第1章 二次函数（单元测试B卷）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（浙江专用）

第1章 《二次函数》单元测试B卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每题3分，共30分） 1．（3分）下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝3x B．y＝x2 C． D．y＝x2﹣x（x﹣1） 2．（3分）将抛物线y＝2（x+1）2﹣1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　） A．y＝2（x﹣1）2 B．y＝2（x+3）2 C．y＝2（x﹣1）2﹣2 D．y＝2（x+3）2﹣2 3．（3分）在二次函数y＝﹣x2+2x﹣3的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是（　　） A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1 4．（3分）已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如表所示： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … m 1 ﹣2 ﹣3 n 1 6 … 则当﹣4＜x＜0时，y的取值范围是（　　） A．﹣3＜y＜6 B．﹣2＜y＜6 C．﹣3≤y＜6 D．﹣2≤y＜6 5．（3分）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB＝x米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝x（15﹣4x） B．y＝x（16﹣2x） C．y＝x（17﹣2x） D．y＝x（18﹣4x） 6．（3分）已知二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝﹣x﹣b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）某茶杯的过最低点B的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面ABC呈抛物线形状（杯体厚度忽略不计），点A，点C位于杯口处，且AC＝10cm，点B是抛物线最低点，当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度（点B到AC的距离）为4cm，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为2cm（点B到EF的距离），求此时EF的长度（　　） A． B． C． D． 8．（3分）若当﹣4≤x≤2时，二次函数的最小值为0，则m＝（　　） A． B． C． D．或 9．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m＝1 D．＝1 10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，c＜0）经过（1，1），（m，0），（n，0）三点，且n≥3．下列四个结论，其中正确的有（　　） ①b＜0； ②4ac﹣b2＜4a； ③当n＝3时，若点（2，t）在该抛物线上，则t＞1； ④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（每题3分，共18分） 11．（3分）在平面直角坐标系中，若将抛物线．y＝x2﹣3向上平移m（m＞0）个单位后的抛物线与x轴只有一个交点，则m的值为 　 　． 12．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2（a≠0）的图象分别交于点A（﹣2，2），B（4，8）．则关于x的方程ax2＝kx+b的解为 　 　． 13．（3分）从地面竖直向上抛出一小球，t（秒）后小球的高度h（米）适用公式h＝30t﹣5t2，那么经过 　 　秒后，小球回到地面． 14．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，若二次函数经过点C（﹣2，4），则二次函数表达式为 　 　． 15．（3分）如图，抛物线y＝﹣x（x﹣2）与x轴交于点O，A，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点A，B．若直线y＝x+b与C1，C2共有3个不同的交点，则b的取值范围是 　 　． 16．（3分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，点N在y轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M处，且∠ANM+∠ACM＝180°，则点M的坐标是 　 　． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时： （1）y是x的一次函数？ （2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标． 18．（6分）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中， （1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？ （2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值． 19．（8分）已知抛物线y＝2x2+4x﹣6． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）将该抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m的值． 20．（8分）某商店对柑橘上市后的市场销售情况进行跟踪调查．当柑橘的销售单价为每件25元时，每天的销售量为50件，销售单价每提高1元，每天的销售量就减少2件． （1）用适当的函数表示该柑橘的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系，其中x≥25； （2）已知柑橘的进货价格为每件20元，当柑橘的销售单价定为多少时，该商店销售柑橘每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 21．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接BC． （1）求该二次函数的解析式； （2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当△BCP的面积最大时，BC边上的高PN的值为 　 　． 22．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，它的对称轴为直线l． （1）求该抛物线的表达式； （2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P，D，E为顶点的三角形与△BOC全等，求满足条件的点P、点E的坐标． 23．（12分）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度y/m 10 10 k 10 6.25 根据上述数据，直接写出k的值为 　 　，直接写出满足的函数关系式：　 　； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1；比赛当天入水点的水平距离为d2，则d1　 　d2（填“＞”“＝”或“＜”）； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 24．（12分）【定义与性质】 如图，记二次函数y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣p）2+q（a≠0）的图象分别为抛物线C和C1． 定义：若抛物线C1的顶点Q（p，q）在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上． 【理解与运用】 （1）若二次函数y＝﹣（x﹣2）2+m和y＝﹣（x﹣n）2+的图象都是抛物线y＝x2的伴随抛物线，则m＝　 　，n＝　 　． 【思考与探究】 （2）设函数y＝x2﹣2kx+4k+5的图象为抛物线C2． ①若函数y＝﹣x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），请直接写出x1的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 《二次函数》单元测试B卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每题3分，共30分） 1．（3分）下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝3x B．y＝x2 C． D．y＝x2﹣x（x﹣1） 【分析】直接利用二次函数解析式的一般形式y＝ax2+bx+c（a≠0）进行分析得出答案． 【解答】解：A、y＝3x，是一次函数，故此选项不符合题意； B、y＝x2，是二次函数，故此选项符合题意； C、，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、y＝x2﹣x（x﹣1）＝x，不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（3分）将抛物线y＝2（x+1）2﹣1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　） A．y＝2（x﹣1）2 B．y＝2（x+3）2 C．y＝2（x﹣1）2﹣2 D．y＝2（x+3）2﹣2 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【解答】解：将抛物线y＝2（x+1）2﹣1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为y＝2（x+1﹣2）2﹣1+1＝2（x﹣1）2， 故选：A． 3．（3分）在二次函数y＝﹣x2+2x﹣3的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是（　　） A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以直接得到当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而增大，从而可以解答本题． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而增大， 故选：B． 4．（3分）已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如表所示： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … m 1 ﹣2 ﹣3 n 1 6 … 则当﹣4＜x＜0时，y的取值范围是（　　） A．﹣3＜y＜6 B．﹣2＜y＜6 C．﹣3≤y＜6 D．﹣2≤y＜6 【分析】用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数性质解答即可． 【解答】解：设y＝ax2+bx+c，将点（1，1）、（2，6）、（﹣2，﹣2）代入得： ，解得， ∴y＝x2+2x﹣2＝（x+1）2﹣3， ∴抛物线的顶点为（﹣1，﹣3），开口向上， 当x＝﹣4时，y＝6， 当x＝0时，y＝﹣2， ∴当﹣4＜x＜0时，﹣3≤y＜6； 故选：C． 5．（3分）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB＝x米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝x（15﹣4x） B．y＝x（16﹣2x） C．y＝x（17﹣2x） D．y＝x（18﹣4x） 【分析】由铁栅栏的全长及AB的长，可得出平行于墙的一边长为（18﹣4x）米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式． 【解答】解：∵铁栅栏的全长为15米，AB＝x米， ∴平行于墙的一边长为15+3﹣4x＝（18﹣4x）米． 根据题意得：y＝x（18﹣4x）． 故选：D． 6．（3分）已知二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝﹣x﹣b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数y＝ax2+（b+1）x+c图象得出a＜0，c＞0，从而判断出二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，与y轴交于正半轴，且二次函数y＝ax2+（b+1）x+c对称轴在y轴的左侧，得b＜﹣1，即可得出答案． 【解答】解：根据二次函数y＝ax2+（b+1）x+c图象得出a＜0，c＞0， 抛物线y＝ax2+（b+1）x+c对称轴为， ∴b＜﹣1， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴为； 一次函数y＝﹣x﹣b的图象经过第一、二、四象限， 故选：C． 7．（3分）某茶杯的过最低点B的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面ABC呈抛物线形状（杯体厚度忽略不计），点A，点C位于杯口处，且AC＝10cm，点B是抛物线最低点，当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度（点B到AC的距离）为4cm，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为2cm（点B到EF的距离），求此时EF的长度（　　） A． B． C． D． 【分析】建立直角坐标系，设截面抛物线为y＝ax2，则把C（5，4）代入求出解析式，然后将y＝2代入求出液面的宽即可． 【解答】解：依题意，设截面抛物线y＝ax2（a≠0）． 将C（5，4）代入，得4＝25a． 解得． ∴． 将y＝2代入， 得． 解得． ∴，， ∴． 故选：A． 8．（3分）若当﹣4≤x≤2时，二次函数的最小值为0，则m＝（　　） A． B． C． D．或 【分析】分两组情况讨论，当m≤2时，则当x＝m时，有最小值求得m＝；当m＞2时，则x＝2时，y有最小解得m＝＜2，即可求得m＝． 【解答】解：∵y＝x2﹣mx+1＝（x﹣m）2+（﹣m2+1）， ∴图象f的对称轴为直线x＝m， 当m≤2时，抛物线开口向上， ∴当x＝m时，y有最小值，y最小＝﹣m2+1＝0， 解得m＝， 当m＞2时，抛物线开口向上，在﹣4≤x≤2时，y随x的增大而减小， ∴x＝2时，y有最小值，y最小＝（2﹣m）2+（﹣m2+1）＝0， 解得m＝（不合题意，舍去）， 综上，m＝． 故选：B． 9．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m＝1 D．＝1 【分析】分别过A，C两点作y轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为M和N， 将A，C两点的横坐标代入函数解析式得， 点A坐标为（m，﹣m2+4），点C坐标为（n，﹣n2+4）， 所以AM＝m，MO＝﹣m2+4，CN＝n，NO＝﹣n2+4． 因为四边形ABCD是正方形， 所以AD＝CD，∠ADC＝90°， 所以∠CDN+∠ADM＝∠ADM+∠DAM＝90°， 所以∠CDN＝∠DAM． 在△CDN和△DAM中， ， 所以△CDN≌△DAM（AAS）， 所以DM＝CN＝n，DN＝AM＝m， 所以MN＝DM+DN＝m+n， 又因为MN＝NO﹣MO＝m2﹣n2， 所以m2﹣n2＝m+n， 即（m+n）（m﹣n）＝m+n， 因为m＞n＞0， 所以m+n≠0， 所以m﹣n＝1． 故选：B． 10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，c＜0）经过（1，1），（m，0），（n，0）三点，且n≥3．下列四个结论，其中正确的有（　　） ①b＜0； ②4ac﹣b2＜4a； ③当n＝3时，若点（2，t）在该抛物线上，则t＞1； ④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①根据图象经过（1，1），c＜0，且抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧，判断出抛物线的开口向下，即a＜0，再把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即可判断①错误；②先得出抛物线的对称轴在直线x＝1.5的右侧，得出抛物线的顶点在点（1，1）的右侧，得出＞1，根据4a＜0，利用不等式的性质即可得出4ac﹣b2＜4a，即可判断②正确；③先得出抛物线对称轴在直线 x＝1.5 的右侧，得出（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，根据a＜0，抛物线开口向下，距离抛物线的对称轴越近的函数值越大，即可得出③正确；④根据方程有两个相等的实数解，得出Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0，把（1，1）代入y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，求出a＝c，根据根与系数的关系得出 mn＝＝1，即 n＝，根据 n≥3，得出 ≥3 求出m的取值范围，即可判断④正确． 【解答】解：①图象经过（1，1），c＜0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点 都在（1，0）的左侧， ∵（n，0）中n≥3， ∴抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧， ∴抛物线的开口一定向下，即a＜0， 把（1，1）代入y＝ax2+bx+c 得：a+b+c＝1， 即b＝1﹣a﹣c， ∵a＜0，c＜0， ∴b＞0， 故①错误； ②∵a＜0，b＞0，c＜0，＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0的两个根的积大于0， 即mn＞0， ∵n≥3， ∴m＞0， ∴＞1.5， 即抛物线的对称轴在直线x＝1.5的右侧， ∴抛物线的顶点在点（1，1）的上方或者右上方， ∴＞1， ∵4a＜0， ∴4ac﹣b2＜4a， 故②正确； ③∵m＞0， ∴当 n＝3 时，＞1.5， ∴抛物线对称轴在直线x＝1.5的右侧， ∴（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离， ∵a＜0，抛物线开口向下， ∴距离抛物线越近的函数值越大， ∴t＞1， 故③正确； ④方程ax2+bx+c＝x可变为ax2+（b﹣1）x+c＝0， ∵方程有两个相等的实数解， ∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0． ∵把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c， ∴（a+c）2﹣4ac＝0， 即a2+2ac+c2﹣4ac＝0， ∴（a﹣c）2＝0， ∴a﹣c＝0， 即a＝c， ∵（m，0），（n，0）在抛物线上， ∴m，n为方程 ax2+bx+c＝0 的两个根， ∴mn＝＝1， ∴n＝， ∵n≥3， ∴， ∴0． 故④正确． 综上，正确的结论有：②③④． 故选：C． 二．填空题（每题3分，共18分） 11．（3分）在平面直角坐标系中，若将抛物线．y＝x2﹣3向上平移m（m＞0）个单位后的抛物线与x轴只有一个交点，则m的值为 　3　． 【分析】先利用抛物线的几何变换得到平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣3+m，再根据根的判别式的意义得到02﹣4（﹣3+m）＝0，然后解方程即可． 【解答】解：抛物线y＝x2﹣3向上平移m（m＞0）个单位后的抛物线解析式为y＝x2﹣3+m， ∵抛物线y＝x2﹣3+m与x轴只有一个交点， ∴Δ＝02﹣4（﹣3+m）＝0， 解得m＝3． 故答案为：3． 12．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2（a≠0）的图象分别交于点A（﹣2，2），B（4，8）．则关于x的方程ax2＝kx+b的解为 　x1＝﹣2，x2＝4　． 【分析】直接根据一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的交点即可得出结论． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2（a≠0）的图象分别交于点A（﹣2，2），B（4，8）， ∴关于x的方程ax2＝kx+b的解为：x1＝﹣2，x2＝4． 故答案为：x1＝﹣2，x2＝4． 13．（3分）从地面竖直向上抛出一小球，t（秒）后小球的高度h（米）适用公式h＝30t﹣5t2，那么经过 　6　秒后，小球回到地面． 【分析】取h＝0，解方程求得合适的t的值即可． 【解答】解：∵小球回到地面， ∴h＝0． ∴0＝30t﹣5t2． 5t（6﹣t）＝0． 解得：t1＝0（不合题意，舍去），t2＝6． 故答案为：6． 14．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，若二次函数经过点C（﹣2，4），则二次函数表达式为 　y＝x2﹣x﹣2　． 【分析】依据题意，由y＝ax2+bx+c图象与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，可得二次函数为y＝a（x2﹣x﹣2），又二次函数过C（﹣2，4），从而4＝a（4+2﹣2），进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵y＝ax2+bx+c图象与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1+x2＝1，x1x2＝﹣2， ∴y＝a[x2﹣（x1+x2）x+x1x2]，即y＝a（x2﹣x﹣2）． 又二次函数过C（﹣2，4）， ∴4＝a（4+2﹣2）． ∴a＝1． ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣2． 故答案为：y＝x2﹣x﹣2． 15．（3分）如图，抛物线y＝﹣x（x﹣2）与x轴交于点O，A，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点A，B．若直线y＝x+b与C1，C2共有3个不同的交点，则b的取值范围是 　﹣2＜b＜﹣　． 【分析】依据题意，先解方程﹣x（x﹣2）＝0得A（2，0），则B（4，0），利用交点式写出C2的解析式为y＝﹣（x﹣2）（x﹣4），即y＝﹣x2+6x﹣8（2≤x≤4），当直线y＝x+b与y＝﹣x2+6x﹣8只有一个公共点时，求出此时b＝﹣，当直线经过A（2，0）时b＝﹣2，然后写出直线y＝x+b与C1，C2共有3个不同的交点，b的取值范围． 【解答】解：当y＝0时，﹣x（x﹣2）＝0，解得x1＝0，x2＝2， ∴A（2，0），OA＝2． ∴B（4，0）． ∴C2的解析式为y＝﹣（x﹣2）（x﹣4）． 即y＝﹣x2+6x﹣8（2≤x≤4）， 当直线y＝x+b与y＝﹣x2+6x﹣8只有一个公共点时，方程x+b＝﹣x2+6x﹣8有两个相等的实数解， 方程整理为x2﹣5x+b﹣8＝0，Δ＝（﹣5）2﹣4（b﹣8）＝0，解得b＝﹣， 当直线经过A（2，0）时，2+b＝0，解得b＝﹣2， ∴直线y＝x+b与C1，C2共有3个不同的交点，b的取值范围为﹣2＜b＜﹣． 故答案为：﹣2＜b＜﹣． 16．（3分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，点N在y轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M处，且∠ANM+∠ACM＝180°，则点M的坐标是 　　． 【分析】依据题意，过点N作 NE⊥CA的延长线于点E，过点N作 NF⊥CM 于点F，从而先证明△AEN≌△MFN，可得NE＝NF，故∠ACO＝∠MCO，又设CM 与x轴交于点D，再证得△ACO≌△DCO，故AO＝DO，又结合抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，可得点A的坐标为 （﹣3，0），点C的坐标为（0，4），从而AO＝DO＝3，即点D的坐标为（3，0），求出直线CM的解析式为 ，联立 进而计算可以得解． 【解答】解：如图，过点N作 NE⊥CA的延长线于点E，过点N作 NF⊥CM 于点F， ∴∠CEN＝∠NFC＝90°，∠CEN+∠NFC＝180°， ∴∠ENF+∠ACM＝180°． ∵∠ANM+∠ACM＝180°， ∴∠ANM＝∠ENF， ∴∠ANE＝∠MNF． ∵∠AEN＝∠MFN＝90°，AN＝MN， ∴△AEN≌△MFN， ∴NE＝NF， ∴∠ACO＝∠MCO． 设CM 与x轴交于点D． ∵∠AOC＝∠DOC，CO＝CO， ∴△ACO≌△DCO， ∴AO＝DO． ∵抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ∴点A的坐标为 （﹣3，0），点C的坐标为（0，4）， ∴AO＝DO＝3． ∴点D的坐标为（3，0）， ∴直线CM的解析式为 ． 联立 解得 （舍 去）或 ， ∴点M的坐标为 ． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时： （1）y是x的一次函数？ （2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标． 【分析】（1）根据形如y＝kx（k≠0，k是常数）是一次函数，可得一次函数； （2）根据形如y＝ax2（a是常数，且a≠0）是二次函数，可得答案，根据函数值，可得自变量的值，可得符合条件的点． 【解答】解：（1）由y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），y是x的一次函数，得 ， 解得m＝， 当m＝时，y是x的一次函数； （2）y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），是二次函数，得 ， 解得m＝2，m＝﹣2（不符合题意的要舍去）， 当m＝2时，y是x的二次函数， 当y＝﹣8时，﹣8＝﹣4x2， 解得x＝， 故纵坐标为﹣8的点的坐标的坐标是（，﹣8）． 18．（6分）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中， （1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？ （2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值． 【分析】（1）将点坐标代入解析式，求解； （2）分情况讨论：①t≥3时，对称轴在直线x＝3右侧或与x＝3重合，②t＜3时，分别确定自变量取值范围内的函数极值，建立方程求解． 【解答】解：（1）图象经过点（2，1）， ∴4﹣4t+3＝1，解得． （2）y＝x2﹣2tx+3＝（x﹣t）2+3﹣t2， ∴x＝t时， ①t≥3时，对称轴在直线x＝3右侧或与x＝3重合， ，解得（舍去）； ②t＜3时，对称轴在直线x＝3左侧， ，解得（舍去）或； 综上，． 19．（8分）已知抛物线y＝2x2+4x﹣6． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）将该抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m的值． 【分析】（1）将二次函数的解析式改写成顶点式即可． （2）将抛物线与x轴的交点平移到原点即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， y＝2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1）﹣8＝2（x+1）2﹣8， 所以抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣8）． （2）令y＝0得， 2x2+4x﹣6＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣3． 又因为将该抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点， 所以﹣3+m＝0， 解得m＝3． 故m的值为3． 20．（8分）某商店对柑橘上市后的市场销售情况进行跟踪调查．当柑橘的销售单价为每件25元时，每天的销售量为50件，销售单价每提高1元，每天的销售量就减少2件． （1）用适当的函数表示该柑橘的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系，其中x≥25； （2）已知柑橘的进货价格为每件20元，当柑橘的销售单价定为多少时，该商店销售柑橘每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）依据意得，y＝50﹣2（x﹣25）＝﹣2x+100（x≥25），进而可以得解； （2）依据题意，设当柑橘的销售单价定为x元时，该商店销售柑橘每天获得的利润为w，则w＝（100﹣2x）（x﹣20）＝﹣2（x﹣35）2+450，再根据二次函数的性质即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意得，y＝50﹣2（x﹣25）＝﹣2x+100（x≥25）， ∴y＝﹣2x+100（x≥25）． （2）由题意，设当柑橘的销售单价定为x元时，该商店销售柑橘每天获得的利润为w， ∴w＝（100﹣2x）（x﹣20）＝﹣2x2+140x﹣2000 ＝﹣2（x﹣35）2+450． ∵﹣2＜0， ∴当x＝35时，w取最大值，最大值为450． ∴当柑橘的销售单价定为35元时，该商店销售柑橘每天获得的利润最大，最大值为450元． 21．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接BC． （1）求该二次函数的解析式； （2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当△BCP的面积最大时，BC边上的高PN的值为 　　． 【分析】（1）直接利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出直线BC的解析式，然后过点P作PD⊥x轴交BC于点D，设点P的坐标为，则点D的坐标为，根据求出面积的最大值，然后求高PN即可． 【解答】解：（1）把（﹣1，0）和（0，﹣3）代入得： ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）令y＝0，则， 解得：x1＝﹣1，x2＝6， ∴点B的坐标为（6，0）， ∴， 设直线BC的解析式为y＝mx+n，代入得： ， 解得， ∴直线BC的解析式为， 过点P作PD⊥x轴交BC于点D，如图， 设点P的坐标为，则点D的坐标为， ∴， ∴， ∴△PBC最大为， ∴， 故答案为：． 22．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，它的对称轴为直线l． （1）求该抛物线的表达式； （2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P，D，E为顶点的三角形与△BOC全等，求满足条件的点P、点E的坐标． 【分析】（1）由题意，利用待定系数法解答； （2）分别解得A、B、C的坐标，抛物线的对称轴，推理出当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△BOC全等，据此再分两种情况讨论：当点P在抛物线对称轴的右（或左）侧时解答即可． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）和B（3，0）代入抛物线y＝x2+bx+c中， ， ∴， ∴y＝x2﹣2x﹣3； （2）令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0， ∴（x﹣3）（x+1）＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣1， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 令x＝0， ∴y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1，且OB＝OC＝3， ∵∠PDE＝∠BOC＝90°， ∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△BOC全等，如图， 设P（m，n）， 当点P在抛物线对称轴的右侧时， m﹣1＝3， ∴m＝4， ∴n＝42﹣2×4﹣3＝5， ∴P（4，5）， ∴E（1，2）或（1，8）， 当点P在抛物线对称轴的左侧时， 由抛物线的对称性得P（﹣2，5），此时点E的坐标同上， 综上所述，点P（4，5）或P（﹣2，5），点E（1，2）或（1，8）． 23．（12分）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度y/m 10 10 k 10 6.25 根据上述数据，直接写出k的值为 　11.25　，直接写出满足的函数关系式：　y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25　； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1；比赛当天入水点的水平距离为d2，则d1　＜　d2（填“＞”“＝”或“＜”）； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 【分析】（1）待定系数法求出解析式，即可； （2）分别求出两个解析式当y＝0时，x的值，进行比较即可； （3）先求出c的值，再求出t＝1.6时的y值，进行判断即可． 【解答】解：（1）由表格可知，图象过点（3，10），（4，10），（4.5，6.25）， ∴h＝＝3.5， ∴y＝a（x﹣3.5）2+k， ∴， 解得：， ∴y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25； 故答案为：11.25，y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25， （2∵y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25， 当y＝0时：0＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25， 解得：x＝5或x＝2（不合题意，舍去）； ∴d1＝5米； ∵y＝﹣5x2+40x﹣68， 当y＝0时：﹣5x2+40x﹣68＝0， 解得：x＝+4或x＝﹣+4（不合题意，舍去）； ∴d2＝+4＞5， ∴d1＜d2， 故答案为：＜； （3）y＝﹣5x2+40x﹣68＝﹣5（x﹣4）2+12， ∴B（4，12）， ∴c＝12， ∴y＝﹣5t2+12， 当t＝1.6时，y＝﹣5×1.62+12＝﹣0.8， ∵﹣0.8＜0， 即她在水面上无法完成此动作， ∴她当天的比赛不能成功完成此动作． 24．（12分）【定义与性质】 如图，记二次函数y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣p）2+q（a≠0）的图象分别为抛物线C和C1． 定义：若抛物线C1的顶点Q（p，q）在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上． 【理解与运用】 （1）若二次函数y＝﹣（x﹣2）2+m和y＝﹣（x﹣n）2+的图象都是抛物线y＝x2的伴随抛物线，则m＝　2　，n＝　±1　． 【思考与探究】 （2）设函数y＝x2﹣2kx+4k+5的图象为抛物线C2． ①若函数y＝﹣x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），请直接写出x1的取值范围． 【分析】（1）根据二次函数y＝﹣（x﹣2）2+m和y＝﹣（x﹣n）2+的图象都是抛物线y＝x2的伴随抛物线，得出×22＝m，×n2＝，求得m＝2，n＝±1； （2）①抛物线C2的顶点为（k，﹣k2+4k+5），令k＝0，顶点为（0，5）；k＝1，顶点为（1，8），得出d＝4，e＝5； ②当顶点在（﹣1，0）下方时，抛物线有两个交点，x1＜﹣1；当顶点在（5，0）下方时，2＜x1＜5． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数y＝﹣（x﹣2）2+m和y＝﹣（x﹣n）2+的图象都是抛物线y＝x2的伴随抛物线， ∴×22＝m，×n2＝， ∴m＝2，n＝±1， 故答案为：2；±1； （2）①由题意，∵y＝x2﹣2kx+4k+5＝（x﹣k）2﹣k2+4k+5， ∴抛物线C2的顶点为（k，﹣k2+4k+5）， 又C2始终是C0的伴随抛物线， ∴可令k＝0，顶点为（0，5）；k＝1，顶点为（1，8）， ∴， ∴d＝4，e＝5； ②∵C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）， 由①得：函数y＝﹣x2+4x+5的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线， ∴顶点坐标（k，﹣k2+4k+5）在y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9图象上滑动，顶点为（2，9）， 当﹣x2+4x+5＝0时，解得：x＝﹣1或x＝5， 抛物线与x轴交于（﹣1，0）（5，0）两个点， 当顶点在（﹣1，0）下方时，抛物线有两个交点，x1＜﹣1； ∵若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上， ∴（2，9）在C2上， 当顶点在（5，0）下方时，2＜x1＜5； 综上可得：2＜x1＜5或x1＜﹣1． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$