行、垂直求参数 ①已知平行求参数 13．已知直线与直线平行，则m的值为（    ） A．4 B．9 C． D． 【答案】A 【详解】因为直线 和 互相平行，且两直线的斜率一定存在， 所以 即 ，所以 . 故选：A 14．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若直线与直线互相平行且不重合， 则，解得，故. 所以“”是“直线与直线互相平行且不重合”的充要条件． 故选：C． 15．已知两条直线的斜率分别为和，若这两条直线互相平行，则实数a的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】因为两条直线互相平行，所以，所以， 当且仅当时取等号，故实数a的最大值为． 故答案为：． 16．直线与平行，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】直线与平行，且的斜率为2， 它们在轴上的截距不相等，且直线的斜率也为2， 即. 故选：D. 17．“”是“直线和直线平行且不重合”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【详解】当时，两直线分别为：，， ∴两直线斜率相等且， ∴两条直线平行且不重合；充分性成立， 若两直线平行且不重合，则， ∴，必要性成立， 综上所述，是两直线平行且不重合的充要条件， 故选：C． 18．“直线与平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若直线与平行， 易得:，故：， 则 得不到，故不是充分条件； 反之，当时成立，故直线与平行，是必要条件； 故“直线与平行”是“”的必要不充分条件， 故选：B． 19．（多选）若三条直线l1：，l2：，l3：有2个公共点，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】BD 【详解】由题意可得，三条直线中，有两条直线相互平行， l1：的斜率为，l2：的斜率为， 所以不平行， 若平行，则，解得：， 若平行，则，解得：， 综上：实数a的值为或. 故选：BD. ②已知垂直求参数 20．已知直线与垂直，则实数a的值是（   ） A．0或3 B．3 C．0或 D． 【答案】D 【详解】直线与直线互相垂直， ， 即， 解得或不满足直线，舍去 故选：D. 21．已知直线与直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】因为， 所以， 解得或， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 22．若直线与直线垂直.则（    ） A．1 B． C．0 D．0或 【答案】D 【详解】由直线与直线垂直，得， 所以或. 故选：D 23．已知直线：，：，若“”是“”的充要条件，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由题意可知若，则， 又因为即，故，即. 故选：B. 24．已知直线的斜率为1，若直线，则直线的倾斜角为 ． 【答案】 【详解】因为直线的斜率，且直线，则直线的斜率， 所以直线的倾斜角为135°． 故答案为：. 25．已知直线和直线，问：m为何值时，直线与平行？m为何值时，直线与垂直？ 【答案】时，直线与平行；当时，直线与垂直 【详解】当时，直线：，直线：，直线与垂直； 当时，直线的方程可化为， ①若直线与垂直，则无解，故时，不存在直线与垂直； ②若直线与平行， 则，得， 当时，，两直线重合，不合题意舍去； 当时，，符合题意； 故当时，直线与平行； 当时，直线与垂直． 若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑这个条件． 重难点三 已知平行、垂直求直线方程 ①已知平行求直线方程 26．经过点且与直线平行的直线方程是 . 【答案】 【详解】解：经过点且与直线平行的直线的斜率为：， 所求直线方程为：.即：. 故答案为：. 27．已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程为 【答案】 【详解】 由直线，可得斜率为， 又因为直线与直线平行，所以直线的斜率为 又由直线过点，所以直线的方程为，可得， 即直线的方程为. 故答案为：. 28．已知直线l经过点，且与经过，两点的直线平行，求直线l的方程． 【答案】． 【详解】当直线与直线平行时，，则直线的斜率为 此时直线的方程为，即． 29．已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由于，，故，而，故的方程是，即. （2）由于直线的斜率是，且不在直线上. 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 30．已知的三个顶点为，为的中点，所在的直线为， (1)求的一般式方程； (2)若直线经过点，且，求在轴上的截距. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由的三个顶点为，且为的中点， 可得，即，则， 所以直线的方程为，即. （2）解：由（1）知，直线的方程为， 因为，可设直线的方程为， 直线经过点，可得，解得， 所以直线的方程为， ②已知垂直求直线方程 31．若点在直线l上的射影为，则直线l的方程为 ． 【答案】 【详解】设, 若点在直线l上的射影为，则直线与直线垂直， 又因为,所以, 所以直线为,即. 故答案为：. 32．已知直线过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为 ． 【答案】 【详解】依题意设直线的一般式方程为：， 因为直线过点，所以，得， 所以直线的一般式方程为：． 故答案为：． 33．已知三角形三顶点，则边上的高所在的直线方程为 . 【答案】 【详解】边所在直线的斜率为， 边上的高所在的直线的斜率为2. 边上的高所在的直线方程为，即. 故答案为：. 34．与直线垂直，且在x轴上的截距为的直线方程是 ． 【答案】 【详解】与直线垂直的直线斜率，显然该直线过点， 所以该直线方程是，即. 故答案为： 35．已知平面内两点，． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意得，则直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线的方程为：， 即． （2）的中点坐标为， 由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为， 即． 因为是以为顶点的等腰直角三角形， 所以点在直线上， 故设点为， 由可得：， 解得或， 所以点坐标为或， 则直线的方程为或． 与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 （1）由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程； （2）①可利用如下待定系数法：与直线不同时为)平行的直线方程可设为，再由直线所过的点确定； ②与直线不同时为)垂直的直线方程可设为，再由直线所过的点确定. 重难点四 直线平行、垂直在几何中的应用 36．已知. (1)若可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 【答案】(1)点的坐标为或或 (2)平行四边形为菱形，平行四边形、不是菱形 【详解】（1）由题意得，，， 设， 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为或或. （2）若的坐标为， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为， 因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 37．如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设线段中点为，则点坐标为， 设点坐标为，由平行四边形性质得为线段中点，有， 解得，所以；    （2）因为直线的斜率为， 所以边上的高线所在直线的斜率为， 又，故边上的高线所在直线的方程为， 即为. 38．已知中，点，点，点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求角平分线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为点，点，所以边所在直线斜率， 所以边上的高所在直线的斜率，且过点． 所以边上的高所在直线的方程为． （2）由得，所以角平分线的倾斜角为， 所以角平分线所在直线的斜率． 又因为角平分线过点， 所以角平分线所在直线的方程为．    39．已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形. 【答案】证明见解析 【详解】， ，且不在一条直线上， 则直线与直线平行，且， 则四边形是梯形. 40．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且，，AD，BE相交于点P．求证：.    【答案】证明见解析 【详解】以BC所在直线为x轴，BC的中点O为原点，建立平面直角坐标系，    设等边三角形ABC的边长为6，则， ∵， ∴直线AD的方程为，即，① ∵， ∴直线BE的方程为，即，② 联立①②解得，则， ∵， ∴，∴AP⊥CP． 一、单选题 1．已知，，三点，且有一点D满足，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：，， 若，，可知直线的斜率存在， 设，则，， 则，即，解得，即． 故选：D. 2．已知，，直线和垂直，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，直线，，且， ，即． 则，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为8， 故选：B． 3．与直线平行且过点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设所求直线方程为， 又过点，则可得，解得， 则所求直线方程为 故选：A 4．已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（    ） A．-2 B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或1，经检验均满足题意， 所以实数的所有取值之和为. 故选：B 5．设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，AB中点为Q，则的值为（　　） A． B． C． D．与m的取值有关 【答案】A 【详解】由于经过的定点为，所以， 直线变形为， 所以经过定点，故， 因为，所以两直线垂直，如图， 因此为直角三角形， 所以， 故选：A 6．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线：与的欧拉线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】由的顶点,知, 的重心为，即, 因为,所以三角形为直角三角形, 所以外心为斜边中点, 即, 所以可得的欧拉线方程,即, 因为与平行, 所以,解得. 故选：C.    二、多选题 7．下列说法中错误的是（   ） A．不过原点的直线都可以用方程表示 B．若直线，则两直线的斜率相等 C．过两点，的直线都可用方程表示 D．若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直 【答案】ABD 【详解】对于A：直线的截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线，故A错误； 对于B：和的斜率有可能不存在，故B错误； 对于C：选项中的方程是直线的两点式方程化为整式后的结果， 直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线，但化为整式后就没有缺陷了，可以表示任意直线，故C正确； 对于D：直线斜率不存在，则直线垂直于轴， 直线斜率存在，但不一定斜率为，所以两直线不一定垂直，故D错误. 故选：ABD 8．以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 三、填空题 9．若原点在直线上的射影为，则直线的一般式方程为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 则直线的方程为，即. 故答案为： 10．已知点，直线与轴相交于点，则中，边上的高所在直线的方程是 . 【答案】 【详解】直线与轴交点的斜率， 所以边上的高的斜率， 所以所在直线方程为. 故答案为： 11．已知直线的方程为，的方程为，直线l与平行且与在y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为 . 【答案】 【详解】 由，且直线的方程为，则直线斜率为， 由直线l与在y轴上的截距互为相反数，而在y轴上的截距为， 所以直线在y轴上的截距为，即过点， 综上，直线方程为，即. 故答案为： 四、解答题 12．已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为是边的中点，所以， 所以直线的斜率， 所以所在直线的方程为：，即， （2）因为是边AB的中点，所以， 因为是边上的高， 所以，所以， 所以， 因此高所在直线的方程为：，即.    13．已知点和直线l： ，求： (1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程； (2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为直线l：y＝，则直线l的斜率， 可知与直线l平行的直线的斜率， 过点且与直线l平行的直线方程为. （2）由（1）可知：与直线l平行的直线的斜率， 过点且与直线l垂直的直线方程为. 14．在平面直角坐标系xOy中，四边形的顶点坐标分别为、、、，其中．试判断四边形的形状． 【答案】四边形OPQR为矩形. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 直线的斜率，直线的斜率， 显然，，在四边形中，，， 因此四边形为平行四边形，又，则， 所以四边形为矩形. 15．已知分别过定点的直线，与轴交于点 (1)若为中，边上的高所在直线，求边上的中线所在直线方程； (2)若为中，边上的中线所在直线，求边上的高所在直线方程． 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）由可得直线恒过定点， 由可得：， 则，则直线恒过定点， 令中，所以，所以， 因为为边上的高所在直线，所以，解得：. 所以，，所以的中点为，又因为， 所以边上的中线所在直线方程为：，即. （2）为边上的中线所在直线，因为，， 所以的中点为，即， 因为在上，所以，解得：， 解得：或， 当时，，，，， 所以边上的高所在直线方程为：，化简可得：， 当时，，，，， 所以边上的高所在直线方程为：，化简可得：， 所以边上的高所在直线方程为或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$