3.4.1相似三角形的判定（7大题型提分练）数学湘教版九年级上册

3.4.1 相似三角形的判定 题型一 利用平行判定三角形相似 1、小明想要得到与相似的三角形，于是他用剪刀沿着图中虚线将剪开，虚线与边平行，如图所示，则他判定剪下的三角形（阴影部分）与相似的依据是（    ） A．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 B．三边成比例的两个三角形相似 C．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 D．相似三角形的三个角分别相等 2、如图，是边延长线上一点，交于，则图中的相似三角形共有（    ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 3、如图，在中，． (1)求证：； (2)求的长度． 4、如图，相交于点．求证∶ 题型二 两角分别相等的两个三角形相似 5、如图，已知，则图中相似三角形是 ．    6、如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当 度时，． 7、如图，已知，求证：． 8、如图，，点B是线段上的一点，且，求证：． 9、如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点P作射线交于点M，使．求证：． 10、如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 题型三 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 11、如图，下列四个三角形中，与相似的是（　　） A． B． C． D． 12、如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（   ） A． B． C． D． 13、如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 14、如图，在中，，，，求证：．    15、如图，四边形中，，交于F，交于E，，交于G，连接，求证：． 题型四 三边成比例的两个三角形相似 16、判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．    17、在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的图形叫做格点图形．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，试判断格点图形与是否相似，并说明理由． 题型五 添加条件使两个三角形相似 18．如图，在中， 是边上一点， 添加下列条件， 不能判定的是（ ） A． B． C． D． 19、如图，由下列条件不能判断与相似的是（     ） A． B． C． D． 20、如图，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 题型六 在网格中判断相似三角形 21、如图，在4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．无法确定 22、如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，则关于三角形①、②有四个说法，其中正确的是（    ）    A．一定不相似 B．一定位似 C．一定相似，且相似比为 D．一定相似，且相似比为 23、如图，点均在边长为1的小正方形网格的格点上，连接， 求证：． 题型七 利用三角形相似求线段的长度 24、如图，在中，，是的中线，作于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 25、如图，在中，，是的中线，作于点E，EF∥BC，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 26、根据下列各组条件，不能判断和相似的是（ ） A．，， B．，，， C．，，；，， D．，，；，， 27、如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，则下列结论中不正确的是（　　） A． B． C． D． 28、如图，矩形中，，点是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于，连接． (1)求证：平分． (2)求证：． 29、如图，，分别是与边上的高． 求证：． 30、如图，和都是的高，相交于F点，连接．    (1)求证：； (2)若点D是的中点，，则的长为__________． 31、如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 32、（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，，分别在边，上，，，，求的长． 33、嘉淇做数学探究实验，如图，已知：均为直角三角形，其中，现以为边作四边形，且，，点在一条直线上． 第一步，如图1，将的顶点与点重合，在上； 第二步，如图2，将绕点逆时针方向旋转，每秒旋转分别与边交于点； 第三步，如图3，当旋转到点落在上时停止旋转，此时点恰好在上； 第四步，如图4，在第三步的基础上，点带动立即沿边从点向点平移，每秒个单位长度，当点与点重合时停止运动，设整个过程中的运动时间为ts． (1)如图1，①______；②点到直线的距离是______； (2)如图2，求证； (3)如图3，当从初始位置到点落在上时，求的长度； (4)当点落在四边形的边上时，直接写出对应的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4.1 相似三角形的判定 题型一 利用平行判定三角形相似 1、小明想要得到与相似的三角形，于是他用剪刀沿着图中虚线将剪开，虚线与边平行，如图所示，则他判定剪下的三角形（阴影部分）与相似的依据是（    ） A．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 B．三边成比例的两个三角形相似 C．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 D．相似三角形的三个角分别相等 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，作答即可． 【详解】解：由题意，判断的依据是：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 故选：C． 2、如图，是边延长线上一点，交于，则图中的相似三角形共有（    ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质；根据平行四边形的性质得出，即可得出，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ 故选：B． 3、如图，在中，． (1)求证：； (2)求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定，平行线分线段成比例． （1）平行得到，即可得出； （2）根据平行线分线段成比例，列出比例式进行求解即可． 掌握相似三角形的判定定理，以及平行线分线段成比例，是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴，即：， ∴． 4、如图，相交于点．求证∶ 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及相似三角形的判定，由平行线的性质，得出，再结合两个对应角分别相等的三角形是相似三角形，即可作答． 【详解】证明∶， ， ． 题型二 两角分别相等的两个三角形相似 5、如图，已知，则图中相似三角形是 ．    【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 6、如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当 度时，． 【答案】70 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定，得出是解题关键．根据题意得出，进而由，，得出答案． 【详解】解：，， ， 时， ，， ． 故答案为：70． 7、如图，已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键，已经有一角相等，只需再证一角相等即可；由等式的性质得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴． 8、如图，，点B是线段上的一点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】题考查了相似三角形的判定，熟练掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 9、如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点P作射线交于点M，使．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，等边对等角，得到，三角形的外角得到，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴． 在中，， 又，， ∴． ∴． 10、如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，利用等量代换可得，再根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型三 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 11、如图，下列四个三角形中，与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据两角对应相等或者三边成比例、夹角相等，两边成比例等方法证明相似，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ A、两边成比例，但夹角不相等，故该选项是错误的； B、两边成比例，但夹角不相等，故该选项是错误的； C、两边成比例，夹角相等，故该选项是正确的； D、两边成比例，但夹角不相等，故该选项是错误的； 故选：C 12、如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可． 【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意； 两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意； 选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意； 故选C． 13、如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 14、如图，在中，，，，求证：．    【答案】证明见详解； 【分析】本题考查三角形相似的判定，根据得到，从而得到，结合，得到，即可得到证明； 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15、如图，四边形中，，交于F，交于E，，交于G，连接，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据平行线分线段成比例，得到，再根据，即可得证． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 题型四 三边成比例的两个三角形相似 16、判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．    【答案】．理由见解析 【分析】根据，进行判断作答即可． 【详解】解：．理由如下： 由题意知，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 17、在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的图形叫做格点图形．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，试判断格点图形与是否相似，并说明理由． 【答案】相似，理由见解析 【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定方法，根据小正方形的边长求出两个三角形的三边长，然后根据来判定两个三角形是否相似． 【详解】解：与相似，理由如下： 由小方格是边长为1的正方形，根据勾股定理得： ； ∴； ∴． 题型五 添加条件使两个三角形相似 18．如图，在中， 是边上一点， 添加下列条件， 不能判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可求解，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、根据题意可知，，，由两角对应相等两三角形相似可得，故本选项不符合题意； 、根据题意可知，，，由两角对应相等两三角形相似可得，故本选项不符合题意； 、根据题意可知，，，根据两边成比例夹角相等两三角形相似可得，故本选项不符合题意； 、由条件无法判断，故不能判定，该选项符合题意； 故选：． 19、如图，由下列条件不能判断与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定方法的掌握情况，常用的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、符合两边及其夹角法，故本选项正确，不符合题意； B、不符合两边及其夹角法，故本选项错误，符合题意； C、符合两角法，故本选项正确，不符合题意； D、符合两角法，故本选项正确，不符合题意； 故选：B． 20、如图，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查添加条件式三角形相似，根据已知相似三角形的逐一判断选项是否符合条件即可． 【详解】解：．若，则， ∵， ∴，该选项正确，符合题意； ．若，无法得出和对应边成比例，该选项错误，不符合题意； ．若，无和对应边成比例，选项错误，不符合题意； ．若，无和对应边成比例，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 题型六 在网格中判断相似三角形 21、如图，在4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查的是相似三角形的判定，掌握其判定定理是解决此题的关键． 根据两三角形相似的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，即可解答． 【详解】解：设网格中每个小正方形的边长为1， ①中的三角形的各边长分别为2，，， ③中的三角形的各边长分别为，2，， ， 这两个三角形的三边对应成比例 ①中的三角形和③中的三角形相似， 故选C. 22、如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，则关于三角形①、②有四个说法，其中正确的是（    ）    A．一定不相似 B．一定位似 C．一定相似，且相似比为 D．一定相似，且相似比为 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和勾股定理；先根据勾股定理计算两个三角形的边长，再判断即可得出答案． 【详解】解：①的三边长分别为 ②的三边长分别为 所以，三角形①、②三边对应成比例， 所以，关于三角形①、②一定相似，且相似比为1：2． 故选：C． 23、如图，点均在边长为1的小正方形网格的格点上，连接， 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定，由勾股定理可得，结合，得出，再由，即可得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：，，， ，， ， ， ． 题型七 利用三角形相似求线段的长度 24、如图，在中，，是的中线，作于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形的性质可得；再说明，最后根据两组对应角相等的三角形是相似三角形即可证明结论； （2）根据相似三角形的性质可得，进而得到，最后根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】（1）证明：是的中线，， ，即， ， ， ． （2）解：， ，即， ， 是的中线， ． 25、如图，在中，，是的中线，作于点E，EF∥BC，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键． （1）由是的中线可得，即，结合可得从而得证； （2）由（1）可得对应边成比例，从而求出，根据勾股定理即可求出，再由可得，代入数据即可求出． 【详解】（1）证明：是的中线， 即， ， ， ， ； （2）， ，即， 解得， 是的中线， ， ， ， ，即， 解得． 26、根据下列各组条件，不能判断和相似的是（ ） A．，， B．，，， C．，，；，， D．，，；，， 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理对各选项进行判断作答即可，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，则，故选项A不符合要求； ∵，，，， ∴，，则，故选项B不符合要求； ∵，，；，，， ∴，不能判断和相似，故选项C符合要求； ∵，，；，，， ∴，，则，故选项D不符合要求； 故选：C． 27、如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，则下列结论中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可． 【详解】解：∵，， ∴．故A正确； ∵，， ∴．故B正确； ∵，， ∴．故D正确； 没有条件可证，故C错误． 故选：C 28、如图，矩形中，，点是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于，连接． (1)求证：平分． (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）可推出，，进而推出，从而得出，从而平分； （2）可推出，，从而，进一步得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 点是的中点， ， 将沿着折叠后得， ，， ，， ， ， ， 平分． （2）证明：由折叠可得：， 由（1）得：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，角平分线等知识，解决问题的关键是转化条件和集中条件． 29、如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】证明：，分别是与边上的高， ， ， ， ， 即， ， ． 30、如图，和都是的高，相交于F点，连接．    (1)求证：； (2)若点D是的中点，，则的长为__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据相似三角形的判定，即，再根据即可证明结论； （2）根据垂直平分线的性质可得，由(1)， 可得，再根据勾股定理即可求出的长； 【详解】（1）证明: ∵是的高, ∴, ∵, ∴， ∴，即， 又∵, ∴； （2）∵点是的中点,, ∴, 在中, ∵, ， ， ∵， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明. 31、如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质． （1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：； （2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ． 32、（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3 【分析】（1）证明，结合，利用“两角对应相等，两个三角形相似”证明结论即可； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，易得，结合，即可证明结论； （3）延长到点，使，连接，结合菱形的性质可证明，易得，，进而证明是等边三角形，然后计算的长即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵点在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 33、嘉淇做数学探究实验，如图，已知：均为直角三角形，其中，现以为边作四边形，且，，点在一条直线上． 第一步，如图1，将的顶点与点重合，在上； 第二步，如图2，将绕点逆时针方向旋转，每秒旋转分别与边交于点； 第三步，如图3，当旋转到点落在上时停止旋转，此时点恰好在上； 第四步，如图4，在第三步的基础上，点带动立即沿边从点向点平移，每秒个单位长度，当点与点重合时停止运动，设整个过程中的运动时间为ts． (1)如图1，①______；②点到直线的距离是______； (2)如图2，求证； (3)如图3，当从初始位置到点落在上时，求的长度； (4)当点落在四边形的边上时，直接写出对应的值． 【答案】(1)①=；②2； (2)见解析； (3)； (4)7或． 【分析】对于（1），根据勾股定理解答即可； 对于（2），根据“两角相等的两个三角形相似”证明即可； 对于（3），如图，连接，并说明，可求出，再求出，然后证明可得，进而得出，再根据勾股定理求，可根据特殊角的三角函数求出，然后根据勾股定理，得，最后根据求出答案． 【详解】（1）①；②2． 根据勾股定理，得． 根据题意，可知， ∴，， ∴， 解得， 所以点A到的距离是2． 故答案为：，2； （2）根据题意可知， ∴， ； （3）如图，连接， ， 则． ， ． ， 则． ∵，，， ∴ ． 又 ． 又 根据勾股定理，得， ， 根据勾股定理，得， ． （4）7或． 由（3）知，当从初始位置旋转到点落在上时，， 则旋转所用时间为； 当平移到点落在上时，如图2，连接，由（3）知， ， ，在取点，使得， ． 设，则， 由， 得， 解得 ∴点平移的距离为， 平移所用的时间为， 故当平移到点落在上时，所运动的总时间为． 综上所述，的值为7或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定，全等三角形的性质和判定，平移和旋转，等腰三角形的性质和判定，画出旋转和平移的图形并构造辅助线是解题的关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$