22.2相似三角形的判定（3知识点+6题型+强化练习）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪科版）

22.2 相似三角形的判定 课程标准 学习目标 了解相似三角形的判定定理： ①两角分别相等的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似。 *了解相似三角形判定定理的证明。 ①掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似，能根据相似比进行计算； ②理解相似三角形的判定定理，会应用相似三角形的判定定理判定两个三角形相似； ③能找出平行线所夹的相似三角形、双垂直三角形三对相似三角形，对应顶点能够写在对应位置； ④理解一线三角，能在复杂图形中找出一线三角的相似三角形。 知识点01 相似三角形的定义 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 ·相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。 ·相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。 【即学即练1】（23-24九年级上·上海青浦·期末）下列图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 知识点02 相似三角形的基本定理 ·相似三角形的基本定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 用数学语言表述如下：∵DE∥ BC，∴△ADE∽△ABC ·相似三角形的等价关系： （1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC； （2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC （3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。 【即学即练2】如图，中，D、E分别是、的点，要使，DE与BC位置关系是 ． 知识点03 相似三角形的判定 ·三角形相似的判定方法 ①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似 ②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 【即学即练3】（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（   ） A．B．C．D． ③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。 【即学即练4】如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当 度时，． ④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 【即学即练5】（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是 ．（只填序号） ⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。 【即学即练6】根据下列各组条件，不能判断和相似的是（ ） A．，， B．，，， C．，，；，， D．，，；，， ·直角三角形相似的判定方法 ①以上各种判定方法均适用 ②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 ③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 【即学即练7】（22-23九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，垂足为D，则图中相似三角形共有（        ）对．    A．0 B．1 C．2 D．3 ·相似三角形判定的基本模型总结 A字型 (平行) （不平行) 8字型 (平行) (不平行) 母子型 (不垂直)(垂直) 公共角 一线三等角 三等角型相似三角形：以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 一线三直角 变形 一线三等角 8 字型 【题型一：在网格中判断两个三角形是否相似】 例1．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中相似的是（　　） A． B． C． D． 变式1.（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（    ）    A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④ 【题型二：相似模型——A字模型】 例2．如图，，分别是与边上的高． 求证：． 变式2．如图，在正方形中，对角线与相交于点，点是边上一点，于点，连接．求证：． 【方法技巧与总结】 A字型相似模型：已有条件是两角（公共角）相等，证明相似时再找一个条件：①证明另一组角相等；②夹角的两边对应成比例。 【题型三：相似模型——母子型】 例3．（22-23九年级上·四川乐山·期末）如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ． 例4.如图，在，，点分别在上，且，与相似吗？为什么？ 例5.（23-24九年级上·山东青岛·期中）已知：在中，．求作：点D，使得点D在边上，并且以点A，C，D为顶点的三角形与相似．    【方法技巧与总结】 母子型相似模型：由A字型变形而来，与A字型的证明方法类似。 但大多数问题中都是证明两组角相等来证相似。 典型图例：双垂图 【题型四：相似模型——8字型】 例6．（23-24九年级上·河北沧州·期中）如图，矩形中，，，点为边上一动点，交于点．    (1)求证：； (2)当时，求的长． 变式6-1．（22-23九年级下·河北衡水·期中）如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F．    （1）若平分，则与是否垂直？ （填“是”或“否”）； （2）图中与相似的三角形有 （写出两个即可） 变式6-2.如图，在中，，，CD是AB边上的高，点E为线段CD上一点（不与点C，点D重合），连接BE，作与AC的延长线交于点F，与BC交于点G，连接BF． (1)求证：； (2)若，求证：； 【方法技巧与总结】 8字型相似模型：已有条件是两角（对顶角）相等，证明相似时再找一个条件：①证明另一组角相等；②对顶角的两边对应成比例。 【题型五：相似模型——一线三等角型】 例7.如图1，为等边三角形，，点D为边上的动点（点D不与点B，C重合），且，交边于点E． (1)求证：； (2)如图2，当D运动到的中点时，求线段的值； 变式7.（2024·安徽六安·一模）如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：； 【技巧方法与总结】 一线三等角相似模型：在等腰三角形或等边三角形的背景下，利用已知角的角度等量代换，证明两组对应角相等来证相似。 典型图例：or 例8.（22-23九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为F，折痕交边于点E，    (1)求证：； (2)若，求的长； 变式8-1．（2023·黑龙江大庆·中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．    变式8-2．在四边形中，点 E是边上的一点 （不与点 A，B 重合），且，下列说法错误的是（     ） A． B．与不一定相似 C．当点E为中点时，两两相似 D．当两两相似时，点E一定为中点 【题型六：三角形的相似与图形综合】 例6．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．    【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【方法技巧与总结】根据题干中的图示，找到基本相似模型，再灵活运用所学知识解题。 一、选择题 1．（22-23九年级上·浙江·阶段练习）下列一定相似的两个图形是（    ） A．有一个角是的等腰三角形 B．有一个角是的三角形 C．等腰三角形 D．有一个角是的等腰三角形 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，E、分别为矩形的边、上的点，，则图中①、②、③、④四个三角形中一定相似的是（    ） A．①③ B．②③ C．①②③ D．①④ 3．（21-22九年级上·上海青浦·期中）下列各组图形一定相似的是（    ） A．两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形 B．都有一个内角为80°的两个等腰三角形 C．任意两个等腰三角形 D．两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形 二、填空题 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是 ． 5．（22-23八年级下·福建福州·期末）如图，的高，相交于点，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ． 6．（22-23九年级上·陕西榆林·期中）如图，点是的边的延长线上的点，连接，交于点，那么该图形中与相似的三角形共有 个．    三、解答题 7．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，D，E分别是，上的点，且，求证：．    8．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，线段、是的两条高．求证：．    9．如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：． 10.（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，中，过点A作于点E，连接是上的一点，，求证：． 11．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形中，，若点分别为边上的两点，且．求证：．    12．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，和的顶点都在网格的格点上．求证：． 如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)与相似吗？为什么？ 定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形．    探究： (1)如图甲，已知中，你能把分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由． (2)一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把图乙第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割如图；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割如图依次规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形为正整数，设此时小三角形的面积为． 若的面积为1， 求n的值？           当时，请写出一个反映，，三者之间关系的等式（不用证明） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.2 相似三角形的判定 课程标准 学习目标 了解相似三角形的判定定理： ①两角分别相等的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似。 *了解相似三角形判定定理的证明。 ①掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似，能根据相似比进行计算； ②理解相似三角形的判定定理，会应用相似三角形的判定定理判定两个三角形相似； ③能找出平行线所夹的相似三角形、双垂直三角形三对相似三角形，对应顶点能够写在对应位置； ④理解一线三角，能在复杂图形中找出一线三角的相似三角形。 知识点01 相似三角形的定义 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 ·相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。 ·相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。 【即学即练1】（23-24九年级上·上海青浦·期末）下列图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据“对应角相等，对应边成比例的图形相似”逐个判断即可． 【详解】解：A、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意． B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意； C、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项符合题意； D、两个等腰梯形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意； 故选C． 知识点02 相似三角形的基本定理 ·相似三角形的基本定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 用数学语言表述如下：∵DE∥ BC，∴△ADE∽△ABC ·相似三角形的等价关系： （1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC； （2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC （3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。 【即学即练2】如图，中，D、E分别是、的点，要使，DE与BC位置关系是 ． 【答案】平行 知识点03 相似三角形的判定 ·三角形相似的判定方法 ①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似 ②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 【即学即练3】（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可． 【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意； 两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意； 选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意； 故选C． ③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。 【即学即练4】如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当 度时，． 【答案】70 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定，得出是解题关键．根据题意得出，进而由，，得出答案． 【详解】解：，， ， 时， ，， ． 故答案为：70． ④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 【即学即练5】（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是 ．（只填序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用“两角对应相等，两三角形相似”，“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”去判断． 【详解】解：①，而， ∴，故①正确； ②，只能得到，故②错误； ③由， 得， 又∵， ∴，故③正确， ④由， 得到， 不满足两边对应成比例且夹角相等，故④错误， 故答案为：①③． ⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。 【即学即练6】根据下列各组条件，不能判断和相似的是（ ） A．，， B．，，， C．，，；，， D．，，；，， 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理对各选项进行判断作答即可，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，则，故选项A不符合要求； ∵，，，， ∴，，则，故选项B不符合要求； ∵，，；，，， ∴，不能判断和相似，故选项C符合要求； ∵，，；，，， ∴，，则，故选项D不符合要求； 故选：C． ·直角三角形相似的判定方法 ①以上各种判定方法均适用 ②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 ③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 【即学即练7】（22-23九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，垂足为D，则图中相似三角形共有（        ）对．    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】可证得，，所以相似三角形有3对． 【详解】解：∵, ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴共有3对相似三角形． 故选：D ·相似三角形判定的基本模型总结 A字型 (平行) （不平行) 8字型 (平行) (不平行) 母子型 (不垂直)(垂直) 公共角 一线三等角 三等角型相似三角形：以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 一线三直角 变形 一线三等角 8 字型 【题型一：在网格中判断两个三角形是否相似】 例1．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．此题考查三角形相似判定定理的应用以及勾股定理与网格． 【详解】 解：依题意，按小到大排序： A、按小到大排序：， ∵ ∴三角形（阴影部分）不与图中相似； 故该选项是错误的； B、按小到大排序：， ∵ ∴三角形（阴影部分）与图中相似； 故该选项是正确的； C、按小到大排序：， ∵ ∴三角形（阴影部分）不与图中相似； 故该选项是错误的； D、按小到大排序：， ∵ ∴三角形（阴影部分）不与图中相似； 故该选项是错误的； 故选：B． 变式1.（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（    ）    A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④ 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．设小长方形的长为，宽为a．利用勾股定理求出三角形的三边长即可判断． 【详解】由题意可知：小长方形的长是宽的2倍， 设小长方形的宽为a，则长为， ∴图①中的三角形三边长分别为、； 图②中的三角形三边长分别为，； 图③中的三角形三边长分别为，； 图④中的三角形三边长分别为、， ∴①和②图中三角形不相似； ∵ ∴②和③图中三角形不相似； ∵ ∴①和③图中三角形不相似； ∵ ∴①和④图中三角形相似． 故选：B 【题型二：相似模型——A字模型】 例2．如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】证明：，分别是与边上的高， ， ， ， ， 即， ， ． 变式2．如图，在正方形中，对角线与相交于点，点是边上一点，于点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定；过点O作，交于点M，先证明，得出，从而证出，再根据，即可证出结论． 【详解】证明：过点O作，交于点M， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【方法技巧与总结】 A字型相似模型：已有条件是两角（公共角）相等，证明相似时再找一个条件：①证明另一组角相等；②夹角的两边对应成比例。 【题型三：相似模型——母子型】 例3．（22-23九年级上·四川乐山·期末）如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ． 【答案】 【分析】根据是斜边上的高，于点，得，，再根据相似三角形的判定，即可． 【详解】∵是斜边上的高，于点， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． 故答案为：． 例4.如图，在，，点分别在上，且，与相似吗？为什么？ 【答案】相似，理由见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，涉及等腰三角形性质、三角形外角性质、相似三角形的判定等知识，由等腰三角形性质得到，再由外角性质及题中条件等量代换得到，从而由相似三角形的判定即可得到答案，熟记相似三角形的判定是解决问题的关键． 【详解】解：， 原因如下： 在，， ， 是的一个外角， ， ，， ， ， ． 例5.（23-24九年级上·山东青岛·期中）已知：在中，．求作：点D，使得点D在边上，并且以点A，C，D为顶点的三角形与相似．    【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图，以点A为圆心，长为半径画弧，再以点B为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点E和点C，连接，与相交与点D，即为的高，此时． 【详解】解：如图，以点A为圆心，长为半径画弧，再以点B为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点E和点C，连接，与相交与点D，即为的高，即，此时．    点D即为所求． ∵，， ∴， ∵， ∴． 【方法技巧与总结】 母子型相似模型：由A字型变形而来，与A字型的证明方法类似。 但大多数问题中都是证明两组角相等来证相似。 典型图例：双垂图 【题型四：相似模型——8字型】 例6．（23-24九年级上·河北沧州·期中）如图，矩形中，，，点为边上一动点，交于点．    (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质以及矩形的性质，综合性强，难度不大． （1）根据矩形的性质，可得出，从而得出，利用两角对应相等的三角形相似得出结论； （2）由，得，得出，由等面积法得出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴； （2）∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 即， ∴． 变式6-1．（22-23九年级下·河北衡水·期中）如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F．    （1）若平分，则与是否垂直？ （填“是”或“否”）； （2）图中与相似的三角形有 （写出两个即可） 【答案】 是 ， 【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论； （2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出． 【详解】（1）如图，    ∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：是； （2）∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； 故答案为：，． 变式6-2.如图，在中，，，CD是AB边上的高，点E为线段CD上一点（不与点C，点D重合），连接BE，作与AC的延长线交于点F，与BC交于点G，连接BF． (1)求证：； (2)若，求证：； 【答案】见解析 【分析】(1)得出∠FCG=∠BEG=90°，∠CGF=∠EGB，则结论得证； (2)证明△CGE∽△FGB即可； 【详解】（1）证明：∵， ∴ 又∵ ∴ （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即 【方法技巧与总结】 8字型相似模型：已有条件是两角（对顶角）相等，证明相似时再找一个条件：①证明另一组角相等；②对顶角的两边对应成比例。 【题型五：相似模型——一线三等角型】 例7.如图1，为等边三角形，，点D为边上的动点（点D不与点B，C重合），且，交边于点E． (1)求证：； (2)如图2，当D运动到的中点时，求线段的值； 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到，再利用两角相等的三角形相似求解． （2）由题意易得，，然后可得，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：三角形是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ； （2）解：是等边三角形，点是中点， ，， ， ， ， ， ， ． 变式7.（2024·安徽六安·一模）如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：； 【答案】证明见解析； 【分析】（）直接证明，然后根据全等三角形的性质证明即可； （）先证明，，可得，则，从而可得结论； 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟悉基本图形，熟练的运用以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴ ； （2）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 【技巧方法与总结】 一线三等角相似模型：在等腰三角形或等边三角形的背景下，利用已知角的角度等量代换，证明两组对应角相等来证相似。 典型图例：or 例8.（22-23九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为F，折痕交边于点E，    (1)求证：； (2)若，求的长； 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，再由根据折叠的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据折叠的性质可得，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）证明： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 变式8-1．（2023·黑龙江大庆·中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．    【答案】 【分析】由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ， 故答案为：． 变式8-2．在四边形中，点 E是边上的一点 （不与点 A，B 重合），且，下列说法错误的是（     ） A． B．与不一定相似 C．当点E为中点时，两两相似 D．当两两相似时，点E一定为中点 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，逐一判断，即可解答，熟知相似三角形的判定条件和性质是解题的关键． 【详解】解：A、如图1， ， 而， ， ， ，故A正确； B、如图2， ， 且，此时与一定不相似，故B正确； C、， ， 当E为中点时，， ， ，此时，故C正确； D、构造如图3的矩形， 此时两两相似，但明显不是的中点，故D错误， 故选：D． 【题型六：三角形的相似与图形综合】 例6．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．    【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析    （2）见解析    （3）3 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到点，使，连接，   四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【方法技巧与总结】根据题干中的图示，找到基本相似模型，再灵活运用所学知识解题。 一、选择题 1．（22-23九年级上·浙江·阶段练习）下列一定相似的两个图形是（    ） A．有一个角是的等腰三角形 B．有一个角是的三角形 C．等腰三角形 D．有一个角是的等腰三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．本题根据相似三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：A、的角可能是顶角，也可能是底角，没有交代清楚，不能判定两个图形相似，不符合题意； B、有一个角是的三角形没指明是等腰三角形，不能判定两个图形相似，不符合题意； C、等腰三角形没有交代顶角相等或底边比等于腰的比，不能判定两个图形相似，不符合题意； D、有一个角是的等腰三角形可根据两角对应相等可判定两个图形相似，符合题意． 故选D． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，E、分别为矩形的边、上的点，，则图中①、②、③、④四个三角形中一定相似的是（    ） A．①③ B．②③ C．①②③ D．①④ 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．根据矩形的性质得到，推出，由此证明①和③一定相似． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即①和③一定相似， 故选：A． 3．（21-22九年级上·上海青浦·期中）下列各组图形一定相似的是（    ） A．两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形 B．都有一个内角为80°的两个等腰三角形 C．任意两个等腰三角形 D．两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定定理.熟练掌握相似三角形的判定定理，能根据相似三角形的判定定理判断是否满足判定条件是解决本题的关键. 根据相似三角形的判定定理可分别判断各选项是否足以证明三角形相似，从而判断选项的正确性. 【详解】解：A. 两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形，没有明确对应边，不能判定两个三角形相似； B. 都有一个内角为80°的两个等腰三角形，不能得出两个三角形有两个角相等，不能判定两个三角形相似； C. 任意两个等腰三角形，各内角的值不确定，故无法证明三角形相似，故本选项错误; D. 如图， ∵两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形，即,为中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴故本选项正确. 故选D 二、填空题 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定，利用两边成比例夹角相等， 证明三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：观察图象可知， ． 故答案为：． 5．（22-23八年级下·福建福州·期末）如图，的高，相交于点，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据已知条件得，，推出，其他同理. 【详解】解： ； 证明：∵的高，相交于点， ∴， ∵， ∴； 故答案为：（答案不唯一）. 6．（22-23九年级上·陕西榆林·期中）如图，点是的边的延长线上的点，连接，交于点，那么该图形中与相似的三角形共有 个．    【答案】 【分析】根据平行四边形的对边平行，利用“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”找出相似三角形，然后即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 故答案为：． 三、解答题 7．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，D，E分别是，上的点，且，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定．等边对等角，得到，利用外角的性质，推出，即可得证．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，线段、是的两条高．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据三角形高的定义得到，进而根据两组角对应相等的两个三角形相似进行证明是解题的关键． 【详解】证明：∵线段、是的两条高， ∴， ∴， 又∵， ∴． 9．如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，先证明，再结合公共角可得结论，熟记相似三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】证明：∵，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 10.（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，中，过点A作于点E，连接是上的一点，，求证：． 【答案】见详解 【详解】证明： 四边形是平行四边形 ，， ，， ， ，且， 11．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形中，，若点分别为边上的两点，且．求证：．    【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质可得，根据等边对等角可得，从而得到，再通过证明即可得到． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 12．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，和的顶点都在网格的格点上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用勾股定理分别求得各边长，利用相似三角形的判定定理“ 三边对应成比例，两个三角形相似”即可证明结论成立． 【详解】解：观察图形得，， 根据勾股定理，得， ， ， ∴． 如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)与相似吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)相似，理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质可得,，再根据可得，进而说明，再结合，即可证明结论； （2）设，利用E为边的中点，，得到，则可计算出,由勾股定理逆定理可得以及再说明即可证明结论． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴, ∵， ∴， ∵点F在上， ∴, ∴, ∵, ∴． （2）解：与相似，理由如下： 设， ∵E为边的中点，， ∴， ∴，,, ∴,即, ∴, ∵, ∴, ∴． 定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形．    探究： (1)如图甲，已知中，你能把分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由． (2)一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把图乙第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割如图；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割如图依次规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形为正整数，设此时小三角形的面积为． 若的面积为1， 求n的值？           当时，请写出一个反映，，三者之间关系的等式（不用证明） 【答案】(1)能，详见解析 (2)①；② 【分析】（1）过直角顶点作斜边的垂线即可得出两个与原直角三角形相似的三角形．由于这两个三角形都与原三角形共用一个锐角，又都有一个直角，因此有两个对应角相等，因此都与原三角形相似． （2）①先得出公式，然后按所求的公式进行计算，即可得解．②，，进而即可得解． 【详解】（1）能正确画出分割线（如图，过点C作，垂足为D，即是满足要求的分割线）．    理由：∵ ∴； （2）由图可知，每分割一次得到的图形的小三角形的个数都是前面一个图形中小三角形的个数的4倍，因此当第n个图时，如果设原三角形的面积为S，那么小三角形的面积应该是， ∵的面积为1， ∴经n阶分割所得的小三角形的面积为 ∴， ∴ ②∵，，， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$