第01讲 轴对称（3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（人教版）

第01讲 轴对称 课程标准 学习目标 ①轴对称图形 ②轴对称 ③轴对称及其轴对称图形的性质 1. 掌握轴对称与轴对称图形的概念，并能够熟练的判断两种图形。 2. 掌握轴对称图形与轴对称的性质，并能够熟练的应用其解决相关问题。 知识点01 轴对称图形 1. 轴对称图形的概念： 若一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够 ，则这个图形是一个轴对称图形。这条直线叫做轴对称图形的 。一个轴对称图形可以有多条对称轴。 2. 常见的几种轴对称图形以及他们的对称轴数量： 角：对称轴所在位置是 所在直线，一共有 条对称轴。 底和要不相等的等腰三角形：对称轴所在直线是 所在的直线，一共有 条对称轴。 等边三角形：对称轴所在直线是 所在的直线，一共有 条对称轴。 矩形：对称轴所在直线是 所在的直线，一共有 条对称轴。 正方形：对称轴所在直线是 所在的直线，一共有 条对称轴。 圆形：对称轴所在直线是 所在的直线，一共有 条对称轴。 【即学即练1】 1．我们生活在一个充满对称的世界中．许多建筑、艺术作品、动植物、中国的方块字中也具有对称性，对称给我们带来美的感受！这是生活之美，也是数学之美！下列运动项目的图标，属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．下面图形中，对称轴最多的是（　　） A． B． C． D． 知识点02 轴对称 1. 轴对称的概念： 一个图形沿着某一条直线对折与另一个图形能够 ，则这两个图形的位置关系成轴对称。这条直线是轴对称的 。轴对称只有一条对称轴。 重合的边叫做 ，重合的角叫做 。重合的点叫做 。 注意：轴对称图形是一个图形的形状特点，轴对称是两个图形的形状特点加上位置特点构成。 【即学即练1】 3．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 知识点03 轴对称与轴对称图形的性质 1. 轴对称与轴对称图形的性质： ①轴对称图形对称轴两旁的部分 ，成轴对称的两个图形 。 ②对应边 ，对应角 。对应边若不与对称轴平行，则延长线的交点一定交于对称轴上。 ③对称轴经过任何一组对应点连线的 且与线段 。我们把对称轴叫做对应点连线的 。 ④对应点的连线之间相互 。 【即学即练1】 4．如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，下列结论：（1）△ABC≌△A'B'C'；（2）∠BAC＝∠B'A'C'；（3）直线l垂直平分CC'；（4）直线l平分∠CAC'．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【即学即练2】 5．如图所示，将∠A沿着BC折叠到∠A所在平面内，点A的对应点是A'，若∠A＝54°，则∠1+∠2＝（　　） A．144° B．108° C．72° D．54° 【即学即练3】 6．如图，点A是∠MON内一点，点E，F分别是点A关于OM，ON的对称点，连接EF交OM，ON于点B，C，连接AB，AC．已知EF＝18，则△ABC的周长为（　　） A．9 B．18 C．24 D．36 题型01 轴对称图形判断 【典例1】第19届亚运会在浙江杭州举行，下列与杭州亚运会相关的图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】垃圾分类是将垃圾分门别类地投放，并通过分类清运和回收，使之重新变成资源，下面四个图形分别是可回收垃圾、不可回收垃圾、易腐垃圾和有害垃圾标志，在这四个图形中，轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】二十四节气作为中国人特有的时间知识体系，在国际气象界，这一观天察地、认知自然所创造的时间知识体系被誉为“中国的第五大发明”．下列四幅作品分别代表“大雪”、“立春”、“芒种”、“立秋”，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 题型02 判断对生活中的轴对称 【典例1】视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】在汉字“生活中的日常用品”中，成轴对称的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】下列图形中，△A'B'C'与△ABC关于直线MN成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（　　） （1）F，R，P，J，L，G，（　　） （2）H，I，O，（　　） （3）N，S，（　　） （4）B，C，K，E，（　　） （5）V，A，T，Y，W，U，（　　） A．Q，X，Z，M，D B．D，M，Q，Z，X C．Z，X，M，D，Q D．Q，X，Z，D，M 题型03 轴对称图形与轴对称的性质 【典例1】如图，已知△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，下列选项中的结论不正确的是（　　） A．△ABC≌△A′B′C′ B．∠BAC＝∠B'A′C′ C．直线l垂直平分CC′ D．直线BC和B′C′的交点不一定在直线l上 【变式1】如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则下列结论不一定正确的是（　　） A．∠BAC＝∠B′A′C′ B．△ABC≌△A′B′C′ C．直线l垂直平分 AA′ D．BB′＝2AA′ 【变式2】如图，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，连接BC′，B′C，CC′，下列结论：①l垂直平分CC′；②∠BAC′＝∠B′AC；③△BCC′≌△B′C′C；④直线BC和B′C′的交点一定在l上，其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3】如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，连接BE，CD，CE，下列结论： ①l垂直平分CE； ②∠BAE＝∠DAC； ③△BCE≌△DEC； ④直线BC，DE的交点一定在l上， 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型04 轴对称的性质—桌球反弹规律题 【典例1】如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式1】如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式2】如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P2的坐标是　 　，点P2017的坐标是　 　． 【变式3】如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2021的坐标为 　 　． 【变式4】如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（﹣2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2020的坐标是（　　） A．（0，1） B．（﹣2，4） C．（﹣2，0） D．（0，3） 题型05 利用轴对称的性质计算角度 【典例1】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝45°，∠B′＝110°，则∠C度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．35° 【变式1】如图，△ABC与△ADC关于AC所在直线对称，若∠BAD+∠BCD＝180°，则∠B的度数为（　　） A．90° B．95° C．80° D．85° 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【变式3】起源于中国的折纸艺术，不仅具有艺术审美价值，还蕴含着数学运算和空间几何原理．图1是一朵用长方形纸条折制的玫瑰花，其前两步的折制过程如下：第一步将长方形纸条ABCD沿DE折叠，使点A落在点A′的位置上，A′E与DC交于点F（如图2）．第二步将纸条沿EG折叠，使点B，C分别落在直线EF的右侧点B′，C′的位置上（如图3）．若∠AED＝34°，ED∥B′C′，则∠EGF＝　　． 题型06 利用轴对称的性质计算线段 【典例1】如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【变式1】如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若PMN的周长＝8厘米，则CD为　 　厘米． 【变式2】如图，点P关于OA，OB的对称点分别是P1，P2，P1P2分别交OA，OB于点C，D，P1P2＝6cm，则△PCD的周长为 　 　． 【变式3】如图，直线l，m相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝2.7．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（　　） A．0 B．5 C．6 D．7 1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 3．将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母“B”，再把它展开铺平后，你可以看到的图形是（　　） A． B． C． D． 4．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线对称，下列结论中： ①△ABC≌△A′B′C′； ②∠BAC′＝∠B′AC； ③l垂直平分CC′； ④直线BC和B′C′的交点不一定在l上， 正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 6． 在一次数学实践活动课上，学生进行折纸活动，如图是小睿、小轩、小涌三位同学的折纸示意图（C的对应点是C'），分析他们的折纸情况，下列说法正确的是（　　） A．小睿折出的是BC边上的中线 B．小轩折出的是△ABC中∠BAC的平分线 C．小涌折出的是△ABC中BC边上的高 D．上述说法都错误 7．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，则∠MPN的度数是（　　） A．90° B．100° C．120° D．140° 8．如图，已知直线m是正五边形ABCDE的对称轴，连接BD交m于点F，则∠1的度数为（　　） A．36° B．70° C．72° D．108° 9．折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支．按如图所示方法折纸，则下列说法不正确的是（　　） A．∠1与∠3互余 B．∠2＝90° C．AE平分∠BEF D．∠1与∠AEC互补 10．如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝0.6．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 11．如果一个正多边形的外角等于72°，那么这个正多边形的共有 　 　条对称轴． 12．有一个英语单词，其四个字母都关于直线l对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品 　 　． 13．如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝4cm，BC＝5cm，点D，E分别在AC，AB上，且△BCD与△BED关于BD对称，则△ADE的周长为 　 　cm． 14．折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点B，C分别落在点B′，C′的位置，C′在AD上，再沿AB折叠，点B′落在点B″位置，点B″在C′E上，若∠1＝∠2，则∠1＝　 　°． 15．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④BP＝EQ．其中正确的是 　 　． 16．如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形． 17．如图，在台球运动中（每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等），如果母球P击中桌边点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边点B，然后又反弹击中球C． （1）若∠PAD＝32°，求∠PAB的度数． （2）母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由． 18．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上两点，△ADE与△FDE关于DE轴对称，DF交AC于点P，已知∠A＝45°，∠PEF＝30°． （1）求∠FPC的度数． （2）若DF∥BC，求∠B的度数． 19．折纸实验：如图，长方形纸带ABCD，E、F分别是边AD、BC上一点，∠DEF＝α（0°＜α＜90°且α≠60°），将纸带ABCD沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2． （1）当α＝25°时，则∠BFE＝　 　；∠GFC'＝　 　； （2）两次折叠后，求∠NFE的大小（用含α的代数式表示）． 20．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），射线BC和射线BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． （1）求∠CBD的度数． （2）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数． （3）作射线BC关于BP对称的射线BC'，射线BD关于BP对称的射线BD'，如果BC'和BD'始终在∠ABN的内部，请直接写出∠ADB的范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 轴对称 课程标准 学习目标 ①轴对称图形 ②轴对称 ③轴对称及其轴对称图形的性质 1. 掌握轴对称与轴对称图形的概念，并能够熟练的判断两种图形。 2. 掌握轴对称图形与轴对称的性质，并能够熟练的应用其解决相关问题。 知识点01 轴对称图形 1. 轴对称图形的概念： 若一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够 完全重合 ，则这个图形是一个轴对称图形。这条直线叫做轴对称图形的 对称轴 。一个轴对称图形可以有多条对称轴。 2. 常见的几种轴对称图形以及他们的对称轴数量： 角：对称轴所在位置是 角平分线 所在直线，一共有 1 条对称轴。 底和要不相等的等腰三角形：对称轴所在直线是 底边中线 所在的直线，一共有 1 条对称轴。 等边三角形：对称轴所在直线是 任意边中线 所在的直线，一共有 3 条对称轴。 矩形：对称轴所在直线是 经过对边中点 所在的直线，一共有 2 条对称轴。 正方形：对称轴所在直线是 经过对边中点以及对角线 所在的直线，一共有 4 条对称轴。 圆形：对称轴所在直线是 直径 所在的直线，一共有 无数 条对称轴。 【即学即练1】 1．我们生活在一个充满对称的世界中．许多建筑、艺术作品、动植物、中国的方块字中也具有对称性，对称给我们带来美的感受！这是生活之美，也是数学之美！下列运动项目的图标，属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义即可求解． 【解答】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项A能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 【即学即练2】 2．下面图形中，对称轴最多的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 【解答】解：选项A的图形有四条对称轴，选项B的图形有一条对称轴，选项C的图形有两条对称轴，选项D的图形有三条对称轴， 所以对称轴最多的是A． 故选：A． 知识点02 轴对称 1. 轴对称的概念： 一个图形沿着某一条直线对折与另一个图形能够 完全重合 ，则这两个图形的位置关系成轴对称。这条直线是轴对称的 对称轴 。轴对称只有一条对称轴。 重合的边叫做 对应边 ，重合的角叫做 对应角 。重合的点叫做 对应点 。 注意：轴对称图形是一个图形的形状特点，轴对称是两个图形的形状特点加上位置特点构成。 【即学即练1】 3．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴． 【解答】解：B，C，D选项中，两个字母“E”关于某条直线成轴对称，而A选项中，两个字母“E”不能沿着直线翻折互相重合． 故选：A． 知识点03 轴对称与轴对称图形的性质 1. 轴对称与轴对称图形的性质： ①轴对称图形对称轴两旁的部分 全等 ，成轴对称的两个图形 全等 。 ②对应边 相等 ，对应角 相等 。对应边若不与对称轴平行，则延长线的交点一定交于对称轴上。 ③对称轴经过任何一组对应点连线的 中点 且与线段 垂直 。我们把对称轴叫做对应点连线的 垂直平分线 。 ④对应点的连线之间相互 平行 。 【即学即练1】 4．如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，下列结论：（1）△ABC≌△A'B'C'；（2）∠BAC＝∠B'A'C'；（3）直线l垂直平分CC'；（4）直线l平分∠CAC'．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据成轴对称的两个图形能够完全重合可得△ABC和△AB′C′全等，然后对各小题分析判断后解可得到答案． 【解答】解：∵△ABC和△AB′C′关于直线l对称， ∴（1）△ABC≌△A'B'C'； （2）∠BAC＝∠B'A'C'； （3）直线l垂直平分CC'； （4）直线l平分∠CAC'． 综上所述，正确的结论有4个， 故选：D． 【即学即练2】 5．如图所示，将∠A沿着BC折叠到∠A所在平面内，点A的对应点是A'，若∠A＝54°，则∠1+∠2＝（　　） A．144° B．108° C．72° D．54° 【分析】由折叠的定义知：∠ABC＝∠A′BC，∠ACB＝∠A′CB，根据∠A＝54°得到∠ABC+∠ACB＝2×54°＝108°，从而得到∠ABA′+∠ACA′＝2×108°＝216°，利用∠1+∠2＝2×180°﹣（∠ABA′+∠ACA′）求得答案即可． 【解答】解：由折叠的定义知：∠ABC＝∠A′BC，∠ACB＝∠A′CB， ∵∠A＝54°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣54°＝126° ∴∠ABA′+∠ACA′＝2×126°＝252°， ∴∠1+∠2＝2×180°﹣（∠ABA′+∠ACA′）＝360°﹣252°＝108°， 故选：B． 【即学即练3】 6．如图，点A是∠MON内一点，点E，F分别是点A关于OM，ON的对称点，连接EF交OM，ON于点B，C，连接AB，AC．已知EF＝18，则△ABC的周长为（　　） A．9 B．18 C．24 D．36 【分析】由轴对称的性质得到OM垂直平分AE，由线段垂直平分线的性质得到AB＝BE，同理FC＝AC，即可得到△ABC的周长＝BC+AB+AC＝EF＝18． 【解答】解：∵点E，A关于OM对称， ∴OM垂直平分AE， ∴AB＝BE， 同理FC＝AC， ∴△ABC的周长＝BC+AB+AC＝BC+BE+CF＝EF＝18． 故选：B． 题型01 轴对称图形判断 【典例1】第19届亚运会在浙江杭州举行，下列与杭州亚运会相关的图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可． 【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 【变式1】垃圾分类是将垃圾分门别类地投放，并通过分类清运和回收，使之重新变成资源，下面四个图形分别是可回收垃圾、不可回收垃圾、易腐垃圾和有害垃圾标志，在这四个图形中，轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：C． 【变式2】二十四节气作为中国人特有的时间知识体系，在国际气象界，这一观天察地、认知自然所创造的时间知识体系被誉为“中国的第五大发明”．下列四幅作品分别代表“大雪”、“立春”、“芒种”、“立秋”，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可． 【解答】解：B、C、D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项的图形中能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 【变式3】围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 题型02 判断对生活中的轴对称 【典例1】视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴． 【解答】解：A，B，D选项中，两个字母“E”关于某条直线成轴对称，而C选项中，两个字母“E”不能沿着直线翻折互相重合． 故选：C． 【变式1】在汉字“生活中的日常用品”中，成轴对称的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据轴对称的定义，找出成轴对称的字，即可解答． 【解答】解：根据轴对称的定义， 在汉字“生活中的日常用品”中，成轴对称的字有“中、日、品”3个； 故选：B． 【变式2】下列图形中，△A'B'C'与△ABC关于直线MN成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【分析】认真观察各选项给出的图形，根据轴对称的性质，对称轴垂直平分线对应点的连线进行判断． 【解答】解：根据轴对称的性质，结合四个选项，只有B选项中对应点的连线被对称轴MN垂直平分，所以B是符合要求的． 故选：B． 【变式3】把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（　　） （1）F，R，P，J，L，G，（　　） （2）H，I，O，（　　） （3）N，S，（　　） （4）B，C，K，E，（　　） （5）V，A，T，Y，W，U，（　　） A．Q，X，Z，M，D B．D，M，Q，Z，X C．Z，X，M，D，Q D．Q，X，Z，D，M 【分析】分析各组的对称性与字母D、M、Q、X、Z，的对称性，即可作出判断． 【解答】解：（1）不是对称图形，5个子母中不是对称图形的只有：Q，Z； （2）有两条对称轴，并且两对称轴互相垂直，则规律相同的是：X； （3）是中心对称图形，则规律相同的是：Z； （4）是轴对称图形，对称轴是一条水平的直线，满足规律的是：D； （5）是轴对称图形，对称轴是竖直的直线，满足规律的是：M． 故各个空，顺序依次为：Q，X，Z，D，M． 故选：D． 题型03 轴对称图形与轴对称的性质 【典例1】如图，已知△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，下列选项中的结论不正确的是（　　） A．△ABC≌△A′B′C′ B．∠BAC＝∠B'A′C′ C．直线l垂直平分CC′ D．直线BC和B′C′的交点不一定在直线l上 【分析】根据轴对称的性质一一判断即可． 【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称， ∴△ABC≌△A′B′C′，∠BAC＝∠B′A′C′，直线l垂直平分线段CC′，直线BC和直线B′C′的交点在对称轴l上， 故A，B，C正确，不符合题意；D不正确，故符合题意． 故选：D． 【变式1】如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则下列结论不一定正确的是（　　） A．∠BAC＝∠B′A′C′ B．△ABC≌△A′B′C′ C．直线l垂直平分 AA′ D．BB′＝2AA′ 【分析】直接根据轴对称的性质解答即可． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称， ∴∠BAC＝∠B′A′C′，△ABC≌△A′B′C′，直线l垂直平分AA′，故A，B，C不符合题意． 故选：D． 【变式2】如图，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，连接BC′，B′C，CC′，下列结论：①l垂直平分CC′；②∠BAC′＝∠B′AC；③△BCC′≌△B′C′C；④直线BC和B′C′的交点一定在l上，其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据成轴对称的两个图形能够完全重合可得△ABC和△AB′C′全等，然后对各小题分析判断后解可得到答案． 【解答】解：∵△ABC和△AB′C′关于直线L对称， ∴①l垂直平分CC′； ②∠BAC′＝∠B′AC； ③△BCC′≌△B′C′C； ④直线BC和B′C′的交点一定在l上， 综上所述，正确的结论有4个， 故选：A． 【变式3】如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，连接BE，CD，CE，下列结论： ①l垂直平分CE； ②∠BAE＝∠DAC； ③△BCE≌△DEC； ④直线BC，DE的交点一定在l上， 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据成轴对称的两个图形能够完全重合可得△ABC和△ADE全等，然后对各小题分析判断后解可得到答案． 【解答】解：∵△ABC和△ADE关于直线L对称， ∴①l垂直平分CE； ②∠BAE＝∠DAC； ③△BCE≌△DEC； ④直线BC，DE的交点一定在l上， 综上所述，正确的结论有4个， 故选：D． 题型04 轴对称的性质—桌球反弹规律题 【典例1】如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】要击中点N，则需要满足点M反弹后经过的直线过N点，画出反射路线即可得出答案． 【解答】解： 可以瞄准点D击球． 故选：D． 【变式1】如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【分析】利用轴对称画图可得答案． 【解答】解：如图所示， ， 球最后落入的球袋是2号袋， 故选：B． 【变式2】如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P2的坐标是　（7，4）　，点P2017的坐标是　（3，0）　． 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，据此即可得出结果． 【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），点P2的坐标是（7，4）， 当点P第1次碰到矩形的边时，点P1的坐标为：（3，0）； ∵2017÷6＝336……1， ∴当点P第2017次碰到矩形的边时为第337个循环组的第1次反弹，回到出发点（3，0）， 此时点P2017的坐标为（3，0）． 故答案为：（7，4），（3，0）． 【变式3】如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2021的坐标为 　（4，3）　． 【分析】按照反弹规律依次画图即可． 【解答】解：如图： 根据反射角等于入射角画图，可知小球从P2反射后到P3（0，3），再反射到P4（2，4），再反射到P5（4，3），再反射到P点（0，1）之后，再循环反射，每6次一循环，2021÷6＝336…5，即点P2021的坐标是（4，3）． 故答案为：（4，3）． 【变式4】如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（﹣2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2020的坐标是（　　） A．（0，1） B．（﹣2，4） C．（﹣2，0） D．（0，3） 【分析】按照反弹规律依次画图，写出点的坐标，再找出规律即可． 【解答】解：如图， 根据反射角等于入射角画图，可知光线从P2反射后到P3（0，3），再反射到P4（﹣2，4），再反射到P5（﹣4，3），再反射到P点（0，1）之后，再循环反射，每6次一循环，2020÷6＝336……4，即点P2020的坐标是（﹣2，4）， 故选：B． 题型05 利用轴对称的性质计算角度 【典例1】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝45°，∠B′＝110°，则∠C度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．35° 【分析】由轴对称的性质可得∠B＝∠B′＝110°，再由三角形内角和定理进行计算即可． 【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠B′＝110°， ∴∠B＝∠B′＝110°， 又∵∠A＝45°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣110°＝25°， 故选：C． 【变式1】如图，△ABC与△ADC关于AC所在直线对称，若∠BAD+∠BCD＝180°，则∠B的度数为（　　） A．90° B．95° C．80° D．85° 【分析】根据轴对称图形的性质可知，，再结合∠BAD+∠BCD＝180°，可求出∠BAC+∠ACB＝90°，即得出∠B＝90°． 【解答】解：∵△ABC与△ADC关于AC所在直线对称， ∴，． ∵∠BAD+∠BCD＝180°， ∴，即∠BAC+∠ACB＝90°， ∴∠B＝90°． 故选：A． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【分析】求出∠C，∠AB′D，利用三角形的外角的性质求解即可． 【解答】解：∵∠B＝50°，∠BAC＝90°， ∴∠C＝90°﹣50°＝40°， ∵AD⊥BC，△ADB与△ADB'关于直线AD对称， ∴∠AB′D＝∠B＝50°， ∵∠AB′D＝∠C+∠CAB′， ∴∠CAB′＝50°﹣40°＝10°， 故选：A． 【变式3】起源于中国的折纸艺术，不仅具有艺术审美价值，还蕴含着数学运算和空间几何原理．图1是一朵用长方形纸条折制的玫瑰花，其前两步的折制过程如下：第一步将长方形纸条ABCD沿DE折叠，使点A落在点A′的位置上，A′E与DC交于点F（如图2）．第二步将纸条沿EG折叠，使点B，C分别落在直线EF的右侧点B′，C′的位置上（如图3）．若∠AED＝34°，ED∥B′C′，则∠EGF＝　28°　． 【分析】由长方形的性质及平行线的性质可证得∠EDF＝34°，由长方形的性质，轴对称的性质及平行线的性质可证得∠DEB′＝90°，∠EGF＝∠GEB′，然后根据△EDG的内角和等于180°即可求得∠EGF的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AB∥CD，∠B＝90°， ∴∠EDF＝∠AED＝34°，∠EGF＝∠GEB， 根据轴对称的性质可知：∠B′＝∠B＝90°，∠GEB′＝∠GEB， ∴∠EGF＝∠GEB′， ∵ED∥B′C′， ∴∠DEB′＝∠B′＝90°， ∵在△EDG中，∠EDF+∠DEB′+∠GEB′+∠EGF＝180°， 即34°+90°+∠EGF+∠EGF＝180°， ∴， 故答案为：28°． 题型06 利用轴对称的性质计算线段 【典例1】如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【分析】根据轴对称的性质可得PM＝P1M，PN＝P2N，然后求出△PMN的周长＝P1P2． 【解答】解：∵P点关于OA、OB的对称点P1、P2， ∴PM＝P1M，PN＝P2N， ∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2， ∵△PMN的周长是5cm， ∴P1P2＝5cm． 故选：C． 【变式1】如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若PMN的周长＝8厘米，则CD为　8　厘米． 【分析】根据轴对称的性质和三角形周长的定义可知． 【解答】解：根据题意点P关于OA、OB的对称点分别为C、D， 故有MP＝MC，NP＝ND； 则CD＝CM+MN+ND＝PM+MN+PN＝8cm． 故答案为：8． 【变式2】如图，点P关于OA，OB的对称点分别是P1，P2，P1P2分别交OA，OB于点C，D，P1P2＝6cm，则△PCD的周长为 　6　． 【分析】根据轴对称的性质可得PC＝P1C，PD＝P2D，从而求出△PCD的周长等于P1P2，从而得解． 【解答】解：∵点P关于OA、OB的对称点P1、P2， ∴PC＝P1C，PD＝P2D， ∴△PCD的周长等于P1P2＝6． 故答案为：6． 【变式3】如图，直线l，m相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝2.7．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（　　） A．0 B．5 C．6 D．7 【分析】由轴对称的性质得OP1＝OP＝2.7，OP＝OP2＝2.7，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果． 【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2， ∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2， ∴OP1＝OP＝2.7，OP＝OP2＝2.7， ∵OP1+OP2＞P1P2， ∴0＜P1P2＜5.4， 故选：B． 1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：D． 2．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【分析】利用轴对称画出图形即可． 【解答】解：如图所示： ， 该球最后落入的球袋是4号袋， 故选：D． 3．将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母“B”，再把它展开铺平后，你可以看到的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称的知识可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， 展开后的图形呈轴对称， 故选：C． 4．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线对称，下列结论中： ①△ABC≌△A′B′C′； ②∠BAC′＝∠B′AC； ③l垂直平分CC′； ④直线BC和B′C′的交点不一定在l上， 正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据关于某直线成轴对称的两个图形能够完全重合对各小题分析判断即可得解． 【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称， ∴①△ABC≌△A′B′C′，正确； ②∠BAC＝∠B′AC′， ∴∠BAC+∠CAC′＝∠B′AC′+∠CAC′， 即∠BAC′＝∠B′AC，正确； ③l垂直平分CC′，正确； ④应为：直线BC和B′C′的交点一定在l上，故本小题错误． 综上所述，结论正确的是①②③共3个． 故选：B． 5．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解 【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称． 故选：A． 6．在一次数学实践活动课上，学生进行折纸活动，如图是小睿、小轩、小涌三位同学的折纸示意图（C的对应点是C'），分析他们的折纸情况，下列说法正确的是（　　） A．小睿折出的是BC边上的中线 B．小轩折出的是△ABC中∠BAC的平分线 C．小涌折出的是△ABC中BC边上的高 D．上述说法都错误 【分析】根据轴对称的性质解答即可． 【解答】解：A、小睿的图， ∵AC沿AD折叠，对称边为AC′， ∴△ACD≌△△AC′D， ∴CD＝C′D， ∴AD是线段CC′的中线，原说法错误，不符合题意； B、小轩的图， ∵AC沿AD折叠，对称边为AC′， ∴△ACD≌△△AC′D， ∴∠CAD＝∠C′AD， ∴AD是∠BAC的平分线，正确，符合题意； C、小涵的图， ∵AC折叠后点C与点B重合， ∴AD是BC边的中线，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 7．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，则∠MPN的度数是（　　） A．90° B．100° C．120° D．140° 【分析】首先证明∠P1+∠P2＝40°，可得∠PMN＝∠P1+∠MPP1＝2∠P1，∠PNM＝∠P2+∠NPP2＝2∠P2，推出∠PMN+∠PNM＝2×40°＝80°，可得结论． 【解答】解：∵P点关于OB的对称点是P1，P点关于OA的对称点是P2， ∴PM＝P1M，PN＝P2N，∠P2＝∠P2PN，∠P1＝∠P1PM， ∵∠AOB＝40°， ∴∠P2PP1＝140°， ∴∠P1+∠P2＝40°， ∴∠PMN＝∠P1+∠MPP1＝2∠P1，∠PNM＝∠P2+∠NPP2＝2∠P2， ∴∠PMN+∠PNM＝2×40°＝80°， ∴∠MPN＝180°﹣（∠PMN+∠PNM）＝180°﹣80°＝100°， 故选：B． 8．如图，已知直线m是正五边形ABCDE的对称轴，连接BD交m于点F，则∠1的度数为（　　） A．36° B．70° C．72° D．108° 【分析】证明CF＝DF，求出∠CDF可得结论． 【解答】解：∵直线m是正五边形ABCDE的对称轴， ∴FC＝FD， ∵CB＝CD，∠BCD＝108°， ∴∠CDB＝∠CBD＝36°， ∴∠FCD＝∠FDC＝36°， ∴∠1＝∠FCD+∠FDC＝72°， 故选：C． 9．折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支．按如图所示方法折纸，则下列说法不正确的是（　　） A．∠1与∠3互余 B．∠2＝90° C．AE平分∠BEF D．∠1与∠AEC互补 【分析】利用折叠的性质及余角和补角的定义进行分析即可判断． 【解答】解：根据折叠的性质可知，∠1＝∠AEB，∠3＝∠FEC， ∵∠1+∠AEB+∠3+∠FEC＝180°， ∴2（∠1+∠3）＝180°， 即∠1+∠3＝90°，故A不符合题意； ∴∠2＝90°，故B不符合题意，C符合题意； ∵∠1+∠AEC＝180°， ∴∠1与∠AEC互补， 故D不符合题意． 故选：C． 10．如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝0.6．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】连接OP1，PP1，OP2，PP2，P1P2根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论． 【解答】解：连接OP1，PP1，OP2，PP2，P1P2，如图， ∵P1是P关于直线l的对称点， ∴直线l是PP1的垂直平分线， ∴OP1＝OP＝0.6， ∵P2是P关于直线m的对称点， ∴直线m是PP2的垂直平分线， ∴OP2＝OP＝0.6， 当P1，O，P2不在同一条直线上时，P1P2＜OP1+OP2， 即0＜P1P2＜1.2， 故选：B． 11．如果一个正多边形的外角等于72°，那么这个正多边形的共有 　5　条对称轴． 【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以一个外角的度数，就得到外角和中外角的个数，即多边形的边数．再根据轴对称图形的定义解答即可． 【解答】解：∵多边形的外角和为360°， ∴边数＝360°÷72°＝5， 故这个正多边形的边数是5， 正五边形共有5条对称轴． 故答案为：5． 12．有一个英语单词，其四个字母都关于直线l对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品 　书　． 【分析】结合题意可知，题中的四个字母均是轴对称图形，所以直线l是四个字母的对称轴；将残缺的字母关于直线对称，即可得到完整字母，通过字母组成的单词即可知道所指物品了． 【解答】解：补全字母，如图所示： 故这个单词所指的物品是书． 故答案为：书． 13．如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝4cm，BC＝5cm，点D，E分别在AC，AB上，且△BCD与△BED关于BD对称，则△ADE的周长为 　7　cm． 【分析】先根据轴对称的性质得出△BCD≌△BED，故可得出BC＝BE，CD＝DE，据此可得出结论． 【解答】解：∵△BCD与△BED关于BD对称，AB＝8cm，AC＝4cm，BC＝5cm， ∴△BCD≌△BED， ∴BC＝BE＝5cm，CD＝DE， ∴AE＝AB﹣BE＝8﹣5＝3（cm）， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AC+AE＝4+3＝7（cm）． 故答案为：7． 14．折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点B，C分别落在点B′，C′的位置，C′在AD上，再沿AB折叠，点B′落在点B″位置，点B″在C′E上，若∠1＝∠2，则∠1＝　（）　°． 【分析】设∠B'FG＝α，∠1＝β，则∠2＝β，根据折叠的性质可得：∠GFB''＝∠B'FG＝α，∠B'＝∠GB''F＝∠B'C'B''＝90°，再由同角的余角相等可得∠FB''E＝∠1＝β，最后由平行线的性质可得结论． 【解答】解：设∠B'FG＝α，∠1＝β，则∠2＝β， 由折叠得：∠GFB''＝∠B'FG＝α，∠B'＝∠GB''F＝∠B'C'B''＝90°， ∴∠1+∠C'B''G＝∠C'B''G+∠FB''E＝90°， ∴∠FB''E＝∠1＝β， ∵C'E∥B'F， ∴∠B'FB''＝∠FB''E， ∴β＝2α， ∵CD∥AB， ∴∠CEF＝∠AFE＝α+β＝∠C'EF， △FEB''中，∠FEB''+∠EFB''+∠FB''E＝180°， ∴α+β+β+β＝180， ∴7α＝180， ∴α＝， ∴∠1＝β＝2α＝（）°； 故答案为：（）． 15．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④BP＝EQ．其中正确的是 　①②③　． 【分析】根据轴对称的性质可得∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，再根据周角等于360°列式计算即可求出∠EAD＝90°，判断出①正确；再求出∠BAE＝∠CAD＝60°，根据翻折可得∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，利用三角形的内角和定理可得∠BOE＝∠BAE，判断出②正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出③正确；判断出△ABP和△AEQ不全等，从而得到BP≠EQ，判断出④错误． 【解答】解：∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形， ∴∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，AB＝AE，AC＝AD， ∴∠EAD＝3∠BAC﹣360°＝3×150°﹣360°＝90°，故①正确． ∴， 由翻折的性质得，∠AEC＝∠ABD＝∠ABC， 又∵∠EPO＝∠BPA， ∴∠BOE＝∠BAE＝60°，故②正确． ∵△ACE≌△ADB， ∴S△ACE＝S△ADB，BD＝CE， ∴BD边上的高与CE边上的高相等，即点A到∠BOC两边的距离相等， ∴OA平分∠BOC，故③正确． 在△ABP和△AEQ中，∠ABD＝∠AEC，AB＝AE，∠BAE＝60°，∠EAQ＝90°， ∴BP＜EQ，故④错误； 综上所述，结论正确的是①②③． 故答案为：①②③． 16．如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形． 【分析】根据轴对称的概念作答，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【解答】解：所补画的图形如下所示： 17．如图，在台球运动中（每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等），如果母球P击中桌边点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边点B，然后又反弹击中球C． （1）若∠PAD＝32°，求∠PAB的度数． （2）母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由． 【分析】（1）先得出∠PAD＝∠BAE，再根据平角定义，得∠PAD+∠PAB+∠BAE＝180°，代入数值进行计算，即可作答． （2）与（1）同理，得∠PAD＝∠BAE，∠PAB＝180°﹣∠PAD﹣∠BAE，再结合∠BAE+∠ABE＝90°，进行角的等量代换，即可作答． 【解答】解：（1）∵每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等， ∴∠PAD＝∠BAE，∠PAD+∠PAB+∠BAE＝180°， ∵∠PAD＝32°， ∴∠PAB＝180°﹣∠PAD﹣∠BAE＝180°﹣32°﹣32°＝116°； （2）BC与PA一定平行． 理由：因为∠PAD＝∠BAE，∠PAB＝180°﹣∠PAD﹣∠BAE， 所以∠PAB＝180°﹣2∠BAE． 同理可得∠ABC＝180°﹣2∠ABE． 因为∠BAE+∠ABE＝90°， 所以∠PAB+∠ABC＝360°﹣2（∠BAE+∠ABE）＝180°， 所以BC∥PA． 18．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上两点，△ADE与△FDE关于DE轴对称，DF交AC于点P，已知∠A＝45°，∠PEF＝30°． （1）求∠FPC的度数． （2）若DF∥BC，求∠B的度数． 【分析】（1）由轴对称的性质得∠A＝∠F＝45°，进而根据三角形的外角性质即可求解； （2）由（1）得，∠FPC＝75°，再根据平行线的性质得∠C＝∠FPC＝75°，从而根据三角形的内角和定理即可得解． 【解答】解：（1）∵△ADE与△FDE轴对称， ∴∠A＝∠F＝45°， 又∵∠PEF＝30°， ∴∠FPC＝∠PEF+∠F＝30+45＝75°； （2）由（1）得，∠FPC＝75°， 又∵DF∥BC， ∴∠C＝∠FPC＝75°， ∴∠B＝180﹣∠A﹣∠C ＝180°﹣45°﹣75° ＝60°． 19．折纸实验：如图，长方形纸带ABCD，E、F分别是边AD、BC上一点，∠DEF＝α（0°＜α＜90°且α≠60°），将纸带ABCD沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2． （1）当α＝25°时，则∠BFE＝　25°　；∠GFC'＝　130°　； （2）两次折叠后，求∠NFE的大小（用含α的代数式表示）． 【分析】（1）依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到所求的角的度数； （2）分两种情况，依据两次折叠后角的和差关系，即可得到求∠NFE的大小． 【解答】解：（1）如图2，由折叠可得，∠DEF＝∠GEF＝α， ∴∠DEG＝2α， ∵AD∥BC， ∴当α＝25°时，∠BFE＝25°； ∴∠BGE＝25°×2＝50°， ∵ED'∥FC'， ∴∠CFC'＝∠BGE＝50°， ∴∠GFC'＝180°﹣50°＝130°； 故答案为：25°；130°； （2）分两种情况： 当α＜60°时，如图2，由折叠可得，∠DEF＝∠GEF＝α， ∴∠DEG＝2α， ∵AD∥BC， ∴∠FGD'＝∠DEG＝2α，∠EFG＝∠DEF＝α， 又∵FC'∥GD， ∴∠GFC'＝180°﹣∠FGD'＝180°﹣2α， ∴∠GFN＝180°﹣2α， ∴∠NFE＝∠GFN﹣∠EFG＝180°﹣2α﹣α＝180°﹣3α； 当60°＜α＜90°时，如图所示，同理可得，∠GFN＝180°﹣2α，∠EFG＝α， ∴∠NFE＝∠EFG﹣∠GFN＝α﹣（180°﹣2α）＝3α﹣180°； 综上所述，∠NFE的度数为180°﹣3α或3α﹣180°． 20．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），射线BC和射线BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． （1）求∠CBD的度数． （2）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数． （3）作射线BC关于BP对称的射线BC'，射线BD关于BP对称的射线BD'，如果BC'和BD'始终在∠ABN的内部，请直接写出∠ADB的范围． 【分析】（1）利用平行线性质得到∠ABN＝180°﹣60°＝120°，利用角平分线得到∠CBD＝∠CBP+∠PBD＝＝（∠ABP+∠PBN）＝＝＝60°； （2）根据∠ACB＝∠ABD，∠A＝∠A，可得△ACB∽△ABD继而得到∠ABC＝∠ADB，根据平分线性质可得∠ABC＝＝×120°＝30°； （3）分两种情况讨论①当C′位于BN上时，②如图2，当D′位于射线BA上时，分别画出图形进行计算推导即可． 【解答】解：（1）∵AM∥BN，∠A＝60°， ∴∠ABN＝180°﹣60°＝120°， ∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN， ∴∠CBD＝∠CBP+∠PBD＝＝（∠ABP+∠PBN）＝＝＝60°； （2）∵∠ACB＝∠ABD，∠A＝∠A， ∴△ACB∽△ABD， ∴∠ABC＝∠ADB， ∵AM∥BN， ∴∠ADB＝∠DBN， ∴∠ABC＝∠DBN， ∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN， ∴∠ABC＝＝×120°＝30°； （3）根据题意，分两种情况讨论： ①当C′位于BN上时，如图1， ∵BC为∠ABP的角平分线， ∴∠ABC＝∠CBP， 又∵BC与BC′关于BP对称， ∴∠CBP＝∠C′BP， ∵∠A＝60°，AM∥BN， ∴∠ABN＝120°， ∴∠ABC＝∠CBP＝∠PBC′＝40°， ∴∠ABP＝80°， ∴∠APB＝180°﹣∠A﹣∠ABP＝40°， 又∵∠PBD＝， ∴∠ADB＝∠APB﹣∠PBD＝20°； ②如图2，当D′位于射线BA上时， 同①可得：∠DBN＝∠PBD＝∠ABP＝40°， ∵AM∥BN， ∴∠APB＝∠PBN＝2∠PBD＝80°， 又∵∠APB＝∠PBD+∠PDB， ∴∠PDB＝40°， 综上分析，20°＜∠ADB＜40°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$