第06讲 圆的对称性（3个知识点+3种题型+分层练习）2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第06讲 圆的对称性（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点2．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点3．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 题型强化 题型一．垂径定理 1．（2024•邗江区校级模拟）如图，已知的半径为10，的一条弦，若内的一点恰好在上，则线段的长度为整数的值有 　　个． 2．（2024•盐都区校级一模）如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为　　 A．8 B．12 C．16 D．20 3．（2023秋•盐都区校级月考）如图，点P是⊙O内一定点． （1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若⊙O的半径为10，OP＝6， ①求过点P的弦的长度m范围； ②过点P的弦中，长度为整数的弦有 　　条． 题型二．垂径定理的应用 4．（2023秋•江都区月考）如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为　　 A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米 5． （2023秋•惠山区期末）如图，将一个球放在空心的透明圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高，底面直径，球的最高点到地面的距离为，则球的半径为 　 　．（玻璃瓶厚度忽略不计） 6．（2023秋•梁溪区校级月考）如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是一款拱门的示意图，其中为中点，为拱门最高点，线段经过圆心，已知拱门的半径为，拱门最下端． （1）求拱门最高点到地面的距离； （2）现需要给房间内搬进一个长和宽为，高为的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门．（参考数据： 题型三．圆心角、弧、弦的关系 7．（2023秋•建邺区月考）如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于　　 A．8 B．10 C．11 D．12 8．（2022秋•连云港期末）如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点．若，则度数为 　　． 9．（2022秋•涟水县期中）如图，、、、是上的四点，．求证：． 分层练习 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．相等的弦所对的弧相等 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．等弧所对的弦相等 D．相等的弦所对的圆心角相等 2．如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为（   ）    A． B． C． D． 3．垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据．下列可以运用垂径定理解决问题的图形是（    ） A． B． C． D． 4．一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（    ） A． B． C． D． 5．已知⊙O的半径为5，两条平行弦AB、CD的长分别为6和8，求这两条平行弦AB与CD之间的距离（　　） A．3 B．4 C．1或7 D．10 6．下列说法：①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；③等弧所对的圆心角相等；④过三点可以画一个圆；⑤圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等．正确的个数有（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，在中，半径，弦，是弦上的动点（不含端点，），若线段长为正整数，则点的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 8．七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图，小米同学运用数学知识设计徽标，将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，取名为“火箭”，过该图形的，，三个顶点作圆，则该圆的半径长上（    ） A． B． C． D． 9．如图，中，弦，垂足为，为的中点，连接、、，交于，过作，垂足为，以下结论：①；②：③：④，其中一定成立的是　　    A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 10．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 二、填空题 11．已知⊙O的直径为20， AB， CD分别是⊙O的两条弦，且AB//CD，AB=16，CD=10，则AB，CD之间的距离是 ． 12．如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于 ． 13．如图，是的直径，为的一条弦，于点E，已知，，则的半径为 ． 14．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽，水的最大深度，则此管件的直径为 ． 15．如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作圆弧，则圆心的坐标是 ．    17．如图，中，，截三条边所得弦长相等，则 ． 18． 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 三、解答题 19．已知⊙O的直径为10，AB、CD是两条平行的弦，且AB＝6、CD＝8，求AB、CD之间的距离 20．如图，是的直径，点C、D在上，，，垂足分别为E，F，且，与相等吗？为什么？ 21．如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 22．如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为8米，拱高（弧的中点到水面的距离）为2米． (1)求主桥拱所在圆的半径； (2)若水面下降1米，求此时水面的宽度（保留根号）． 23．操作题：如图，是的外接圆，弦AD平分，P是上一点． (1)请你只用无刻度的直尺在圆上找一点P使； (2)在（1）的条件下，当，圆的半径为5的时候，求的面积． 24．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 25．已知：如图，是的直径，点C在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）．    (1)如图①，若M是半圆的中点，且与C点在同侧，画出的平分线．并说明理由； (2)如图②，若，画出的平分线． 26．如图所示：残缺的圆形轮片上，弦的垂直平分线交圆形轮片于点C，垂足为D， 解答下列问题： (1)用尺规作图找出圆形轮片的圆心O的位置，并将圆形轮片所在的圆补全； （要求：保留所有的作图痕迹，不写作法） (2)若弦，，求残缺圆形轮片所在圆半径r． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 圆的对称性（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点2．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点3．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 题型强化 题型一．垂径定理 1．（2024•邗江区校级模拟）如图，已知的半径为10，的一条弦，若内的一点恰好在上，则线段的长度为整数的值有 　4　个． 【分析】连接，过点作于点，根据垂直于弦的直径平分这条弦可得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得，求出的范围，计算即可． 【解答】解：如图，连接，过点作于点， 则， 在中，，， 故， 则， 线段的长度为整数的值有6、7、8、9，共4个， 故答案为：4． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键． 2．（2024•盐都区校级一模）如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为　　 A．8 B．12 C．16 D．20 【分析】由垂径定理得到，由勾股定理求出，即可得到的长． 【解答】解：， ， ，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到，由勾股定理求出的长． 3．（2023秋•盐都区校级月考）如图，点P是⊙O内一定点． （1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若⊙O的半径为10，OP＝6， ①求过点P的弦的长度m范围； ②过点P的弦中，长度为整数的弦有 　8　条． 【分析】（1）连接OP并延长，过点P作AB⊥OP即可； （2）①过点P的所有弦中，直径最长为20，与OP垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出AB＝16，即可得出答案；②过P点最长的弦为直径20，最短的弦16，长度为17、18、19的弦有2条，即可得出结论． 【解答】解：（1）如图1，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP，则弦AB即为所求； （2）①过点P的所有弦中，直径最长为20，与OP垂直的弦最短， 连接OA，∵OP⊥AB， ∴， ∴AB＝2AP＝16， ∴过点P的弦的长度m范围为16≤m≤20； ②∵过P点最长的弦为直径20，最短的弦16， ∴长度为17、18、19的弦各有两条， ∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有8条， 故答案为：8． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理以及作图；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 题型二．垂径定理的应用 4．（2023秋•江都区月考）如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为　　 A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米 【分析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在所在的直线上，设圆心是． 连接．根据垂径定理和勾股定理求解． 【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在所在的直线上，设圆心是 连接．根据垂径定理，得（米， 设圆的半径是，根据勾股定理，得，解得 故选：． 【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算． 5．（2023秋•惠山区期末）如图，将一个球放在空心的透明圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高，底面直径，球的最高点到地面的距离为，则球的半径为 　10　．（玻璃瓶厚度忽略不计） 【分析】根据垂径定理求出，再在中由勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：如图，由题意可知，，，，则，，其中是球的半径， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， 即球的半径为． 故答案为：10． 【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理的定义是正确解答的关键． 6．（2023秋•梁溪区校级月考）如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是一款拱门的示意图，其中为中点，为拱门最高点，线段经过圆心，已知拱门的半径为，拱门最下端． （1）求拱门最高点到地面的距离； （2）现需要给房间内搬进一个长和宽为，高为的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门．（参考数据： 【分析】（1）如图②中，连接．利用勾股定理求出即可； （2）如图②，弦，且，连接．求出即可． 【解答】解：（1）如图②中，连接． ，经过圆心， ， ， ， 拱门最高点到地面的距离为； （2）如图②，弦，且，连接． ，经过圆心， ， ， ， ， 搬运该桌子时能够通过拱门． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 题型三．圆心角、弧、弦的关系 7．（2023秋•建邺区月考）如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于　　 A．8 B．10 C．11 D．12 【分析】作直径，连接，先利用等角的补角相等得到，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到，再利用勾股定理，继而求得答案． 【解答】解：作直径，连接，如图， 则， ， 而， ， ， ， ． 解法二：如图，过点作于，于． ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法． 8．（2022秋•连云港期末）如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点．若，则度数为 　50　． 【分析】根据求出，根据三角形的外角性质求出，根据等腰三角形的性质求出． 【解答】解：连接． ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：50． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能求出的度数是解此题的关键． 9．（2022秋•涟水县期中）如图，、、、是上的四点，．求证：． 【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，求出，再根据圆心角、弧、弦之间的关系推出答案即可． 【解答】证明：， ， ， ． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 分层练习 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．相等的弦所对的弧相等 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．等弧所对的弦相等 D．相等的弦所对的圆心角相等 【答案】C 【分析】此题考查了圆心角、弧、弦的关系．根据圆心角、弧、弦的关系作答即可． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，本选项不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本选项不符合题意； C、等弧所对的弦相等，本选项符合题意； D、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，本选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定．连接、．根据圆心角、弧、弦的关系证得是等边三角形，则的半径长为，再求解即可． 【详解】解：如图，连接、．   是的直径，四边形内接于，若， ， ． 又， 是等边三角形， ， ． 故选：D． 3．垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据．下列可以运用垂径定理解决问题的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过圆心作弦的垂线，则可运用垂径定理解决问题，从而对各选项进行判断． 【详解】 解：可以运用垂径定理解决问题的图形是． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，解题的关键是熟记垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 4．一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，由垂径定理，勾股定理求出的长．由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，过点O做于点N，交于点M， ∵， ∴， 连接，， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径为． 故选：C． 5．已知⊙O的半径为5，两条平行弦AB、CD的长分别为6和8，求这两条平行弦AB与CD之间的距离（　　） A．3 B．4 C．1或7 D．10 【答案】C 【分析】先根据题意画出符合条件的两种情况，过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，再根据垂径定理和勾股定理即可求出OE、OF，然后结合图形求出EF即可． 【详解】解：分为两种情况：①当AB和CD在O的同旁时，如图1， 过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC， ∵AB∥CD，∴OF⊥CD， 则由垂径定理得：AE=AB=3，CF=CD=4， 在Rt△OAE中，由勾股定理得：OE=， 同理可求出OF=3， ∴EF=4－3=1； ②当AB和CD在O的两侧时，如图2，同法求出OE=4，OF=3， 则EF=4+3=7； 即AB与CD的距离是1或7. 故选C. 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，关键是能正确求出符合条件的两种情况、熟练掌握垂径定理. 6．下列说法：①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；③等弧所对的圆心角相等；④过三点可以画一个圆；⑤圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等．正确的个数有（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由垂径定理的推论可判断①，由圆心角，弧，弦之间的关系可判断②③，由不在同一直线上的三点确定一个圆可判断④，由圆的对称轴是直线可判断⑤，由三角形的外心的性质可判断⑥，从而可得答案. 【详解】解：当被平分的这条弦是直径时，平分弦的直径，不平分这条弦所对的弧；故①不符合题意； 在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也不一定相等；因为圆当中任意一条弦都与两条弧相对，故②不符合题意； 等弧所对的圆心角相等；正确，故③符合题意； 过不在同一直线上的三点可以画一个圆；故④不符合题意； 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；故⑤不符合题意； 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．故⑥不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，垂径定理的推论，圆心角，弧，弦之间的关系，圆的确定，三角形的外心的性质，掌握以上基础知识是解题的关键. 7．如图，在中，半径，弦，是弦上的动点（不含端点，），若线段长为正整数，则点的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理、垂线段最短，熟练掌握垂径定理和勾股定理，求出是解题的关键． 当P为的中点时最短，则，由勾股定理求出的长；当P与A或B重合时，最长，得出的范围，再由为整数，得到所有可能的长即可． 【详解】解：连接， 当P为的中点时， 则， 由垂径定理得：，此时最短， 在中，，， 由勾股定理得：， 即的最小值为3， 当P与A或B重合时，最长，此时， ∵是弦上的动点（不含端点，） ∴， 若线段的长度为正整数， ∴或． 根据对称性可知，满足条件的点P的个数有3个， 故选：A． 8．七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图，小米同学运用数学知识设计徽标，将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，取名为“火箭”，过该图形的，，三个顶点作圆，则该圆的半径长上（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了七巧板，正方形的性质，确定圆的条件以及三角形的外接圆与外心，先求得，，利用垂径定理求得的长，在中，由勾股定理求解即可，解题的关键是作出适当的辅助线，构造直角三角形． 【详解】解：∵将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，如图，连接， ∴，， ∴， 设该圆的半径长是，则，， 在中，由勾股定理得，解得， ∴该圆的半径长是， 故选：． 9．如图，中，弦，垂足为，为的中点，连接、、，交于，过作，垂足为，以下结论：①；②：③：④，其中一定成立的是　　    A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，先根据题意得到，则，即可判断①；推出，进而证明，即可判断③；证明，得到，即可判断②，证明的度数的度数，得到的度数的度数，则，即可判断④． 【详解】解：为的中点， ， ∴，故①正确， ， ，， ， ，故③错误， ，， ， ，， ， ，故②正确， ， ， 的度数的度数， 的度数的度数， ，故④正确， 故选：B． 10．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【分析】根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】解：如图 作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用． 二、填空题 11．已知⊙O的直径为20， AB， CD分别是⊙O的两条弦，且AB//CD，AB=16，CD=10，则AB，CD之间的距离是 ． 【答案】或 【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC，由，得到，利用垂径定理得到E与F分别为CD与AB的中点，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出OF的长，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的长，由即可求出EF的长；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理由求出EF的长即可． 【详解】解：分两种情况考虑： 当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示， 过O作，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC， ，， ∴F、分别为AB、CD的中点， ，， 在中，，， 根据勾股定理得：， 在中，，， 根据勾股定理得：， 则；    当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得， 综上，弦AB与CD的距离为或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 12．如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于 ． 【答案】/54度 【分析】本题主要考了圆心角、弧、弦的关系．注意掌握数形结合思想的应用． 根据圆心角与弧的关系可求得的度数，从而即可求解． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴， ∴弧度数等于． 故答案为：． 13．如图，是的直径，为的一条弦，于点E，已知，，则的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．连结，根据垂径定理求得，再根据勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连结， 是的直径，， ， ， 即的半径为5． 故答案为：5． 14．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽，水的最大深度，则此管件的直径为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示：    由题意知，， ∵， ∴， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴此管件的直径为， 故答案为：． 15．如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，由可知当最小时，最大；又，故当最小时，最大；所以当时满足题意，据此即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， 为的半径，其值一定， ∴当最小时，最大， ∵ ∴当最小时，最大， ∵点C在上移动， ∴当时，最小 此时，点与点（或点）重合，点与点（或点）重合， ∴的最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查了垂径定理的相关知识点，得出当时，最小，最大，也最大是解题关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作圆弧，则圆心的坐标是 ．    【答案】 【分析】运用垂径定理的推论作图确定圆心位置，写出坐标即可． 【详解】解：分别作的垂直平分线，交于点P，点P即为圆心， 由图知，圆心P的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理的推论，掌握作圆中弦的垂直平分线必过圆心值解题的关键． 17．如图，中，，截三条边所得弦长相等，则 ． 【答案】/110度 【分析】如图所示，根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理得，再根据角平分线的判定定理得，然后根据三角内角和定理求得答案． 【详解】解：过点分别作，垂足分别是，记：，如图所示， 截三条边所得弦长相等， 点到三角形三条边的距离相等即， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆的相关定理、角平分线的判定定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理和三角形的内角和定理等定理是解答此题的关键． 18． 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 【答案】134 【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32， ∵OE⊥AB， ∴AE=EB=100cm， 在RT△OAE中， 在RT△OCE中，， 则 解得：r=134． 故答案为：134． 【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 三、解答题 19．已知⊙O的直径为10，AB、CD是两条平行的弦，且AB＝6、CD＝8，求AB、CD之间的距离 【答案】1或7 【分析】根据题意画出符合条件的两个图形，过O作EF⊥CD于E，交AB于F，连接OC、OA，根据垂径定理求出CE、AF，根据勾股定理求出OE、OF，即可得出答案． 【详解】解：分为两种情况：①如图1，过O作EF⊥CD于E，交AB于F，连接OC、OA、 ∵AB∥CD， ∴EF⊥AB， ∴由垂径定理得：CE＝ED＝CD＝4，AF＝BF＝AB＝3， 在Rt△OCE中，OC＝5，CE＝4，由勾股定理得：OE＝＝3， 在Rt△OAF中，OC＝5，AF＝3，由勾股定理得：OF＝＝4， 即两条平行弦AB与CD之间的距离是4−3＝1； ②如图2，两条平行弦AB与CD之间的距离是3＋4＝7； 综合上述，两条平行弦AB与CD之间的距离是1或7． 【点睛】本题考查了平行线性质，垂径定理，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，注意一定要进行分类讨论啊． 20．如图，是的直径，点C、D在上，，，垂足分别为E，F，且，与相等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质及圆心角、弧、弦的关系．在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．连接，欲证与相等，先证、关系，证明即可． 【详解】，连接 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵， ∴． 21．如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得； （2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴， 即． ∴． （2）证明：连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴E、O都在的垂直平分线上． ∴ 22．如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为8米，拱高（弧的中点到水面的距离）为2米． (1)求主桥拱所在圆的半径； (2)若水面下降1米，求此时水面的宽度（保留根号）． 【答案】(1)主桥拱所在圆的半径长为5米 (2)此时水面的宽度为米 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）连接，设半径，在中，利用勾股定理构建方程求解即可； （2）根据勾股定理列式可得的长，最后由垂径定理可得结论． 【详解】（1）∵点是的中点，， ∴经过圆心， 设拱桥的桥拱弧所在圆的圆心为，连接， 设半径， 在中，， 解得． 答：主桥拱所在圆的半径长为5米； （2）设与相交于点，连接， ∴， ∴， 在中，， 答：此时水面的宽度为米． 23．操作题：如图，是的外接圆，弦AD平分，P是上一点． (1)请你只用无刻度的直尺在圆上找一点P使； (2)在（1）的条件下，当，圆的半径为5的时候，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了弧与弦，圆周角之间的关系，垂径定理的推论，勾股定理等等： （1）如图所示，连接并延长交于点P，点P即为所求； （2）先由垂径定理的推论得到，再利用勾股定理求出的长，进而求出的长，即可根据三角形面积公式求出答案． 【详解】（1）解：如图所示，连接并延长交于点P，点P即为所求； 由角平分线的定义得到，则，则，则； （2）解：设交于H，连接， 角平分线的定义得到，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键． （1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证； （2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴，即小圆的半径r为 25．已知：如图，是的直径，点C在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）．    (1)如图①，若M是半圆的中点，且与C点在同侧，画出的平分线．并说明理由； (2)如图②，若，画出的平分线． 【答案】(1)画图，理由见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）作直径，作射线即可，理由见解析； （2）连接，交于点，作直线交于点，作射线即可，由可得，从而得出，从而得出，再由等腰三角形性质得出，推出，最后得出结论． 【详解】（1）如图①，即为所求的平分线；    证明：∵M是半圆的中点， ∴， ∴直径直径， ∴， ∴， 即平分． （2）如图2中，射线即为所求．    【点睛】本题考查作图复杂作图，角平分线的概念，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 26．如图所示：残缺的圆形轮片上，弦的垂直平分线交圆形轮片于点C，垂足为D， 解答下列问题： (1)用尺规作图找出圆形轮片的圆心O的位置，并将圆形轮片所在的圆补全； （要求：保留所有的作图痕迹，不写作法） (2)若弦，，求残缺圆形轮片所在圆半径r． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题考查圆的垂径定理，勾股定理，熟练掌握通过垂径定理找圆心，通过勾股定理构造方程求边长是解题的关键． （1）由于是弦的垂直平分线，则圆心在上，因此连接，圆心在的垂直平分线上，故作的垂直平分线，交于点O，则点O就是所求的圆心，然后补全圆即可； （2）连接，设半径为x，即，则，根据是的垂直平分线，得到，，因此在中，根据勾股定理构造方程，即可求出x的值，即为此残片所在圆的半径． 【详解】（1）解：如图，点O为所求的圆心． （2）连接， 设半径为x，即， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴ ∴在中，， 即， 解得：， ∴此残片所在圆的半径为13. 学科网（北京）股份有限公司 $$