1.2.1 数轴（教学课件）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（湘教版2024）

湘教版（2024）七年级数学上册 第一章 有理数 1.2.1 数轴 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 1.知道数轴的三要素，能正确地画出数轴. 2.能说出数轴上的点所表示的数，能将有理数用数轴上的点表示出来. 3.探索数轴上的点与有理数的对应关系，初步体会数形结合的数学思想（重难点）. 学习目标 观察生活中你所熟悉的温度计，回答下面几个有关温度计设计特点的问题: (1)中间的柱管有什么用？ 情景导入 (2)温度计刻度的正负是怎样规定的？以什么为基准？基准刻度线表示多少摄氏度？ (3)每相邻两条刻度线之间的距离有什么特点？ 温度计就是一种由数字构成的轴，我们这节课将学习数轴. 小玲从点 O 出发，沿一条笔直的东西向人行道行走，分别到达 A，B，C，D 四点处 . 其中点 A 在点 O 东边 10 m 处，点 B 在点 O 西边 10 m处，点 C 在点 O 东边 30 m 处，点 D 在点 O 西边 30 m 处 . 小玲用图中的直线和点刻画出了她分别到达的四个位置. 由图你能受到什么启发？ 由图可知，可用直线表示笔直的人行道，并将出发点 O 用数 0 表示，点 O东边的点用正数表示，点O西边的点用负数表示，1个单位长度代表10 m长. 启发我们，可以用负数、0、正数表示一条直线上的点，反过来，也可用一条直线上的点来直观地表示数. 新知探究 1.数轴的概念 数轴的画法： 1.画一条直线（通常把它 放置），在直线上取一点0，把点O叫做原点，用原点表示O. 规定直线的正方向（标上箭头）.通常把直线上从原点向右的方向规定为 方向，从原点向左的方向规定为 方向. 水平 负 正 原点 正方向 在直线上选取适当的长度作为单位长度 单位长度 概念归纳 选取适当的长度作为单位长度，则从原点向右，距原点1个单位长度的点表示数1，距原点2个单位长度的点表示数2，… 从原点向左，距原点1个单位长度的点表示数-1，距原点2个单位长度的点表示数 -2，…. 像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。 概念归纳 数轴的定义： 1. 下列数轴表示正确的是(　D　) D 【解析】A. 正数应在原点右边，负数应在原点左边，且按从 小到大的顺序从左往右排，故A错误；B. 负数的大小顺序标反，应从原点向左依次标－1，－2，－3，…，故B错误；C. 缺少原点，故C错误. A. B. C. D. 练一练 2. 关于数轴，下列说法最准确的是(　D　) A. 是一条直线 B. 是规定了原点、正方向的一条直线 C. 是有单位长度的一条直线 D. 是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 D 练一练 概念归纳 特别解读 1. 数轴是一条直线 . 2. 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度. 3. 数轴的三要素缺一不可. 在解决具体问题时可以灵活选定原点的位置、正方向的朝向、单位长度的大小，但一经选定，就不能随意改变. 0 -3 -2 -1 1 2 3 思考： 1.观察上面数轴，哪些数在原点的左边，哪些数在原点的右边，由此你有什么发现？ 2.每个数到原点的距离是多少？由此你又有什么发现？ 3.如何用数轴上的点来表示分数或小数？ 如：1.5， 怎样表示. 新知探究 2.数轴上的点与有理数的关系 结论：任何有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示. 例1.如图，数轴上的点M，N，P，Q分别表示哪个有理数？ 解：点M，N，P，Q分别表示-3，1. 3，-1，2. 5. 课本例题 3.指出如图所示的数轴上A、B、C、D四个点分别表示的数. 解:点A表示的数是－2.5；点B表示的数是－0.5；点C表示的数是1；点D表示的数是3.5. 方法归纳　如何读出数轴上的点所表示的数？ 首先要看点在原点的左侧还是右侧，从而确定符号，然后再看距离原点几个单位长度，从而确定数. 解:点A表示的数是－2.5；点B表示的数是－0.5；点C表示的 数是1；点D表示的数是3.5. 首先要看点在原点的左侧还是右侧，从而确定符号，然后 再看距离原点几个单位长度，从而确定数. 练一练 例2.画一条数轴，并标出表示下列各数的点： -5, 1.5，-3.5, 4.5， ，. 解：所画数轴及各数在数轴上对应的点如下图所示. 注意：①把点标在线上；②把数标在点的上方，以便观看. 课本例题 4.在数轴上表示下列各数. －11，－2，1，2.5，3，4. 解:在数轴上表示各数如图所示. 方法归纳　一般地，设a是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的　右　边，与原点的距离是　a　个单位长度；表示－a的点在原点的　左　边，与原点的距离是　a　个单位长度.  解:在数轴上表示各数如图所示. 右 a 左 a 练一练 一般地，任意一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示. 概念归纳 用数轴上的点表示有理数的一般步骤： 1. 选择恰当的单位长度建立数轴； 2. 在数轴上找到对应点，即先根据数的符号确定在原点的哪一侧，然后在相应方向上确定距原点多少个单位长度，再描上实心小圆点； 3. 在实心小圆点的正上方标出所要表示的数. 例. 在数轴上，点 A 表示－2.若从点 A 出发，沿数轴的正方向 移动4个单位长度到达点 B ，则点 B 表示的数是(　C　) A. －6 B. －4 C. 2 D. 4 C 典例剖析 3.数轴上点的运动 6. [新趋势 学科内综合]如图，半径为1个单位长度的圆从原 点沿数轴向右无滑动地滚动一周，圆上的一点 A (滚动前 与原点重合)由原点到达点 B ，则点 B 表示的数是 ⁠. 【解析】 先求出圆的周长，再确定点 B 表示的数. 2π　 练一练 1.把下列各数和数轴上对应的点用线连起来 练习 2、填空 （1）数轴上在原点的右边距原点3.7个单位长度的点表示的数是 （2）数轴上在原点的左边距原点 个单位长度的点表示的数是 （3） 数轴上距原点 2个单位长度的点有 个，它们分别表示的数是 3.7 2 -2，2 练习 3、 画一条数轴，并分别标出表示下列各数的点： -2，-0.8, 0.8, 2 练习 知识点1　数轴 1. 认识数轴需明确两点： (1)0是 和 的分界点； (2)数轴的“三要素”为 、 、 ⁠ ⁠. 正数　 负数　 原点　 正方向　 单位 长度　 分层练习-基础 知识点2　数轴上的点与数的对应关系 2.如图，数轴上点 E 表示的数是(　A　) A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 A 3. [2023·自贡]如图，数轴上点 A 表示的数是2 023， OA ＝ OB ，则点 B 表示的数是(　B　) A. 2 023 B. －2 023 C. D. － 【解析】因为 OA ＝ OB ，点 A 表示的数是2 023，所以 OB ＝ OA ＝2 023. 因为点 B 在点 O 左侧，所以点 B 表示的数为－2 023. B 4. 【2024泰安肥城期末】如图，数轴上点 A 对应的数是 ，将点 A 沿数轴向右移动2个单位长度至点 B ，则点 B 对应的数是(　C　) A. － B. －2 C. D. C 知识点3　数轴上点的运动 5. 【新考法逆向思维法2024南阳新野期末】在数轴上，一 动点 A 向左移动2个单位长度到达点 B ，再向右移动5个 单位长度到达点 C . 若点 C 表示的数为1，则点 A 表示的 数为(　D　) A. 7 B. 3 C. －3 D. －2 D 易错点　对有理数与数轴上点的关系，易产生“一一对应”的错误认识 6. 下列说法： ①数轴上的点只能表示整数； ②数轴是一条线段； ③数轴上的一个点只能表示一个数； ④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点； ⑤数轴上的点所表示的数都是有理数. 其中正确的有(　A　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 易知①②错误，③正确；既不是正数，又不是负数的数是0，0在数轴上用原点表示，故④错误；所有的有理数都可以在数轴上找到相应的点，但并非数轴上的点都表示有理数，这一点容易误解，故⑤错误. A 7. [新视角 结论开放题]如图，已知点 A ， B ， C 在数轴上表示的数分别是－1，－5，2.回答下列问题： (1)将点 B 向右移动6个单位长度，此时点 B 表示的数是多少？ 【解】将点 B 向右移动6个单位长度，此时点 B 表示的数是1. (2)将点 C 向左移动6个单位长度，此时点 C 表示的数是多少？ 将点 C 向左移动6个单位长度，此时点 C 表示的数是－4. 分层练习-巩固 (3)移动 A ， B ， C 三个点中的任意两个，能使三个点表示的数相等吗？你有几种移动方法？ 【解】能.有三种移动方法： ①点 A 不动，将点 B 向右移动4个单位长度，并将点 C 向左移动3个单位长度； ②点 B 不动，将点 A 向左移动4个单位长度，并将点 C 向左移动7个单位长度； ③点 C 不动，将点 A 向右移动3个单位长度，并将点 B 向右移动7个单位长度. 8.[新考法 折叠操作法]如图，已知在纸面上有一条数轴. 操作一：(1)折叠纸面，使表示1的点与表示－1的点重合，则表示－2的点与表示 的点重合. 2　 操作二：(2)折叠纸面，使表示－1的点与表示3的点重合，回答以下问题： ①表示5的点与表示 的点重合； ②若数轴上 A ， B 两点之间的距离为9个单位长度( A 在 B 的左侧)，且折叠后 A ， B 两点重合，求 A ， B 两点表示的数. －3　 【解】②点 A 表示的数是－3.5，点 B 表示的数是5.5. 9. [2024·合肥包河区期中]在数轴上，表示数1的点记为 O ，我们把到点 O 距离相等的两个不同点 M 和 N ，称为基准1的对称点.例如：如图，点 M 表示数－1，点 N 表示数3，它们与表示数1的点 O 的距离都是2个单位长度，则点 M 与点 N 互为基准1的对称点. (1)已知点 A 表示数 a ，点 B 表示数 b ，点 A 与点 B 互为基准1的对称点. ①若 a ＝4，则 b ＝ ⁠； ②用含 a 的式子表示 b ，则 b ＝ ⁠； －2　 2－ a 　 (2)对点 A 进行如下操作：先把点 A 表示的数乘以 ，再把所得数对应的点沿着数轴向左移动2个单位长度得到点 B . 若点 A 与点 B 互为基准1的对称点，求点 A 表示的数. 【解】设点 A 表示的数为 m ，则点 B 表示的数为 m －2，因为点 A 与点 B 互为基准1的对称点，所以 m －2＝2－ m .所以 m ＝4，所以 m ＝ .所以点 A 表示的数为 . 10. [新考法 从特殊到一般的思想] (1)借助数轴，回答下列问题： ①从－1到1有3个整数，分别是 ⁠； ②从－2到2有5个整数，分别是 ⁠ ⁠； ③从－100到100有 个整数； ④从－ n ( n 为正整数)到 n 有 个整数； －1，0，1　 －2，－1，0，1， 2　 201　 (2 n ＋1)　 分层练习-拓展 (2)根据以上规律知，从－3.9到3.9有 个整数，从 －10.1到10.1有 个整数. (3)在单位长度是1 cm的数轴上任意画一条长度为1 000 cm的线段 AB ，线段 AB 盖住的整数点最多有 多少个？ 【解】1 000＋1＝1 001(个). 7　 21　 求较大范围内的整数点时，可类比较小范围内的 情况.由图可知，1 cm长的线段盖住的整数点的个数 为1或2，2 cm长的线段盖住的整数点的个数为2或 3，….故长为1 000 cm的线段盖住的整数点的个数为 1 000或1 001. 【解析】 课堂小结 三要素 关键 有理数与数轴上点之间的关系 数轴 原点 正方向 单位长度 数轴的定义的三层含义 1. 数轴是一条直线，可以向两端无限延伸. 2. 数轴有三要素：原点、正方向和单位长度. 3. 原点位置的确定、单位长度大小的确定都是根据实际而定 的，一般取向右的方向为正方向. 课堂小结 $$