22.1比例线段（6知识点+4题型+强化练习）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪科版）

22.1 比例线段 课程标准 学习目标 ①了解比例的基本性质、线段的比，成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 ②通过具体实例认识图形的相似；了解相似多边形和相似比。 ③掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 ①理解比例、比例线段的概念； ②了解比例的基本性质，会求常见图形中的线段比，会应用比例和比例线段解决问题； ③掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，并应用这一基本事实求线段长； ④了解黄金分割，会进行黄金分割的有关计算。 知识点01 相似多边形的概念 ·相似图形：形状相同的两个图形说成是相似的图形 ·相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数） 【即学即练1】（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 知识点02 比例线段的相关概念 · 线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n ·比的前项和后项：在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。 【即学即练2】如图，线段，那么等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的比，设，则，，据此即可求解． 【详解】解：设，则，， ∴， 故选：D． ·比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 ·比的外项和内项：若四条线段a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段的d叫做a，b，c的第四比例项。 ·比例中项：如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。 【即学即练3】（23-24九年级上·江苏常州·期中）线段的比例中项为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例中项的定义，根据比例中项的定义列出方程，解方程即可求解，理解比例中项的定义是解题的关键． 【详解】解：设它们的比例中项是， 则， ∴, ∵线段的长度是正数， ∴， ∴比例中项为， 故答案为：． 【即学即练4】如果线段c是a、b的比例中项，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据比例中项的定义，列式计算即可． 本题考查了比例中项即，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵线段c是a、b的比例中项， ∴， ∵，， ∴， 解得（舍去）， 故答案为：． 知识点03 比例的性质 （1）基本性质 ①a:b=c:d ad=bc ②a:b=b:c （2）更比性质（交换比例的内项或外项） （交换内项） （交换外项） （同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）： （4）合比性质：如果，等式两边同时±1： 【即学即练5】对于线段a，b，若，则下列四个选项一定正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例的基本性质．根据比例的基本性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，，故A选项错误，不符合题意； ∴，故B选项正确，符合题意； ，不一定等于1，故C选项错误，不符合题意； ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：B （5）等比性质： 【即学即练6】已知，那么下列等式中一定正确的是    （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了比例的性质，解题的关键是掌握内项之积等于外项之积、合比性质和等比性质．根据比例的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：， ，， A、，故本选项错误，不符合题意； B、当，时，，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 知识点04 黄金分割 ·把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB 【即学即练7】已知点P是线段的黄金分割点，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割点：线段上一点分线段对应成比例，且短比长等于长比全，等于，则这个点叫做线段的黄金分割点，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选C． 知识点05 平行线分线段成比例定理 ·基本事实：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 → 【即学即练8】如图，直线，直线分别交于点；直线分别交于点与相交于点H，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用，熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键． 先求出 ， 再根据， 判断出 ， 即可得到答案． 【详解】解∶， ， 故选∶D． 推论： （1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 ·逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 ： DE∥BC 【即学即练9】在中，点分别在边、上，下列比例式中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可． 【详解】解：如图： A、当时，不能判定，故不符合题意； B、当时，能判定，故符合题意； C、当时，不能判定，故不符合题意； D、当时，不能判定，故不符合题意； 故选：B． （2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 ： DE∥BC 【即学即练10】在中，点、分别在边和上，，，，要使，那么的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查成比例线段的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键 ． 【详解】解：当时，， 则， ∴， 故答案为：4 ． 比例的性质与等比变形： 1.更比性质的变形： 2.和比性质的变形：在的条件下，等式两边同时加任意一个常数有： 特别的，当k=±1时， 3.等比性质的证明：设参法 设，有， 代入有 【题型一：比例尺】 例1.（23-24九年级上·安徽安庆·期末）2023年9月，占地约3.23平方千米的合肥园博园正式对外全面开放，主办方精心筹建的舞台展区深受广大游客的青睐，其中某两个展区入口之间的距离为155米，在一张比例尺为的导游图上，它们之间的距离大约相当于（     ） A．一支粉笔的长度 B．数学课本的长度 C．一把家用扫帚的长度 D．课桌的宽度 【答案】A 【分析】本题考查了比例尺，比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出式子，根据比例的基本性质即可得出图上的距离． 【详解】解：根据比例尺＝图上距离：实际距离， 得它们之间的图上距离是米厘米． 大约相当于一支粉笔的长度． 故选：A． 变式1.一种精密零件长毫米，把它画在图纸上，图上零件长厘米，这张图纸的比例尺是（   ） A． B．500:1 C．1:50 D．50:1 【答案】D 【分析】本题考查比例尺，关键是掌握比例尺的定义．比例尺图上距离与实际距离的比，由此即可计算． 【详解】解：厘米毫米， ：：， 这张图纸的比例尺是：． 故选：D． 【题型二：根据比例的性质化简求值】 例2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知，且，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查比例的性质，分别用含有m的代数式表示出，，，再相加即可求解． 【详解】解：∵ ∴，，， ∴， 即， ∵， ∴． 故答案为：3． 变式2-1.如果，且，则 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了比例的基本性质．依据，运用等比性质，即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：10． 变式2-2.（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如果，则下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例性质，前项加（或减）后项等式成立，则可对A、B、C进行判断；利用后项都乘以2可对D进行判断． 【详解】解：A、如果，则，所以A选项的等式不成立，符合题意； B、如果，则，所以B选项的等式成立，不符合题意； C、如果，则，所以C选项的等式成立，不符合题意； D、如果，则，所以D选项的等式成立，不符合题意； 故选：A． 【方法技巧与总结】 ·法一：熟练运用比例的性质：①更比性质——交换内项、外项的位置，等式不变；②合比性质——；③等比性质 ·法二：赋值法代数判断，仅限于选择和填空 例3.阅读理解，并解决问题： 小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得成立（即a，b，c，d成比例）．小明同学还有新的发现：若，则（分比性质）． 已知①；②． 问题解决： (1)仿照上例，从①②中选一组数据写出分比性质等式； (2)证明（1）中的分比性质等式成立． 【答案】(1)①若，则；②若，则 (2)见解析 【分析】本题考查了比例的基本性质． （1）根据题意写出答案即可； （2）运用设参法，证明①时，设，则，，求出，即可得出结论．同理可证明②． 【详解】（1）解：①若，则； ②若，则． （2）解：①若，则． 证明：设，则，， ∴，， ∴． ②若，则． 证明：设，则，， ∴，， ∴． 【方法技巧与总结】 设参法说明比例的性质（见难点分析） 【题型三：利用平行线分线段成比例求线段的长】 例4．（23-24九年级上·上海·期中）如图，直线，已知，，， ． 【答案】 【分析】此题考查平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 例5．如图，是的中线，E是上一点，的延长线交于F，的面积与的面积之比是，且，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理、三角形面积等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．作交于，证出，根据三角形面积关系得，根据平行线分线段成比例定理得到，则，进而得到答案． 【详解】解：作交于， 是的中线， ， ， ， 的面积与的面积之比是， ， ， ， ， ； 故答案为：12． 变式5-1．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中、已知，，，，求的长．    【答案】 【分析】本题主要考查平行线段分线段成比例，由题意得到即可求出的值，得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 【方法技巧与总结】 平行线分线段成比例定理的应用：熟记模型“”： DE∥BC 【题型四：实践生活中的黄金分割点】 例6．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）如图，二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的“千金”钩在琴弦长的黄金分割点处，奏出来的音调最和谐、最悦耳．一把二胡的弦长为，求“千金”钩出的下面一截琴弦长为 （保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，解题的关键是熟练掌握其概念“把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．” 根据比值叫做黄金比进行计算即可得到答案． 【详解】解：依题意得：， ， 故答案为：． 变式6-1．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是 （结果精确到．参考数据：，，）． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题． 设下部高为，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案． 【详解】解：设下部的高度为，则上部高度是， 雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比， ， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ， 故答案为：． 变式6-2．20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，．已知为2米，则线段的长为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为进行求解即可． 【详解】解：∵E为边的黄金分割点，， ∴米， 故答案为：． 【方法技巧与总结】根据黄金分割比例为进行求解 一、选择题 1.（23-24九年级上·四川宜宾·期中）观察如图每组图形，是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形的定义，理解相似图形的形状相同是解答本题的关键，本题中只要判断两个图形的形状是否相同，即可得到答案． 【详解】A．两图形形状不同，不符合题意； B．两图形形状相同，符合题意； C．两图形形状不同，不符合题意； D．两图形形状不同，不符合题意． 故选：B． 2．在一幅比例尺为的地图上，量得某段高速公路长5.5厘米，则这段高速公路的实际长度是（    ） A．55米 B．550米 C．5500 米 D．55千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例线段，、比例尺的定义等知识点，根据比例尺的定义列出算式是解题的关键． 根据比例尺的定义列式计算，然后再把单位换算为千米即可． 【详解】解：这段高速公路的实际长度是．故大桥的实际长度是55千米． 故选：D． 3．如果，那么下列比例式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，把比例式化成等积式是解题的关键．从选项判断，把每一个比例式化成等积式即可解答． 【详解】选项A中，因为所以，故A不符合题意； 选项B中，因为，所以，故B不符合题意； 选项C中，因为，所以，故C符合题意； 选项D中，因为，所以，所以，所以，故D不符合题意． 故选：C． 4．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知，那么下列四个选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：A、由，得，故本选项错误，不符合题意； B、由，得，则，故本选项错误，不符合题意； C、由，得，则 ，故本选正确，符合题意； D、由，得，则，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 5．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理进行计算即可，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，，，，， ， ， ， ， ， 故选：C． 6．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，直线，直线分别交直线a，b，c于A，B，C和D，E，F，且，，则（　　） A．5 B．10 C．12 D．15 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：D． 7．如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由平行判断成比例的线段，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 8．（23-24九年级上·安徽池州·期末）大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义得到，进而可求出的长． 【详解】解： P为的黄金分割点，， ， ． 故选D． 二、填空题 9．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）点在线段上，若  ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的比；根据题意，设，根据题意可得，进而即可求解． 【详解】解：∵ 设 ∴ ∴ 故答案为：． 10．（2024·江苏扬州·三模）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例中项，根据比例中项的定义直接列式求值即可得出答案． 【详解】解：设a，b的比例中项线段为， ∵线段，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴a，b的比例中项线段等于， 故答案为：． 11．已知线段、、，其中是的比例中项，如果，，那么线段的长度为 ． 【答案】 【分析】根据是的比例中项，得到，代入计算即可． 本题考查了比例中项的意义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵是的比例中项， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， 故答案为：6． 12．在比例尺为的地图上，量得甲乙两地的距离是，则两地的实际距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例尺的应用，设两地的实际距离是，根据比例尺可得，解比例式即可求解，理解比例尺的意义是解题的关键． 【详解】解：设两地的实际距离是， 由题意得，， ∴， ∵， 故答案为：． 13.如图，直线，相交于点，且，若，，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】， ， ，，， ， 故答案为：． 14．（23-24八年级下·河南许昌·期末）如图，已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取，则 ． 【答案】 【分析】先求得，再根据所给作图步骤，分别求出出和即可解决问题．本题主要考查了黄金分割，能根据题中所给作图步骤，理清各线段之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在中， ． 因为， 所以， 所以， 所以． 故答案为： 15．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）已知，且，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查比例性质及代数式求值，由得，，，代入化简求值即可得到结论 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 16．如图，点是矩形的对角线的中点，交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理．先求出，后求，然后用勾股定理求即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 为的中点， ， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ． 故答案为：． 三、解答题 17．已知是的三边，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】是直角三角形，理由见解析． 【分析】本题主要考查了设比例系数法和勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是设比例系数k；设，得出，再根据列出方程求出k的值，进而得出a、b、c的值，最后根据勾股定理逆定理，即可解答． 【详解】解：是直角三角形，理由如下： 设， 则， ， ， ， ， ， 是直角三角形． 18．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．设． （1）代入计算即可； （2）构建方程求出的值即可． 【详解】（1）解：设， 则， ； （2）解：， ， ， ，， 19．如图，已知为的边上的一点，为的延长线上的一点，且．求证：．    【答案】证明见解析． 【分析】如图，作辅助线；运用平行线分线段成比例定理式，结合已知条件得到，即可解决问题． 【详解】证明：如图，    过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴． （23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，，、是边上的两点，且，点是上的一动点，连接，点是的中点，连接，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】取的中点，连接，过点作于点，得是的中位线，连接并延长交于点，可得点的运动轨迹是射线，所以得的最小值为的长，然后利用含30度角的直角三角形性质即可解决问题．本题考查了三角形的中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，轨迹，解决本题的关键是得到点的运动轨迹是射线． 【详解】解：如图，取的中点，连接，过点作于点， 点是的中点， 是的中位线，始终与平行， 连接并延长交于点， ∴ ， 点的运动轨迹是射线， 的最小值为的长， ，，是的中点， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故选：B 【背景知识】 宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等． （1）经测量帕特农神庙的长约为30米，求它的宽度是多少米?（结果保留根号） 【实验操作】 折一个黄金矩形 第一步：在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处； 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出，得到矩形（如图4）．          【问题思考】 （2）若的长为2，请证明：矩形是黄金矩形； （3）在（2）的条件下，以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，直接写出这个矩形的面积． 【答案】（1）（米）；（2）见详解；（3）或． 【分析】（1）由题意得帕特农神庙宽的与长的比等于，已知长为30，则可以求出宽． （2）若的长为2，由折纸的过程可知，，．求得，则，则可得，进而可求得，即可得证． （3）分为黄金矩形的长和黄金矩形的宽，两种情况，进行讨论求解即可． 本题考查黄金分割，掌握黄金矩形的定义，是解题的关键． 【详解】（1）由题意得帕特农神庙宽与长的比等于， ∴它的宽为： （米）． （2）证明：， 由题意得，，， ， ， ， ， ∴矩形是黄金矩形． （3）由折叠的性质可得， 又， ， ∴ ， 又， ， ． 当 为黄金矩形的长时，则宽为， 则面积为． 当 为黄金矩形的宽时，则长为， 则面积为． 综上，矩形的面积为：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1 比例线段 课程标准 学习目标 ①了解比例的基本性质、线段的比，成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 ②通过具体实例认识图形的相似；了解相似多边形和相似比。 ③掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 ①理解比例、比例线段的概念； ②了解比例的基本性质，会求常见图形中的线段比，会应用比例和比例线段解决问题； ③掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，并应用这一基本事实求线段长； ④了解黄金分割，会进行黄金分割的有关计算。 知识点01 相似多边形的概念 ·相似图形：形状相同的两个图形说成是相似的图形 ·相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数） 【即学即练1】（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 知识点02 比例线段的相关概念 · 线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n ·比的前项和后项：在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。 【即学即练2】如图，线段，那么等于（    ）    A． B． C． D． ·比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 ·比的外项和内项：若四条线段a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段的d叫做a，b，c的第四比例项。 ·比例中项：如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。 【即学即练3】（23-24九年级上·江苏常州·期中）线段的比例中项为 ． 【即学即练4】如果线段c是a、b的比例中项，且，，则 ． 知识点03 比例的性质 （1）基本性质 ①a:b=c:d ad=bc ②a:b=b:c （2）更比性质（交换比例的内项或外项） （交换内项） （交换外项） （同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）： （4）合比性质：如果，等式两边同时±1： 【即学即练5】对于线段a，b，若，则下列四个选项一定正确的（   ） A． B． C． D． （5）等比性质： 【即学即练6】已知，那么下列等式中一定正确的是    （    ） A． B． C． D． 知识点04 黄金分割 ·把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB 【即学即练7】已知点P是线段的黄金分割点，那么的长是（    ） A． B． C． D． 知识点05 平行线分线段成比例定理 ·基本事实：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 → 【即学即练8】如图，直线，直线分别交于点；直线分别交于点与相交于点H，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 推论： （1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 ·逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 ： DE∥BC 【即学即练9】在中，点分别在边、上，下列比例式中能判定的是（    ） A． B． C． D． （2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 ： DE∥BC 【即学即练10】在中，点、分别在边和上，，，，要使，那么的长为 ． ·比例的性质与等比变形： 1.更比性质的变形： 2.和比性质的变形：在的条件下，等式两边同时加任意一个常数有： 特别的，当k=±1时， 3.等比性质的证明：设参法 设，有， 代入有 【题型一：比例尺】 例1.（23-24九年级上·安徽安庆·期末）2023年9月，占地约3.23平方千米的合肥园博园正式对外全面开放，主办方精心筹建的舞台展区深受广大游客的青睐，其中某两个展区入口之间的距离为155米，在一张比例尺为的导游图上，它们之间的距离大约相当于（     ） A．一支粉笔的长度 B．数学课本的长度 C．一把家用扫帚的长度 D．课桌的宽度 变式1.一种精密零件长毫米，把它画在图纸上，图上零件长厘米，这张图纸的比例尺是（   ） A． B．500:1 C．1:50 D．50:1 【题型二：根据比例的性质化简求值】 例2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知，且，则 ． 变式2-1.如果，且，则 ． 变式2-2.（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如果，则下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 ·法一：熟练运用比例的性质：①更比性质——交换内项、外项的位置，等式不变；②合比性质——；③等比性质 ·法二：赋值法代数判断，仅限于选择和填空 例3.阅读理解，并解决问题： 小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得成立（即a，b，c，d成比例）．小明同学还有新的发现：若，则（分比性质）． 已知①；②． 问题解决： (1)仿照上例，从①②中选一组数据写出分比性质等式； (2)证明（1）中的分比性质等式成立． 【方法技巧与总结】 设参法说明比例的性质（见难点分析） 【题型三：利用平行线分线段成比例求线段的长】 例4．（23-24九年级上·上海·期中）如图，直线，已知，，， ． 例5．如图，是的中线，E是上一点，的延长线交于F，的面积与的面积之比是，且，则 ． 变式5-1．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中、已知，，，，求的长．    【方法技巧与总结】 平行线分线段成比例定理的应用：熟记模型“”： DE∥BC 【题型四：实践生活中的黄金分割点】 例6．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）如图，二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的“千金”钩在琴弦长的黄金分割点处，奏出来的音调最和谐、最悦耳．一把二胡的弦长为，求“千金”钩出的下面一截琴弦长为 （保留根号）． 变式6-1．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是 （结果精确到．参考数据：，，）． 变式6-2．20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，．已知为2米，则线段的长为 米． 【方法技巧与总结】根据黄金分割比例为进行求解． 一、选择题 1.（23-24九年级上·四川宜宾·期中）观察如图每组图形，是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 2．在一幅比例尺为的地图上，量得某段高速公路长5.5厘米，则这段高速公路的实际长度是（    ） A．55米 B．550米 C．5500 米 D．55千米 3．如果，那么下列比例式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知，那么下列四个选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（    ） A．2 B．3 C． D．4 6．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，直线，直线分别交直线a，b，c于A，B，C和D，E，F，且，，则（　　） A．5 B．10 C．12 D．15 7．如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·安徽池州·期末）大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）点在线段上，若  ，则 ． 10．（2024·江苏扬州·三模）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于 ． 11．已知线段、、，其中是的比例中项，如果，，那么线段的长度为 ． 12．在比例尺为的地图上，量得甲乙两地的距离是，则两地的实际距离是 ． 13.如图，直线，相交于点，且，若，，，则 ． 14．（23-24八年级下·河南许昌·期末）如图，已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取，则 ． 15．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）已知，且，则＝ ． 16．如图，点是矩形的对角线的中点，交于点，若，则的长为 ． 三、解答题 17．已知是的三边，且满足，试判断的形状，并说明理由． 18．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 19．如图，已知为的边上的一点，为的延长线上的一点，且．求证：．    （23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，，、是边上的两点，且，点是上的一动点，连接，点是的中点，连接，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【背景知识】 宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等． （1）经测量帕特农神庙的长约为30米，求它的宽度是多少米?（结果保留根号） 【实验操作】 折一个黄金矩形 第一步：在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处； 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出，得到矩形（如图4）．          【问题思考】 （2）若的长为2，请证明：矩形是黄金矩形； （3）在（2）的条件下，以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，直接写出这个矩形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$