2.7.1 二次根式（1）（同步课件）-2024-2025学年八年级数学上册教材配套教学课件+分层练习（北师大版）

新课标 北师大版 八年级上册 2.7.1二次根式（1） 第二章 实数 1 学习目标 1、理解二次根式的性质.了解最简二次根式的定义.会利用积的与商的算术平方根的性质化简二次根式. 2、经历探索二次根式概念的过程，理解二次根式的意义. 2 新课引入 1.什么叫一个数的平方根？如何表示？ 2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根或二次方根. a叫做被开方数，a的平方根是 ± . 若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平方根 ， 0的算术平方根是0. 3 核心知识点一 探究学习 二次根式的概念及有意义的条件 观察下列算式： （其中b=24,c=25） 1.上述式子分别表示什么意思？ 2.这些式子有什么共同特征? 分别表示他们的算术平方根 （1）根指数为2 （2）被开方数为非负数 4 2. a可以是数,也可以是式； 3. 形式上含有二次根号 ； 5. 既可表示开平方运算,也可表示运算的结果. 1. 表示a的算术平方根； 4. a≥0, ≥0 ( 双重非负性)； 一般地，形如 （a≥0)的式子叫做二次根式. 5 练一练：判断下列代数式中哪些是二次根式. （1） ；（2）6 ；（3）；（4）(m≤0)； （5）； （6）; (7) 解：(1)(4)(6)是二次根式。 分析： 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 不是二次根式 是 否 否 是 6 二次根式的双重非负性 (1)被开方数 a 必须为大于或等于 0的非负数. (2) （a≥0）既可以表示开方运算，也可以表示运算的结果. 实际上就是非负数 a 的算术平方根，由于算术平方根的结果为非负数,故 7 思考：当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有 意义？呢？ 解：由 x2≥0 可知，x 可以为任意实数. 由 x3≥0 可知，x≥0. 二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即被开方数a≥0 . 8 1.当 x 是怎样的实数时，在实数范围内有意义？ 解：由 x-2≥0 得，x≥2. 当 x≥2 时， 在实数范围内有意义. 2.当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 解：由 x+3≥0 且 x-2≠0 ，得x≥-3且x≠2. ∴ x≥-3且x≠2时， 在实数范围内有意义. 9 归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零. 10 （2）由 ≥0 且 3-a≠0 得，a<3. ∴当 a<3 时， 在实数范围内有意义. 练一练：当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） （2） . （3） . 解：（1）由 a-1≥0 得，a≥1. ∴当 a≥1时， 在实数范围内有意义. 11 解：（3）因为不论a为何值，（a+1）2 ≥0恒成立， ∴a取任意实数， 在实数范围内都有意义. 当二次根式的被开方数出现完全平方公式或能配方成完全平方公式时，其中所含字母取任意实数，二次根式在实数范围内都有意义. 12 核心知识点二 二次根式的性质及化简 你发现了什么？ 计算下列各式： 6 6 20 20 13 （a≥0，b≥0） ， （a≥0， b＞0）． 商的算术平方根等于算术平方根的商 积的算术平方根等于算术平方根的积 二次根式的性质 14 （1） （2） （3） 解：(1) (2) (3) 化简： 15 特点：被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数或因式. 最简二次根式： 　　一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式. 讨论： 右边一组数有哪些特点？ 16 例：化简成最简二次根式： 解: 17 化简二次根式的一般方法 1.将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方. 2.化去根号下的分母 ①若被开方数中含有带分数，应先将带分数化为假分数. ②若被开方数中含有小数，应先将小数化为分数. 3.被开方数是多项式的要先进行因式分解. 18 二次根式化成最简二次根式的步骤 分：利用分解因数或分解因式的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数（或最简因式）的幂的乘积的形式. 移：把能开得尽方的因数（或因式）用它的算术平方根代替，移到根号外，当把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意依旧写在分母的位置上. 化：化去被开方数中的分母. 约：约分，化为最简二次根式. 19 随堂练习 B D 20 x≤9 0.3ab 21 22 （1） （2） （3） （4） （5） 7.化简：（1）　　　（2）　　　（3）　　 （4）　　 （5） 解： 23 课堂小结 二次根式 定义 带有 在有意义条件下求字母的取值范围 抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集. 被开方数为非负数 二次根式的性质 最简二次根式 （a≥0，b≥0） 24 谢谢聆听 25 2.下列式子一定是二次根式的是( ) A.eq \r(a)　　　　　　　　B.eq \r(－10) C.eq \r(a＋1) D.eq \r(a2＋1) 1.下列式子中，属于最简二次根式的是( ) A.eq \r(9)　 　 　B.eq \r(7)　 　 C.eq \r(20)　 　 　D.eq \r(\f(1,3)) －eq \f(\r(5),2) 3.代数式eq \r(9－x)有意义时，实数x的取值范围是_______． 设eq \r(2)＝a，eq \r(3)＝b，用含a，b的式子表示eq \r(0.54)为_________. 5．对于任意不相等的两个有理数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝eq \f(\r(a＋b),a－b)，如：3※2＝eq \f(\r(3＋2),3－2)＝eq \r(5)，那么8※12＝________． 6．判断下列代数式中哪些是二次根式？ (1)eq \r(\f(1,2))；(2)eq \r(－16)；(3)eq \r(（m－3）2)；(4)eq \r(a2＋2a＋2). 解：(1)中a＝eq \f(1,2)＞0，∴是二次根式； a＝－16＜0，∴不是二次根式； (3)a＝(m－3)2≥0，∴是二次根式； 被开方数＝a2＋2a＋2＝a2＋2a＋1＋1＝(a＋1)2＋1＞0，∴是二次根式 $$