2.2.3 直线的一般式方程（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

2.2.3 直线的一般式方程 分层作业 1、 题型研究 题组一　求一般式直线方程 【例题1】根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点，； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，平行于轴； (4)斜率为2，在轴上的截距为1． 题组二　根据一般式方程求直线斜率（倾斜角） 【例题2】（1）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． （2）已知直线的倾斜角为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 题组三　利用直线的一般式和直线的位置关系求参数 【例题3】（1）已知直线，，根据下列条件分别求实数的取值范围． ① 与相交； ② 与重合． （2）若直线：和直线：平行，求m的值． （3）已知直线，直线，且，求m的值． 题组四　由两条直线平行或垂直求直线方程 【例题4】已知点和直线.求： (1)过点P与直线l平行的直线方程； (2)过点P与直线l垂直的直线方程. 2、 基础达标 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线：的倾斜角为，则（    ） A． B．0 C． D． 3．已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．直线在轴上的截距为1 C．若直线，则 D．过与直线平行的直线方程是 4．（多选）下列四个选项中，说法错误的是（    ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线与直线互相平行，则 C．过两点的所有直线的方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为. 5．直线过点，法向量为，则的一般式方程为 . 6．已知两条直线：，为何值时，与： （1）垂直； （2）平行 7．已知的顶点坐标分别为，求边上的高所在的直线方程. 8．回答下面两题 (1)求过，两点的一般式方程； (2)求过点且与直线：平行的直线. 9．已知点，直线. (1)求经过点且与直线平行的直线方程； (2)求经过点且与直线垂直的直线方程. 3、 能力提升 1．直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 2．“直线与平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知直线：与直线，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．15 D． 4．（多选）设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线垂直 5．（多选）已知直线：，其中，则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．若直线与直线平行，则 C．当时，直线的倾斜角为 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 6．（多选）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．若直线与直线平行，则 B．直线倾斜角的范围为 C．当时，直线与直线垂直 D．直线过定点 7．（多选）如果，那么直线通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4、 直击高考 1．（2004·全国·高考真题）已知点，，则线段AB的垂直平分线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2004·全国·高考真题）过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高三上·河北·阶段练习）已知直线与直线垂直，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（2024·福建厦门·二模）在平面直角坐标系中，点在直线上.若向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．（2004·北京·高考真题）直线（a为常实数）的倾斜角的大小是 ． 7．（2024·上海·三模）已知直线的倾斜角为，且直线与直线：垂直，则 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.3 直线的一般式方程 分层作业 1、 题型研究 题组一　求一般式直线方程 【例题1】根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点，； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，平行于轴； (4)斜率为2，在轴上的截距为1． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据两点式写出方程转化为一般式方程； （2）根据点斜式写出方程转化为一般式方程； （3）根据点斜式写出方程转化为一般式方程； （4）根据点斜式写出方程转化为一般式方程. 【详解】（1）由两点式，得直线的方程为， 即． （2）由点斜式，得直线的方程为， 即． （3）由题意知，直线的方程为， 即． （4）由点斜式，得直线的方程为， 即． 题组二　根据一般式方程求直线斜率（倾斜角） 【例题2】（1）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线方程得到斜率，利用斜率定义求倾斜角即可. 【详解】直线，即， 设该直线的倾斜角为，则直线的斜率为， 因为，所以. 故选：A. （2）已知直线的倾斜角为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系求解即可. 【详解】直线的倾斜角为， 所以斜率一定存在，且 ， 直线即， 所以斜率,即. 故选：C 题组三　利用直线的一般式和直线的位置关系求参数 【例题3】（1）已知直线，，根据下列条件分别求实数的取值范围． ① 与相交； ② 与重合． 【答案】① 且 ② 【分析】① 易知当满足题意，当时，两直线斜率不相等，可求得的取值范围； ② 根据直线方程的一般形式可得当时，即时，与重合. 【详解】（1）当时，的斜率不存在，此时与相交，符合题意； 当时，的斜率为，需满足， 解得且； 所以当且时，与相交； ② 若与重合，需满足，且， 解得， 即时，与重合. （2）若直线：和直线：平行，求m的值． 【答案】 【分析】由两直线平行，根据平行的判定求的值即可. 【详解】 直线和直线平行， ，解得或， 当时，直线：和直线：平行， 当时，直线：和直线：重合， 所以； （3）已知直线，直线，且，求m的值． 【答案】6或-1 【分析】根据直线垂直的充要条件，列出等式，求解，即可得出结果. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以， 即，解得或. 题组四　由两条直线平行或垂直求直线方程 【例题4】已知点和直线.求： (1)过点P与直线l平行的直线方程； (2)过点P与直线l垂直的直线方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）根据给定条件，设出所求直线的方程，利用待定系数法求解即得. 【详解】（1）设过点P与直线l平行的直线方程为， 则，解得， 所以所求直线方程为. （2）过点P与直线l垂直的直线方程为， 则，解得， 所以所求直线的方程为. 2、 基础达标 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线化为斜截式，得到斜率，进而得到倾斜角. 【详解】由题意可知化为，，，. 故选：C. 2．已知直线：的倾斜角为，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】由倾斜角为得直线与轴垂直，从而得系数关系. 【详解】由题意直线倾斜角为，则直线轴， 故方程中，的系数为， 即，解得．此时，直线符合题意. 故选：D． 3．已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．直线在轴上的截距为1 C．若直线，则 D．过与直线平行的直线方程是 【答案】D 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可判断A，根据截距的定义即可判断B，根据垂直和平行满足的关系即可判断CD. 【详解】直线变为， 对于A，直线的斜率为，所以倾斜角为，A错误， 对于B，令，则，所以x轴上的截距为，B错误， 对于C，的斜截式方程为，斜率为，由于，所以不垂直，故C错误， 对于D，直线的斜率为，所以过与直线平行的直线方程是，即为，故D正确， 故选：D 4．（多选）下列四个选项中，说法错误的是（    ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线与直线互相平行，则 C．过两点的所有直线的方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为. 【答案】AD 【分析】根据直线的倾斜角与斜率判断A；根据两直线平行求出参数的值，即可判断B；根据两点式方程判断C；分截距都为与都不为两种情况讨论，即可判断D. 【详解】对于A：坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角， 但是与轴平行（重合）的直线的倾斜角为，斜率不存在，故A错误； 对于B：因为直线与直线互相平行， 则，解得或， 当时直线与直线重合，故舍去， 当时直线与直线平行，符合题意， 综上可得，故B正确； 对于C：过两点的所有直线的方程为，故C正确； 对于D：当截距都为时直线方程为， 当截距都不为时，设直线方程为，则，解得， 所以直线方程为， 综上可得满足条件的直线方程为或，故D错误. 故选：AD 5．直线过点，法向量为，则的一般式方程为 . 【答案】 【分析】首先得到直线的方向向量，从而得到直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程，最后化为一般式即可. 【详解】因为直线过点，法向量为， 所以直线的方向向量可取， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 6．已知两条直线：，为何值时，与： （1）垂直； （2）平行 【答案】（1）（2） 【分析】先考虑x和y的系数为0时，与直线的方程，得出两直线是否平行或垂直， 再考虑x和y的系数不为0时，两直线的斜率，根据两直线平行或垂直的条件，列出方程求解m，注意验证两直线是否重合. 【详解】当时，，此时与不平行也不垂直， 当时，直线的斜率，直线的斜率 （1）由得，所以 （2）由得，即，所以或， 当时，此时与重合，不符，舍去； 当时，，此时，符合 综上所述，. 7．已知的顶点坐标分别为，求边上的高所在的直线方程. 【答案】 【分析】求出，可得边上的高所在直线的斜率，利用点斜式即可得出边上的高所在直线方程． 【详解】由题意，，可得边上的高所在直线的斜率为， 可得边上的高所在直线方程为：，化为：. 8．回答下面两题 (1)求过，两点的一般式方程； (2)求过点且与直线：平行的直线. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点求直线的斜率，再将点斜式直线方程化简为一般方程； （2）设与直线平行的直线方程，再代入点的坐标，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，, 则直线的方程为， 化简为一般式直线方程为； （2）设与直线平行的直线方程为， 代入点，得，得， 所以直线方程为. 9．已知点，直线. (1)求经过点且与直线平行的直线方程； (2)求经过点且与直线垂直的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两条直线平行，得到斜率相等，利用点斜式方程，即可求解直线的方程； （2）根据两条直线垂直，得到直线斜率，利用点斜式方程，即可求解直线的方程； 【详解】（1）设经过点且与直线平行的直线方程为， 将代入得， 所以所求直线方程为； （2）直线的斜率为， 与直线垂直的直线斜率为-2， 所以经过点且与直线垂直的直线方程为， 即. 3、 能力提升 1．直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出给定直线的斜率即可得该直线的一个方向向量，再求与共线的向量即可. 【详解】直线的斜率为，则直线的一个方向向量， 对于A，因，即向量与共线，A是； 对于B，因，即向量与不共线，B不是； 对于C，因，即向量与不共线，C不是； 对于D，因，即向量与不共线，D不是. 故选：A. 2．“直线与平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据两条直线平行，对应方程系数的关系求解，分两个方面判断即可． 【详解】若直线与平行， 易得:，故：， 则 得不到，故不是充分条件； 反之，当时成立，故直线与平行，是必要条件； 故“直线与平行”是“”的必要不充分条件， 故选：B． 3．已知直线：与直线，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】根据直线的垂直关系推出，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知直线：与直线，， 则，即， 故， 当且仅当，结合，即时等号成立。 故的最小值为， 故选：B 4．（多选）设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线垂直 【答案】BD 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率、截距的定义，以及直线垂直的性质，即可求解． 【详解】对于A，直线：， 则的斜率为，故A错误； 对于B，令，解得， 故在轴上的截距为，故B正确； 对于C，当时，直线：，平行于轴，故C错误； 对于D，当时，直线与直线显然垂直， 当时，直线的斜率为， 直线的斜率为， 所以，故D正确． 故选：BD． 5．（多选）已知直线：，其中，则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．若直线与直线平行，则 C．当时，直线的倾斜角为 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC 【分析】由直线的点斜式方程可判定A；由两直线平行，斜率相等可判定B；对于C、D，分别求出直线即可判断. 【详解】由已知，直线：， 则直线过定点，A正确； 若直线与直线平行，则， 得，或，B错误； 当时，直线：，则， 所以倾斜角为，C正确； 当时，直线：，其在轴上的截距分别为， 不相等，D错误. 故选：AC. 6．（多选）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．若直线与直线平行，则 B．直线倾斜角的范围为 C．当时，直线与直线垂直 D．直线过定点 【答案】BC 【分析】选项A，由两直线斜率都存在，利用斜率相等且截距不等求解即可；选项B，由斜率与倾斜角关系，先求斜率范围再得倾斜角范围；选项C，利用斜率关系可得；选项D，令求解可得. 【详解】选项A，存在斜率， 直线方程可化为：， 直线也存在斜率，方程可化为， 由，则两直线平行的充要条件为， 即解得或，故A错误； 选项B，由直线的斜率， 则倾斜角的范围为，故B正确； 选项C，当时，直线，斜率为， 又直线的斜率为，则两直线斜率之积为，故两直线垂直，C正确； 选项D，，令，得， 故直线过定点，不过，D错误. 故选：BC. 7．（多选）如果，那么直线通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【分析】根据直线的斜率以及 轴截距判断即可； 【详解】因为，,所以 所以， 令 所以直线经过一三四象限. 故选：ACD. 4、 直击高考 1．（2004·全国·高考真题）已知点，，则线段AB的垂直平分线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用两点式求线段AB的斜率，进而可得垂直平分线的斜率，结合中点坐标及点斜式写出垂直平分线方程. 【详解】由题设，，故线段AB的垂直平分线的斜率为2，又中点为， 所以线段AB的垂直平分线方程为，整理得：. 故选：B 2．（2004·全国·高考真题）过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得直线的斜率为，由垂直得垂直直线的斜率，然后由点斜式写出直线方程，化为一般式可得结果． 【详解】解：由题意可得直线的斜率为， 则过点且垂直于直线的直线斜率为， 直线方程为， 化为一般式为． 故选：A． 3．（2024·安徽·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】代入，可得两直线为同一直线，可得结果. 【详解】当时， 直线即直线， 直线即直线， 所以两直线重合，“”是“直线与直线平行”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4．（23-24高三上·河北·阶段练习）已知直线与直线垂直，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据直线的垂直关系可得，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，即，所以， 当且仅当或时等号成立． 即的最小值为4， 故选：B 5．（2024·福建厦门·二模）在平面直角坐标系中，点在直线上.若向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定直线的方向向量，结合数量积的运算判断出为直线的法向量，结合投影向量的含义即可求得答案. 【详解】由题意设直线的方向向量为，则， 而，则，即为直线的法向量， 又O到直线的距离为， 故在上的投影向量为， 故选：C 6．（2004·北京·高考真题）直线（a为常实数）的倾斜角的大小是 ． 【答案】/ 【分析】将直线方程化为斜截式，求出直线斜率，即可得出倾斜角. 【详解】设直线倾斜角为，直线可化为，斜率为， 则，所以. 故答案为：. 7．（2024·上海·三模）已知直线的倾斜角为，且直线与直线：垂直，则 【答案】 【分析】根据题意，求得直线的斜率，结合直线、互相垂直算出的斜率，进而求出倾斜角的大小． 【详解】直线即，斜率， 因为直线、互相垂直，所以直线的斜率， 直线的倾斜角为，则，结合，可知． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$