2.2.1 直线的点斜式方程（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

2.2.1 直线的点斜式方程 分层作业 1、 题型研究 题组一　求点斜式直线方程 【例题1】求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (3)经过点，且平行于y轴； (4)过两点． 题组二　求斜截式直线方程 【例题2】根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 题组三　利用点斜式（斜截式）求直线斜率和倾斜角 【例题3】（1）已知直线的方程是，则（    ） A．直线经过定点，斜率为 B．直线经过定点，斜率为 C．直线经过定点，斜率为 D．直线经过定点，斜率为 （2）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 题组四　借助直线斜截式，利用平行与垂直关系求参数值 【例题4】已知直线和直线，问：m为何值时，直线与平行？m为何值时，直线与垂直？ 题组五　直线图象的辨析 【例题5】（1）若直线经过第一、二、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， （2）直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 2、 基础达标 1．直线倾斜角及在y轴上的截距分别是（    ） A．，6 B．， C．，6 D．， 2．直线经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足（    ） A． B． C． D． 3．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 4．已知直线的斜率为，且经过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．直线的图象可能是（    ） A．   B．   C．     D．   6．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 7．经过点（1，－1）且一个方向向量为（1，）的直线l的方程是（    ） A．3x+2y－1＝0 B．3x+2y+1＝0 C．2x+3y+1＝0 D．x－2y－3＝0 8．（多选）在平面直角坐标系中，下列四个结论中正确的是（    ） A．每一条直线都有点斜式和斜截式方程 B．倾斜角是钝角的直线，斜率为负数 C．方程与方程表示同一条直线 D．直线过点，倾斜角为，则其方程为 9．已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 3、 能力提升 1．下列直线中过第一、二、四象限的是（    ） A． B． C． D． 2．已知直线，当满足一定条件时，它们的图形可能是图中的（    ） A． B． C． D． 3．直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）若直线，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选）已知直线l：，则（　　） A．直线l过点 B．直线l的斜率为 C．直线l的倾斜角为 D．直线l在轴上的截距为1 6．（多选）在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中是真命题的有（    ） A．存在正实数使得面积为的直线l恰有一条 B．存在正实数使得面积为的直线l恰有二条 C．存在正实数使得面积为的直线l恰有三条 D．存在正实数使得面积为的直线l恰有四条 4、 直击高考 1．（2003·广东·高考真题）在同一坐标系中，表示直线与正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·上海徐汇·一模）已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为 ． 3．（2024高三·全国·专题练习）若将直线y＝3x－3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为 ． 4．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.1 直线的点斜式方程 分层作业 1、 题型研究 题组一　求点斜式直线方程 【例题1】求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (3)经过点，且平行于y轴； (4)过两点． 【答案】(1) (2) (3)不能用点斜式， (4) 【分析】（1）根据直线的点斜式可求得直线方程； （2）由已知求得所求直线的倾斜角和斜率，根据直线的点斜式可求得直线方程； （3）由于与y轴平行的直线，其斜率k不存在，由直线上的点的横坐标可求得直线方程； （4）由两点的坐标可求得直线斜率，根据直线的点斜式可求得直线方程. 【详解】（1）因为直线过点，斜率， 由直线的点斜式方程得直线方程为． （2）因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 可知所求直线的倾斜角为，故其斜率为. 所以所求直线方程为． （3）因为直线平行于y轴，则直线的斜率不存在， 所以不能用点斜式方程，直线方程为. （4）过点的直线的斜率， 又因为直线过点， 所以由直线的点斜式方程可得直线方程为． 题组二　求斜截式直线方程 【例题2】根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】倾斜角求出斜率，进而由点斜式写出直线的斜截式方程. 【详解】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为. （2）由于倾斜角，则斜率， 由斜截式可得所求直线方程为 （3）由于直线的倾斜角为，则其斜率. 由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 则直线在y轴上的截距或， 故所求直线方程为或. 题组三　利用点斜式（斜截式）求直线斜率和倾斜角 【例题3】（1）已知直线的方程是，则（    ） A．直线经过定点，斜率为 B．直线经过定点，斜率为 C．直线经过定点，斜率为 D．直线经过定点，斜率为 【答案】D 【分析】根据直线的点斜式方程，即可得到答案. 【详解】直线的方程可化为， 所以直线过定点，斜率为． 故选：D （2）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线方程得到斜率，利用斜率定义求倾斜角即可. 【详解】直线的倾斜角为，因为直线的斜率为， ，所以. 故选：C. 题组四　借助直线斜截式，利用平行与垂直关系求参数值 【例题4】已知直线和直线，问：m为何值时，直线与平行？m为何值时，直线与垂直？ 【答案】时，直线与平行；当时，直线与垂直 【分析】分类讨论，结合两直线平行与垂直的判定求解即可． 【详解】当时，直线：，直线：，直线与垂直； 当时，直线的方程可化为， ①若直线与垂直，则无解，故时，不存在直线与垂直； ②若直线与平行， 则，得， 当时，，两直线重合，不合题意舍去； 当时，，符合题意； 故当时，直线与平行； 当时，直线与垂直． 题组五　直线图象的辨析 【例题5】（1）若直线经过第一、二、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由一次函数的性质判断 【详解】直线即，经过第一、二、四象限， 则，得， 故选：B （2）直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的斜率和纵截距的正负进行判断． 【详解】对B，斜率为正，在轴上的截距也为正，故不可能有斜率为负的情况.故B错. 当时， 和斜率均为正，且截距均为正.仅D选项满足. 故选：D 2、 基础达标 1．直线倾斜角及在y轴上的截距分别是（    ） A．，6 B．， C．，6 D．， 【答案】B 【分析】根据直线方程求出斜率，再利用斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角，然后令可求出直线在y轴上的截距. 【详解】由直线可得其斜率， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以，即倾斜角为， 当时，，得， 所以直线在y轴上的截距为， 故选：B 2．直线经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写成斜截式，由斜率和与轴交点纵坐标确定直线经过的象限. 【详解】若，则直线不会经过三个象限，所以， 所以， 因为直线经过第一、二、四象限， 所以斜率，与轴交点纵坐标， 解得， 故选：A 3．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角即得. 【详解】直线的斜率，则该直线的倾斜角. 故选：A 4．已知直线的斜率为，且经过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，直线的斜率为，且经过点， 根据直线的点斜式方程，可得，即. 故选：D. 5．直线的图象可能是（    ） A．   B．   C．     D．   【答案】B 【分析】根据直线的斜截式方程的特征得到直线的斜率，直线在y轴上的截距为（），再逐一判断各个选项即可求解. 【详解】由直线，得：，直线的斜率，直线在y轴上的截距为， 当时，，则直线经过第一象限和第三象限，且与轴相交于轴下方； 当时，，则直线经过第二象限和第四象限，且与轴相交于轴上方； 只有B选项的图象符合题意， 故选：B. 6．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的斜率即可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为0，故其倾斜角为. 故选：B 7．经过点（1，－1）且一个方向向量为（1，）的直线l的方程是（    ） A．3x+2y－1＝0 B．3x+2y+1＝0 C．2x+3y+1＝0 D．x－2y－3＝0 【答案】A 【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率k的值，代入点斜式方程，求出直线方程即可. 【详解】直线l的一个方向向量为（1，），且经过（1，－1）， 故直线l的斜率k＝， 故直线方程为：y+1＝（x－1），即3x+2y－1＝0， 故选：A. 8．（多选）在平面直角坐标系中，下列四个结论中正确的是（    ） A．每一条直线都有点斜式和斜截式方程 B．倾斜角是钝角的直线，斜率为负数 C．方程与方程表示同一条直线 D．直线过点，倾斜角为，则其方程为 【答案】BD 【分析】根据直线方程的形式，倾斜角和斜率的关系，逐一判断每个选项. 【详解】对于A，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故A选项错误； 对于B，倾斜角是钝角的直线，其倾斜角的正切值为负数，直线斜率为负数，故B选项正确； 对于C，方程表示直线去掉点，与方程不表示同一直线，故C选项错误； 对于D，直线过点，倾斜角为，则其方程为，正确． 故选：BD 9．已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 【答案】 【分析】直接利用两点的坐标求出直线的方程，进一步转换为斜截式． 【详解】已知两点、，故直线的斜率， 则方程为：，整理得， 转化为直线的斜截式为． 故答案为：． 3、 能力提升 1．下列直线中过第一、二、四象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线经过的象限确定斜率及轴截距判断选项即可. 【详解】若直线过第一、二、四象限，则， 选项A，B，D中直线的斜率都大于0，只有C满足． 故选：C. 2．已知直线，当满足一定条件时，它们的图形可能是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两直线的解析式可得直线的斜率为a、纵截距为，的斜率为b，纵截距为a，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】选项A，由的图象可知，，，由的图象可知，，， 不成立，A错误； 选项B，由的图象可知，，，由的图象可知，，， 可能成立，B正确； 选项C，由的图象可知，，，由的图象可知，，， 不成立，C错误； 选项D，由的图象可知，，，由的图象可知，，， 不成立，D错误. 故选：B. 3．直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线方程，求得其在在轴上的截距，建立不等式，解出即可. 【详解】设直线的斜率为， 则直线方程为， 令，得， 故直线在轴上的截距为， 令， 得或者， 故选： 二、多选题 4．若直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】找到斜率之间的关系,即可判断平行与垂直. 【详解】设的斜率分别为， 结合题意易得：， 因为，所以 因为且，所以. 故选：BD. 5．已知直线l：，则（　　） A．直线l过点 B．直线l的斜率为 C．直线l的倾斜角为 D．直线l在轴上的截距为1 【答案】BC 【分析】根据直线方程逐项判断. 【详解】对于A，将代入，可知不满足方程，故A不正确； 对于B，由，知直线l的斜率为，故B正确； 对于C，设直线l的倾斜角为α，则，可得，故C正确； 对于D，由，令，可得直线l在轴上的截距为－1，故D不正确． 故选：BC 6．在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中是真命题的有（    ） A．存在正实数使得面积为的直线l恰有一条 B．存在正实数使得面积为的直线l恰有二条 C．存在正实数使得面积为的直线l恰有三条 D．存在正实数使得面积为的直线l恰有四条 【答案】BCD 【分析】根据直线的方程求出与坐标轴的交点坐标，然后求出的面积，作出函数的图象，利用数形结合，可确定的值的情况，即可判断各选项的正误. 【详解】由题意知，直线与轴、轴交点的坐标分别为，， 所以，作出其图象如图所示， 由图可知，当时，有两解；当时，有三解；当时，有四解. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题通过三角形面积的求解，结合函数的图象，确定取不同值时的解的个数，从而确定直线的条数，解题的关键是求出的面积，并能准确的作出函数的图象. 4、 直击高考 1．（2003·广东·高考真题）在同一坐标系中，表示直线与正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为判断函数图像，根据一次函数的斜率大于0，可以排除B，D，再看的取值符号相同，即可得到本题答案. 【详解】由一次函数可知，函数为增函数，故排除B，D选项，A选项中，由可知，函数中的，故不符合，A错误，C选项两个函数图像都符合的情况，故C正确. 故选：C 2．（2023·上海徐汇·一模）已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为 ． 【答案】 【分析】先求得直线的斜率，进而求得直线倾斜角的大小. 【详解】由直线经过点，可得，解之得， 设直线倾斜角为，则， 又，则 则直线倾斜角的大小为 故答案为： 3．（2024高三·全国·专题练习）若将直线y＝3x－3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为 ． 【答案】y＝－x+1 【详解】 解析：（解法1）在直线上取点（1，0），其绕原点按逆时针方向旋转90°后得到点（0，1），按逆时针方向旋转90°，倾斜角增加90°，故所得直线斜率为－， 从而所求直线方程为y＝－x+1. （解法2）在直线上取两点（1，0）和（0，－3），它们绕原点按逆时针方向旋转90°后分别得到点（0，1）和（3，0），进而可得所求直线方程为y＝－x+1. 4．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点关于直线对称的性质进行求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则有， 点关于轴的对称点为，如图所示： 当四点共线时，的周长的最小， 最小值为， 故选：D 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$