专题2.6 含30°的直角三角形的性质【十大题型】-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（苏科版）

专题2.6 含30°的直角三角形的性质【十大题型】 【苏科版】 【题型1 由含30°的直角三角形的性质求线段长度】 1 【题型2 由含30°的直角三角形的性质求角度】 2 【题型3 由含30°的直角三角形的性质求面积】 3 【题型4 由含30°的直角三角形的性质求最值】 4 【题型5 由含30°的直角三角形的性质求坐标】 5 【题型6 由含30°的直角三角形的性质进行证明】 6 【题型7 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题】 7 【题型8 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题】 9 【题型9 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题】 10 【题型10 含30°的直角三角形的性质的实际应用】 11 知识点：含30°的直角三角形的性质 在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半。 【题型1 由含30°的直角三角形的性质求线段长度】 【例1】（23-24八年级·山东济宁·期末）如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式1-1】（23-24八年级·黑龙江牡丹江·期中）在等边三角形，若边上的高与边所夹得角为，且，则的周长为（     ） A．18 B．9 C．6 D．4.5 【变式1-2】（23-24八年级·山东泰安·期末）如图所示，是等边三角形，D为的中点，，垂足为E．若，则的边长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【变式1-3】（2024八年级·江苏·专题练习）如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 【题型2 由含30°的直角三角形的性质求角度】 【例2】（2024·吉林长春·八年级期末）如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示的方式摆放，线段在直线上．若点恰好是线段中点，则的大小为 °． 【变式2-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在中，，点为边上的动点，当最小时，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（2024八年级·江苏·专题练习）如图，中，，且点在外，在的垂直平分线上，连接，若，，则 ． 【变式2-3】（2024·安徽·八年级期末）已知在等腰中，，垂足为点D，，则的度数有（    ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【题型3 由含30°的直角三角形的性质求面积】 【例3】（2024·山东聊城·八年级期末）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24八年级·重庆·期末）如图，在中，，点是上一点，且，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．18 D．6 【变式3-2】（23-24八年级·辽宁辽阳·期末）如图，在中，，D是上一点，连接，若平分，设和的面积分别是，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24八年级·湖南永州·期中）如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，求阴影部分的面积． 【题型4 由含30°的直角三角形的性质求最值】 【例4】（23-24八年级·湖北荆门·期末）如图，直线于点，，点是直线上一动点，以为边向上作等边，连接，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知，平分，点P在上，于点D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（　　） A．4 B．2 C．5 D．3 【变式4-2】（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，边长为6的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．则在点运动过程中，线段长度的最小值是 ． 【变式4-3】（23-24八年级·浙江金华·期末）如图，在等腰三角形中，，，是底边上的高，在的延长线上有一个动点，连接，作，交的延长线于点，的角平分线交边于点，则在点运动的过程中，线段的最小值(     ) A．6 B．4 C．3 D．2 【题型5 由含30°的直角三角形的性质求坐标】 【例5】（23-24八年级·北京朝阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，，若点A的横坐标为1，则点B的坐标为 ． 【变式5-1】（23-24八年级·湖南长沙·期中）如图，等边的三个顶点都在坐标轴上，，过点B作，交x轴于点D，则点D的坐标为 ．    【变式5-2】（2024·山东泰安·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点O的坐标为，点M的坐标为，N为y轴上一动点，连接．将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接．求线段长度的最小值（    ） A． B． C．2 D． 【变式5-3】（23-24八年级·广东东莞·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ． 【题型6 由含30°的直角三角形的性质进行证明】 【例6】（23-24八年级·山东烟台·期末）在中，，，平分，交于点D． (1)用尺规作出线段的垂直平分线交于点M，交于点N．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【变式6-1】（23-24八年级·重庆江津·期中）如图，在等腰中，，，点是边的中点，，交于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【变式6-2】（2024八年级·江苏·专题练习）如图，在，，，AB的垂直平分线分别交和于点． (1)若，求的长度； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 【变式6-3】（23-24八年级·安徽阜阳·开学考试）如图，已知在等边三角形中，，分别是边，上的点，且，连接，相交于点，过点作，为垂足，求证：． 【题型7 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题】 【例7】（23-24八年级·山东济宁·期末）如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠（折痕为），使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点（折痕为），则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式7-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图所示，在中，，将沿折叠，使点C落在边D点，若，则（   ）． A．12 B．16 C．18 D．14 【变式7-2】（2024·山东滨州·八年级期末）如图，点是矩形纸片的对称中心，是上一点，将纸片沿折叠后，点恰好与点重合．若，则折痕的长为 ． 【变式7-3】（23-24八年级·广西南宁·阶段练习）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，则为 ． 【题型8 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题】 【例8】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转至的位置，点B的对应点为点，点C的对应点恰好落在边上．设旋转角为． (1)的度数为 °； (2)求的周长． 【变式8-1】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）如图，将绕点A旋转得到，若，，，则的长为 ．    【变式8-2】（2024八年级·浙江·专题练习）如图，是绕点旋转后得到的，已知，，，则的长为 ． 【变式8-3】（2024·河北秦皇岛·八年级期末）如图，在等边中，，P为上一点（不与点B，C重合），过点P作于点P，交线段于点M，将绕点P顺时针旋转，交线段于点N，连接，有三位同学提出以下结论： 嘉嘉：为直角三角形． 淇淇：当时，． 珍珍：在点P移动的过程中，不存在平行于的情况． 下列说法正确的是（    ） A．只有嘉嘉正确 B．嘉嘉和淇淇正确 C．淇淇和珍珍正确 D．三人都正确 【题型9 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题】 【例9】（23-24八年级·湖南岳阳·期中）如图：是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达B时，P、Q两点停止运动，当点P到达B时，P、Q两点停止运动．设点P运动的时间为．当t为 时，是直角三角形． 【变式9-1】（23-24八年级·山西晋中·期中）如图，在中，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当为何值时，为等边三角形？ (2)当为何值时，为直角三角形？ 【变式9-2】（2024八年级·全国·专题练习）已知：如图，是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为．    (1)当动点P、Q同时运动时，则 cm， cm． (2)当动点P、Q同时运动时，分别用含有t的式子表示； cm， cm． (3)当t为何值时，是直角三角形？ 【变式9-3】（23-24八年级·辽宁朝阳·期末）如图，在中，，，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题：    (1)用含t的代数式表述的长是______． (2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【题型10 含30°的直角三角形的性质的实际应用】 【例10】（23-24八年级·安徽合肥·期末）如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若，．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度应为，则距离地面的高为 ． 【变式10-1】（23-24八年级·广西玉林·期中）某游乐场部分平面图如图所示，点C、E、A在同一直线上，点D、E、B在同一直线上，．测得A处与E处的距离为70m，C处与E处的距离为35m，，． (1)请求出旋转木马E处到出口B处的距离； (2)判断入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． 【变式10-2】（23-24八年级·河北廊坊·期末）如图，嘉琪想测量一座古塔的高度，在A处测得，再往前行进到达B处，测得，点 A，B，D在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔的高度为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（23-24八年级·山东济宁·期中）图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 含30°的直角三角形的性质【十大题型】 【苏科版】 【题型1 由含30°的直角三角形的性质求线段长度】 1 【题型2 由含30°的直角三角形的性质求角度】 5 【题型3 由含30°的直角三角形的性质求面积】 10 【题型4 由含30°的直角三角形的性质求最值】 14 【题型5 由含30°的直角三角形的性质求坐标】 19 【题型6 由含30°的直角三角形的性质进行证明】 23 【题型7 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题】 27 【题型8 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题】 30 【题型9 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题】 34 【题型10 含30°的直角三角形的性质的实际应用】 39 知识点：含30°的直角三角形的性质 在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半。 【题型1 由含30°的直角三角形的性质求线段长度】 【例1】（23-24八年级·山东济宁·期末）如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明即可得证； （2）求出，再根据含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式1-1】（23-24八年级·黑龙江牡丹江·期中）在等边三角形，若边上的高与边所夹得角为，且，则的周长为（     ） A．18 B．9 C．6 D．4.5 【答案】A 【分析】由30度角的性质可求出，然后由等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，    ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵是等边三角形， ∴的周长为． 故选A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解答本题的关键． 【变式1-2】（23-24八年级·山东泰安·期末）如图所示，是等边三角形，D为的中点，，垂足为E．若，则的边长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于；在直角三角形中角所对应的边是斜边的一半是解题的关键． 根据题意可知，在直角三角形中求得的长，即可求得的长． 【详解】解：∵是等边三角形，D为的中点，，垂足为点E．若， ∴在直角三角形中，，，， ∴， 又∵D为的中点， ∴， ∴等边三角形的边长为12， 故选：A． 【变式1-3】（2024八年级·江苏·专题练习）如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 【答案】7.8 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有角的直角三角形是解决问题的关键．过点作于，根据得，再根据等边三角形性质得，，则，由此得，据此可依据“”判定和全等，从而得，则，进而在根据直角三角形性质得，据此可得的长． 【详解】解：过点作于，如图所示： ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 故答案为： 【题型2 由含30°的直角三角形的性质求角度】 【例2】（2024·吉林长春·八年级期末）如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示的方式摆放，线段在直线上．若点恰好是线段中点，则的大小为 °． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线，含的直角三角形，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 过点作的垂线，垂足为，先证明为的中位线，和，再根据直角三角形中所对的直角边为斜边的一半即可得出，继而求出，以及的度数． 【详解】过点作的垂线，垂足为，如图： ∵点恰好是线段中点，，， ∴，， ∴， ∵两块等腰直角三角板完全相同， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在中，，点为边上的动点，当最小时，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，垂线段最短，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．在下方作，过点A作于点F，过点M作于点E，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据，两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当、M、E三点共线，且时，最小，即最小，求出此时的度数即可． 【详解】解：在下方作，过点A作于点F，过点M作于点E，如图所示：    则， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当、M、E三点共线，且时，最小，即最小， ∴当点E在点F时，最小， ∵，， ∴， 即此时． 故选：D． 【变式2-2】（2024八年级·江苏·专题练习）如图，中，，且点在外，在的垂直平分线上，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】过作，交的延长线于，过作于，证明，得，求出的度数，则根据等腰三角形的内角和，可求出的度数． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于，过作于， ∵点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,含角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题时要熟知等腰三角形的两个底角相等，需要作辅助线，构建全等三角形，由全等三角形的对应角相等． 【变式2-3】（2024·安徽·八年级期末）已知在等腰中，，垂足为点D，，则的度数有（    ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】A 【分析】根据题意分两种情况：落在内部和落在外部，然后分别根据等腰三角形的概念和三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）当落在内部时， ①如图，当时，    ∵，， ∴，即． ②如图，当时，    ∵，， ∴． ∴， ∴ ③如图，当时，    ∵，， ∴． ∴． （2）当落在外部时， ④当时，此时不存在． ⑤如图，当时，    ∵，， ∴． ∴，则． ⑥如图，当时，    ∵，， ∴． ∴，则，即． 综上，的度数可能为，，，，，共5种可能， 故选：A． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，含角直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据题意分情况讨论． 【题型3 由含30°的直角三角形的性质求面积】 【例3】（2024·山东聊城·八年级期末）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据角的直角三角形的性质得到，证明，再根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 由题意得：，平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查作图—基本作图，直角三角形两锐角互余，角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等底同高的三角形面积相等．掌握基本作图及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式3-1】（23-24八年级·重庆·期末）如图，在中，，点是上一点，且，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．18 D．6 【答案】A 【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角，含30度角的直角三角形，根据等边对等角结合三角形的外角，求出，进而求出的长，由三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； 故选A． 【变式3-2】（23-24八年级·辽宁辽阳·期末）如图，在中，，D是上一点，连接，若平分，设和的面积分别是，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等角对等边，三角形的面积等知识，先求出，得出， 从而，然后根据三角形面积公式可得结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴，     ∴， ∴． 故选B． 【变式3-3】（23-24八年级·湖南永州·期中）如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，求阴影部分的面积． 【答案】9 【分析】根据旋转的性质得到，，所以是等腰三角形，依据得到等腰三角形的面积，由图形可以知道，最终得到阴影部分的面积．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 【详解】解：在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到， ∴ ， 是等腰三角形，， 如图，过作于，则， ， 又， ， ． 【题型4 由含30°的直角三角形的性质求最值】 【例4】（23-24八年级·湖北荆门·期末）如图，直线于点，，点是直线上一动点，以为边向上作等边，连接，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．以为边作等边三角形，连接，过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于点， 和为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 是直线的动点， 在直线上运动， 的最小值为， ， ． 故选：B 【变式4-1】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知，平分，点P在上，于点D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（　　） A．4 B．2 C．5 D．3 【答案】D 【分析】题考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质及垂线段最短的实际应用．过作，根据垂线段最短即可求出最小值． 【详解】解∶∵，平分， ∴， ∵，， ∴， 过作于点，      ∵，平分， ∴， ∵点是射线上的动点， ∴的最小值为3， 故选：C． 【变式4-2】（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，边长为6的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．则在点运动过程中，线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转可以证明，可得，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，进而根据30度角所对直角边等于斜边的一半即可求得线段长度的最小值．本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 【详解】解：如图， 取的中点，连接， 线段绕点逆时针旋转得到， ， 又是等边三角形， ， 即， ， 是等边三角形的高， ， ， 又旋转到， ， ， ， 根据垂线段最短，当时，最短，即最短， 此时， ， ， ． 线段长度的最小值是． 故答案为： 【变式4-3】（23-24八年级·浙江金华·期末）如图，在等腰三角形中，，，是底边上的高，在的延长线上有一个动点，连接，作，交的延长线于点，的角平分线交边于点，则在点运动的过程中，线段的最小值(     ) A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定即性质，等腰三角形的三线合一的性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质．作于，作于，证明，推出，再证明，推出，得到当时有最小值，即有最小值，由，，求出． 【详解】解：作于，作于， ， ， 平分，即平分， ，， ， ，， ， ， ， )， ， 平分， ， 连接， ， ， ， 当时有最小值，即有最小值， 此时，，， ， 故选：D． 【题型5 由含30°的直角三角形的性质求坐标】 【例5】（23-24八年级·北京朝阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，，若点A的横坐标为1，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含30度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形，30度角所对的边是斜边的一半．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，先得出，则，进而得出，即可解答． 【详解】解：过点A作x轴的垂线，垂足为点C， ∵中， ∴， ∵， ∴， ∵点A的横坐标为1， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 【变式5-1】（23-24八年级·湖南长沙·期中）如图，等边的三个顶点都在坐标轴上，，过点B作，交x轴于点D，则点D的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．由等边三角形的性质求得的长，再由含30度角的直角三角形的性质求得的长，继而求得的长，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 故答案为：． 【变式5-2】（2024·山东泰安·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点O的坐标为，点M的坐标为，N为y轴上一动点，连接．将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接．求线段长度的最小值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】如图所示，将绕点M顺时针旋转60度得到，连接，由旋转的性质可得，证明是等边三角形，得到，推出；由垂线段最短可知，当轴，最小，即最小，此时点N与点重合，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，将绕点M顺时针旋转60度得到，连接， 由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵点M的坐标为， ∴， 由垂线段最短可知，当轴，最小，即最小，此时点N与点重合， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式5-3】（23-24八年级·广东东莞·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的坐标，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中， 的角所对的边等于斜边的一半是解决问题的关键． 首先根据点的坐标及等边三角形的性质得进而得 再根据直角三角形的性质得 点的纵坐标为 ，依次类推得到点的纵坐标为 即可解题． 【详解】∵点的坐标是，是等边三角形， ， ， 轴, ∴在中, 则 ， ∴点的纵坐标为 ， 同理： ...，以此类推， ， ∴点的纵坐标为 点 的纵坐标为点 的纵坐标为 ……，以此类推，点的纵坐标为 ， ∴点 的纵坐标为 故答案为： ． 【题型6 由含30°的直角三角形的性质进行证明】 【例6】（23-24八年级·山东烟台·期末）在中，，，平分，交于点D． (1)用尺规作出线段的垂直平分线交于点M，交于点N．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作一条线段垂直平分线的方法，进行作图即可； （2）过D点作于E点，连接，由角平分线的性质和定义得到，，再由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，则，由此即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，为所求作的线段的垂直平分线； （2）证明：过D点作于E点，连接， ∵，平分，，， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了，尺规作一条线段的垂直平分线，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质． 【变式6-1】（23-24八年级·重庆江津·期中）如图，在等腰中，，，点是边的中点，，交于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（1）证明，可得，设，可得，得出，解得，则可求出； （2）由直角三角形的性质可得，，则结论可得出． 【详解】（1）解： 点是边的中点，， ，， ， ， ， 设， ∵， ， ， ， ， ， ，解得， ； （2）解：，， ， ， ． 【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握运用基础知识是解题的关键． 【变式6-2】（2024八年级·江苏·专题练习）如图，在，，，AB的垂直平分线分别交和于点． (1)若，求的长度； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）连接，由垂直平分线的性质可求得，在中，由直角三角形的性质可证得，则可得出结果； （2）由垂直平分线的性质可求得，根据含30°角的直角三角形可得，因此为等腰三角形，进一步由题意可知，即可证明为等边三角形． 【详解】（1）解：如图，连接， 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， ， ， ． （2）是等边三角形，理由如下： 连接， 垂直平分， ∴D为AB中点， ， 在中，， ， ， 又， ∴是等边三角形． 【变式6-3】（23-24八年级·安徽阜阳·开学考试）如图，已知在等边三角形中，，分别是边，上的点，且，连接，相交于点，过点作，为垂足，求证：． 【答案】见详解 【分析】根据全等三角形的判定定理可判断两个三角形全等；根据全等三角形的对应角相等，以及三角形外角的性质，可以得到，根据直角三角形的性质即可得到．本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及含30度角直角三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：为等边三角形． ，， 在和中， ， ， ， 为外角， ， ， ， ． 【题型7 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题】 【例7】（23-24八年级·山东济宁·期末）如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠（折痕为），使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点（折痕为），则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据折叠的性质可得，，，即，再由角所对的直角边是斜边的一半，即可求解，本题考查了折叠的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是：熟练掌握折叠的性质． 【详解】解：由折叠可知，，， ， 在中，，，， ， ， 故选：． 【变式7-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图所示，在中，，将沿折叠，使点C落在边D点，若，则（   ）． A．12 B．16 C．18 D．14 【答案】C 【分析】 本题主要考查了折叠的性质，含角的直角三角形的直角．理解直角三角形中角所对边是斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：根据折叠的性质，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 【变式7-2】（2024·山东滨州·八年级期末）如图，点是矩形纸片的对称中心，是上一点，将纸片沿折叠后，点恰好与点重合．若，则折痕的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了中心对称，矩形的性质，以及翻折变换，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．由折叠的性质及矩形的性质得到垂直平分，得到，根据为的一半确定出，进而得到等于的一半，求出的长，即为的长． 【详解】解：由题意得：，即， 且垂直平分， ，， 在中，， ， ， ，， 则， 故答案为：． 【变式7-3】（23-24八年级·广西南宁·阶段练习）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，则为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，三角形内角和定理，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 由折叠的性质与题意可得，，由，可知，则，，进而可求的值． 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【题型8 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题】 【例8】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转至的位置，点B的对应点为点，点C的对应点恰好落在边上．设旋转角为． (1)的度数为 °； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质． （1）根据，，求出，即可求出结果； （2）根据直角三角形的性质得出，根据旋转得出，，证明是等边三角形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 根据旋转可知：； （2）解：∵，，， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转角度至的位置， ∴，， ∴是等边三角形， ∴的周长是． 【变式8-1】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）如图，将绕点A旋转得到，若，，，则的长为 ．    【答案】4 【分析】由直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得．本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， 将绕点旋转得到， ， 故答案为：4 【变式8-2】（2024八年级·浙江·专题练习）如图，是绕点旋转后得到的，已知，，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据题意得出，进而根据旋转的性质，即可求解． 【详解】解：在中，，， 又∵是绕点旋转后得到的， ∴，且，，三点共线， ∴． 故答案为：． 【变式8-3】（2024·河北秦皇岛·八年级期末）如图，在等边中，，P为上一点（不与点B，C重合），过点P作于点P，交线段于点M，将绕点P顺时针旋转，交线段于点N，连接，有三位同学提出以下结论： 嘉嘉：为直角三角形． 淇淇：当时，． 珍珍：在点P移动的过程中，不存在平行于的情况． 下列说法正确的是（    ） A．只有嘉嘉正确 B．嘉嘉和淇淇正确 C．淇淇和珍珍正确 D．三人都正确 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质证明，可以判断嘉嘉正确：然后由含30度角的直角三角形的性质判断淇淇正确：珍珍错误，进而可以解决问题． 【详解】解：由旋转可得： ∵ ∴ ∴ ∵为等边三角形 ∴ ∴ ∴为直角三角形，故嘉嘉正确； ∵在等边中，， 当时，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故淇淇正确； 当时， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ 由旋转性质可得：， ∴是等边三角形 ∴ ∴，故珍珍错误； 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形的判定，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，平行线的判定与性质． 【题型9 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题】 【例9】（23-24八年级·湖南岳阳·期中）如图：是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达B时，P、Q两点停止运动，当点P到达B时，P、Q两点停止运动．设点P运动的时间为．当t为 时，是直角三角形． 【答案】1或2/2或1 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解答此题的关键；分两种情况：； ．然后在直角三角形中根据的表达式和的度数进行求解即可． 【详解】解：在， 根据题意得：，， 若是直角三角形，则或， 当时，， 即， ∴， 当时，， ∴， ∴． ∴当或时，是直角三角形． 故答案为：1或2． 【变式9-1】（23-24八年级·山西晋中·期中）如图，在中，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当为何值时，为等边三角形？ (2)当为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据直角三角形的性质，得出，根据题意，得，结合等边三角形的性质，列式作答即可． （2）因为为直角三角形，所以分类讨论，即当时，或当时，，进行列式求解，即可作答． 【详解】（1）解： ， ． , ∵动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为 ； 当时，为等边三角形． 即 ． 即当时，为等边三角形; （2）解：若为直角三角形， ①当时，， 即 ． ②当时，， 即 即当或时，为直角三角形． 【变式9-2】（2024八年级·全国·专题练习）已知：如图，是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为．    (1)当动点P、Q同时运动时，则 cm， cm． (2)当动点P、Q同时运动时，分别用含有t的式子表示； cm， cm． (3)当t为何值时，是直角三角形？ 【答案】(1)1，2 (2)，t (3)或 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，理解直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半和掌握分类讨论的思想是解答本题等关键． （1）根据“路程=速度×时间”并结合图形即可解答； （2）根据“路程=速度×时间”并结合图形即可解答； （3）根据等边三角形的性质可得该直角三角形，所以就可以表示出与的关系，要分和两种情况，分别在直角三角形中根据、列出关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是， 当动点P、Q同时运动时，则，； 故答案为：1，2； （2）解：∵动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是， ∴当动点P、Q同时运动时， ∴． 故答案为：，t  ； （3）解：在中，， 若是直角三角形，则点P或点Q为直角顶点 ①若点P为直角顶点， ∵， ∴， ∴，即，解得； ②若点Q是直角顶点， ∵， ∴， ∴，即，解得． 答：当或时，是直角三角形．    【变式9-3】（23-24八年级·辽宁朝阳·期末）如图，在中，，，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题：    (1)用含t的代数式表述的长是______． (2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，含直角三角形的性质； （1）根据点Q的速度可得，进而可得答案； （2）分和两种情况，分别根据含直角三角形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵． ∴， 故答案为：； （2）解：①若， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②若， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，当或时，是直角三角形． 【题型10 含30°的直角三角形的性质的实际应用】 【例10】（23-24八年级·安徽合肥·期末）如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若，．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度应为，则距离地面的高为 ． 【答案】40 【分析】本题考查含30度角直角三角形的性质，30度角所对的直角边长度等于斜边的一半，也考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，连接，过点D作于点E．先求出，根据三角形内角和定理和等边对等角求出，由含30度角直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点E． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴在中，． 故答案为：40． 【变式10-1】（23-24八年级·广西玉林·期中）某游乐场部分平面图如图所示，点C、E、A在同一直线上，点D、E、B在同一直线上，．测得A处与E处的距离为70m，C处与E处的距离为35m，，． (1)请求出旋转木马E处到出口B处的距离； (2)判断入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． 【答案】(1)旋转木马E处到出口B处的距离为35m (2)入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离相等，证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键； （1）先证明，从而可得答案； （2）由，再结合已知条件证明，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即旋转木马E处到出口B处的距离为35m； （2）入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离相等，理由如下： 由题意知，    ∴ ， ∵ ， ∴在和中， ， ∴， ∴， 即入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离相等． 【变式10-2】（23-24八年级·河北廊坊·期末）如图，嘉琪想测量一座古塔的高度，在A处测得，再往前行进到达B处，测得，点 A，B，D在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质和含30度角直角三角形的性质，先根据三角形外角的性质得出，可得，再根据直角三角形中，30度角所对直角边长度等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 【变式10-3】（23-24八年级·山东济宁·期中）图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 【答案】当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 【分析】本题考查的是含的直角三角形的性质．如图，过点A作于点，过点作于点，由含的直角三角形的性质，求解，，从而可得答案． 【详解】解：如图，过点A作于点，过点作于点， ∵ 在中，， ∴， 同理可得，， 又∵双翼边缘的端点A与之间的距离为， ∴ ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$