第2章 简单事件的概率 讲义 2024-2025学年浙教版九年级数学上册

浙教版数学九年级上册专题培优 专题3　简单事件的概率 【知识梳理】 1．事件类型： (1)必然事件：在一定条件下，______________________叫做必然事件． (2)不可能事件：在一定条件下，____________________叫做不可能事件． (3)不确定事件：在一定条件下，____________________叫做不确定事件或__________． 2．概率的概念及计算公式： (1)在数学中，我们把事件发生的可能性的大小称为事件发生的__________，一般用P表示．事件A发生的概率记为__________． (2)如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m(m≤n)，那么事件A发生的概率为P(A)＝__________. 注意： ①运用公式P(A)＝__________求简单事件发生的概率时，首先应确定所有结果的可能性都相等，然后确定所有可能的结果总数n和事件A包含其中的结果数m. ②一般地，必然事件发生的概率为100%，即P(必然事件)＝1；不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)＝0；随机事件发生的概率介于0与1之间，即0＜P(随机事件)＜1. ③用列举法分析事件发生的所有可能情况的结果数，一般有__________和__________两种方法(有时用列举法)． 3．用频率估计概率 在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近．因此，我们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的__________来估计这一事件发生的概率． 4．在游戏公平性问题中，概率相等的游戏是公平的，否则就是不公平的．判断游戏公平的关键在于计算出概率，设计游戏规则时，可先根据要求，先计算出可能出现情况的概率，再根据概率相等的情况来设计游戏规则． 【例题探究】 【例1】　在一个不透明的盒子里装有3个黑球和1个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球，下列条件中，不可能事件是(　　) A．摸出的2个球有一个是白球 B．摸出的2个球都是黑球 C．摸出的2个球有一个黑球 D．摸出的2个球都是白球 【方法归纳】　解题时要弄清相关事件的概念．必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【例2】　如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分)，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为20cm2的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果)，他将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为(　　) A．6cm2 B．7cm2 C．8 cm2 D．9cm2 【方法归纳】　本题考查利用频率估计概率，大量重复试验下频率的稳定值即为概率． 【例3】　如图是正方形网格，除A，B两点外，在网格的格点上任取一点C，连结AC，BC，能使△ABC为等腰三角形的概率是(　　) A． B． C． D． 【方法归纳】　此题考查简单事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件发生的可能性相同，其中事件A包含其中的结果数为m，那么事件A发生的概率为P(A)＝. 【例4】　将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为(　　) A． B． C． D． 【方法归纳】　面积问题中的概率等于表示事件可能发生的点所在区域的面积与所有等可能点所在区域的面积的比值． 【例5】　如图，有四张背面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀． (1)从中随机摸出一张，求摸出的正面是中心对称图形的纸牌的概率． (2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张纸牌正面的图形都是轴对称图形，小明获胜；否则小亮获胜．这个游戏公平吗？请用列表法(或画树状图法)说明理由(纸牌用A，B，C，D表示)． 【方法归纳】　判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【例6】　在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数－1，0，2，它们除了数不同外，其他都完全相同． (1)随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数2的小球的概率为________． (2)小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下其上数作为平面直角坐标系内点M的横坐标，再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下其上数作为平面直角坐标系内点M的纵坐标．请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在如图所示的正方形网格内(包括边界)的概率． 【方法归纳】　画树状图或列表法是概率计算中常用的方法．列表法一般适用于两步计算；画树状图法适合于两步及两步以上求概率． 【例7】　在一个不透明的口袋里装有分别标有数－3，－1，0，2的四个小球，除数不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀． (1)从中任取一球，求其上数字为正数的概率． (2)从中任取一球，将球上的数记为a，求关于x的一元二次方程ax2－2ax＋a＋3＝0有实数根的概率． (3)从中任取一球，将球上的数作为点的横坐标，记为x(不放回)；再任取一球，将球上的数作为点的纵坐标，记为y.试用画树状图法或列表法表示出点(x，y)所有可能出现的结果，并求点(x，y)落在第二象限内的概率． 【方法归纳】　用列表法或画树状图法不重复且不遗漏地列出所有等可能的情况是解题的关键． 【答案解析】 【知识梳理】 1．事件类型： (1)必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件． (2)不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件叫做不可能事件． (3)不确定事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件． 2．概率的概念及计算公式： (1)在数学中，我们把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率，一般用P表示．事件A发生的概率记为P(A)． (2)如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m(m≤n)，那么事件A发生的概率为P(A)＝. 注意： ①运用公式P(A)＝ 求简单事件发生的概率时，首先应确定所有结果的可能性都相等，然后确定所有可能的结果总数n和事件A包含其中的结果数m. ②一般地，必然事件发生的概率为100%，即P(必然事件)＝1；不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)＝0；随机事件发生的概率介于0与1之间，即0＜P(随机事件)＜1. ③用列举法分析事件发生的所有可能情况的结果数，一般有列表和画树状图两种方法(有时用列举法)． 3．用频率估计概率 在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近．因此，我们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率． 4．在游戏公平性问题中，概率相等的游戏是公平的，否则就是不公平的．判断游戏公平的关键在于计算出概率，设计游戏规则时，可先根据要求，先计算出可能出现情况的概率，再根据概率相等的情况来设计游戏规则． 【例题探究】 【例1】　在一个不透明的盒子里装有3个黑球和1个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球，下列条件中，不可能事件是(　　) A．摸出的2个球有一个是白球 B．摸出的2个球都是黑球 C．摸出的2个球有一个黑球 D．摸出的2个球都是白球 【思路点拨】　根据不可能事件的概念进行判断即可． 【解题过程】　∵在一个不透明的盒子里装有3个黑球和1个白球，从中任意摸出2个球， ∴摸出的2个球有一个是白球，是随机事件； 摸出的2个球都是黑球，是随机事件； 摸出的2个球有一个黑球，是必然事件； 摸出的2个球都是白球，是不可能事件. 故选D. 【例2】　如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分)，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为20cm2的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果)，他将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为(　　) A．6cm2 B．7cm2 C．8 cm2 D．9cm2 【思路点拨】　设不规则图案的面积为xcm2，根据几何概率可得小球落在不规则图案内的概率为 ，由频率估计概率可知该概率为0.35，列出方程求解即可 【解题过程】　设不规则图案的面积为xcm2，则小球落在不规则图案的概率为， 由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35， ∴＝0.35，解得x＝7， ∴不规则图案的面积大约为7cm2， 故选B. 【例3】　如图是正方形网格，除A，B两点外，在网格的格点上任取一点C，连结AC，BC，能使△ABC为等腰三角形的概率是(　　) A． B． C． D． 【思路点拨】　分AB＝BC，AB＝AC，AC＝BC三种情况进行讨论，找出符合条件的格点C的个数，再用概率公式计算即可． 【解题过程】　如答图， 答图 ①若AB＝BC，则符合要求的格点有C1，C2，C3，C4，C5，共5个点； ②若AB＝AC，则符合要求的格点有C6，C7，C8，共3个点； ③若AC＝BC，则不存在这样的格点． ∴满足题意的格点C共有8个点， ∴能使△ABC为等腰三角形的概率是. 故选D. 【例4】　将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为(　　) A． B． C． D． 【思路点拨】　分别求出阴影区域的面积和正六边形的面积，两者的比值即为答案． 答图 【解题过程】　如图所示，设每个小三角形的面积为a， 由题意可得，阴影区域的面积为6a，正六边形的面积为18a， ∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为 ＝ . 故选B. 【例5】　如图，有四张背面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀． (1)从中随机摸出一张，求摸出的正面是中心对称图形的纸牌的概率． (2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张纸牌正面的图形都是轴对称图形，小明获胜；否则小亮获胜．这个游戏公平吗？请用列表法(或画树状图法)说明理由(纸牌用A，B，C，D表示)． 【思路点拨】　(1)直接代入概率公式计算即可；(2)分别求出小明、小亮获胜的概率，比较概率的大小，即可知这个游戏是否公平． 【解题过程】　(1)共有4张牌，正面是中心对称图形的纸牌是B，C，D，情况有3种，所以摸到正面是中心对称图形的纸牌的概率是. 【解题过程】(2)列表如下： A B C D A (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) 由表可知，共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中两张纸牌正面的图形都是轴对称图形的有6种， ∴P(小明获胜)＝，P(小亮获胜)＝1－＝. ∵P(小明获胜)＝P(小亮获胜)， ∴这个游戏公平． 【例6】　在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数－1，0，2，它们除了数不同外，其他都完全相同． (1)随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数2的小球的概率为________． (2)小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下其上数作为平面直角坐标系内点M的横坐标，再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下其上数作为平面直角坐标系内点M的纵坐标．请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在如图所示的正方形网格内(包括边界)的概率． 【思路点拨】　(1)直接利用概率公式P(A)＝计算即可；(2)先用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，再判断出点M落在如图所示的正方形网格内(包括边界)有几种情况，最后根据概率计算公式P(A)＝进行计算． 【解题过程】　(1). 【解题过程】(2)列表如下： 纵坐标 横坐标 －1 0 2 －1 (－1，－1) (－1，0) (－1，2) 0 (0，－1) (0，0) (0，2) 2 (2，－1) (2，0) (2，2) 或画树状图如下： 由表或树状图可知，共有9种等可能的结果，其中点M落在如图所示的正方形网格内(包括边界)的结果有6种，所以点M落在如图所示的正方形网格内(包括边界)的概率为＝. 【例7】　在一个不透明的口袋里装有分别标有数－3，－1，0，2的四个小球，除数不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀． (1)从中任取一球，求其上数字为正数的概率． (2)从中任取一球，将球上的数记为a，求关于x的一元二次方程ax2－2ax＋a＋3＝0有实数根的概率． (3)从中任取一球，将球上的数作为点的横坐标，记为x(不放回)；再任取一球，将球上的数作为点的纵坐标，记为y.试用画树状图法或列表法表示出点(x，y)所有可能出现的结果，并求点(x，y)落在第二象限内的概率． 【思路点拨】　(1)直接代入概率计算公式即可；(2)表示出已知方程根的判别式，根据方程有实数根求出a的范围，即可求出所求的概率；(3)列表得出所有等可能的情况数，找出点(x，y)落在第二象限内的情况数，即可求出所求的概率． 【解题过程】　(1)根据题意，任取一球，其上数字为正数的情况有1个， ∴P＝. 【解题过程】(2)∵关于x的方程ax2－2ax＋a＋3＝0有实数根， ∴△＝4a2－4a(a＋3)＝－12a≥0，且a≠0. 解得a＜0. ∴关于x的一元二次方程ax2－2ax＋a＋3＝0有实数根的概率为＝. 【解题过程】(3)列表如下： 　　x y　　 －3 －1 0 2 －3 (－1，－3) (0，－3) (2，－3) －1 (－3，－1) (0，－1) (2，－1) 0 (－3，0) (－1，0) (2，0) 2 (－3，2) (－1，2) (0，2) 由表可知，所有等可能的情况有12种，其中点(x，y)落在第二象限内的情况有2种， ∴P＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$