精品解析：四川省自贡市旭川中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

高2025届高二下数学学科期中考试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 出题人：王坤 审题人：肖珊） 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；答卷时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的运算公式，准确计算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A错误； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，所以C错误； 对于D中，由，所以D错误. 故选：B. 2. 如图，设有圆和定点，当从开始在平面内绕匀速旋转时（角速度不变且旋转角度不超过90°），直线l扫过的圆内的面积是时间的函数，这个函数的图像只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由于是匀速旋转，阴影部分面积在开始和最后时段增加慢，中间时段增加快. 选项A的图像表示的增速是常数，与实际不符，故A选项不符合题意； 选项B的图像表示最后时段增加快，与实际不符，故B选项不符合题意； 选项C的图像表示开始和最后时段增加快，中间时段增加慢，故选项C不符合题意； 选项D的图像表示开始和最后时段增加慢，中间时段增加快，符合实际，应选D. 3. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，根据导函数的正负,确定函数的单调递增递减区间即得. 【详解】由求导得，， 则当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减， 故函数的单调递增区间为. 故选：D. 4. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用导数求函数的减区间，再利用子集关系，列式求的取值范围. 【详解】， 当，解得：， 由条件可知， 所以 ，解得：. 故选：B. 5. 设 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，依次求出,...,寻找出规律即可. 【详解】因为， 所以, , , , ... 因为, 所以. 故选：C. 6. 为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ） A. 60种 B. 150种 C. 180种 D. 300种 【答案】B 【解析】 【分析】对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理求解即可． 【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选三门德育校本课程， 每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况， ①三组人数为1、1、3，此时有种； ②三组人数为2、2、1，此时有种. 所以不同的报名方法共有60＋90＝150种． 故选：B． 7. 设，比较的大小关系（ ） A. B. b C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，构造、且，利用导数研究单调性比较大小关系. 【详解】由， 令且，则， 所以递减，则，故，则， 令且，则， 所以递减，则，故，则， 综上，. 故选：C 8. 已知函数，，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，将原问题转化为，再利用导数研究函数、的极值、最值，即可求解. 【详解】，则， 令，解得或；令， 解得， ， 故在单调递减，在单调递增，在单调递减， 且， 故， 任意的，都有成立，则， 因为，则， 当时，在单调递增， 所以， 故，即(舍去)； 当时， 令，解得；令， 解得， 故在上单调递减， 在上单调递增， 所以， 所以，即， 解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A 【点睛】不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合( 图象在 上方即可)； ③分类讨论参数. 二．多选题（本题3个小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种 B. 若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种 C. 若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种 D. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，定序问题采用倍缩法进行求解；B选项，采用插空法进行求解；C选项，分两种情况，若最左端排乙，最左端不排乙，分别求出两种情况下的排法，相加即可；D选项，使用捆绑法进行求解； 【详解】对于A，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排列有种情况，故A错误； 对于B，先安排丙，丁，戊三人，有种情况，再将甲乙两人插空，则有种情况，故甲乙不相邻的排法种数为种情况，故B正确； 对于C，若最左端排乙，此时其余四人可进行全排列，故有种；若最左端不排乙，则最左端只能从丙，丁，戊选出1人，又乙不能在最右端，则有种情况，则共有种站法，故C错误； 对于D，将甲与乙捆绑，看做一个整体且固定顺序，再与其他三人站成一排，故有种，故D正确； 故选：BD 10. 已知函数的图象如图所示，且定义在上的函数的导函数为的导函数为，则（ ） A. 在上单调递减 B. 1是的极大值点 C. 的零点是0和2 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的图象可求出函数的单调区间及极值点，即可判断AB；根据函数的单调区间即可得出其导函数的零点及符号分布情况，即可判断CD. 【详解】由图可知，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 1是的极大值点，A错误，B正确； 的单调递增区间为，单调递减区间为， 当或时，， 当时，，C正确； 由，得，或， 解得或， 所以等式的解集为，D正确． 故选：BCD. 11. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】求出每个选项中函数的二阶导函数，并验证是否对任意的恒成立，由此可得出答案. 【详解】对于A，，， 当时，，，故不是凸函数； 对于B，，，故是凸函数； 对于C，，对任意的，，故是凸函数； 对于D，，对任意的，，故不是凸函数． 故选：AD． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三．填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为．若，则曲线在处的曲率是_______ 【答案】1 【解析】 【分析】依题意，对函数分别求和，再将点的横坐标代入曲率表达式计算即得. 【详解】由求导得，，再求导得，， 依题意，曲线在处的曲率为. 故答案为：1. 13. 若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】求导得，转化为在上有解，最后分离参数即可. 【详解】函数，则 ， 因为在上存在单调递增区间，所以在上有解， 所以当时，有解， 令，而当时，令 ， 即为， 此时(此时)，所以， 故答案为：. 14. 已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数等于________． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断是否为函数的零点，从而得到方程有两个根，令，问题转化为函数与函数的图象有两个交点，利用导数说明在上的单调性，即可得到的图象，再数形结合即可得解. 【详解】因为，则， 对于函数，所以，显然不是函数的零点， 当时函数恰好有两个零点， 所以方程有两个根， 令， 则函数与函数的图象有两个交点， 当时，，则， 所以当时，，函数在上为增函数， 当时，，函数在上为减函数，又， 当时，，函数在上为减函数， 由此可得函数的图象如下： 当即时，函数与函数的图象恰有两个交点， 所以. 故答案为：. 四．解答题（本题共5个大题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）若曲线在其上一点Q处的切线与直线平行，求Q的坐标； （2）求曲线的过坐标原点O的切线的方程． 【答案】（1）或（2，0） （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据平行关系确定切线斜率，设出切点坐标，利用导数的几何意义确定切点Q横坐标，代入函数得纵坐标，从而得到切点坐标； （2）设出切点，利用导数的几何意义表示出切线的斜率，从而设出切线方程，再根据过原点，代入原点坐标得出切点横坐标，再回代得到切线方程． 【小问1详解】 ， 设，因为直线的斜率为4， 所以， 解得或2． ，． 所以点Q的坐标为或（2，0）． 【小问2详解】 设切点为，则，， 所以在该点处的切线方程为． 因为切线过原点，所以， 解得或1． 又因为，， 所以切线方程为或． 16. 已知函数在处有极值2. （1）求，的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）， （2）最小值是，最大值是2. 【解析】 【分析】（1）利用极值和极值点列方程求解即可； （2）根据导数求出函数的单调区间，然后比较极值和端点处函数值的大小即可. 【小问1详解】 ，. ∵函数在处取得极值2， ∴，， 解得，， ∴， 经验证在处取得极大值2， 故，. 【小问2详解】 ， 令，解得， 令，解得或， 因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ， 故函数的最小值是， ，故函数的最大值是2. 17. 已知各项均为正数的等差数列的首项，，，成等比数列； （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由，，成等比数列，可得，代入，解出的值，即可得答案； （2）由题意可得，采用分组求和即可. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为， 又因为，，成等比数列， 所以，即， 整理得：， 又因为， 解得或(舍) 则有， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 解：因为， 所以， 所以 . 所以. 18. 用0，1，2，3，4五个数字． （1）可以排成多少个三位数字的电话号码？ （2）可以排成多少个三位数？ （3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ （4）可以组成多少个无重复数字的四位奇数？ 【答案】（1）125 （2）100 （3）30 （4）36 【解析】 【分析】（1）三位数字的电话号码，数字可以重复，首位可以是0，由分步乘法计数原理计算即可； （2）排成三位数，首位不能为0，先排首位，再排其他位，由分步乘法计数原理计算即可； （3）排成能被2整除的无重复数字的三位数，分为2类，个位为0或者个位为2，4，再排其他位，根据分类加法和分步乘法计数原理计算即可； （4）先排个位，再排首位，最后排其他位，根据分步乘法计数原理计算即可． 【小问1详解】 三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法， 共有(个)． 【小问2详解】 三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有(个)． 【小问3详解】 被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4， 因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有(种)排法； 一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有 (种)排法， 因此有(种)排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数． 【小问4详解】 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步： 第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法； 第二步定首位，从1，2，3，4中除去用过的一个，从剩下的3个中任取一个，有3种方法； 第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法. 由分步计数原理知共有(个)． 19. 已知函数. （1）若存在极值，求的取值范围； （2）若，，证明：. 【答案】（1） （2） 欲证不等式在时恒成立， 只需证明在时恒成立. 设，， 则， 令，， 则. 当时，，所以， 所以即在上单调递增， 所以， 因为，所以， 故，所以在上单调递增， 所以， 即当，时，不等式恒成立. 【解析】 【分析】（1）求函数的导函数，分、两种情况讨论，即可得到函数的单调性，从而得到函数的极值点，即可得解； （2）依题意即证明在时恒成立，设，，利用导数说明函数的单调性，即可得证. 【小问1详解】 由，，得， 当时，，则单调递增，不存在极值； 当时，令，则， 当，则，即在上单调递减， 当，则，即在上单调递增. 所以是的极小值点， 所以当时，存在极值， 综上所述，存在极值时，的取值范围是. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2025届高二下数学学科期中考试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 出题人：王坤 审题人：肖珊） 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；答卷时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，设有圆和定点，当从开始在平面内绕匀速旋转时（角速度不变且旋转角度不超过90°），直线l扫过的圆内的面积是时间的函数，这个函数的图像只可能是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设 ，则（ ） A. B. C. D. 6. 为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ） A. 60种 B. 150种 C. 180种 D. 300种 7. 设，比较的大小关系（ ） A. B. b C. D. 8. 已知函数，，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多选题（本题3个小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种 B. 若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种 C. 若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种 D. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种 10. 已知函数的图象如图所示，且定义在上的函数的导函数为的导函数为，则（ ） A. 在上单调递减 B. 1是的极大值点 C. 的零点是0和2 D. 不等式的解集为 11. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三．填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为．若，则曲线在处的曲率是_______ 13. 若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______ 14. 已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数等于________． 四．解答题（本题共5个大题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）若曲线在其上一点Q处的切线与直线平行，求Q的坐标； （2）求曲线的过坐标原点O的切线的方程． 16. 已知函数在处有极值2. （1）求，的值； （2）求函数在区间上的最值. 17. 已知各项均为正数的等差数列的首项，，，成等比数列； （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 用0，1，2，3，4五个数字． （1）可以排成多少个三位数字的电话号码？ （2）可以排成多少个三位数？ （3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ （4）可以组成多少个无重复数字的四位奇数？ 19. 已知函数. （1）若存在极值，求的取值范围； （2）若，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $