《专题4 圆及圆的轴对称性》专题培优2024-2025学年浙教版数学九年级上册

浙教版数学九年级上册专题培优 专题4　圆及圆的轴对称性 【知识梳理】 1．圆的定义及圆的相关概念(直径、半径、弦、弧等) 2．点与圆的位置关系 如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心O的距离，r表示圆的半径，那么： (1)__________⇔点P在⊙O外； (2)__________⇔点P在⊙O上； (3)__________⇔点P在⊙O内． 3．确定圆的条件 (1)圆心和圆的半径； (2)不在同一条直线上的__________确定一个圆． 4．三角形外心的概念及性质 (1)概念：三角形的外心是三角形三条边的__________的交点．三角形的外心只有一个，圆的内接三角形有无数个． (2)性质： ①三角形的外心到三角形__________的距离相等； ②三角形的外心是三角形________________的交点； ③锐角三角形的外心在三角形的_________；直角三角形的外心在_________；钝角三角形的外心在三角形的_________． 5．图形的旋转 (1)概念：一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做_________．这个固定的点叫做_________． (2)性质： ①图形旋转所得的图形和原图形_________； ②对应点到旋转中心的距离_________； ③任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于_________； ④当图形旋转的角度为180°时，所得的图形和原图形关于旋转中心成_________． 6．垂径定理 (1)圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的_________． (2)垂径定理：垂直于弦的直径_________这条弦，并且平分__________________． 推论1：平分_________(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的_________． 推论2：平分_________的直径垂直平分弧所对的_________． 7．垂径定理的应用 (1)作图；(2)计算和证明． 解题的主要方法： (1)作弦心距是圆中常见的辅助线． (2)半径(r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要突破口，它们之间的关系是弦长＝__________________. 【例题探究】 【例1】　如图，直角坐标系中的一条圆弧经过网格点A、B、C，其中点B的坐标为(4，4)． (1)在图上作出该圆弧所在圆的圆心，该圆弧所在圆的圆心坐标为________．　 (2)求出该圆弧所在圆的半径． 【方法归纳】　本题主要考查三角形外心的概念及垂径定理的应用，能够根据外心的概念来确定出圆弧所在圆的圆心是解题的关键． 【例2】　在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果⊙P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是(　　) A．点B，C均在⊙P外 B．点B在⊙P外，点C在⊙P内 C．点B在⊙P内，点C在⊙P外 D．点B，C均在⊙P内 【方法归纳】　本题考查点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系的判别方法是解题的关键． 【例3】　如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，连结BC，过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝8 cm，AE＝2 cm，则△OFC的面积是(　　) A．40 cm2 　　　　　　 B．20 cm2 C．10 cm2 D．5 cm2 【方法归纳】　本题考查了垂径定理．解题时需构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形． 【例4】　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.将△ABC绕AB上的点O顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，连结BC′.若BC′∥A′B′，则OB的值为　(　　) A． B．3 C． D． 【方法归纳】　图形旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等． 【例5】　如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A(0，1)，过点P(0，－7)的直线l与⊙B相交于C、D两点，则弦CD的长所有可能的整数值有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【方法归纳】　解决此类问题，首先要根据垂径定理构造直角三角形，把求弦长问题转化成解直角三角形问题进行求解． 【例6】　已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝2，DE＝5，则AE＋CE＝(　　) A．5＋5 B．5＋4 C．5＋3 D．7＋3 【方法归纳】　本题考查了垂径定理的应用．构造半弦、半径、弦心距所在的直角三角形是解题的关键． 【例7】　如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝CE.过A，D，E三点作⊙O，连结AO并延长，交BC于点F. (1)求证：AF⊥BC． (2)若AB＝10，BC＝12，BD＝2，求⊙O的半径长． 【方法归纳】　本题考查了垂径定理、勾股定理以及全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 【答案解析】 【知识梳理】 1．圆的定义及圆的相关概念(直径、半径、弦、弧等) 2．点与圆的位置关系 如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心O的距离，r表示圆的半径，那么： (1)d＞r⇔点P在⊙O外； (2)d＝r⇔点P在⊙O上； (3)d＜r⇔点P在⊙O内． 3．确定圆的条件 (1)圆心和圆的半径； (2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 4．三角形外心的概念及性质 (1)概念：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．三角形的外心只有一个，圆的内接三角形有无数个． (2)性质： ①三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等； ②三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点； ③锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心在斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． 5．图形的旋转 (1)概念：一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转．这个固定的点叫做旋转中心． (2)性质： ①图形旋转所得的图形和原图形全等； ②对应点到旋转中心的距离相等； ③任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度； ④当图形旋转的角度为180°时，所得的图形和原图形关于旋转中心成中心对称． 6．垂径定理 (1)圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴． (2)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． 推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． 7．垂径定理的应用 (1)作图；(2)计算和证明． 解题的主要方法： (1)作弦心距是圆中常见的辅助线． (2)半径(r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要突破口，它们之间的关系是弦长＝2. 【例题探究】 【例1】　如图，直角坐标系中的一条圆弧经过网格点A、B、C，其中点B的坐标为(4，4)． (1)在图上作出该圆弧所在圆的圆心，该圆弧所在圆的圆心坐标为________．　 (2)求出该圆弧所在圆的半径． 【思路点拨】　(1)连结BC，根据网格作出AB，BC的垂直平分线，交点M即为圆弧所在圆的圆心；(2)构造直角三角形求解． 答图 【解题过程】　(1)该圆弧所在圆的圆心M如图所示，该圆弧所在圆的圆心M的坐标为(2，0)． 【解题过程】(2)设圆弧所在圆的圆心为M，连结MA． 过点M作MD⊥AB，垂足为点D，则MD＝4，AD＝2. 在Rt△MAD中，根据勾股定理，得MA＝＝2. 故该圆弧所在圆的半径为2. 【例2】　在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果⊙P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是(　　) A．点B，C均在⊙P外 B．点B在⊙P外，点C在⊙P内 C．点B在⊙P内，点C在⊙P外 D．点B，C均在⊙P内 【思路点拨】　分别求出PB，PC，PD的长，然后根据点与圆的位置关系进行判断即可得出答案． 【解题过程】　∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC＝3，∠A＝∠B＝90°. ∵AB＝8，BP＝3AP， ∴AP＝2，BP＝6， ∴PD＝＝7，PC＝＝9， ∴PC＞PD＞PB， ∴点B在⊙P内，点C在⊙P外． 故选C． 【例3】　如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，连结BC，过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝8 cm，AE＝2 cm，则△OFC的面积是(　　) A．40 cm2 　　　　　　 B．20 cm2 C．10 cm2 D．5 cm2 【思路点拨】　连结OB，设⊙O的半径为r cm，则OE＝(r－2)cm，在Rt△OBE中，由勾股定理列出方程求出半径r，即可得出△OFC的面积． 【解题过程】　连结OB，如答图所示． 设⊙O的半径为r cm，则OE＝(r－2)cm， 答图 ∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，BD＝8 cm， ∴BE＝DE＝4(cm)， 在Rt△OBE中，∵OE2＋BE2＝OB2， ∴(r－2)2＋42＝r2，解得r＝5. ∵△BOC的面积＝OC×BE＝×5×4＝10(cm2)， ∵OF⊥BC， ∴BF＝CF， ∴S△OFC＝S△BOC＝5(cm2)． 故选D. 【例4】　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.将△ABC绕AB上的点O顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，连结BC′.若BC′∥A′B′，则OB的值为　(　　) A． B．3 C． D． 【思路点拨】　过点C作CH⊥AB于点H，连结OC、OC′，可证△CHO≌△OBC′，得OB＝CH，在Rt△ABC中利用面积法求出CH的长即可作出判断． 【解题过程】　如图，过点C作CH⊥AB于点H，连结OC、OC′. 由题意，得OC＝OC′，∠COC′＝∠BOB′＝90°. ∵BC′∥A′B′， ∴∠OBC′＋∠BOB′＝180°. ∴∠OBC′＝90°. ∵CH⊥OB， ∴∠CHO＝∠OBC′＝90°. ∵∠COH＋∠BOC′＝90°，∠BOC′＋∠BC′O＝90°， ∴∠COH＝∠BC′O. ∴△CHO≌△OBC′.∴OB＝CH. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴AB＝5. ∵AC·BC＝AB·CH，∴CH＝.∴OB＝CH＝. 故选C． 【例5】　如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A(0，1)，过点P(0，－7)的直线l与⊙B相交于C、D两点，则弦CD的长所有可能的整数值有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】　要确定弦CD的长所有可能的整数值，就要先确定弦CD长的取值范围．当弦CD与AB垂直时，CD的长最小；当CD是⊙B的直径时，弦CD的长最大．由此可以确定弦CD长的取值范围，根据其取值范围即可确定所有长的整数值． 【解题过程】　∵半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A(0，1)， ∴OB＝4.∴点B(0，－4)． ∵P(0，－7)，∴BP＝3. 当弦CD⊥AB时，弦CD最短，此时CP＝＝＝4. 由垂径定理可知CD＝2CP＝8. 当弦CD是⊙B的直径时，CD＝10. ∴8≤CD≤10.∴CD的整数值为8，9，10共3个．故选C． 【例6】　已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝2，DE＝5，则AE＋CE＝(　　) A．5＋5 B．5＋4 C．5＋3 D．7＋3 【思路点拨】　过点O作OM⊥CD于点M，连结OD，根据垂径定理解答即可． 【解题过程】　如图，过点O作OM⊥CD于点M，连结OD，则CM＝DM， ∵∠CEA＝30°， ∴∠OEM＝∠CEA＝30°， 在Rt△OEM中，∵OE＝2， ∴OM＝OE＝1，EM＝＝， ∵DE＝5， ∴CM＝DM＝5－＝4， ∴CE＝3，OD＝＝7， ∴OA＝OD＝7， ∴AE＝7－2＝5， ∴AE＋CE＝5＋3. 故选C． 【例7】　如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝CE.过A，D，E三点作⊙O，连结AO并延长，交BC于点F. (1)求证：AF⊥BC． (2)若AB＝10，BC＝12，BD＝2，求⊙O的半径长． 【思路点拨】　(1)连结AD，AE，证明△ABD≌△ACE得到AD＝AE，可得＝，根据垂径定理的逆定理得到AF⊥BC；(2)连结OD，设DO＝AO＝x，在Rt△OFD中根据勾股定理列出方程，即可得出⊙O的半径长. 【解题过程】　(1)如图，连结AD，AE， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． 答图 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE， ∴＝， ∴AF⊥BC． 【解题过程】(2)∵AB＝AC，AF⊥BC， ∴BF＝CF＝BC＝6， ∴AF＝＝＝8. ∵BD＝2， ∴DF＝4. 连结OD，设DO＝AO＝x， ∴OF＝8－x. ∵OD2＝OF2＋DF2， ∴x2＝(8－x)2＋42， ∴x＝5， ∴⊙O的半径长为5. 学科网（北京）股份有限公司 $$