22.3相似三角形的性质（2知识点+6题型+强化练习）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪科版）

22.3 相似三角形的性质 课程标准 学习目标 ①了解相似三角形的性质定理； ②相似三角形对应线段的比等于相似比； ③面积比等于相似比的平方。 ①掌握相似三角形的性质定理，并运用相似三角形的性质求三角形中的线段的长和角的大小； ②会将等积式、比例式、相似三角形互相转换； ③会灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题。 知识点01 相似三角形的性质 ·相似三角形的对应角相等，对应边成比例 【即学即练1】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，在锐角三角形中，于点E，点D在边上，连接交于点F，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，已知，求． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． （1）证明，得到，即可证明结论； （2）由可得，即可证明相似； （3）根据相似三角形的性质，证明，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， （2）证明：∵， ， 又， ； （3）解：由（2）得， ， ， ， ， ， ． ·相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 【即学即练2】（23-24九年级上·湖南郴州·期中）若，相似比为，则对应边的中线比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，能理解相似三角形的性质是解此题的关键，注意：相似三角形对应边上中线的比等于相似比． 相似三角形对应边上中线的比等于相似比，根据以上性质得出即可． 【详解】解：与的相似比为， ∴与对应边上中线的比是， 故选：A． ·相似三角形周长的比等于相似比 【即学即练3】（22-23九年级上·江苏盐城·期末）若，相似比为，已知的周长是3，则的周长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形周长的比等于相似比求出两个三角形的周长比，最后根据题意计算即可． 【详解】解：∵，相似比为， ∴与的周长之比为， ∵的周长是3， ∴的周长是， 故选：B． ·相似三角形面积的比等于相似比的平方 【即学即练4】（23-24九年级上·湖南郴州·期末）两个相似三角形的对应边上的中线之比为，它们的面积比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形性质的应用，解题的关键是掌握：相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应边上的中线之比为， ∴两个相似三角形的相似比为， 又∵， ∴两个相似三角形的面积比为． 故选：C． 【即学即练5】已知，且相似比为，则下列结论错误的是（   ） A．是的3倍 B．是的3倍 C．周长之比为 D．面积之比为 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应边的比等于相似比，相似三角形的对应角相等，比较简单，熟记性质是解题的关键．根据相似三角形对应边的比等于相似比以及对应角相等即可求解． 【详解】解：，且相似比为， ，，正确，不符合题意；错误，符合题意； 周长之比为，面积之比为， 、均正确，不符合题意． 故选：B ※知识点02 相似多边形的性质 ①相似多边形的对应角相等，对应边成比例 ②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比 ③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比 ④相似多边形面积的比等于相似比的平方 在解相似三角形的判定与性质的综合问题中： ·利用相似的基本性质进行等积变换、等比代换、等线代换 例：等比代换——a2=bc型结论的证明 如图，直角中，，，证明：，，. 解析： ·利用基本相似模型填加辅助线构造相似 【题型一：相似模型与图形综合——8字型】 例1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由平行四边形，得到，，进而得到，， ，，结合，，，代入，即可求解， 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∴，，即：， ∵，，， ∴，解得：， 故选：C． 变式1.（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，点A在线段上，在的同侧作等腰直角和等腰直角，，与、分别交于点P、M． （1） ； （2）若、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形性质，相似三角形的判定与性质和勾股定理，熟记定理内容，寻找几何条件证相似是解题关键． （1）根据题意易得，，，从而易证，即可得到； （2）由（1）易证，从而可得转换为可证，根据勾股定理即可求得的长，可得，都是三边比例为的直角三角形，设，则，可得，解得的值，即可推出的长． 【详解】解：（1）和是等腰直角三角形，， ，，， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ，都是三边比例为的直角三角形， 设，则， ， ， 解得， ， 故答案为：． 【题型二：相似模型与图形综合——A字型相似模型】 例2．（2024·安徽合肥·一模）如图，正方形的边长为，的边，分别与边相交于点，，若的面积为，则与的长度比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形的面积公式，由正方形的性质可求，，由面积的和差关系可求，即可求，，由相似三角形的判定和性质可求解． 【详解】解：如图，过点作于，交于，    在正方形中，，， 又， 四边形是矩形， ，且正方形的边长为， 正方形的面积， ， 的面积为， ， ， ， ，， ，， ， 故选：C． 【题型三：相似模型与图形综合——一线三等角相似模型】 例3．在中，，，D为上一个动点（不与B、C重合），在上取E点，使． (1)求证：； (2)设，，求关于的函数关系式及自变量取值范围，并求当为何值时，取最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)见详解 (2)当时，有最小值，最小值为 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质． （1）根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证． （2）由，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出与的函数关系式，根据函数图象的顶点坐标可求出其最小值． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）由（1）得， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， 当时，有最小值，最小值为． 变式3-1.（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，点P是正方形边上一点，Q是边延长线上一点，若，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，根据正方形的性质及勾股定理求出的长度，再通过证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ． 变式3-2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为． (1)若，分别求，的周长； (2)在（1）的条件下，直接写出的长． 【答案】(1)14；10； (2)． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由已知条件可得，由等边三角形的性质可得，再由折叠的性质可得，，最后根据三角形周长的定义即可解答； （2）由等边三角形的性质、折叠的性质以及三角形外角的性质可得、即可证明，根据相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处， ∴，， ∴的周长为：， 的周长为：． （2）证明：∵等边三角形， ∴， ∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 又∵的周长为：14，的周长为：10， ∴， ∵， ∴， ∴． 【方法技巧与总结】①找准变量之间的关系，列等量关系；②变形为二次函数的一般形式。 【题型四：相似模型与图形综合——母子型相似模型】 例4．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，D是中点，，垂足为， （1）的值为 ． （2）若，则 ． 【答案】 9 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，充分发挥基本图形的作用，在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算． （1）先证，则利用相似比得到，然后根据是的中点得到，从而得到的值； （2）利用（1）的结论得到，即，则可判断，则根据相似三角形的性质得到，然后计算出的度数，从而得的度数． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， 故答案为：9； （2），， ， 即， 又， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 变式4.如图1，中，，点是上一点，连接，过作，交于，交于，求证：． 【答案】见解析 【详解】解：， ， ， ， 【题型五：根据基本相似模型添加辅助线构造相似】 例5（平行辅助线构造8字相似）．（2024·安徽淮北·三模）如图，在中，，，是边AC上的中线，，垂足为点，交于点，则（    ）    A．12 B．8 C．7 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形三线合一的性质、勾股定理等知识点，解题关键是作平行线构造比例线段转化线段比． 由等腰三角形三线合一的性质可得，由勾股定理求出，过点作，交延长线于，得，，从而求得，，进而求解． 【详解】解：过点作，交延长线于，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵是边上的中线，即， ∴，即， ∴，即 ∴， 故选B． 变式5-1. （平行辅助线构造A字相似）（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在中，，点D是边上一点，，，和交于点E． (1)如图，如果，猜想和之间的数量关系，并证明你的结论； (2)在（1）的情况下，如果，，，求的长． 【答案】(1)，证明见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等和三角形相似的判定． （1）作，交于点F，根据，得出，求出，证明，得出，求出； （2）设，则，由勾股定理得：，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下：作，交于点F，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； （2）解：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， 根据（2）可知，． 变式5-2.（平行辅助线构造“一线三直角”相似）（2024·安徽合肥·三模）如图，中，，点是上一点，连接，过作，交于，交于． (1)求证：； (2)当为边的中点时，求的值； 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质： （1）证明即可； （2）过作交延长线于点，证明，得，，再证明即可得出结论； 【详解】（1）解：， ， ， ， （2）解：如图，过作交延长线于点， ， ∵为边的中点 ； 例6.（垂直辅助线构造A字相似）（2024·安徽合肥·二模）如图，已知正方形的边长为4，以为底向外作等腰三角形，连接，点是的中点，连接，并延长分别交于点，交延长线于点，若，则的值为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】过点H作于M，交延长线于N，过点G作于P，先由等腰三角形的性质求得，证明四边形是矩形，得，再证明，得，求得，然后证明，得，求得，从而可求得，最后利用勾股定理可求解 ． 【详解】解：过点H作于M，交延长线于N，过点G作于P，如图， ∵正方形的边长为4， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∵ ∴ ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 故选：D． 【方法技巧与总结】根据问题，利用平行辅助线或垂直辅助线构造出基本的相似模型：A字、8字、一线三直角等。 【题型六：利用相似求坐标】 例7．（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上，连接，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】先利用点在函数上求出点的横纵坐标数量关系，然后利用勾股定理直接求出边长；再通过一线三等角构造相似三角形，利用相似比求出点的坐标即可． 【详解】如图所示，过作于M，过作于N ， 设AB所在直线解析式为 带入， ，解得 设 在中， ，解得 故答案为：平行； 变式7．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点D的坐标为，延长交x轴于点，作第2个正方形，延长交x轴于点，作第3个正方形，…，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正方形规律题，熟练掌握正方形的性质，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质，归纳出正方形边长的规律，是解本题的关键是． 利用勾股定理求出，再用三角形相似得出，得到，求出，，推导出，即得． 【详解】∵点A的坐标为，点D的坐标为， ∴，， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ， …， ∴， ∴． 故选：A． 一、选择题 1．如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，直接根据相似三角形的性质即可得出答案，熟练掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解此题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴这两个三角形的周长之比为， 故选：D． 2．在中，，，点D，E分别在上．与相似，且，则的值为（    ） A． B．或2 C．2 D．或 【答案】B 【分析】本题主要相似三角形的性质，先根据题意得到，再分当时，当时，两种情况根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，则， ∴， ∵， ∴； 当时，则， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的值为或2， 故选：B． 二、填空题 3．（23-24九年级上·海南儋州·期中）如图，，，那么与的相似比为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，结合已知求出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为相似比， ∵， ∴，即相似比为， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，,点分别是边上的点，连结,将沿翻折得到，点的对称点恰好落在边上，若以点为顶点的三角形与相似，则的长为 ． 【答案】或2 【分析】本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质及相似三角形知识是解题的关键． 根据折叠的性质得到，再由相似三角形的性质分两种情况讨论即可得到结论． 【详解】解：∵将沿翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∵以点C、E、F为顶点的三角形与相似， ∴或，即或， 解得：或2， 故答案为：或2． 5．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图．正方形的边长为4，E为边的中点．点F在边上．且．则的长为 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质及判定，掌握相似三角形的性质是解本题的关键． 证明得到，由E为边的中点，得到，然后代值计算即可． 【详解】解： ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 为边的中点， ， ， ， 故答案为： 1． 三、解答题 6．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，为等腰直角三角形，，点D、E在线段上，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质， 等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定以及性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得出，再证明， 即可得出． （2）由相似三角形的性质可得出， 再结合已知条件可得出的值． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴； （2）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知中，D为上一点，E为延长线上一点，，和相交于点F，求证： 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知添加平行线是证明成比例线段的常用方法． 作，分别证明两组三角形相似，得出两组成比例线段，再结合可推得结果． 【详解】证明：如图，过点D作，交于点G； ∴， 则 ∴，，而， 即 1．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在中，，，，D是上的一点，G为中点，过点G的直线分别交和于点E，F，． （1）若D是的中点，则 ； （2）连接，若是直角三角形，则的长为 ． 【答案】 2.5 3.2或4 【分析】（1）由勾股定理得，再证四边形是矩形，则可得．根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半” 可得，则． （2）①若，先证，则可得，即可求出的长； ②若，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：（1）在中，，，， ， ∵G是的中点， ， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ， ∵中，D是的中点， ， ． 故答案为：2.5； 解：（2）①如图，若，则， 又， ， ， ， 解得． ②如图，若，则， 又， ． 故答案为：3.2或4． 2．（2024·安徽合肥·三模）如图1，C为线段上一点，分别以，为底，在的同侧作等腰和等腰且．在线段上取一点F，使得，连接，． (1)求证：； (2)如图2，延长交于点G，若G是的中点，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得出，利用平行线的判定得出，利用平行线的性质得出，然后利用证明即可； （2）取中点H，连接，利用三角形中位线定理得出，，设，则，，利用平行线的传递性得出，则可证，利用相似三角形的性质得出，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：∵等腰和等腰 ∴，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：取中点H，连接， ∵G是的中点， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在等腰直角三角形中，点是斜边上一点，且，点是上一点且，求：的值． 【答案】 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．过点作交于点，交于点，可证明，由，，推导出，则，再证明，得，所以，则． 【详解】解：过点作交于点，交于点， 点是等腰直角三角形斜边上一点，且， ，，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值是． 1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边上，且，平分，连接，分别交于点G，M，P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（　　） A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③ 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明，通过等量转化即可求证，利用角平分线的性质和公共边即可证明，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明推出，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出和长度，最后通过面积法即可求证④的结论错误；结合①中的结论和③的结论可求出的最小值，从而证明②不对． 【详解】解：∵为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴垂直平分，故①正确． 由①可知，， ∴， ∴， ∴， 由①可知， ∴．故③正确． ∵为正方形，且边长为4， ∴， ∴在中，． 由①可知，， ∴， ∴． 由图可知，和等高，设高为h， ∴， ∴， ∴， ∴．故④错误． 由①可知，， ∴， ∴M关于线段的对称点为D，过点D作，交于，交于， ∴最小即为，如图所示， 由④可知的高即为图中的， ∴．故②不正确． 综上所述，正确的是①③共两个． 故选：D． 2．（2024·安徽·中考真题）如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点． (1)求证：； (2)连接交于点H，连接，． （ⅰ）如图2，若，求证：； （ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值． 【答案】(1)见详解 (2)（ⅰ）见详解，（ⅱ） 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再证明是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得出，再利用证明，利用全等三角形的性质可得出． （2）（ⅰ）由平行线截线段成比例可得出，结合已知条件等量代换，进一步证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出．（ⅱ）由菱形的性质得出，进一步得出，，进一步可得出，进一步得出，同理可求出，再根据即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在与中， ∴． ∴． （2）（ⅰ）∵ ∴， 又．， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （ⅱ）∵是菱形， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵．， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， 故． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.3 相似三角形的性质 课程标准 学习目标 ①了解相似三角形的性质定理； ②相似三角形对应线段的比等于相似比； ③面积比等于相似比的平方。 ①掌握相似三角形的性质定理，并运用相似三角形的性质求三角形中的线段的长和角的大小； ②会将等积式、比例式、相似三角形互相转换； ③会灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题。 知识点01 相似三角形的性质 ·相似三角形的对应角相等，对应边成比例 【即学即练1】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，在锐角三角形中，于点E，点D在边上，连接交于点F，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，已知，求． ·相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 【即学即练2】（23-24九年级上·湖南郴州·期中）若，相似比为，则对应边的中线比为（   ） A． B． C． D． ·相似三角形周长的比等于相似比 【即学即练3】（22-23九年级上·江苏盐城·期末）若，相似比为，已知的周长是3，则的周长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 ·相似三角形面积的比等于相似比的平方 【即学即练4】（23-24九年级上·湖南郴州·期末）两个相似三角形的对应边上的中线之比为，它们的面积比为（　　） A． B． C． D． 【即学即练5】已知，且相似比为，则下列结论错误的是（   ） A．是的3倍 B．是的3倍 C．周长之比为 D．面积之比为 ※知识点02 相似多边形的性质 ①相似多边形的对应角相等，对应边成比例 ②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比 ③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比 ④相似多边形面积的比等于相似比的平方 在解相似三角形的判定与性质的综合问题中： ·利用相似的基本性质进行等积变换、等比代换、等线代换 例：等比代换——a2=bc型结论的证明 如图，直角中，，，证明：，，. 解析： ·利用基本相似模型填加辅助线构造相似 【题型一：相似模型与图形综合——8字型】 例1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 变式1.（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，点A在线段上，在的同侧作等腰直角和等腰直角，，与、分别交于点P、M． （1） ； （2）若、，则 ． 【题型二：相似模型与图形综合——A字型相似模型】 例2．（2024·安徽合肥·一模）如图，正方形的边长为，的边，分别与边相交于点，，若的面积为，则与的长度比为（   ） A． B． C． D． 【题型三：相似模型与图形综合——一线三等角相似模型】 例3．在中，，，D为上一个动点（不与B、C重合），在上取E点，使． (1)求证：； (2)设，，求关于的函数关系式及自变量取值范围，并求当为何值时，取最小值，最小值为多少？ 变式3-1.（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，点P是正方形边上一点，Q是边延长线上一点，若，．求的长． 变式3-2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为． (1)若，分别求，的周长； (2)在（1）的条件下，直接写出的长． 【方法技巧与总结】①找准变量之间的关系，列等量关系；②变形为二次函数的一般形式。 【题型四：相似模型与图形综合——母子型相似模型】 例4．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，D是中点，，垂足为， （1）的值为 ． （2）若，则 ． 变式4.如图1，中，，点是上一点，连接，过作，交于，交于，求证：． 【题型五：根据基本相似模型添加辅助线构造相似】 例5（平行辅助线构造8字相似）．（2024·安徽淮北·三模）如图，在中，，，是边AC上的中线，，垂足为点，交于点，则（    ）    A．12 B．8 C．7 D．4 变式5-1. （平行辅助线构造A字相似）（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在中，，点D是边上一点，，，和交于点E． (1)如图，如果，猜想和之间的数量关系，并证明你的结论； (2)在（1）的情况下，如果，，，求的长． 变式5-2.（平行辅助线构造“一线三直角”相似）（2024·安徽合肥·三模）如图，中，，点是上一点，连接，过作，交于，交于． (1)求证：； (2)当为边的中点时，求的值； 例6.（垂直辅助线构造A字相似）（2024·安徽合肥·二模）如图，已知正方形的边长为4，以为底向外作等腰三角形，连接，点是的中点，连接，并延长分别交于点，交延长线于点，若，则的值为（　　） A． B． C．3 D． 【方法技巧与总结】根据问题，利用平行辅助线或垂直辅助线构造出基本的相似模型：A字、8字、一线三直角等。 【题型六：利用相似求坐标】 例7．（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上，连接，则点的坐标是 ． 变式7．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点D的坐标为，延长交x轴于点，作第2个正方形，延长交x轴于点，作第3个正方形，…，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积为（　　） A． B． C． D． 一、选择题 1．如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，点D，E分别在上．与相似，且，则的值为（    ） A． B．或2 C．2 D．或 二、填空题 3．（23-24九年级上·海南儋州·期中）如图，，，那么与的相似比为 ．    4．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，,点分别是边上的点，连结,将沿翻折得到，点的对称点恰好落在边上，若以点为顶点的三角形与相似，则的长为 ． 5．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图．正方形的边长为4，E为边的中点．点F在边上．且．则的长为 三、解答题 6．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，为等腰直角三角形，，点D、E在线段上，． (1)求证：； (2)若，求的值． 7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知中，D为上一点，E为延长线上一点，，和相交于点F，求证： 1．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在中，，，，D是上的一点，G为中点，过点G的直线分别交和于点E，F，． （1）若D是的中点，则 ； （2）连接，若是直角三角形，则的长为 ． 2．（2024·安徽合肥·三模）如图1，C为线段上一点，分别以，为底，在的同侧作等腰和等腰且．在线段上取一点F，使得，连接，． (1)求证：； (2)如图2，延长交于点G，若G是的中点，且，求的长． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在等腰直角三角形中，点是斜边上一点，且，点是上一点且，求：的值． 1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边上，且，平分，连接，分别交于点G，M，P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（　　） A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③ 2．（2024·安徽·中考真题）如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点． (1)求证：； (2)连接交于点H，连接，． （ⅰ）如图2，若，求证：； （ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$